Оценки линейных функционалов в классе ограниченных функций, не принимающих нулевого значения Романова Светлана Владимировна

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Асимптотріческие оценки линейных функционалов в классе В 21

1. Дифференциальные уравнения типа Левнера 21

2. Формализация экстремальных задач в классе В 28

3. Общий вид коэффициентов для экстремальной функции линейного непрерывного функционала 37

4. Асимптотические оценки линейных функционалов 40

Глава 2. Некоторые свойства линейных непрерывных функционалов в классе В 54

5. Необходимые условия локального экстремума для канонических функций 54

6. Достаточные условия локального экстремума для канонических функций 68

7. Достаточные условия локального максимума для канонических функций в случае п=2,3,4 75

Список литературы 101

• Формализация экстремальных задач в классе В
• Асимптотические оценки линейных функционалов
• Достаточные условия локального экстремума для канонических функций
• Достаточные условия локального максимума для канонических функций в случае п=2,3,4

Введение к работе

Проблема оценки тейлоровских коэффициентов в различных классах аналитических функций является одной из центральных в геометрической теории функций комплексного переменного.

В данной диссертации рассматривается класс В- аналитических в единичном круге D = {z:\z\

О < |/(г)|*1.

Задача об оценке коэффициентов заключается в определении sup \а_п\. Существование экстремальной функции для этой задачи очевидно, поскольку

В представляет собой нормальное семейство, которое становится компактным, если к нему присоединить функцию /(г) s 0. Так как функция, тождественно равная нулю, не может давать решения задачи, то экстремальная функция принадлежит классу В.

Ясно, что max|ar₀| = 1. Оценка для первого коэффициента появилась в [1] в

1932 году и в явном виде доказана в [2]. Для \а₂\ точная оценка была получена во многих работах (см. [3], [4]).

В 1968 году Кшиж [5] высказал гипотезу об оценке коэффициентов в этом классе функций, а именно, он предположил, что

2 max|a„| = -,Vw>l, с равенством для функций вида AF(fc"), где \Я\ = ]*| = 1 и F(z) = exd = - + - z +...

В 1977 году Хамел, Шейнберг, Зальцман [3] вариационным методом получили оценку для |а₃|. Позднее Браун [13], Делин Тан [42], Эрмерс[8] и другие доказали, что тах|а₄| = -. Во всех этих работах было значительное использование компьютерных вычислений. Оценку для пятого коэффициента получил Самарис [39].

Кроме того, тривиальная оценка |в„| <, \,п = 1,2,... была улучшена

Хоровицем [7] ¹ "' Ъп я 12 и в [8] получено незначительное улучшение этой оценки \а„\ й- + -sin— = 0.9991... ¹ "' 5 п 20

2 Но обе эти оценки довольно далеки от - = 0.75...

5 Поскольку класс В инвариантен относительно вращения, можно ограничить рассмотрение такими функциями/из класса В, для которых ao=f(0)>0. Ввиду неравенства о < а₀ й 1, можно положить а₀ = е~', где 0 < / < «>.

Класс функций /є В, для которых а₀ = е~\обозначим через Вф.Ясно, что всякую функцию класса B(t) можно представить в виде /(г) = е~*⁽¹⁾, где p(z) функция класса Каратеодори Р, то есть таких аналитических в D функций /?(z) = l + />,z + .„, которые удовлетворяют условию Rep(z) > О, Z Є D .

Существует аналитическая в D функция (0) = 0.

Напомним, что функция/^ называется подчиненной в D функции F(z), f(z) < F(z), если она может быть представлена в D в форме f(z)=F(co(z)), где*у(г) любая функция, удовлетворяющая условиям леммы Шварца [9]. Формулу (1) можно записать следующим образом

В статьях [3], [4] техника метода подчинения была применена к классу В. Основным средством метода подчинения является теорема Рогозинского [10] и теорема Каратеодори [11].

В [4] с помощью метода подчинения получаются оценки для |a,J и \а₂\ [a, I <2/<Г'для всех 12:0 и

, . Г2/е"',01 ' 1(2/²-2/К\/>2_%

2 Отсюда видно, что к < -.

Применение метода подчинения позволяет также получить асимптотические оценки для |а„|при /, близких к 0, или при достаточно больших /.

Обозначим

В [4] приведены следующие теоремы. Теорема А

Пусть п>0 фиксированное целое. Тогда существует число т(п) < 1 такое, что для любой функции/ є В, для которой \а₀\ > т{п), имеем \а„\ 4» ^г&^е Ы = ^е~'> \ітт(гі) = \.

Теорема В

Пусть п>1 фиксированное целое. Тогда существует число М(п)>0 такое, что для любой функции/ є В, для которой \а₀\ <, М(п), имеем \а„\ <, 4,, где \а₀\ = е~',

ИтМ(л) = 0.

Я-»«о

Поскольку класс В тесно связан с классом Р, то в классе В имеется интегральное представление для функций этого класса. Используя это интегральное представление авторы работы [3] привели дифференциальное

7 уравнение типа Левнера для класса B(t). С помощью этого уравнения в той же работе были получены оценки для |e,|_f|e₃|. Но попытка применить теорию

Левнера к задаче об оценке коэффициентов приводит к очень сложным вычислениям для п > 3. Однако для л=3 может быть применен вариационный метод. К сожалению, вычисления для п 4 становятся тоже весьма сложными.

В [3] приведен также следующий результат.

Теорема С (zⁿ-\\ Для любого п 1 функция F_x (2") = exd —— доставляет строгий локальный максимум для Кеа_асреди всех функций / є В, удовлетворяющих условию /(0) > 0.

В этой же работе поставлены некоторые задачи о возможном расширении гипотезы Кшижа, а также задачи об оценке коэффициентов в некоторых подклассах класса В.

В подклассе B_s однолистных функций авторы [3] доказали результат. Теорема D

Пусть f(z) = а„2^я принадлежит классу B_s.

Тогда |а,| < 12 - 8^2. Оценка точна и реализуется функцией g(z), отображающей D на единичной круг с разрезом вдоль (-1,0], для которой g(0)« л/2-1.

В дальнейшем Прохоров, Шинал [12] получили оценку в B_s для второго коэффициента методом оптимизации:

8^(1-^Х1-у-^) _{= 045538}^{1 2l} (\ + d У где d* = 0.1414... корень уравнения d⁴ + 4d³ + 6d² -Sd+l = Q.

Оценка точна и достигается для функции _{/(г) =} л/(1 + ^)²-2(1-6^Чс/^,2)г-КИ-^)У-(1-^Х1-г) /(1 + <Ґ)² - 2(1 - 6d* + d'²)z + (1 + d'fz² + (1 - d'Xl - z)' отображающей единичный круг на круг с радиальным разрезом вдоль (-1,0].

Авторы статьи [3] поставили также задачу об оценке в классе B(hF) функций класса В, принадлежащих также классу Харди P_t l^p^co. Ясно, что В = (#"). Было высказано предположение, что max \а„\ = 1 - Г, где - + - = 1, и максимум достигается для функции

Некоторые результаты в этом подклассе были получены Брауном [13] и Раджгопалом [14].

Было предложено также рассматривать класс ограниченных функций, не принимающих некоторого значениям > 0. Самарис [15] нашел оценки в этом классе для 1^1,1^1,1^1, зависящие от а.

В общем случае гипотеза Кшижа представляет собой очень сложную задачу. Фактически задача об оценке коэффициентов в классе В эквивалентна задаче об оценке нелинейного функционала, зависящего от коэффициентов p_lt р₂,... ,р„ в классе Каратеодори.

Для иллюстрации сложности задачи об оценке коэффициентов приведем результат для одного подкласса. В [16] рассматривается подкласс В₀(п)сВ, порождаемый классом Р(п) с Рсо свойствамир2~Рз~- ^р_п.і~0. Справедлива следующая теорема. Теорема Е

Пусть п=3,4,... данное целое и предположим, что Az) = e-'+f>,z*e₀("). (а)Если \рх\<\ и к = л/l-|а|²» ^то имеем: \a„\Zte-'{ (\-кГ>-(1-кГ*₊2ку-к²У ,=/-» (1 ₊ *)»-(1-*Г ^U *> п\* ^{, (і + *Г'-(і-*Г' ,__/Ш (\+ку-(1-кГ ' А } (! + *)"+'-(1 - к)"*1 - 2к(\ - к2 У (1+ *)"-(!-*У ю\ъя^.*.ш (Ь) Если \р_х\ = 1, то имеем _hi*'*-'}

1 + --—, t<^{n-\)\ п п\

1 + -, / = »-^(/i-l)!

1 + ' _Г>-^(_Л_1)!. (с) Если 1< ^w_*Hi] cos(p = j—r, sin (р = г— Ар -1, то имеем cos*V я!

sin(w + \)<р + sin ф 1 t cospsmwp sin(« + \)

-sin^ cos 1 sin W 7 cos"^> w! t2{h(2(

Используя эту теорему, Левандовский, Шинал доказывают оценку \а„\ <. - в классе В₀(п) для п=3,4,...

Также в работе [17] были получены точные оценки еще в одном подклассе В. Там рассматривался класс B₀(n,k) а В, порождаемый классом P(n,k)cP, содержащим функции p(z) класса Каратеодори со свойствами Pi=P2=- =Ры=Рк+1=- =Рп-і=0. Для подкласса В₀(п,к) гипотеза Кшижа также доказана.

Важную роль в задаче об оценке коэффициентов играют функции F,(z), выступающие в роли канонических. Даже для этих функций доказательство гипотезы Кшижа очень сложно. Это связано со сложностью формулы для A_n(t), которые тесно связаны с многочленами Лагерра (см. [18]). Используя определение полиномов Лагерра порядка а: легко получаем, что F,(z) = ^2^(2/)2-, и таким образом, справедлива формула

Д{/) = e-4^{:^l\2t\ п = 1,2 мо = е-.

В [19] Батеман определил так называемые к-функции по формуле к_п(х) = -fcos(xtg0-n0)d0, дг > 0, л = 0,1,2,... и заметил, что k_2n(x) = (-\Te-'L?\2x). Для A„(t) имеется следующее интегральное представление

4.(0 = (-¹)" - f cos(ttg0 - 2n0)d9, t>0,n = 1,2,.... тс³

Отсюда видно, что оценки для |ur„J и в частности для |Д,(/)| важны также и в области ортогональных многочленов. Коэпф и Шмерсау [20] были первыми, кто обнаружил связь между гипотезой Кшижа и k-функциями Батемана и доказали некоторые глубокие результаты, касающиеся этих функций и полиномов Лагерра [20].

12 Из результатов Руни [21] _с-'<>|_і;Г><ф2~|І^, es-l. » = 1,2,..., видим, что

2 Конечно, константа Л/„ не наилучшая, но она меньше - для п > 5.

Задача об оценке линейных функционалов является основной темой данной диссертации. Актуальность задачи иллюстрируется проблемой Ландау[22], который в классе ограниченных функций получил точную оценку для функционала |а, +а₂ +...+а„|, эквивалентную оценке линейного функционала

Кф(,+а₂+...+ **„)

Левандовский, Шинал [23] рассматривали проблему Ландау в классе В и получили, что і |a₀+a,|^2e"2sl.21... la, + a. + а₂\ е^-'* (1 + 2/₀ + —^ ) s 1.33... І о і 21 v о ₂(2-/₀) и t₀ г 0.66... -корень уравнения -4/³ + 19г²-26/ + 10 = 0. Обе оценки точны.

Перейдем теперь к разъяснению содержания и структуры диссертационной работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, которые содержат семь

13 параграфов, и списка литературы. Нумерация формул и теорем производится по главам.

В работе рассматриваются линейные непрерывные функционалы, определенные на линейном пространстве всех аналитических в единичном круге функций/ = ^a_nz* є В, следующего вида L(f) = Re(a„a„ + a„._xa„__x +... + а_ха_х \ где а_х,а₂,...,«„_,-комплексныечисла,а_н=\.

Рассматривается задача о нахождении максимума L(f) в классе В и его подклассах. Как уже упоминалось, в [3] представлено дифференциальное уравнение для класса B(t). А именно, авторы работы [3] получили следующий результат.

Всякую функцию /из всюду плотного подкласса класса B(t₀) молено представить в eudef(z)=f(z,to), где/(г^)является интегралом дифференциального уравнения типа Левнера df(z,t) ,, Л + е-^^п₂ „ _Л1 , ar ~^/(*'l-e-«V f(^z'^^J'^zeD' где и(г)-кусочно-непрерывная действительнозначная на [Ojo] функция, называемая управлением.

В 1 получено обобщенное дифференциальное уравнение типа Левнера, представляющее класс B(t). Справедлива следующая теорема. Теорема 1.1

Всякую функцию /из всюду плотного подкласса класса B(t_o),t_Q>0, можно

14 представить в виде f(z) = f(z,t_Q), где f{z,t)является интегралом обобщенного дифференциального уравнения типа Левнера ff^ = -f{z,t)Y Л_к * * ^Є'УУ, /(г,0) = 1,гєДг^0, dt fa \-e'^iUk(,)z ^...^„-действительные положительные числа, удовлетворяющие условию^у^Х_к = 1, urft),...,и_т(1)-непрерывные на [Q,to] действительнозначные функции.

Следует отметить, что теорема 1.1 не следует из предыдущей теоремы, так как представляет другой всюду плотный подкласс B(t).

В 2 показывается, что задачу о максимуме линейного функционала L(f) можно свести к изучению семейства гамильтоновых систем, получающихся из обобщенного дифференциального уравнения типа Левнера. А также доказывается следующая теорема. Теорема 1.2

В задаче оптимального управления о максимуме функционала вида L(f), где функция/удовлетворяет обобщенному дифференциальному уравнению типа Левнера, существуют постоянные неотрицательные оптимальные управления Ху,...,Х_ш, ]Гя₄ = \,с т <. п и постоянные оптимальные управления щ,...,и_п є [0,2я-).

В 3 получен общий вид коэффициентов а» для экстремальной функции функционала L(f).

15 Теорема 1.3

Если f(z,t) = ]а₄(0** доставляет экстремум функционалу L(f) в классе B(t),f>0, то ak(t), k 1, являются интегралами системы дифференциальных уравнений, получающихся из обобщенного дифференциального уравнения типа Левнера и справедлива формула a_k(t) = e

1-І ^-* ^ ГУ I /У t a,j,+...+a,j,.k где а, а_г-целые неотрицательные числа, с, = с/*,,...,!/,, д ,...,я_ш)= v"^m. р > іЛ 4.*о,а»«і, щ,...,и_т доставляют максимум функции Гамильтона, тп.

Применение этой формулы позволило получить асимптотические оценки для функционалов Z,$ при /, близких к 0, и при достаточно больших /.

Положим щ _% k = 1,.„_>и> B_k =(costt*,sinu,...,cos(n-l)M",sin(M-l)wJ), к = 1,.„,я.

В 4 доказаны следующие теоремы.

Теорема 1.4

Векторы B_h-B_Htk = 1,...,«-1, линейно независимы.

Теорема 1.5

Функция, доставляющая максимум Rea_ в классе B(t) для достаточно малых t>0, является интегралом обобщенного дифференциального уравнения типа Левнера с т=п, положительными постоянными Л,,...,Л„ и различными u_lt...,u„ е[о,2я-).

Теорема 1.6

Множество точек начальных значений сопряженного вектора | = (,,..., ,,.,,1) = ц/(0\ для которых функция Гамильтона при t-О имеет п точек максимума на [о,2;г), является гладкой поверхностью вещественной размерности п-1 в окрестности точки = (0,...,0,1). Теорема 1.7

Пусть в задаче оптимального управления о максимуме функционала вида Ьф, где функция /удовлетворяет обобщенному дифференциальному уравнению типа Левнера, а, =... = а„_, = 0, у(0) = . Тогда управления щ = и*_у...,и_н = и_н удовлетворяют принципу максимума Понтрягина, а вектор у/ удовлетворяет условиям трансверсальности при Л, =... = Л„ = —.

Теорема 1.8

Для всякого п > 1 существует t_n > 0 такое, что для всех t є [о,/,] max Rear,, =U,(/)|.

Следствие 1.9

Пусть векторы a = (a,,...,«„_,,1) из окрестности точки (0,...,0,1) задают функционалы вида L. Тогда разным векторам а соответствуют различные

17 экстремальные функции задачи о максимуме функционала вида L в классе B(t) при достаточно малых f>0.

Теорема 1.10

Для всякого п > 1 существует Т_п>0 такое, что для всех t > Т_п maxRefiL = UL(0l-

Следствие 1.11

Пусть векторы а - (а,,...,«„_,,1) из окрестности точки (0, ...,0,1) задают функционалы вида L. Тогда в задаче о максимуме функционала вида L им соответствует экстремальная функция F,(z) в классе B(t) при достаточно больших t>0.

Теоремы 1.8 и 1.10 и следствия 1.9,1.11 являются основными результатами данной диссертации. Эти теоремы и их следствия показывают, что асимптотические оценки при t, близких к 0, и при достаточно больших / имеют различную природу. При t, близких к 0, только один функционал вида L(f), а именно функционал L$=Rea„ имеет экстремальную функцию F/sP). При достаточно больших t любой функционал вида Ьфс вектором a = (a,,...,a„_i,l)ro окрестности точки (0, ...,0,1) имеет экстремальной функцией F_t(z).

Поскольку канонические функции F_t(J) играют большую роль в задаче об оценке коэффициентов в классе В, интересно изучить вопрос о том, при каких условиях эти функции дают локальный максимум при фиксированном />0. Эта задача изучается в главе 2.

18 Пусть функции^ соответствуют следующие управления и параметры Л_к:

Щ = Щ ,...,U_m = U_m, 4 = 4 ,...,4,, = Л_т.

Обозначим (и⁰,Л) = (и?,...,и⁰_тЛ,...,Л_т).

Поскольку функция^ удовлетворяет дифференциальному уравнению типа Левнера, то коэффициенты этой функции будут удовлетворять формуле теоремы 1.3. Подставляя эти формулы в выражение для L(f)_t получим функцию L(u,X\ и = («!,...,«„,), Л = (4,...,4.).

Точку fo называем критической точкой функционала L(f), если дЦи\л⁰)^ ₌ ациУ) _{= 0} ди_х '" ди_т дци,л)_ ₌ ац«Ля) ₌ о 4 ^*-i

В 5 вводится многообразие А4^ таких векторов («„...,«„_,), для которых при фиксированном />0, функция F_t(^) будет являться критической точкой для функционала Ц/) = Re(a„ + ar,,_,

В теореме 2.1 определена размерность многообразия M_k(t).

Теорема 2.1

Множество Mk(t),\<кйп-^является гладким действительным многообразием размерности 2п-2к-1.

Множество M„(t) совпадает с точкой (0, ... ,0). Также в 5 выписаны системы уравнений для #„...,<*„_, из многообразий M„.i(t) и M_n.₂(t).

19 В 6 изучаются достаточные условия локального максимума для функции F,(z").

В 7 рассматривается случай л=2, 3,4, в котором задача о локальном максимуме для функций F_t(z") и F/z) решена до конца. Справедливы теоремы.

Теорема 2.2 (a) Для функционала L2(f)=Rea2 функция F/z²) доставляет локальный максимум в классе B(t) при любом фиксированном t из интервала [0,2); (b) Для функционала Ьзф-Яеаз функция F_t(z³) доставляет локальный максимум в классе B(t) при любом фиксированном t из интервала [0,г³⁾), где /³⁾ s 1.91436... -наименьший корень уравнения

200,--364^ 81 9 (c) Для функционала L₄(f)=Rea₄ функция F/z⁴) доставляет локальный максимум в классе B(t) при любом фиксированном t из интервала [0,2).

Теорема 2.3 (а) Для функционала L₂(fl=Rea2 функция F,(z) доставляет локальный максимум в классе B(t) при любом фиксированном t из интервала (1,а>); (Ь)Для функционала L₃(0=Rea₃ функция F_t(z) доставляет локальный максимум в классе B(t) при любом фиксированном t из интервалов

3->/їП Гз+Тз (с) Для функционала L₄(f)=Rea₄ функция F_t(z) доставляет локальный максимум в классе B(t) при любом фиксированном t из интервалов(і1⁴\і¹₂⁴⁾) и

20 (4⁴⁾,оо), где /_t⁽⁴⁾ = 0.46791l...,/<⁴⁾ sl.6527...,/<⁴⁾ s 3.87939... корни уравнения

2/³-12/²+18/-6 = 0.

Основные результаты, изложенные в диссертации, опубликованы в работах [25] - [28], [43]. Они докладывались на Саратовской зимней школе (2002 г.), конференциях Саратовского государственного университета (2002,2003г.), на семинаре по теории аналитических функций в университете Марии Кюри-Склодовской, Люблин, Польша, 2002 г (руководитель профессор Шинал) и на семинаре по геометрической теории функций комплексного переменного в Саратовском государственном университете (руководитель профессор Прохоров Д. В.).

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект №01-01 -00123.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Дмитрию Валентиновичу Прохорову.

Формализация экстремальных задач в классе В

Пусть f(z,t) имеет разложение и является решением дифференциального уравнения (1.1). Из уравнения (1.1) получаем дифференциальных уравнений для в0(0.ві(0»-»«,,(0 Обозначим через Gi(t,a,u),...,G„(t,a,u) соответственно правые части дифференциальных уравнений для aj(t),...,a„(t) системы (1.5), где Положим Будем рассматривать линейные непрерывные функционалы, определенные на линейном пространстве всех аналитических в D функций f{z) = ]T 2r„z", вида и-0 «,,...,«„_,-комплексные числа, ап = I. Для нахождения максимума функционала L(f) в классе Я(/0) используем методы вариационного исчисления в форме принципа максимума Понтрягина [31]. Уравнения системы (1.5) для в1 ( ),..., ,,(/) запишем в комплексной векторной форме Теперь уравнение (1.6) можно записать в действительной векторной форме Согласно формальной схеме оптимизации необходимо ввести множители Лагранжа фк, к = 0,...,2w, которые образуют сопряженный действительнозначный (2я+1)-мерный вектор Представим задачу о нахождении максимума функционала L(f) на множестве решений/ , t) уравнения (1.2), или эквивалентную ей задачу о минимуме функционала {-L(f)) в интегральной форме Приведем необходимые условия оптимальности управления и и соответствующей траектории в экстремальной задаче (1.8) в виде принципа максимума Понтрягина [ 31, с. 79-80]. еорема F Для того чтобы допустимое управление u(t), 0 / /0 , и соответствующая ей траектория x(t) давали решение задачи о нахождении минимума функционала (-L(f)) (1.8), где фазовый вектор x=x(t) удовлетворяет системе уравнений (1.7), с закрепленным левым концом х и свободным правым концом (момент времени to задан), необходимо существование такой ненулевой непрерывной вектор-функции g (t) = ((pQ(t0), px(t0),..., p2n{t0)), соответствующей функциям u(t) и x(t) и удовлетворяющей уравнению и рассмотрим сопряженный вектор Функцию Гамильтона можно записать в комплексной форме Для произвольного фиксированного управления и и для соответствующего фазового векторах, координаты plt..., p2n векторной функции р должны удовлетворять сопряженной гамильтоновои системе

Тогда представим сопряженную гамильтонову систему в комплексной форме Так как координаты вектора G(t,a,u) - аналитические функции по координатам вектора х, то используя условия Коши-Римана для функции G, сопряженную систему Гамильтона можно записать в виде Таким образом, вектор ц/ удовлетворяет сопряженной гамилътоновой системе или в координатной форме Условие трансверсальности для вектора р на правом конце /0 имеет вид Следовательно, вектор у/ будет удовлетворять условию Для любых возможных (/,а,й функция Гамильтона H(t,a,y),u) является аналитической и 2 л--периодической по и. Обозначим через U\t,a,iJ/) множество absma.xH(t,a,y/,u) точек абсолютного и максимума функции Гамильтона. Покажем, что все экстремальные функции/для функционала Ьфъ классе B(t0) имеют вид f(z)=f(z,t0) у Tjmf(z,t) является интегралом обобщенного дифференциального уравнения типа Левнера (1.2) с постоянными управлениямиuj,...,ит, т ,п. Из уравнения (1.2) получаем систему дифференциальных уравнений у В задаче оптимального управления (1.8), (1.12) существуют постоянные т v неотрицательные оптимальные управления Д,,...,Ят, Хк=\,с т ,п и постоянные оптимальные управления их,...,ит є [0,2л-). Доказательство: В силу связи класса B(t), t 0, с классом Р и описанием множества граничных значений для аналитических функционалов в классе Р [24, с. 124] экстремальная функция / є B(t) задачи (1.8) существует и содержится во множестве функций Каждая функция/ заданная формулой (1.13), является значением при / = t0 интеграла дифференциального уравнения (1.2) с постоянными Л,,...,Лт ми,,...,мт. Дифференциальное уравнение (1.2) взаимно однозначно связано с системой (1.12). Следовательно, некоторый набор постоянных Я,,..., ии1,...,ит является оптимальным управляющим вектором в задаче (1.8), (1.12). Осталось показать, что т п. Предположим, что т=п+1. Тогда найдется набор положительных постоянных y...,A„+l, Лк = 1, и различных постоянных «,,...,«я+, є [0,2л-), удовлетворяющих необходимому условию максимума в задаче (1.8). В частности, для каждого / є [о,/0] точки и1У...,ин+1 являются точками максимума функции Гамильтона (1.9).Условие уп = е обеспечивает невырожденность функции Гамильтона, которая представляет собой тригонометрический многочлен точной степени п. Поэтому функция Гамильтона может иметь не более п точек максимума на [о,2;г). Полученное противоречие заканчивает доказательство теоремы 1.2. Теорема доказана. Поскольку max L{f) = L(f{z,tQ)), то интеграл./fot) удовлетворяет необходи мым условиям максимума Ьф , в частности принципу максимума Понтрягина. Значит, постоянные управления и і, ...,ит доставляют максимум функции Гамильтона H(t,a,yi,u). Задача о нахождении максимума функционала Ьф в классе B(t) равносильна задаче нахождения максимума на классе решений обобщенного дифференциального уравнения типа Левнера. Таким образом, показали, что для нахождения максимума функционала Ьф в классе B(to) достаточно исследовать семейство гамильтоновых систем, которые получаются из обобщенного дифференциального уравнения (1.2) где тип, А = (А,,..., AJ -произвольный постоянный вектор с положительными координатами, А = 1, и є U (t,aty/\ 0 и, ... wm 2я-. Вектор начальных данных сопряженной системы = („...,,) зависит от условий трансверсальности (1.11).

Асимптотические оценки линейных функционалов

Доказательство: Проверка утверждений теоремы осуществляется непосредственно. Действительно, при условиях теоремы 1.7, правые части систем (1.12) и (1.23) обращаются в 0, поэтому векторы а(/)и y/(t) остаются постоянными, как и функция Гамильтона H{t,a,if/tu) = -Icosnu,t 0. Теорема доказана Теорема 1.8 Для всякого п I существует /„ 0 такое, что для всех / = [o,/„] Доказательство: Пусть /„ 0. Обозначим 4-І и рассмотрим отображение где ц пробегает точки из окрестности Ор точки 0=(0,...,0), пробегает точки из окрестности О- точки , принадлежащие поверхности I, а (/) является интегралом системы дифференциальных уравнений (1.23) с т=п, в которой точки «,,...,«„ удовлетворяют принципу максимума Понтрягина в момент =0 для функции Гамильтона (1.9) с фазовыми значениями а, заданными системой (1.12). Заметим, что (0,) = й „) = (0 0,1) и точка (0, ) согласно (1.2) соответствует функции Fu (z"). Найдем частную производную QM: Поскольку Таким образом, строчки матрицы QM с точностью до о(1) и знаков нечетных координат состоят из векторов 2(Вк -Вп),к = 1,...,л-1, которые линейно независимы по теореме 1.4. Перейдем к вычислению частной производной Q которая является матрицей со строчками, содержащими частные производные координат вектора \j/(tn) по свободным координатам вектора . Так как ц/(0) = , то при f=0 прямоугольная матрица Q-4 размерности (л -1) х (2л - 2) содержит единичную матрицу размерности (и-1)х(л-1) с номерами столбцов У„...,уи_,. Следовательно, строчки матрицы Q- линейно независимы при /=0, а значит, и при достаточно малых / 0. Наконец, условие скользящего режима требует выполнения равенств или с использованием формулы (1.9) Продифференцируем это равенство по свободным координатам 77 ,...,77 , вектора 1 и в результате получим равенства, означающие, что все векторы Bi -В„,...,В„_Х -В„ ортогональны каждой из строчек матрицы Q-( при t=Q. Вместе они образуют обратимую квадратную матрицу размерности (2л - 2) х (2л - 2).

Полная производная Q отображения Q является квадратной матрицей, которая образуется соединением прямоугольных матриц Q0 и Q , и эта квадратная матрица обратима при достаточно малых / 0. По теореме об обратной функции отображение Q обратимо и осуществляет взаимно однозначное отображение окрестности Ом х О- точки (0,) на окрестность Се точки ?(0,) = (0 0,1). Как следует из доказательства теоремы об обратной функции, основанной на принципе Банаха о неподвижной точке сжатого отображения (см., например, [38, с. 231-234]), радиус окрестности О не меньше, чем величина которая не уменьшается с уменьшением /„, а окрестность 0„ х О- определяется неравенством где Е - единичная матрица. Уменьшая /„, добьемся, чтобы согласно (1.24) Й0 є Ov 0 г ; /„, Q(0 0{) с 0-и окрестность 0„ была такова, чтобы соответствующая ей окрестность точки Л в пространстве векторов Л содержала симплекс 5". При этих условиях точке i//(tя) = (0,...,0,1), отвечающей условиям трансверсальности (1.11), соответствует единственная точка (0,), описанная в теореме 1.7. Значит, в классе B(tn)одна только функция / (z") удовлетворяет необходимым условиям оптимальности в задаче (1.8), (1.12), что заканчивает доказательство теоремы. Теорема доказана. Следствие 1.9 Пусть векторы a = (aly...,an_Xi\)из окрестности точки (0,...,0,1) задают функционалы вида L. Тогда разным векторам а соответствуют различные экстремальные функции задачи (1.8) в классе B(t) при достаточно малых t 0. Доказательство: Вектор а определяет условия трансверсальности (1.11), которым отображение Q устанавливает взаимно однозначное локальное соответствие с » вектором (Я, ), f є 2, однозначно задающим экстремальные функции задачи (1.8) в классе B(t) . Следствие доказано. Теорема 1.10 Доказательство: Сначала сравним фазовую и сопряженную системы (1.5) и (1.10) или их обобщения (1.12) и (1.23) в скользящем режиме с условиями трансверсальности (1.11) при поиске максимума Rea„ в классе (/ ,). Сравнение показывает симметрию фазовой и сопряженной систем с обратной нумерацией координат и умножением на (-1). Одновременно начальные условия в (1.5) или (1.10) заменяются на аналогичные условия на правом конце отрезка [о,/0] в (1.12) или (1.23), что соответствует изменению направления отсчета параметра / и смене знака производных. Таким образом, Значение функции Гамильтона (1.9) в начальный момент принимает вид При достаточно больших t функция Гамильтона (1.9) в начальный момент как функция переменного и имеет ровно одну точку максимума на [о,2яг), что соответствует дифференциальному уравнению типа Левнера (1.2) с т=1, интегралом которого является вращение канонической функции F,{z) и заканчивает доказательство теоремы. Теорема доказана. Следствие 1.11 Пусть векторы a = (or,,.„,а„_,,1) из окрестности точки (0, ...,0,1) задают функционалы вида L. Тогда в задаче (1.8) им соответствует экстремальная функция F,(z) в классе B(t) при достаточно больших t 0. Доказательство: При замене функционала Rea„ на близкие функционалы L при достаточно больших / характер функции Гамильтона в начальный момент сохраняется: она по - прежнему имеет ровно одну точку максимума по переменной и на [0,2л-), что соответствует вращениям функции F,(z)KaK экстремальным функциям задачи (1.8) в классе B(t) и заканчивает доказательство следствия. Следствие доказано.

Достаточные условия локального экстремума для канонических функций

Рассмотрим сначала случай, когда /г-четное. В этом случае формула для an(t) имеет следующий вид Вычислим производные первого порядка для функционала L(f) = Ци,Я) = Rea„ Теперь вычислим все частные производные второго порядка в точке (м, Л), где Эта же формула верна и в случае k=j, так как в этом случае будет появляться слагаемое Re(- 2Ппеш"к уг , которое обращается в точке (ІЛЛ)В нуль. Эта формула верна для любых значений k,j. Таким образом, дифференциал второго порядка d2L{u,X) можно записать в виде 2) Рассмотрим теперь случай нечетного п. В этом случае формула для a„(t) имеет следующий вид Вычислим частные производные первого порядка для функционала (a) Для функционала Ьгф=Яеа2 функция Ft(7?) доставляет локальный максимум в классе B(t) при любом фиксированном t из интервала [0,2). (b) Для функционала Ьзф=Яеаз функция Ft(z3) доставляет локальный максимум в классе B(t) при любом фиксированном t из интервала [о,/3)),гдв г0} = 1.91436... -наименьший корень уравнения (с) Для функционала L4(f)=Rea4 функция F,(z4) доставляет локальный максимум в классе B(t) при любом фиксированном t из интервала [0,2). Доказательство: (а) В случае п=2 формула для a„(t) имеет вид С помощью формулы (2.11) вычислим производные второго порядка для функционала L2(f) = L2(u,A) в точке (и,Л),где отрицательной определенности згой квадратичной формы воспользуемся критерием Сильвестра [32]. Квадратичная форма d2L2(u,A) является отрицательно определенной, если выполняются условия Это равносильно неравенству t 2. Таким образом, функция F/z2) доставляет локальный максимум на классе B(t), t 2, функционалу Ьгф при фиксированном t из интервала [0,2). (Ь) В случае п=3 формула для an(t) имеет вид С помощью формулы (2.12) вычислим производные второго порядка для функционала L3(f) = L3(u,A) в точке (и,Л?), где і(-/ 3(е- 2"-е" 3 ) e = Квадратичная форма d2L3(u,A) является отрицательно определенной, если выполняются условия Следовательно, справедливы следующие неравенства Многочлены в правых частях неравенств (2.13) имеют соответственно следующие действительные корни, отличные от нуля, Таким образом, неравенства (2.13) справедливы, если 0 / / 3), где Пользуясь формулой (2.11), вычислим все производные второго порядка функ ционала LA{f) = LA{u,X) в точке (и ,/Г), где21 2 о —r-St Многочлены в левых частях последних неравенств имеют соответственно следующие действительные корни Окончательно получаем, что квадратичная форма d2L4(u,A) будет отрицательно определенной, если 0 t 2. Теорема доказана. Теорема 2.3 (a) Для функционала L2(f)=Rea2 функция Ft(z) доставляет локальный максимум в кпассеВ(і) при любом фиксированном t из интервала (l,); (b) Для функционала L3(f)=Rea3 функция Ft(z) доставляет локальный максимум в wiacceB(t) при любом фиксированном t из интервалов и З-л/зЛ Гз + л/3 .00 ) Ч 2 , (с) Для функционала L4(f)=Rea4 функция F,(z) доставляет локальный максимум в классеВ(і) при любом фиксированном t из интервалов ,/24))и (44),). где Функции Ft(z) в уравнении типа

Левнера соответствует управление и0 = я-. Функционалы 1 ,к=2,3,4 запишутся в виде функция Ft(z) будет доставлять локальный максимум функционалу Lk(f) в классе B(t) при фиксированном /, есшА 0. Это условие соответственно равносильно : (a) 2 -2 0; (b)4t2-12t+6 0; (c)2t3-12t2+18t-6 0. Отсюда получаем утверждение теоремы. Теорема доказана. Список литературы 1. Levin V., Aufgabe 163, Jber. Deutsch. Math.-Verein. 43 (1933),113; Losung, ibid. 44(1934), 80-83 (solutions by W. Fenchel and E. Reissner). 2. Shapiro H. S., Problem 4468, Amer. Math. Monthly 59 (1952), 45; solution (by M. S. Robertson) ibid. 60 (1953), 131-132. 3. Hummel J. A., Scheinberg S., Zalcman L. A coefficient problem for bounded nonvanishing functions // J. Analyse Math. - 1977. - vol. 31.- p. 169-190. 4. Peretz R. Applications of subordination theory to the class of bounded nonvanishingfunctions //Complex Variables. - 1992. - vol. 17.- p. 213-222. 5. Krzyz J. Coefficient problem for bounded nonvanishingfunctions // Ann. Polon. Math. -1968. - vol. 70.- p. 314. 6. Peretz R. The Krzyz problem and polynomials with zeros on the unit circle// Computational Methods and Function Theory 2001: Abstracts of the Fourth CMFT Conference, Aveiro (Portugal), June 25-29, 2001.- p. 75. 7. Horowitz C. Coefficients of nonvanishing functions inH // Israel J. Math. — 1978.-vol. 30.-p. 285-291. 8. Enners R. Coefficient estimates for boundednonvanishing functions // Wibro Dissertatiedrukkerij, Helmond, 1990. 9. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций, т.1. M.: Наука, 1967. -488 с.

Достаточные условия локального максимума для канонических функций в случае п=2,3,4

По теореме об обратной функции отображение Q обратимо и осуществляет взаимно однозначное отображение окрестности Ом х О- точки (0,) на окрестность Се точки ?(0,) = (0 0,1). Как следует из доказательства теоремы об обратной функции, основанной на принципе Банаха о неподвижной точке сжатого отображения (см., например, [38, с. 231-234]), радиус окрестности О не меньше, чем величина которая не уменьшается с уменьшением /„, а окрестность 0„ х О- определяется неравенством где Е - единичная матрица. Уменьшая /„, добьемся, чтобы согласно (1.24) Й0 є Ov 0 г ; /„, Q(0 0{) с 0-и окрестность 0„ была такова, чтобы соответствующая ей окрестность точки Л в пространстве векторов Л содержала симплекс 5". При этих условиях точке i//(tя) = (0,...,0,1), отвечающей условиям трансверсальности (1.11), соответствует единственная точка (0,), описанная в теореме 1.7. Значит, в классе B(tn)одна только функция / (z") удовлетворяет необходимым условиям оптимальности в задаче (1.8), (1.12), что заканчивает доказательство теоремы. Теорема доказана. Следствие 1.9 Пусть векторы a = (aly...,an_Xi\)из окрестности точки (0,...,0,1) задают функционалы вида L. Тогда разным векторам а соответствуют различные экстремальные функции задачи (1.8) в классе B(t) при достаточно малых t 0. Доказательство: Вектор а определяет условия трансверсальности (1.11), которым отображение Q устанавливает взаимно однозначное локальное соответствие с » вектором (Я, ), f є 2, однозначно задающим экстремальные функции задачи (1.8) в классе B(t) . Следствие доказано. Теорема 1.10 Доказательство: Сначала сравним фазовую и сопряженную системы (1.5) и (1.10) или их обобщения (1.12) и (1.23) в скользящем режиме с условиями трансверсальности (1.11) при поиске максимума Rea„ в классе (/ ,). Сравнение показывает симметрию фазовой и сопряженной систем с обратной нумерацией координат и умножением на (-1). Одновременно начальные условия в (1.5) или (1.10) заменяются на аналогичные условия на правом конце отрезка [о,/0] в (1.12) или (1.23), что соответствует изменению направления отсчета параметра / и смене знака производных.

Таким образом, Значение функции Гамильтона (1.9) в начальный момент принимает вид При достаточно больших t функция Гамильтона (1.9) в начальный момент как функция переменного и имеет ровно одну точку максимума на [о,2яг), что соответствует дифференциальному уравнению типа Левнера (1.2) с т=1, интегралом которого является вращение канонической функции F,{z) и заканчивает доказательство теоремы. Теорема доказана. Следствие 1.11 Пусть векторы a = (or,,.„,а„_,,1) из окрестности точки (0, ...,0,1) задают функционалы вида L. Тогда в задаче (1.8) им соответствует экстремальная функция F,(z) в классе B(t) при достаточно больших t 0. Доказательство: При замене функционала Rea„ на близкие функционалы L при достаточно больших / характер функции Гамильтона в начальный момент сохраняется: она по - прежнему имеет ровно одну точку максимума по переменной и на [0,2л-), что соответствует вращениям функции F,(z)KaK экстремальным функциям задачи (1.8) в классе B(t) и заканчивает доказательство следствия. Следствие доказано. неотрицательные оптимальные управления Д,,...,Ят, Хк=\,с т ,п и постоянные оптимальные управления их,...,ит є [0,2л-). Доказательство: В силу связи класса B(t), t 0, с классом Р и описанием множества граничных значений для аналитических функционалов в классе Р [24, с. 124] экстремальная функция / є B(t) задачи (1.8) существует и содержится во множестве функций Каждая функция/ заданная формулой (1.13), является значением при / = t0 интеграла дифференциального уравнения (1.2) с постоянными Л,,...,Лт ми,,...,мт. Дифференциальное уравнение (1.2) взаимно однозначно связано с системой (1.12). Следовательно, некоторый набор постоянных Я,,..., ии1,...,ит является оптимальным управляющим вектором в задаче (1.8), (1.12). Осталось показать, что т п. Предположим, что т=п+1. Тогда найдется набор положительных постоянных y...,A„+l, Лк = 1, и различных постоянных «,,...,«я+, є [0,2л-), удовлетворяющих необходимому условию максимума в задаче (1.8). В частности, для каждого / є [о,/0] точки и1У...,ин+1 являются точками максимума функции Гамильтона (1.9).Условие уп = е обеспечивает невырожденность функции Гамильтона, которая представляет собой тригонометрический многочлен точной степени п. Поэтому функция Гамильтона может иметь не более п точек максимума на [о,2;г). Полученное противоречие заканчивает доказательство теоремы 1.2. Теорема доказана. Поскольку max L{f) = L(f{z,tQ)), то интеграл./fot) удовлетворяет необходи мым условиям максимума Ьф , в частности принципу максимума Понтрягина. Значит, постоянные управления и і, ...,ит доставляют максимум функции Гамильтона H(t,a,yi,u). Задача о нахождении максимума функционала Ьф в классе B(t) равносильна задаче нахождения максимума на классе решений обобщенного дифференциального уравнения типа Левнера. Таким образом, показали, что для нахождения максимума функционала

Похожие диссертации на Оценки линейных функционалов в классе ограниченных функций, не принимающих нулевого значения

Наилучшее приближение периодических функций двух переменных и значения квазипоперечников некоторых классов функций в L2Акобиршоев, Мухиддин Отамшоевич

Наилучшее приближение и значения поперечников некоторых классов функций в пространстве Харди Hp,1p xМиркалонова, Мохирамо Мирафгановна

Оптимальное восстановление линейных функционалов на классах аналитических функцийОсипенко, Константин Юрьевич

Свойства функций, заданных значениями их линейных функционаловОсколков, Владимир Александрович

Аппроксимация нуля значениями аналитических функций специального видаСакович, Наталья Владимировна

О восстановлении в звездных областях голоморфных и квазианалитических функций по их значениям на множествах единственностиЗнаменская, Людмила Николаевна

Функции множества со значениями в упорядоченном пространстве и их применениеСрибная, Татьяна Аркадьевна

Непрерывные и дискретные предельные значения ограниченных в верхней полуплоскости аналитических функцийМул, Александра Павловна

Оценки минимального собственного значения одной задачи Штурма-ЛиувилляМурышкина Ольга Валерьевна

Точные оценки в интегральных теоремах о среднем значенииНиконоров, Юрий Геннадьевич