Оценки характеристических чисел интегральных операторов Ломакина Елена Николаевна

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Оценки характеристических чисел оператора харди с переменными пределами интегрирования

1.1. Оценки характеристических чисел оператора Харди с одним переменным пределом интегрирования 33

1.2. Оценки характеристических чисел оператора Харди с двумя переменными пределами интегрирования 45

Глава 2. Оценки норм Шаттена - Неймана оператора харди с переменными пределами интегрирования

2.1. Предварительные результаты 57

2.2. Оценки норм Шаттена - Неймана оператора Харди с одним переменным пределом интегрирования 63

2.3. Оценки норм Шаттена - Неймана оператора Харди с двумя переменными пределами интегрирования 77

Глава 3. Оценки аппроксимативных чисел одновесового оператора Римана - Лиувилля

3.1. Предварительные результаты 82

3.2. Преобразования 91

3.3. Оценки an(TaiV) на конечном интервале = (о, 6) С (0, оо) 95

3.4 Оценки an(Ta>v) на конечном интервале в случае 1<р<2<д<оо 106

3.5. Оценки сверху an{Ta,v : Lp(0,oo) —Lq(0, со)) 118

3.6. Оценки снизу ап(Тар : Lp(0, со) - Lq(0, со)) 125

3.7. Оценки аппроксимативных чисел двойственного оператора Римана - Лиувилля 128

Глава 4. Оценки характеристических чисел одновесового оператора Римана - Лиувилля

4.1. Предарительные результаты 131

4.2. Оценки en(Ta,v : LP(Q, со) -^(0, со)) 133

4.3. Асимптотические оценки чисел Гельфанда, Колмогорова, Вейля и Гильберта оператора Римана - Лиувилля 137

Литература 139

Приложение : Список обозначений 150

• Оценки характеристических чисел оператора Харди с двумя переменными пределами интегрирования
• Оценки норм Шаттена - Неймана оператора Харди с одним переменным пределом интегрирования
• Оценки an(TaiV) на конечном интервале = (о, 6) С (0, оо)
• Асимптотические оценки чисел Гельфанда, Колмогорова, Вейля и Гильберта оператора Римана - Лиувилля

Введение к работе

Задачи метрической аппроксимации множеств, функциональных классов и линейных операторов имеют в математическом анализе глубокие корни. История вопроса восходит к классическим работам П.Л. Чебышева, А.Н. Колмогорова, Г. Вейля, И.М. Гельфанда и многих других авторов.

В случае линейных операторов объектом исследования служит поведение собственных чисел и характеристических чисел, отражающих аппроксимативные свойства изучаемого преобразования, при этом наиболее важным примером характеристических чисел, порядково или асимптотически мажорирущих все остальные, являются аппроксимативные числа (а—числа).

Пусть 8(Х, У) - пространство всех линейных, ограниченных операторов действующих из банахова пространства X в банахово пространство У.

Аппроксимативные числа оператора Т Є &(X,Y), определяются как расстояние в &(X,Y) между оператором Т и подпространством (Х, Y) всех конечномерных операторов: а_п(Т) :=mi{\\T-L\\x^Y- L : X -> У, rankL < п - 1}, п Є N, где rankL := dim&(L).

Пусть 5, Г Є 8(X,Y) и R Є &(Y,Z). Аппроксимативные числа обладают следующими свойствами: (І) \\Т\\ = _а1(Т) > а₂(Т) > - > 0; (ii) a_n+m_i(T + S)< а_п(Т) + a_m(S), для всех n, m Є N, (Ш) a_n+m-i(R о Т) < а_п(Т) a_m(R) для всех n, m Є N. (iv) а_п(Т) = 0, если rank Т < п.

Обозначим <Ж(Х, Y) класс всех компактных операторов из &(Х, Y). Пусть lim a_m(T) = 0, тогда Т <Е X(X, У), если же Т Є @{Х, У) и

777-ЮО lim a_m(T) = a(T) > 0, то а(Т) называют мерой некомпактности

ТП-ЇОО оператора Т.

В том случае, когда X = Y является комплексным гильбертовым пространством, аппроксимативные числа совпадают с сингулярными числами (s—числами), которые впервые появились в работах Э. Шмидта.

Пусть Т Є <Ж(Х), тогда Т*Т имеет положительный самосопряженный квадратный корень, \Т\ := (ТТ)¹/² g Х{Х) и для всех п Є N s_n(T) := А„(|Г|), nN, где собственные числа Л_П(|Т|) берутся в убывающем порядке и с учетом кратности. Поведение 5—чисел и их мажорантные свойства по отношению к собственным числам исследовались в классических работах Г. Вейля и им посвящена обширная монографическая литература [11], [56] и др. Аппроксимативное свойство s—чисел з_п+1{Т) = inf {ЦТ - L\\x->x : rankL < n}, доказанное в 1957 г. Д.Э. Аллахвердиевым ([И], стр. 48), послужило основой для определения а—чисел. Первоначальные основы теории а—чисел были разработаны А. Пичем [27], [65].

Другим важным примером характеристических чисел являются энтропийные числа е_п(Т), п Є N, (е—числа) оператора Т Є &(X,Y), определяемые как точная нижняя грань множества всех чисел є > О, для которых существуют элементы у\,..., у_т Є Y, где т < 2^п~¹, такие что Т(В_Х) С \J{yj + eB_Y}, т. е. е_п(Т) :='mi[e > 0 : 3y_h ...,y_m Є Y, m < Т~^х : Т(В_Х) С \J{yj+eB_Y}}, з=і где Вх '= {х Є X : \\х\\х < 1} - единичный шар в X, a By - единичный шар в Y.

Энтропийные числа обладают следующими свойствами: для S,Te @(Х,Г) и Я Є @(Y,Z) (і) іт| = _Єі(Т)>е₂(Г)>...>0; (и) е_п(Г + 5)<е_п(Г) + ||5||, nGN; (Hi) e_n(R о Г) < е_п(Т) \\R\\. п Є N. (0.0.1)

Апроксимативные числа также тесно связаны с другими характеристическими числами линейных ограниченных операторов. Следуя монографии [65] приведем следующие определения: п-е число Гелъфанда оператора Т Є &(Х, Y) с_п(Т) := inf{ : МСХ, codim{M) < п}, где J^ означает каноническую инъекцию из подпространства М на банахово пространство X, т.е. М —^ X —> Y. п-е число Колмогорова d_n{T) := inf{ \\Q^Y_NT\\ : N CY, dim(N) < n}, где Q^ есть каноническая сюръекция из банахова пространства Y на т Q^Y фактор-пространство Y/N, т.е. X —> Y —^ Y/N. п-е число Вейля х_п(Т) := sup{ а_п(ТЕ) : Е <Е 8{1₂>Х), \\Е\\ < 1}, п-е число Гильберта h_n{T):= sup{a_n(FTE) : Е Є ЩгЛ\Р Є #(У,Щ, Ш\ < 1,ІИІ < !}

Соотношения между характеристическими числами оператора Т Є &(Х, Y) содержатся в следующей теореме.

Теорема 1. [27], [56]. Пусть Г Є ЩХ,У). Тогда (і) h_n(T) < х_п(Т) < Сп{Т) < а_п{Т), К{Т) < d_n{T) < а_п{Т), (іі) а_п(Т) < 2пУ²Сп{Т), а_п{Т) < 2n^l'²d_n{T), (ііі) h_n(T)<2e_n{T), с_п(Т)<пе_п(Т), d_n(T) <пе_п(Т).

Пусть X - гильбертово пространство и Т Є Ж{Х). Тогда х_п(Т) = d_n(T) = Сп(Т) = а_п(Т).

Таким образом, получив оценки для аппроксимативных чисел и используя теорему 1, мы имеем возможность получить оценки и для других характеристических чисел оператора Т Є &(Х, Y).

Исследованию характеристических чисел посвящены книги А. Пи-ча [27], [65], X. Кенига [56], Д.Э. Эдмундса и В.Д. Эванса [43], Д.Э. Эдмундса и X. Трибеля [51], К.Т. Мыибаева и М.О. Отелбаева [23] и других авторов. Основы теории сингулярных чисел представлены в классической монографии И.Ц. Гохберга и М.Г. Крейна [И]. Исторически изучению сингулярных и аппроксимативных чисел интегральных операторов предшествовали известные результаты Г. Вейля [79] об асимптотической зависимости поведения сингулярных чисел и собственных чисел линейных операторов.

Оценкам сингулярных чисел интегральных операторов было посвящено значительное количество работ многих авторов. Отметим основополагающую обзорную статью [8] (см. также, например, подробную библиографию к [65]). Исследование а—чисел интегральных операторов до последнего времени оставалось менее детальным, в особенности это касается конкретных классов операторов. В работе Д.Э. Эдмундса, В.Д. Эванса и Д.Ж. Харриса [45], в пространствах Лебега на полуоси, начали изучаться а—числа двухвесового оператора Харди Kf(x):=v(x) u(y)f(y)dy. (0.0.2)

Этими авторами были получены неявные асимптотические оценки аппроксимативных чисел. В дальнейшем результаты обобщались в работах Д.Э. Эдмундса и В.Д. Степанова [49] для операторов с полиномиальным ядром, Е.Н. Ломакиной и В.Д. Степановым [61], [80], [81], [82] на случай пространств Лоренца и банаховых функциональных пространств с условием Е.И. Бережного. В работе И. Ньюмена и М.З. Соломяка [64] получены асимптотические формулы типа Вей-ля и оценки норм Шаттена - Неймана для сингулярных чисел оператора Римана - Лиувилля. Далее, Д.Э. Эдмунде, В.Д. Эванс и Д.Ж. Харрис [46] предложили альтернативный метод приближения весовых функций оператора К : L_p -> L_p ступенчатыми функциями для получения асимптотических оценок а—чисел. Эти результаты на случай К : L_p —» L_q и любых 1 < р, q < со были обобщены в работах Е.Н. Ломакиной, В.Д. Степанова [83], [84], [91]. Наиболее полное исследование задачи об асимптотике а—чисел и е—чисел оператора К : L_p —) L_q содержится в работе М.А. Лифшица и В. Линде [59], где получены двухсторонние асимптотические оценки для всех значений 1 < р, q < со.

Диссертация посвящена исследованию поведения характеристических чисел двух классов интегральных операторов: операторов Харди с переменной областью интегрирования и операторов Римана - Лиувилля.

Перейдем к изложенияю основных результатов диссертации.

Пусть 1 < р < со. Обозначим Ь_Р(Ш⁺) пространство Лебега всех измеримых функций с конечной нормой / гоо \ 1/р

ИЛМч = Ц \f(x)\^pdx) .

Первая глава диссертации посвящена исследованию асимптотического поведения а-чисел интегрального оператора Н : L_P(R⁺) -> L_q(R⁺) с переменными пределами интегрирования вида гФ{х)Hf(x) = v(x) / u(y)f(y) dy, (0.0.3) J tp{x) где u(y) Є L_P'(R⁺), v(x) Є L_q(R⁺) и (p(x), ф(х) - возрастающие дифференцируемые функции такие, что (р(0) = ф(0) = 0, ср(х) < ф(х) для х (0, оо) и (/'(оо) = ^(оо) = оо. Для функций, обратных и ф будем использовать символы у?^-1 и ф~¹.

Остановимся на изложении основных результатов и методов первой главы. Сначала мы получаем оценки для а—чисел операторов с одним переменным пределом интегрирования рФ(х) Sf(x) = v(x) / u(y)f(y)dy (0.0.4) Tf(x) = v(x) / u(y)f(y)dy, (0.0.5) которые следуют из работ [83], [84] и [59] заменой переменных.

Введем следующие обозначения: пусть последовательность {_п}пеъ задана формулой гШп) и(ф{_п)) = / \u(t)\^p dt = 2^п, -оо < п < Ы_ф < оо. (0.0.6) Jo

Заметим, что если ||u||i , = оо, то {ф{_п)} существует для всех п Є Z, т.е. Иф = оо.

Определим а_п = |M|_vWW(„₊₀₎|M|_L^_n,_fn+l) и _{^ \1/г /^ ,, / г^ ^г/^1/г «} ⁼ _S² _/ ^Нх)1Чх кпаъ ) \nez ^^Jtⁿ = ( 2^ ІМІм^ж^+оіІМІь^п+і)

Аналогично, для интегрального оператора Т : Ь_Р(Ж⁺) -> L_q зададим последовательность {т_п}_пе% следующим равенством U№n))=l \u(y)fdy = 2-ⁿ, -оо < N_v < п < оо, (0.0.7) и положим hi = \\^u\\L_pl(ip(T_nMr_n+,))\Hb_q(T_n,r_n+1), ⁾ l/r / \ 1/r = ( 2-/ ll^Ullv(v(r_n),v(T„₊i))ll^Vlll,(r_n,r_n+1)

Пусть 1/r = 1/p' + 1/g, определим параметр (і, 1 < q

Л := < 1/r, 1<Р

В следующей теореме получены асимптотические оценки а—чисел для операторов S и Г, обобщающие результаты исследований [46], [84], [59].

Теорема 2. Предположим, что весовые функции и Є Zy(R⁺), г; Є _g(R⁺) такие, что операторы S : L_P(R⁺) -> L_q(R⁺) и Т : L_P(R⁺) —> L_q(M.⁺) определенные формулами (0.0.4), (0.0.5) компактны.

1.1) Яустг> Л = min{l,l/r}, А = (а,Ь) С R⁺, J = (ф(а),ф(Ь)), и Є Ljf(J), v Є L_q(A), S : L_P(J) -» L_q(A). Тогда ci(p,g) f / |и(^(я;))Г|«МГ(^М)^г/,/^ < liminf n^xa_n{S) <\Ja J ⁿ-> < limsupn^xa_n(S) < c₂{p,q) ( [ \и{ф{х))\^г\у{х)\^г{ф'{х))^г^' dx) .

1.2) Пусть A = min{l,l/r}, A = (a, b) С R⁺_; I = {cp(a), ip(b)), и Є L_pl{I), v Є L_q(A), T : L_P(J) -> L₅(A). Тогда d(p,q) (f \u{(p{x))\^r\v{x)\^r{(p'(x))^r^dx\ < liminfn^xa_n(T) < < limsupn^Aa_n(T) < c₂(p,q) ( f \u{ip{x))\^r\v(x)\^r{cp'(x))^r/p'' dx n->oo \J A /

2) Пусть S,T: L₂(R⁺) -> L₂(R+), J]a_n < oo, J^ k_n < oo. neZ neZ

Тогда \imna_n(S) = - \и(ф(х))\\ь(х)\у/ЇЩх) dx lim na_n(T) = - \u(ip(x))\\v(x)\\/(p'(x) dx. n->oo 7Г Jq

3) Пусть 1 < q < p < oo или 1 < p < q < 2, или 2 < p < q < oo с A = min{l, l/r} и 2_j^n < > /J ^n < - ^⁰²^^a neZ neZ / /-«з \ l/r ci(p,g) / W(x))\^r\v{x)\^r{rl/(x))^rVdx < liminf n^Aa_n(S) < \Jo J ⁿ^ < lim sup n^xa_n(S) < c₂(p,q) / |и(^(яг))|^г|«(х)|^г(^(а;))^г/р,Л: //oo \ l/r d(p,g) / |_W(^W)|>H|^r(^W)^r/p'^ < Hminf n^Aa_n(T) < \Jo / ^{n_>0 (} /oo \ l/r

4) Пусть 1 < q < p < oo или 1 < p < q < 2, или 2 < p < q < oo c\ = min{l, l/r}. Тогда sup n^Aa_n (5) < ci(p,g) I ^ ^rn I > / \u(ip{x))\^r\v(x)\^r{ip'{x))^rl^p' dx) Jo J supп^ха_п(Т) < c₂(p,q) ( ]Гл

5) Пусть l

Й^/л < oo. Тогда / /-00 \ 1/r cifeg) / \и(ф(х))\^г\у(х)\^г(ф'{х)у/^р'dx) Aa_n(S)< \J₀ J n->oo < limsu_PnV(5) < c₂(p,q) inf ^ I ||«||_(Л)|М|#_Д0 //oo \ 1/r ci(p,g) / \u(r\v(x)\^r(ip'(x))^rWdx) Aa_n(T)< *) » і ' < limsupnV(T) < c₂(p,g)inf ^ I M|₍₇J|<^ где inf берется no всем счетным разбиениям интервала A={A$kez-

6) Пусть lAa_n(5)/A) . sup п^Аа_п(Т)<с₂(р,д)(^хУ^А Vnez / ⁿ Vnez

Далее, для исследований асимптотики а—чисел оператора Н с переменными пределами интегрирования мы строим специальное разбиение полуоси (0,oo) = (jAjfe, где А = [Оь,Сь+і) ^и &к = [Vk,m+i) определяются для к Є Ъ следующим образом:

Со = 1, г/о = у?(1), гц = ф{1), -12- ^+1 = (^0^(1), '*eZ, (0.0.9) _{т = Ф((р-}¹_ояі,)^к_{-\і)1 fcez.}

Рис.1. Специальное разбиение полуоси.

Мы скажем, что оператор В : L_P(R⁺) -> L_q(R⁺) имеет блочно-диагоналъное разлооїсение, если существуют два семейства дизъюнктных интервалов {5k}, {А*} такие, что (0,со) = [)_к5к, (0,со) = [j_kA_k и

Пусть ^{Ль/Ы = ХбМЦу), Qkf{x) = XA}_k^{x)f(x).

Очевидно, что ||-Р* || Lp-»L_P = 1, HQfclU^L, = 1-

Положим

Вк = QkBPk и обозначим Bk сужение Bk на L_p(5k), т.е. B^f = Bkf для всех / Є L_p(Sk). Легко видеть, что а(Вк) = а(Вк), и отметим также, что при 1 < р < q < оо

Итак, ||Iv>l, = sup ||_А||_р_^_д = sup \\B_k\\_Lp(6_k)-*L_q{b_k)- я = ф + ф = ф^+Е ^Ф*=Е Qk^Hpk+Y, QkBPk+u (o.o.io)

К К iv к где операторы Ф и Ф имеют блочно-диагональное разложение, и на каждом участке разбиения, когда х Є Д& = [Cfc>Cfc+i)> выполняется равенство Hf(x) = v(x) u(y)f(y)dy + v(x) u(y)f(y)dy, Jip(x) Jtfa) которое позволяет в дальнейшем использовать результаты, аналогичные полученным для операторов (0.0.4) и (0.0.5) с одним переменным пределом.

Напомним, что счетная функция последовательности {а_п(В)} задается в виде {t, а(В)) = card {к Є N : а_к{В) >t}, t> 0. (0.0.11)

Ключевую роль для получения асимптотических оценок аппроксимативных чисел играет лемма о счетных функциях компактного оператора.

Лемма 1. Пусть 1 < р < q < оо, В : L_P(R⁺) -> L_g(M⁺) компактный оператор, имеющий блочно-диагональное разложение

В = 2_. Bk- Тогда для всех є > 0 к п(є,В)<^2п{є,В_к). (0.0.12) к -14-

Данная лемма позволяет получать оценки сверху для а—чисел операторов, имеющих блочно-диагональную структуру.

Пусть последовательности {Ск,п} Є Afc и {т^} Є Д& заданы по аналогии с формулами (0.0.6) и (0.0.7) следующими соотношениями / |и(*)|^Л = 2^п, / \u(t)\^p'dt = 2-ⁿ.

Определим к,п = ( / \u{t)\^Pdt

I rk,n+i \ / |ф)|«Жг)

, МСш) , \ ^W ( rn.n+1 \ ^l/q _{**,»=(/ l«WI}^P_{^ / W*)l^} W*,n) J \JT_k>n

Основные результаты первой главы диссертации заключаются в следующей теореме.

Теорема 3. Пустъ 1 < р < со_; оператор Н : L_P(R⁺) -> L_P(R⁺) вида (0.0.3) компактен и / _v / _v J / _J ^k,n < со. Тогда k n k n выполняется оценка сверху 1іт8ирпа„(#)<<Пф)і(№(^ n->oo JO в случае р = 2 имеет место эквивалентность limsup па_п(Н)и / |и(ж)| |u(v?(aj))|VVW + l^uWW)lу/Щ%) dx. п-+оо JO

2) Пустъ 1 < q < р < оо или 1 < р < q < 2, или 2 < р < q < оо, 1/г = 1/У + 1/g u А = min{l, 1/г}. Оператор Н : L_P(R+) -> ДДЕ+) компактен и 2_] /_] ^ак,п ^< > У_> /, ^xfc,n < - Тогда к п к п ₊ limsupп^Аа_п(Я) « I [ / |ф)Пи(*>М)1 VM)¹⁷'¹ п->оо , _„ .УДі. ь(хШф(хЖ1/(х)У"

3) Пусть 1 < p < 2 < q < со с A = 1/2 + min{l/p', 1/g}, оператор H : L_P(R⁺) —> I/_g(M⁺) компактен и /J/J^n < > _{E E 4» < -} ^ГЫа lim sup n^Aa_n (Я) < < Yj n->oo ₊ |1/A і _E^llull/_-'"- ^Jlv \,m=l

Л/Л \L_q(A_{k) где inf берется no всем конечным дизъюнктным разбиениям / = {Да,і,АЛ|2, ...Аіьд} интервала Ak.}

Используя соотношения между а—числами и другими характеристическими числами, получены асимптотические оценки чисел Гель-фанда, чисел Колмогорова, чисел Гильберта и чисел Вейля для обобщенного оператора Харди с переменной областью интегрирования. Результаты первой главы диссертации опубликованы в [85], [87], [89].

В 1918 году Ф. Рисе [69] опубликовал свою знаменитую статью, в которой были заложены основы теории компактных операторов. В частности, он доказал, что такие операторы имеют по крайней мере счетное множество собственных чисел, которые с учетом кратности, упорядочиваются в последовательность, сходящуюся к нулю, но ничего не было сказано о скорости сходимости такой последовательности. В тоже время И. Шур [78] еще в 1909 заметил, что последовательность собственных чисел интегрального оператора, порожденная непрерывным ядром, является суммируемой с квадратом. Поэтому возникла следующая проблема: найти условия на оператор Т, которые бы гараити- ровали, что последовательность собственных чисел {Х_п} принадлежит пространству _г при 0 < г < со. В контексте интегральных операторов такие условия были получены в терминах свойств ядра оператора: более гладкое ядро гарантирует более быструю сходимость собственных чисел оператора.

Соответствующие результаты для абстрактных операторов были найдены достаточно поздно. Г. Вейль [79] в 1949 году используя сингулярные числа доказал, что для всякого компактного оператора Т в комплексном гильбертовом пространстве {s_n{T)} є 4 влечет {|А„(Г)|} Є l_r.

Расширение теоремы Вейля от гильбертова к банахову пространству оставалось открытой проблемой достаточно долго. Только в 1978 году Г. Кёниг [56] получил следующий результат.

Теорема 4. [56] Пусть В Є Ж{Х) и а Є (0, оо). Тогда существует константа С_а, зависящая только от а такая, что / \1Д* / \1/а (W(*)l) <Са\ТаЦВ)\ , где dk(B) - к-е аппроксимативное число оператора В.

Получение оценок норм Шаттена - Неймана для конкретных классов операторов начинается с работы И. Ныомана и М.З. Соломяка [64]. Авторами были получены оценки норм Шаттена - Неймана для сингулярных чисел оператора Римана - Лиувилля, но методы их работы, основанные на теории квадратичных форм не переносятся на негиль-бертов случай. Давлее, Д.Е. Эдмунде, В.Д. Эванс и Д.Ж. Харрис [46] предложили альтернативный метод и получили оценки норм Шаттена - Неймана для оператора Харди К : L_p —> L_p, которые в дальнейшем были обобщены в работе Е.Н. Ломакиной и В.Д. Степанова [84] для К : L_p -> L_q при любых 1 < р, q < оо.

Вторая глава диссертации посвящена оценкам норм Шаттена - Неймана аппроксимативных чисел интегрального оператора Н : L_P(R⁺) -» L_q(R⁺) с переменными пределами интегрирования.

Будем говорить, что оператор В принадлежит классу Шаттена -Неймана S_a, 1 < а < со, если {а_п(В)} Є _а, при этом ⁽ оо \ 1/а «г(д))к=\ '

И В &_а,_Жак, ЄСЛИ \\Bh_a,_weak = \\{a_k(B)}\k,_w = supt(n(tAB))^V\ где счетная функция последовательности {а_п(В)} задается формулой (0.0.11).

Известно [30], что / лоо \ 1/Q

Основные результаты второй главы диссертации заключаются в следующем. Во-первых, для операторов с одним переменным пределом интегрирования S,T : L_P(R⁺) -> L_P(R⁺) вида (0.0.4) и (0.0.5) устанавливается эквивалентность норм Шаттена - Неймана интегральным выражениям, зависящим от весовых функций оператора « - -~ . «_! \ V^а _{imk «і Г( Гтгъ)} ⁷_{( fw^dt)' \v(x)\4x} 'о \JГф(х) ч/ лоо \2_i \l/« ^l|5k4/oU \Pdy){J_x\^v\^Pdt) №)\^Pdx где 1<р<оои1<а<оо. Во-вторых, получена оценка сверху для оператора Н : L_P{R⁺) -» L_P(R⁺) с двумя переменными пределами интегрирования ІІ^ЯІк«(Е(7 M'V Y (ГмА 1Ф)№ \п \JA_m ) JA_m\J

ГДЄ Um^ra = Um[Cm,Cm+l) = M⁺ - СПЄЦИаЛЬНОЄ разбиение ПОЛуОСИ (0.0.9), рис. 1.

В-третьих, для случая Н : г(М⁺) -* L2(R⁺) и 1 < а < со доказана двусторонняя оценка V(0b+l) \ / r^X \ 2^_1 _{n# ik« E / /} ^u2_{(^ / «}²_w^ ^v2_{w^ +E/ / ^)^ / ^}²_{w^ ^w^} ^Уд, \iv(a) J \Jx J причем, для 2 < a < со этой эквивалентности можно придать более компактный вид.

И наконец, из пролученных результатов мы можем получить и оценки сверху на собственные числа операторов Харди с одним и двумя переменными пределами интегрирования.

Пусть последовательности {„} и {т_п} определяются формулами и(ф{_п)) = / И*)|^р dt = 2^П, п Є Z, -со < п < JV^ < со,

С/(п)) = / \u(y)\^p' dy = 2~^п, neZ, -оо < Ny < п < оо.

Обозначим / /-6.+1 ч^1/р / /.т_п+1 ч¹^ ^^p/p'WW)bW|^p^ , >Ъ= / U^p/^p'{ip{x))\v(x)\^pdx

Чп J \JT_n

Теорема 5. Пусть 1 < а < оо, операторы S : 1^(М⁺) -> Z^(M⁺) и Т : Ь_Р(Ж⁺) -> L_P(E⁺) определенные формулами (0.0.4), (0.0.5) ?иш- пактны. Тогда \{*k(S)}\ *a,_W(Z) |{a*(T)}| _ыQ _{«IIKwIir ' м}а и₁₁₍а_*(г_)}1Г ^J e_a{z) III ^v ^Hun) ^L e_a(z) III ^v 'JIImn)

Эти важные соотношения следуют из эквивалентности счетных функций последовательностей {сгд.} и {a,k(S)}, {щ} и {a,k(T)}, которая доказывается в сериях лемм 2.2.1-2.2.7 главы 2.

Далее, для операторов S и Т мы рассматриваем функционалы J_a ( J^, /_a « /q, зависящие от весовых функций: »00 / пф(х) \ а/р' W I \v(x)\^pdx а/р \ V" 'О \J0 ''У (Г \v\^PY^P\u(y)\^p,dy оо / ру \ rr—i- ^J_{«=40 u}^iw f"¹ '00 / />00 Іф-Цу) а/р' / t-x \v\^p) \v{x)\^pdx _{I (/ |U|P'J „ ,} '0 \Jip(x) J \J0 / /оо / /*оо p-1 / _ry) \a/p

Следующие теоремы устанавливают эквивалентности.

Теорема 6. Если 0 < a < со, 1 < р < со, то \~к) ~ J_Q ~ J_Q.

Теорема 7. .ЁЬш 0 < а < со, 1 < р < со, то {X_fc} « /_a « 4

Из доказанных выше оценок, для компактных операторов с одним переменным пределом интегрирования мы получаем два следствия.

Следствие 1. Пусть 1 < р < оо, К а < оо, S : L_P(R⁺) -> L_p(l⁺) - компактный оператор определенный формулой (0.0.4). Тогда \ а / »00 / гф{х) \ р / ^00 Ч f-1 \ а

Следствие 2. Яусгаь 1<р<оо_;1<о;<оо, Т: L_P(E⁺) -» L_P(M⁺) - компактный оператор определенный формулой (0.0.5). Тогда

^{Е<(г)Ы/„ (/J^i^J ЦМ')іРЛ) w*)|Pcb} оо \ у / рх \р~¹

Далее, блочно-диагоналыюе представление (0.0.10) и лемма 1 о счетных функциях позволяют получить верхнюю оценку для компактного оператора Я с переменными пределами интегрирования <(я)У«((7 \vA^p 7 (Ґ\иЛих)\чх где Д_т = [(т,(т+і) ^ЄСТЬ специальное разбиение (0.0.9), рис.1.

Лемма 2. Пусть В : L2_VR⁺) —> 2(^) - компактный оператор, имеющий блочно-диагональиое разлоэ/сение В = Vj-Bjfc- Обозначим \В\ = (Я*Я)^1/2 = J^Bfc)¹/², <т(|В|) и (7(1^1) - спектры операто- k рое \В\ и \Bk\, соответственно. Тогда o(\B\) = {Ja(\B_k\).

В силу представления оператора Я и предложения 6 ([И], стр. 123) для 1 < а < оо, имеем ||Ф||_5в < ||#||s„, Н^ф1к < ||#lk, что дает возможность получить оценки снизу: ^Q/², „л.. ч S-1 а также

00 » / -„СЛ . -N \ ^Q' іік(фщ>>е/_д (/ ^u2Wv\ (/^v2w^J ^u2w^&» на основании которых, выводим следующий важный результат.

Теорема 8. Пусть Н : I/2(R⁺) —> І^2(М⁺) компактный оператор определенный формулой (0.0.3) и 1 < а < со. Тогда E<№J «(Ej^ П^^к+1и²(у)сіу) [j^Xv\x)d_xy v²(x)dx _{+E/ / ^(w / «}2_{(*)<Ч ^0^} ^Уд_А \У^(с*) / \Л /

При а = 2 в предыдущей формуле имеет место равенство, а при 2 < а < со она имеет более компактный вид.

Для функций ср(х) и ^(ж) оператора (0.0.3) определим фарватер-функцию а(х) такую, что ip(x) < сг(х) < ф(х) и га{х) гф{х) / u²(y)dy= / u²(y)dy J(f(x) J а(х) для любого х Є R⁺.

Следствие 3. Пусть Н : L2(1L⁺) -> І/2ОЙҐ") тголтактлмй оператор определенный формулой (0.0.3) и 2 < а < со. Тогда \Ь [ roof riKx) \* f гч>-Ч{х)) \^{f_1 Ча}

Е<«(Я) « / / «²(у)с/И / v\t)dt) v\x)dx a J \^Jq V-M*) J Vf¹ Ш) J

Применяя теорему 1, мы получим асимптотические оценки и для других характеристических чисел оператора с двумя переменными пределами интегрирования.

Следствие 4. Пусть Н : 1/2(М⁺) -» Ьг(Ж⁺) компактный оператор определенный формулой (0.0.3) и 2 < а < со. Тогда <№ Н / / "²Wv / «²(*)л «²W^ , _{«(я) « / / u}²_{(y)dy / «}²_{р «}²_(г)й . « /WO \У^(аг) / \^-1(<т(х)) у едя)Н/₀ Ц₍/^2(уН Ц-і_(ф/⁽*^)Л) ^*Н> -*ї(^я)Н / / ^u2fe)^ / «²мл ^wdc . / \Л) \-Мх) У уф-Щх)) У у

Используя теорему 4 и пролученные результаты для аппроксимативных чисел, мы можем получить и оценки сверху на собственные числа операторов Харди с одним и двумя переменными пределами интегрирования.

Теорема 9. Пусть 1 < р < оо, 1 < а < оо и S,T, Н : L_P(R⁺) -> L_P(E⁺) компактные операторы определенные формулами (0.0.4), (0.0.5) и (0.0.3). Тогда

Х>стм <<Ц Ц Ky)i^p^J {jJ^v^^Pdtj и*)Н'

Результаты второй главы диссертации опубликованы в [8G], [88], [90], [92].

Непосредственным одновесовым обобщением операторов (0.0.2) являются операторы Римана - Лиувилля T_a,„f{x) := v(x) Г(х - y)^a-¹f(y)dy, z > 0, (0.0.13) где а > 0.

Исследование асимптотик энторопийных чисел, а также аппроксимативных чисел оператора T_a>v : L_p(0, со) -> L_q(0, со) при р ф q, а ф 1 не предпринемалось. Третья и четвертая главы диссертации восполняют этот пробел для целых а > 1, обобщая и дополняя результаты работ [59], [73], [64].

Для I < р, q < оо, qGN положим - := а Ь -, г р q а также а, 1 < q <р < со \_)- = а Ь-, 1<Рт р q ¹ I^і Л ,а - - + mm —, - , l

2 \р' qj (0.0.14)

Введем следующие обозначения:

И|_г :=^1^)1^^, \v\_r:=r^k\ , Ь|г,оо := ІШк,. = Ык + l)^1/r^ + sup M¹^, fc>0 k<0 U _{= 2}*(«-VpH/ \_v(_x)\4x\ ,Jfc6Z, {<^}fc>o ^и {b~k)kr < \v\_r, |v|_r>00 < c\v\_r. Пусть

1/А^{Ч А} і/*г^і/р^іф)і^у AW:=inf \v{x)\4x где infimum берется по всем счетным непересекающимся разбиениям (О, со) = [j h полуоси на интервалы {Д} такие, что card{A; Є Ж : h П А ф 0} < со, для любого компакта А С (0, со).

Основные результаты 3 главы диссертации заключены в следующей теореме.

Пусть v Є L⁺ означает, что \v(s)\ приближается снизу монотонной последовательностью конечиозпачпых интервальных ступенчатых функций, т.е. ^{о < vm = $>ш}₄^{>и ш\} для почти всех 5 Є (0, со).

Теорема 10. Пусть 1<р, q <оо, aGN« оператор T_UfV : L_p(0, со) —> L₅(0,oo) компактен. Тогда с некоторыми константами с, с\, С2 абсолютными, или зависящими только от р, q и а, выполняются следующие оценки: (і) при 1 < q < р < со ci\v\_r,oo < sup n^Qa_n(r_Q)i;) < c₂\v\_r, (0.0.15) (ii) если 1 < p xa_n(T_a,_v)l/x, (0.0.16) (iii) если 1 < q < p < со или 1 < p < q < 2, или 2 < p < q < oo и \v\_r < со, mo limsup n^xa_n(T_a,_v) < c\\v\\_r, (0.0.17) n->oo (iv) если lxa_n{T_atV) < cp_x(v), (0.0.18) n->oo (v) если 1 < p,q < оо и v Є L⁺, mo c\\v\\_r < liminfn^Aa_n(T_a,;). (0.0.19)

Оценка (ii) при p = q установлена в [73] при любых а > 1. Точный критерий ограниченности и компактности T_QjV : L_p(0, оо) -> L_q(0, оо) при 0<д<оо, р > 1 и а > 1/р получен в [67] (см. теорему 3.1.1). При а = 1 и без условия v Є L⁺ теорема 10 получена в [59], где ее результаты обобщаются для двухвесового оператора (0.0.2) с помощью изоморфизмов L_p — пространств при которых оператор интегрирования (0.0.2) сохраняет тип. Двухвесовой аналог оператора (0.0.13) при a^l при этих изоморфизмах теряет свою форму, поэтому как и в [64], [73] в третьей и четвертой главах диссертации рассматривается только одновесовой случай. Используя свойства аппроксимативных чисел компакных операторов теорема 10 получена и для а—чисел двойствен- ного оператора T*_vf(x) := {у- x)^a~^lv(y)f{y)dy, х > 0.

Доказаны точные асимптотические оценки для а—чисел и е—чисел классического оператора Римана - Лиувилля.

Теорема 11. Пусть aN, 1 < р, q < оо и оператор T_Q : L_p(0,1) —> L_q(0,1) компактен. Тогда с константами с\ = ci(p,q) > 0, С2 = ^С2ІР, q) > 0 выполняются асимптотические оценки: (і) при 1 < р, q < со сщ-^а < е_п{Т_а) < с₂п~^а-(п) при 1 < р, q < со с\п~^х < а_п(Т_а) < с₂п-\ где А определена формулой (0.0.14). Пусть J={h}keXi I⁼ |_| h~ представление интервала / С (0, со) в виде объединения попарно непересекающихся конечных интервалов Ik, и предполагается, что v Є L_q(Ik), для любого к Є Ж. Здесь Ж означает либо конечное, либо счетное индексное множество.

Рассмотрим разложение пространства L_p(I) в сумму двух подпространств: L_p(I) и L^c_p(I), где l;(i) := l;(i,j?) = j/ є l_p(i) -. jf ^'/(уМу = о J, j = 0,1,..., а, к Є JT, Lp(/)— подпространство кусочно-полиномиальных функций: l^c_p(i) = l;(i,j?) = { J2 4k(x)Xh{x), qk Є &>_а-і &_а-\ обозначает совокупность всех полиномов степени не превосходящей а — 1.

Для функций / Є Lp(I), supp/ С Д, оператор T_QfV сохраняет дизъ-юнктность:

Зададим оператор Pf : L_P(I) -» L_p(I) по формуле ^p_!f(^x_{) '= Yl I]^'^)}⁷_^^fc_W^(^x_)' j=0 кії где полиномы р,Л*) = (Ь - аГ^_Рі {^^) , і = 0,1,... образуют ортонормированную систему в Li (I) и {f,Pj,k)i_k := / f(x)p_j}k(x)dx. Jh

Определим P!:=(id-P!):L_P(I)->L;(I).

Тогда

Т — Т Р 4- Т Р^с Lap — ^a,v^J / ~ ^±a,v^rI и, используя свойства а—чисел, получаем

Заметим также, что rankPj = a-cardJf, это означает, что на конеч- ном интервале /=11/ имеем rank(T_atVPj) = a-N,u a_m(T_a>vPf) — О fc=i при m > aN. Следовательно, на конечном интервале а—числа оператора Римана - Лиувилля T_a,_v оцениваются аппроксимативными числами a_n(T_a^_vPj).

Для 1 < р < оо, 0 < q < оо, а Є N, / = (a, b) С (0, со) и v Є L_q(I), в силу неравенства Гельдера выполняется оценка \Ы\\ь,_{1) < |/r^1/pIM|_Lg(/)||/||_M/), для всех / Є L_P(I).

В дальнейшем величина будет играть важную роль, и в леммах 3.3.1 - 3.3.2 доказаны ее основные свойства.

В следующей лемме уточняется значение нормы оператора T_ajV при его сужении на подпространство Ь_р{1). Лемма 3. Пусть I С (0, сю), if = {Ік}кєж, I = М h и

1

q(Ik). Тогда для любой функции f Є L(/, jf) sup «/«,„(/*)||/|U„(J), \Т_а,ьДь_я(і) < < _{E w*)}^r/(1_-^ar)

В лемме 4 получена неявная оценка а—чисел оператора T_atVP, которая в последующей теореме доводится до явной оценки. Лемма 4. Пусть I С (0, со), if = {Щ^х, I = [_\ h, P : L_P(I) -> L(/,if) uvG L_e(/jfc) для л?о^ого A;.

Рассмотрим последовательность натуральных чисел {n&}, ¹<то п := \ (njt — 1) + 1 < со. Гогена a(n-l)Q+l(^a,t;-P⁰) < < supn_fc^1/rJ_Qji;(4),

Базовой для получения супремальпых и асимптотических оценок а-чисел является теорема 12. Теорема 12. Пусть I С (0, со), if = {Ік}кєЖ, І = \_\ h,

Р : L_P(J) -> bj(/, Jgf) «i;G L_q(I_k) для любого к. Тогда a_n(Ta,_vP) « n-^A I ]Г J_Q),(/_fc)^r ) , (0.0.20) где A := min ( -, a | .

Теорема 13. Пусть І С (0,со) конечный интервал, v Є L_q(I). Тогда limsupn^xa_n(T_a>v) « \\v\\_Lr(I). (0.0.21) n-*oo где A := min ( -, a I .

Уже из теоремы 11 видно, что случай параметров la>v это требование также выполняется, а именно, в этом случае оценку сверху можно улучшить, причем данный случай потребовал более сложной конструкции с привлечением ортопормированнои системы полиномов па отрезке.

Теорема 13. Пусть 1 < р < 2 < q < со, / С (0, со) конечный интервал, v L_q(I). Тогда limsup n^xa_n(T_a>v) < 0_х(у), (0.0.22)

П->00 где \ = a-l/2 + mm(l/q,l/p').

Оценки сверху для аппроксимативных чисел оператора Римана -Лиувилля на полуоси (0.0.15), (0.0.16) получены с помощью а—чисел диагональных оператров. Кроме этого, в диссертации приведена техника, касающейся изоморфизмов L_p пространств и показано, что оператор T_a>v сохраняет тип и дизъюнктность при этих преобразованиях. В 3.2 доказано, что оператор Т^ : L_p{I) -> L_q{I) изоморфен оператору |HU_r Та ' ^р(0,1) -> Lg(0,l), где в качестве весовой функции v(x) выступает интервальная ступенчатая функция

4>(^х) ^:=^2^akXh{x), a_k > 0, при этом an(T_Qg = |Mka_n(T), e_n(TJ = ЫьМКУ

И далее, для получения нижних оценок а—чисел, а также и е—чисел оператора Римана - Лиувилля, используем лемму 5 и результаты теоремы 11.

Лемма 5. Пусть I С (0, со) конечный интервал, 0 < v Є L⁺, v Є L_q(I). Тогда для любого rj Є (0,1) существуют оператор Y : L_q(I) —> L_q{I) и число (3, удовлетворяющие следующим условиям: (О IMkw-ад < і, (ii) Р > Ф\\ь_г(1), (iii) оператор Y о Т_а>1) изоморфен оператору /3 Т_а

Основным результатом четвертой главе диссертации является следующая теорема.

Теорема 14. Пусть 1 < р, g < со, aGN« оператор T_a,_v ' L_p(0, со) -> L_g(0, со) компактен. Тогда с некоторыми константами с, с\, С2, абсолютными, или зависящими только от р, q и а, выполняются следующие оценки: (і) при lAe_n(T_Q,,)1/A, (0.0.23) где параметр А определен формулой (0.0.14), (ii) при 1 < q < р < со ci\v\_r,oo < supn^Qe_n(T_Qil)) < c₂|u|_r, (0.0.24) (iii) при любых 1 < р, g < со ciMr,oo < sup п^ае_п(Т_аД (0.0.25) (iv) при 1 < p, q < oo uv Є L⁺ c\\v\\_r < liminfn^ae_n(T_QJ. (0.0.26)

Для получения верхних оценок е—чисел используем результаты теоремы 10 и неравенство, показывающее связь между аппроксимативными и энтропийными числами [39]: для Т Є &(Х, Y) и любого 7 > 0 sup п¹е_п(Т) < c₇sup п⁷ а_п(Т).

Оценки снизу (0.0.24), (0.0.25) энтропийных чисел оператора (0.0.13) на полуоси получены с помощью е—чисел диагональных оператров.

Используя соотношения между а—числами и другими характеристическими числами, получены асимптотические оценки чисел Гель-фанда, чисел Колмогорова, чисел Гильберта и чисел Вейля для одно-весового оператора Римана - Лиувилля. Результаты третьей и четвертой глав диссертации опубликованы в [93] - [97].

Результаты диссертации докладывались на семинаре по геометрии и анализу под руководством академика Ю.Г. Решетняка в ИМ СО РАН, на семинаре по функциональному анализу под руководством чл.-корр. РАН, профессора В.Д. Степанова в ВЦ ДВО РАН, на математических семинарах университетов г. Хабаровска.

Доклады, основанные на результатах диссертации, сделаны на Международной школе-конференции по анализу и геометрии, посвященной 75-летию академика Ю.Г. Решетняка (Новосибирск, 2004 г.), на Дальневосточной математической школе-семинаре имени академика Е.В. Золотова (Владивосток, 2004 г., Хабаровск, 2005 г.)

Результаты данной работы отражены в публикациях [80]-[97].

Научные интересы автора в свое время сформировались под руководством чл.-корр. РАН, профессора В.Д. Степанова. Автор выражает глубокую благодарность В.Д. Степанову за многолетнюю совместную работу, доброе внимание и поддержку.

Оценки характеристических чисел оператора Харди с двумя переменными пределами интегрирования

Используя соотношения между а—числами и другими характеристическими числами, получены асимптотические оценки чисел Гель-фанда, чисел Колмогорова, чисел Гильберта и чисел Вейля для обобщенного оператора Харди с переменной областью интегрирования. Результаты первой главы диссертации опубликованы в [85], [87], [89].

В 1918 году Ф. Рисе [69] опубликовал свою знаменитую статью, в которой были заложены основы теории компактных операторов. В частности, он доказал, что такие операторы имеют по крайней мере счетное множество собственных чисел, которые с учетом кратности, упорядочиваются в последовательность, сходящуюся к нулю, но ничего не было сказано о скорости сходимости такой последовательности. В тоже время И. Шур [78] еще в 1909 заметил, что последовательность собственных чисел интегрального оператора, порожденная непрерывным ядром, является суммируемой с квадратом. Поэтому возникла следующая проблема: найти условия на оператор Т, которые бы гараити ровали, что последовательность собственных чисел {Хп} принадлежит пространству г при 0 г со. В контексте интегральных операторов такие условия были получены в терминах свойств ядра оператора: более гладкое ядро гарантирует более быструю сходимость собственных чисел оператора.

Соответствующие результаты для абстрактных операторов были найдены достаточно поздно. Г. Вейль [79] в 1949 году используя сингулярные числа доказал, что для всякого компактного оператора Т в комплексном гильбертовом пространстве {sn{T)} є 4 влечет {А„(Г)} Є lr. Расширение теоремы Вейля от гильбертова к банахову пространству оставалось открытой проблемой достаточно долго. Только в 1978 году Г. Кёниг [56] получил следующий результат. Теорема 4. [56] Пусть В Є Ж{Х) и а Є (0, оо). Тогда существует константа Са, зависящая только от а такая, что где dk(B) - к-е аппроксимативное число оператора В. Получение оценок норм Шаттена - Неймана для конкретных классов операторов начинается с работы И. Ныомана и М.З. Соломяка [64]. Авторами были получены оценки норм Шаттена - Неймана для сингулярных чисел оператора Римана - Лиувилля, но методы их работы, основанные на теории квадратичных форм не переносятся на негиль-бертов случай. Давлее, Д.Е. Эдмунде, В.Д. Эванс и Д.Ж. Харрис [46] предложили альтернативный метод и получили оценки норм Шаттена - Неймана для оператора Харди К : Lp — Lp, которые в дальнейшем были обобщены в работе Е.Н. Ломакиной и В.Д. Степанова [84] для К : Lp - Lq при любых 1 р, q оо. -17 Вторая глава диссертации посвящена оценкам норм Шаттена - Неймана аппроксимативных чисел интегрального оператора Н : LP(R+) -» Lq(R+) с переменными пределами интегрирования. Будем говорить, что оператор В принадлежит классу Шаттена где счетная функция последовательности {ап(В)} задается формулой (0.0.11). Известно [30], что / лоо \ 1/Q Основные результаты второй главы диссертации заключаются в следующем. Во-первых, для операторов с одним переменным пределом интегрирования S,T : LP(R+) - LP(R+) вида (0.0.4) и (0.0.5) устанавливается эквивалентность норм Шаттена - Неймана интегральным выражениям, зависящим от весовых функций оператора где 1 р оои1 а оо. Во-вторых, получена оценка сверху для оператора Н : LP{R+) -» LP(R+) с двумя переменными пределами интегрирования эквивалентности можно придать более компактный вид. И наконец, из пролученных результатов мы можем получить и оценки сверху на собственные числа операторов Харди с одним и двумя переменными пределами интегрирования.

Оценки норм Шаттена - Неймана оператора Харди с одним переменным пределом интегрирования

Таким образом, получив оценки для аппроксимативных чисел и используя теорему 1, мы имеем возможность получить оценки и для других характеристических чисел оператора Т Є &(Х, Y).

Исследованию характеристических чисел посвящены книги А. Пи-ча [27], [65], X. Кенига [56], Д.Э. Эдмундса и В.Д. Эванса [43], Д.Э. Эдмундса и X. Трибеля [51], К.Т. Мыибаева и М.О. Отелбаева [23] и других авторов. Основы теории сингулярных чисел представлены в классической монографии И.Ц. Гохберга и М.Г. Крейна [И]. Исторически изучению сингулярных и аппроксимативных чисел интегральных операторов предшествовали известные результаты Г. Вейля [79] об асимптотической зависимости поведения сингулярных чисел и собственных чисел линейных операторов.

Оценкам сингулярных чисел интегральных операторов было посвящено значительное количество работ многих авторов. Отметим основополагающую обзорную статью [8] (см. также, например, подробную библиографию к [65]). Исследование а—чисел интегральных операторов до последнего времени оставалось менее детальным, в особенности это касается конкретных классов операторов. В работе Д.Э. Эдмундса, В.Д. Эванса и Д.Ж. Харриса [45], в пространствах Лебега на полуоси, начали изучаться а—числа двухвесового оператора Харди Этими авторами были получены неявные асимптотические оценки аппроксимативных чисел. В дальнейшем результаты обобщались в работах Д.Э. Эдмундса и В.Д. Степанова [49] для операторов с полиномиальным ядром, Е.Н. Ломакиной и В.Д. Степановым [61], [80], [81], [82] на случай пространств Лоренца и банаховых функциональных пространств с условием Е.И. Бережного. В работе И. Ньюмена и М.З. Соломяка [64] получены асимптотические формулы типа Вей-ля и оценки норм Шаттена - Неймана для сингулярных чисел оператора Римана - Лиувилля. Далее, Д.Э. Эдмунде, В.Д. Эванс и Д.Ж. Харрис [46] предложили альтернативный метод приближения весовых функций оператора К : Lp - Lp ступенчатыми функциями для получения асимптотических оценок а—чисел. Эти результаты на случай К : Lp — Lq и любых 1 р, q со были обобщены в работах Е.Н. Ломакиной, В.Д. Степанова [83], [84], [91]. Наиболее полное исследование задачи об асимптотике а—чисел и е—чисел оператора К : Lp —) Lq содержится в работе М.А. Лифшица и В. Линде [59], где получены двухсторонние асимптотические оценки для всех значений 1 р, q со.

Диссертация посвящена исследованию поведения характеристических чисел двух классов интегральных операторов: операторов Харди с переменной областью интегрирования и операторов Римана - Лиувилля.

Оценки an(TaiV) на конечном интервале = (о, 6) С (0, оо)

Основные результаты 3 главы диссертации заключены в следующей теореме.Пусть v Є L+ означает, что \v(s)\ приближается снизу монотонной последовательностью конечиозпачпых интервальных ступенчатых функций, т.е. для почти всех 5 Є (0, со).

Теорема 10. Пусть 1 р, q оо, aGN« оператор TUfV : Lp(0, со) — L5(0,oo) компактен. Тогда с некоторыми константами с, с\, С2 абсолютными, или зависящими только от р, q и а, выполняются следующие оценки: (і) при 1 q р со

Оценка (ii) при p = q установлена в [73] при любых а 1. Точный критерий ограниченности и компактности TQjV : Lp(0, оо) - Lq(0, оо) при 0 д оо, р 1 и а 1/р получен в [67] (см. теорему 3.1.1). При а = 1 и без условия v Є L+ теорема 10 получена в [59], где ее результаты обобщаются для двухвесового оператора (0.0.2) с помощью изоморфизмов Lp — пространств при которых оператор интегрирования (0.0.2) сохраняет тип. Двухвесовой аналог оператора (0.0.13) при a l при этих изоморфизмах теряет свою форму, поэтому как и в [64], [73] в третьей и четвертой главах диссертации рассматривается только одновесовой случай. Используя свойства аппроксимативных чисел компакных операторов теорема 10 получена и для а—чисел двойственного оператора T vf(x) := {у- x)a lv(y)f{y)dy, х 0.

Доказаны точные асимптотические оценки для а—чисел и е—чисел классического оператора Римана - Лиувилля. Теорема 11. Пусть aN, 1 р, q оо и оператор TQ : Lp(0,1) — Lq(0,1) компактен. Тогда с константами с\ = ci(p,q) 0, С2 = С2ІР, q) 0 выполняются асимптотические оценки: п) при 1 р, q со с\п х ап(Та) с2п-\ где А определена формулой (0.0.14). Пусть J={h}keXi I= _ h представление интервала / С (0, со) кеХ в виде объединения попарно непересекающихся конечных интервалов Ik, и предполагается, что v Є Lq(Ik), для любого к Є Ж. Здесь Ж означает либо конечное, либо счетное индексное множество. Рассмотрим разложение пространства Lp(I) в сумму двух подпространств: Lp(I) и Lcp(I), где Lp(/)— подпространство кусочно-полиномиальных функций: обозначает совокупность всех полиномов степени не превосходящей а — 1. Для функций / Є Lp(I), supp/ С Д, оператор TQfV сохраняет дизъ-юнктность: кеХ Зададим оператор Pf : LP(I) -» Lp(I) по формуле где полиномы образуют ортонормированную систему в Li (I) и и, используя свойства а—чисел, получаем Заметим также, что rankPj = a-cardJf, это означает, что на конеч N ном интервале /=11/ имеем rank(TatVPj) = a-N,u am(Ta vPf) — О fc=i при m aN. Следовательно, на конечном интервале а—числа оператора Римана - Лиувилля Ta,v оцениваются аппроксимативными числами an(Ta vPj).

Асимптотические оценки чисел Гельфанда, Колмогорова, Вейля и Гильберта оператора Римана - Лиувилля

Уже из теоремы 11 видно, что случай параметров l p 2 q сю является особым. Для оценок о—чисел оператора Ta v это требование также выполняется, а именно, в этом случае оценку сверху можно улучшить, причем данный случай потребовал более сложной конструкции с привлечением ортопормированнои системы полиномов па отрезке.

Оценки сверху для аппроксимативных чисел оператора Римана -Лиувилля на полуоси (0.0.15), (0.0.16) получены с помощью а—чисел диагональных оператров. Кроме этого, в диссертации приведена техника, касающейся изоморфизмов Lp пространств и показано, что оператор Ta v сохраняет тип и дизъюнктность при этих преобразованиях. В 3.2 доказано, что оператор Т : Lp{I) - Lq{I) изоморфен оператору HUr Та р(0,1) - Lg(0,l), где в качестве весовой функции v(x) выступает интервальная ступенчатая функция

И далее, для получения нижних оценок а—чисел, а также и е—чисел оператора Римана - Лиувилля, используем лемму 5 и результаты теоремы 11.

Лемма 5. Пусть I С (0, со) конечный интервал, 0 v Є L+, v Є Lq(I). Тогда для любого rj Є (0,1) существуют оператор Y : Lq(I) — Lq{I) и число (3, удовлетворяющие следующим условиям: (iii) оператор Y о Та 1) изоморфен оператору /3 ТаОсновным результатом четвертой главе диссертации является следующая теорема. Теорема 14. Пусть 1 р, g со, aGN« оператор Ta,v Lp(0, со) - Lg(0, со) компактен. Тогда с некоторыми константами с, с\, С2, абсолютными, или зависящими только от р, q и а, выполняются следующие оценки: (і) при l p q 2,2 p q oo или 1 р 2 q оо Для получения верхних оценок е—чисел используем результаты теоремы 10 и неравенство, показывающее связь между аппроксимативными и энтропийными числами [39]: для Т Є &(Х, Оценки снизу (0.0.24), (0.0.25) энтропийных чисел оператора (0.0.13) на полуоси получены с помощью е—чисел диагональных оператров. Используя соотношения между а—числами и другими характеристическими числами, получены асимптотические оценки чисел Гель-фанда, чисел Колмогорова, чисел Гильберта и чисел Вейля для одно-весового оператора Римана - Лиувилля. Результаты третьей и четвертой глав диссертации опубликованы в [93] - [97].

Результаты диссертации докладывались на семинаре по геометрии и анализу под руководством академика Ю.Г. Решетняка в ИМ СО РАН, на семинаре по функциональному анализу под руководством чл.-корр. РАН, профессора В.Д. Степанова в ВЦ ДВО РАН, на математических семинарах университетов г. Хабаровска.

Доклады, основанные на результатах диссертации, сделаны на Международной школе-конференции по анализу и геометрии, посвященной 75-летию академика Ю.Г. Решетняка (Новосибирск, 2004 г.), на Дальневосточной математической школе-семинаре имени академика Е.В. Золотова (Владивосток, 2004 г., Хабаровск, 2005 г.) Результаты данной работы отражены в публикациях [80]-[97]. Научные интересы автора в свое время сформировались под руководством чл.-корр. РАН, профессора В.Д. Степанова. Автор выражает глубокую благодарность В.Д. Степанову за многолетнюю совместную работу, доброе внимание и поддержку.

Похожие диссертации на Оценки характеристических чисел интегральных операторов

Гиперболические полугруппы операторов. Оценки параметров экспоненциальной дихотомииРоманова, Мария Юрьевна

Оценки операторов дифференцирования и вложения в пространствах де Бранжа и коинвариантных подпространствах оператора сдвигаБаранов Антон Дмитриевич

Точные оценки операторов в пространствах Лебега с произвольными мерамиПрохоров Дмитрий Владимирович

Локальные оценки операторов типа потенциалаГинзбург, Анна Ильинична

Оценки для операторов типа потенциала с осциллирующими ядрами или символами и их приложенияКарасев Денис Николаевич

Весовые оценки интегральных операторов с переменной областью интегрированияУшакова Елена Павловна

Оценки минимальной нормы операторов продолжения для пространств Соболева Горбунов Александр Львович

Некоторые методы получения точных и экстремальных констант в оценках приближения линейными операторами функций классов Lip_m a Коган Евгения Семеновна

Оценки аппроксимативных чисел оператора Харди в функциональных пространствахЛомакина, Елена Николаевна

Весовые оценки одного класса интегральных операторов дробного типаМохаммади Фарсани Соруш