Содержание к диссертации
Введение
1 Основные понятия и используемые результаты 18
1.1 Основные функциональные пространства. Некоторые сведения из теории операторов 18
1.2 Сильно непрерывные полугруппы операторов и эволюционнные семейства 26
2 Исследование корректности и обратимости дифференциального оператора первого и второго порядков 35
2.1 Корректность дифференциального оператора первого порядка 35
2.2 Оценки ограниченных решений дифференциальных уравнений второго порядка 45
3 Разностные операторы в исследовании дифференциальных операторов и оценки решений 59
3.1 Оценки обратных операторов 59
3.2 Оценки для операторов с постоянными коэффициентами 66
3.3 Исследование слабо нелинейных дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве 79
- Сильно непрерывные полугруппы операторов и эволюционнные семейства
- Оценки ограниченных решений дифференциальных уравнений второго порядка
- Оценки для операторов с постоянными коэффициентами
- Исследование слабо нелинейных дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве
Введение к работе
Актуальность темы. При исследовании качественных свойств решений дифференциальных уравнений и при исследовании устойчивости решений важную роль играют оценки ограниченных решений как линейных, так и нелинейных дифференциальных уравнений. Проблема получения таких оценок имеет давнюю историю, и соответствующие результаты изложены в ряде известных монографий. В последнее время особое значение приобретают исследования по получению оценок для дифференциальных уравнений в банаховом пространстве с неограниченными операторными коэффициентами, что особенно важно в связи с приложениями к уравнениям в частных производных. Таким образом, тематика получения оценок ограниченных решений является вполне актуальной.
Цели работы. Основные цели диссертационной работы состоят в следующем:
Исследование условий корректности дифференциальных операторов первого порядка в различных банаховых пространствах, при условии корректности его в одном из рассматриваемых пространств.
Изучение условий обратимости дифференциального оператора второго порядка в различных функциональных пространствах при условии обратимости его в одном из рассматриваемых пространств.
Получение оценки нормы обратного к дифференциальному оператору второго порядка в пространстве непрерывных ограниченных функций, через норму его обратного в пространстве суммируемых с квадратом функций.
Получить условия обратимости, а также оценки нормы обратного к дифференциальному оператору первого порядка.
Получить условия обратимости дифференциального оператора первого порядка с постоянными коэффициентами в терминах спектра и резольвенты.
Получить условия обратимости, а также оценки нормы обратного к дифференциальному оператору первого порядка с постоянными коэффициентами в гильбертовом пространстве суммируемых с квадратом функций.
Получить новое доказательство теоремы Герхарда-Прюсса.
Получить оценки нормы функции Грина, построенной по дифференциальному оператору.
Исследование условия экспоненциальной дихотомии у возмущенного семейства эволюционных операторов.
Изучение условий разрешимости слабо нелинейных параболических уравнений в пространстве ограниченных функций.
Методика исследования. При получении оценок решений используется операторный подход, при котором рассматриваемое дифференциальное уравнение записывается в операторном виде с (неограниченным) обратимым дифференциальным оператором, и рассматриваемая проблема сводится к оценке нормы обратного оператора в соответствующем функциональном пространстве.
При исследовании рассматриваемой проблемы важную роль играют методы теории линейных замкнутых операторов, действующих в банаховых пространствах, их спектральная теория. Используются методы теории полугрупп операторов и методы гармонического анализа.
Научная новизна. В диссертации получен ряд новых результатов по оценкам ограниченных решений линейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве, причем часть из них относится к уравнениям с неограниченными операторными коэффициентами, а часть - к нелинейным уравнениям. Новыми являются и методы получения оценок.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы для дальнейшего исследования существования и оценок решений линейных дифференциальных уравнений.
Апробация работы. Результаты данной работы докладывались на конференциях:
"Воронежская зимняя математическая школа С. Г. Крейна"(г. Воронеж,
2008 г.),
на ХХ-ой Крымской осенней математической школе-симпозиуме (г. Севастополь, 2009 г.),
"Воронежская зимняя математическая школа С. Г. Крейна"(г. Воронеж, 2010 г.),
на ежегодных научных сессиях факультета прикладной математики, информатики и механики.
Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [1]-[7]. Работы [1], [5] опубликованы в изданиях, соответствующих списку ВАК РФ. В совместной публикации [5] соавтору принадлежит постановка задач.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разделенных на параграфы, и списка цитируемой литературы, содержащего 71 источник. Общий объем диссертации - 93 страницы.
Сильно непрерывные полугруппы операторов и эволюционнные семейства
Пусть {T(t),t Є Ш+} - CQ полугруппа. Введем линейный, вообще говоря неограниченный оператор А \ D(A) С X — X, область определения D(A) которого состоит из тех векторов х Є X, для которых существует предел Определение 1.14. Определенный таким образом оператор А называется генератором полугруппы или инфинитезималъным оператором полугруппы {T(t),t Є К+} Замечание 1.3. (случай ограниченного генератора). Пусть В Є EndX. Тогда можно определить семейство операторов {T(t),t Ж+] по формуле Этот ряд сходится по норме операторов при всех t 0, так как его члены мажорируются членами разложения в степенной ряд функции е"в"г. Непосредственно можно видеть, что определенное таким образом семейство операторов является Co-группой операторов с оператором В в качестве генератора. Из примера видно, что любой ограниченный оператор является генератором Co-полугруппы. Однако далеко не каждый неограниченный оператор будет генератором. Имеют место также следующие теоремы. Теорема 1.8. Генератор Co-полугруппы имеет плотную в X область определения. Теорема 1.9. Пусть Т : R+ " EndX и А - соответственно Co-полугруппа и генератор этой полугруппы. Тогда оператор T(t) преобразует область определения D(A) в себя и имеет место равенство для любого х Є D{A), t 0. Теорема 1.10. Генератор Co-полугруппы является замкнутым оператором. Семейство операторов U : Л — EndX, где A = {(, s) ЄІхМ: t s} называется сильно непрерывным семейством эволюционных операторов, если выполнены условия: 1) U(t, t) = I - тождественный оператор для любого t Є М; 2) U(t, s)U(s, т) = U(t, T),r s t;s,t,T Є R; 3) отображение (t: s) f— U(t, s)x : Л — X непрерывно для любого х Є Х\ 4) конечна величина Эволюционные семейства операторов естественным образом появляются в связи с представлением решений при t s абстрактной задачи Коши для дифференциального уравнения где A(t) : D(A(t)) С X — X, t Є R, - семейство линейных замкнутых операторов, действующих в X. В частном случае, если операторная функция A : R — EndX принадлежит пространству Степанова Si(R, EndX), то существует решение С/ : R — EndX задачи Коши: С помощью оператора U легко выписать решение следующей однородной задачи Коши Тогда отображение U : R х R - EndX, W(i, s) = U(t)U l{s) , где , s R является семейством эволюционных операторов. Будем говорить, что семейство эволюционных операторов V : Л — EndX решает абстрактную задачу
Коши (1.6) с начальными условиями (1.5), если для любого 5 Є R существует плотное в X подпространство Xs из D(A(s)) такое, что для каждого XQ Xs функция x{t) = U(t, s)xo, t Є Ж дифференцируема при всех t s, x(t) Є D(A(t)) и выполнено равенство (1.6). Приведем достаточные условия существования эволюционных семейств операторов. Пусть A(s) - генератор Со - полугруппы еА ь, t 0. Тогда существует эволюционное семейство, разрещающее на D(A(s)) однородную задачу Копій (1.6) с начальными условиями (1.5), такое, что U{t,s)X С D{A(s)), = A{t)U{t,s) и \\A{t)U{t,s)\\ , -оо s t. Оператор U{t,s) может быть найден по формуле В частности, если А (і) = А и А - генератор полугруппы Т, то U{t, s) = T(t-s).B данном случае D(A(s)) = D(A), Vs R. По заданному семейству эволюционных операторов Ы : А — EndX построим линейный оператор С = Си : D(C) С Т —» J2- = "(М, X), который опеределяется на любом рассматриваемом пространстве Т следующим образом. Функция х Т относится к области определения D(C) оператора , если существует функция / Є J7 такая, что для почти всех s t из Ш верны равенства Следует отметить, что эти равенства следует понимать на представителях класса. Из (1.9) следует, что функция х почти всюду совпадает с непрерывной функцией и функция / единственна. Далее полагается Сх = f. Решение х : Ж. — X называется слабым решением. Функция х будет непрерывной. Отметим, что оператор С замкнут.
Имеют место следующие утверждения (см. [45]). Теорема 1.11. Для того, чтобы оператор А Є EndX был обратим, необходимо и достаточно чтобы выполнялось условие При этом обратный оператор имеет вид где GA - функция Грина, соответствующая оператору С, определяемая по формуле Теорема 1.12. Для того, чтобы оператор А Є С(Ш, EndX) был обратим, достаточно чтобы выполнялись следующие четыре условия: существуют постоянные М и 7 такие, что выполнено
Оценки ограниченных решений дифференциальных уравнений второго порядка
Пусть далее операторнозначные функции А : Ш — EndX и В : R — EndX принадлежит банахову пространству L R, EndX). При исследовании ограниченных решений дифференциальных уравнений где / Є L0O(R, X), важную роль играет получение условий обратимости оператора и оценки нормы обратного к нему. Однако, если X - гильбертово пространство, то часто проще получить условия обратимости оператора г WfQR, X) С ,2(Ш Х) — 1,2(Ш,Х) и, особенно, оценки нормы обратного. Например, если A{t) = AQ Є EndX и В = 0, то теорема Планшереля при выполнении условия отделенности спектра сг(Ло) оператора AQ ОТ R+ позволяет доказать обратимость оператора Сі и получить равенство При исследовании оператора Ср : Wp(M,X) С ЬР(Ш,Х) —»оператор где операторнозначная функция A : R — End(X х X) задаётся с помощью матричной функции Рассмотрим декартово произведение X2 = X х X двух экземпляров пространства X с нормой Если X - гильбертово пространство, то Ь2(Ш,Х) и W22(K, X) также являются гильбертовыми пространствами со скалярными произведениями и Оператор p естественным образом возникает при переходе от рассмотрения дифференциального уравнения где / = (О,/) Є Ьр (см., например [17, с. 137]). Ясно, что условие КегСр = {0} эквивалентно условию KerCp = {0}. Следовательно, оператор Ср обратим тогда и только тогда, когда 1тСр = {0} х Ьр(Ж, X). Поэтому из обратимости оператора С следует обратимость оператора С Через Ср будет обозначено сужение оператора Ср на Wp х W , т.е. Ср рассматривается как оператор из Wp х Lp в Wp х Lp с областью определения И р х Wp1. Лемма 2.6. Операторы С и Ср, где р Є [1, со], обратимы одновременно. Доказательство. Непостредственно из определения оператора С следует, что условие KerCp = 0 эквивалентно условию KerCp = {0}.
Пусть оператор Ср сюрърективен и (/і, /2) - произвольная пара из Wp х Lp. Тогда существует функция х\ W2 такая, что Следовательно, х = (xi,x2), где Х2 = х\, принадлежит пространству Wp х Wp и удовлетворяет равентвам т.е. СрХ = /. Таким образом, р - обратимый оператор. Если же сюръективен оператор С, то для любой / Є Lp из равенств (5), определяющих оператор Ср для /і = 0 пространства X с нормой Если X - гильбертово пространство, то Ь2(Ш,Х) и W22(K, X) также являются гильбертовыми пространствами со скалярными произведениями и Оператор p естественным образом возникает при переходе от рассмотрения дифференциального уравнения где / = (О,/) Є Ьр (см., например [17, с. 137]). Ясно, что условие КегСр = {0} эквивалентно условию KerCp = {0}. Следовательно, оператор Ср обратим тогда и только тогда, когда 1тСр = {0} х Ьр(Ж, X). Поэтому из обратимости оператора С следует обратимость оператора С Через Ср будет обозначено сужение оператора Ср на Wp х W , т.е. Ср рассматривается как оператор из Wp х Lp в Wp х Lp с областью определения И р х Wp1. Лемма 2.6.
Операторы С и Ср, где р Є [1, со], обратимы одновременно. Доказательство. Непостредственно из определения оператора С следует, что условие KerCp = 0 эквивалентно условию KerCp = {0}. Пусть оператор Ср сюрърективен и (/і, /2) - произвольная пара из Wp х Lp. Тогда сущствует функция х\ W2 такая, что Следовательно, х = (xi,x2), где Х2 = х\, принадлежит пространству Wp х Wp и удовлетворяет равентвам т.е. СрХ = /. Таким образом, р - обратимый оператор. Если же сюръективен оператор С, то для любой / Є Lp из равенств (5), определяющих оператор Ср для /і = 0, /2 = / следует разрешимость уравнения р:с = /. Таким образом, р - обратимый оператор. Лемма доказана. Несмотря на доказанное утверждение, не вполне очевидным является свойство одновременной обратимости операторов Ср и Ср (даже, если X - конечномерное пространство). Для доказательства этого свойства будет существенно применяться подход исследования дифференциальных операторов из [3], основанный на использовании разностных операторов. Пусть U(t) Є EndX2, t 0, - операторы Коши для дифференциального уравнения Срх = 0, т.е. Рассмотрим семейство эволюционных операторов Далее будет использоваться величина, /2 = / следует разрешимость уравнения р:с = /. Таким образом, р - обратимый оператор. Лемма доказана. Несмотря на доказанное утверждение, не вполне очевидным является свойство одновременной обратимости операторов Ср и Ср (даже, если X - конечномерное пространство). Для доказательства этого свойства будет существенно применяться подход исследования дифференциальных операторов из [3], основанный на использовании разностных операторов. Пусть U(t) Є EndX2, t 0, - операторы Коши для дифференциального уравнения Срх = 0, т.е. Рассмотрим семейство эволюционных операторов Далее будет использоваться величина По семейству U построим разностный оператор определенный формулой Лемма 2.7. Если оператор Ср обратим, то обратим разностный оператор Т р Є ЕпаЧр{Ъ, X х X). Доказательство. Из обратимости оператора Ср следует в силу леммы 2.6 обратимость оператора р. Докажем, что оператор Т р обратим, причем обратный к нему имеет вид
Оценки для операторов с постоянными коэффициентами
Рассмотрим далее оценки для операторов с "постоянными коэффициентами". Пусть далее Со - дифференциальный оператор CQ = Ш " " : (о) С Т —t Т = (Ш, X), где А - инфинитезималь-ный оператор полугруппы операторов {T(t);t 0} класса CQ [47], принадлежащих алгебре EndX. В данном случае семейство эволюционных операторов имеет вид U(t, s) = T(t — s), s t, s, t Є Ш и оператор CQ = — + А задаётся с помощью этого семейства. Соответствующий оператору Со разностный оператор Т о Є EndFib, X) имеет вид Этот оператор обратим тогда и только тогда, когда для спектра т(Т(1)) оператора Т(1) выполнено условие Соответствующий результат можно, например, найти в статье [8]. Из теорем об отображении спектра для полугруппы операторов [47, гл. XVI] следует, что если выполнено условие (3.16), то спектр ст(А) оператора А не пересекается с мнимой осью Ж из С. Однако условия недостаточно для того, чтобы выполнялось условие (3.16). Отметим, что если выполнено условие (3.16), то множество а(Т(1)) представимо в виде а(Т{1)) = Oint U aout, где стш = {Л Є г(Т(1)) : Л 1}, а = {Л Є г(Т(1)) : А 1} и поэтому банахово пространство X записывается в виде прямой суммы X = Х_ Х+, где Х_ = ImP- - образ проектора Рисса, построенного (см. [18]) по спектральной компоненте сгг-пг и Х+ = ImP+, где Р+ = I — Р- - дополнительный к Р_ проектор. Подпространства Х± инвариантны относительно оператора Т(1), и он представим в виде: Т(1) = Т_Т+, где Т± - сужения оператора Т(1) на Х±, причем cr(TL) = aint, сг(Т+) = crout. Следовательно, г (ТІ) 1 для спектрального радиуса r(TJ) оператора Т_, оператор Т+ обратим и г(Т4Гх) 1. Следовательно, Т{т) = Г_(т) Є Т+(т), г 0, где Г_(т) = Г(г) Х_, Т+(т) = Г(г) Х+, причем Г+(т), г 0 - непрерывно обратимый оператор на Х+, и поэтому Т+(т), т Є К, - группа операторов, причем Г+(г) = Т+ —т) для г 0. В условиях следующей теоремы символ Т(и)Р+ для и 0 обозначает оператор из EndX, который обращается в нуль на подпространстве Х- и равен Т+(—и) г на подпространстве Х+. Следовательно, существуют постоянные М± 0, 7± 0) такие, что функция Грина G : R — EndX, определённая равенствами из (3.19) будем называть показателями или параметрами экспоненциальной дихотомии полугруппы Т. Имеет место Теорема 3.2. Для обратимости оператора Со необходимо и достаточно чтобы выполнялось условие (3.16). Если это условие выполнено, то обратный оператор CQ1 Є J-(Ж, X) имеет вид где функция (Грина) G определяется равенствами (3.18).
Доказательство. Необходимость. Обратимость оператора CQ1 влечёт в силу леммы 1 обратимость разностного оператора 2 Є EndF(Z,X), определённого формулой (3.15). Как уже отмечалось, в этом случае выполнено условие (3.16). Достаточность. Выполнение условия (3.16) позволяет построить функцию G : Ж — EndX, определив её равенствами (3.18), а также получить для неё оценку (3.19). Следовательно, корректно определён и ограничен интегральный оператор В Є EndJ-(W, X) Непосредственно проверяется (подробности см. [3] в более общей си туации), что В является правым обратным для оператора CQ. По скольку Со обратим (ввиду обратимости VQ), то В = CQ1, т.е. имеет место представление (3.20). Теорема доказана. Данная теорема легко следует из результатов статьи [3], но она там не формулировалась. Для пространств ЬР(Ж, X), р Є [1,оо] и Co(R, X) она была получена в статье [58](см. также [52]). Оператор Со там определялся как генератор полугруппы Хоулэнда, имеющий вид (T{t)x){s) = T(t)x(s - t), s Є Ж, t О, х Є F(R,X). Авторы использовали её сильную непрерывность и поэтому результаты были получены только для пространств Lp, р Є [1, со) и Со, где Т сильно непрерывна. Для дифференциальных включений, рассматриваемых в однородных пространствах функций аналог теоремы 2 получен в [51]. При этом также существенно использовались результаты статьи [3]. Теорема 3.3. Пусть X - гильбертово пространство. Для обратимости оператора $ : D{CQ) С (М, X) —- Z/2(K, X) необходимо и достаточно выполнение условия (3.17) и условия (ограниченности резольвенты оператора А на мнимой оси ІЖ) Доказательство. Необходимость. В силу теоремы 3.2 обратимость оператора JCQ влечёт представление обратного оператора CQ1 Є EndL2(R,X) в виде (3.18). Из вида (3.18) функции G, учи-тывая оценки (3.19), следует, что её преобразование Фурье G : Ж — оо EndX G(X) = J G(i)e lXtdt, Аєі (интеграл понимается в силь —оо ном смысле) совпадает с функцией А н- R(i\, А) : Ж — EndX. Из оценки (3.19) получаем конечность величины (3.21), причем MQ М+7+1 + М_7І1. Достаточность. Пусть выполнены условия (3.17) и (3.21). Тогда для любой функции /, принадлежащей гильбертову простран
Исследование слабо нелинейных дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве
Применим полученные результаты для исследования нелинейных дифференциальных уравнений. В работе [31] получены условия существования, устойчивости, а также оценки ограниченных решений нелинейных дифференциальных уравнений в конечномерном пространстве. Получим соответствующие результаты для слабо нелинейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве с неограниченными операторными коэффициентами. Итак, пусть X - комплексное гильбертово пространство. Рассмотрим дифференциальное уравнение где / : Ж. х X — X - функция, удовлетворяющая условию Липшица по второй переменной, то есть выполнено /(, х) — f(t, у)\\ 1\\х — y\ll 0,x,yeX,tR. Пусть выполнены условия (3.17) и (3.21). Назовем XQ Є Сь(К, X) - обобщенным решением уравнения (3.29), если XQ Є D(CQ) и где g(t) — f(t,xo(t)), ieR, a, Q = 4: — A - дифференциальный оператор, действующий из D(o) С Сь(М, X) — Сь(Ж,Х), где G(u) - фунция Грина, определенная формулой (3.18). По теореме 3.3 уравнение (3.30) разрешимо в пространстве 1,2(Ш,Х) если выполнены условия (3.17) и (3.21). Лемма 3.5. Любое обобщенное решение нелинейного уравнения в пространстве J- представимо в виде Доказательство следует из теоремы 3.2. Обозначим через J нелинейный интегральный опрератор, определенный правой частью формулы (3.32). Очевидно, что J является суперпозицией операторов где F - нелинейный оператор, определенный формулой Fx{t) = f{t,x(t)), действующий из СЬ(Ш,Х) в Сь(Ш,Х). В этом случае имеет место неравенство где эе(0) = (К+К2(1+8(1 + л/2(Х+К2М0)))), а / - константа Липшица. Значит при выполнении условия Ise(Co) 1 оператор J является сжатием, что и обеспечивает существование и единственность решения уравнения х — $х, а значит и существование и единственность решения уравнения (3.29), при предположении, что функция / равномерно непрерывна по первому аргументу .
При этом имеет место оценка ж - дЦоо ї=й уІ5ІІоо, где д = Co1gQ,g0(t) = f(t,0),teR. Итак, доказана Теорема 3.9. Пусть оператор Л таков, что выполнены условия (3.17) и (3.21), функция f(t,x) удовлетворяет условию Липшица по второй переменной и равномерно непрерывна и ограничена по первой переменной. Пусть такэюе выполнено условие /ае(о) 1-Тогда нелинейное дифференциальное уравнение (3.29) имеет единственное решение в пространстве Сь(Ш,Х), которое допускает оценку \\х - зНоо ЇГЩ )ОО; где g = C go, g0(t) = f(t,0)f tern. Приведем пример использования доказанной теоремы. Пусть О, - есть некоторая область из Ж3. Обозначим через Х?о(0) множество бесконечно дифференцируемых функций, действующих из О в С и обращающихся в нуль на границе д(1). Рассмотрим линейный оператор Л0 : Х?о(П) — (П), определённый формулой Рассмотрим замыкание Г по норме пространства Ьг(Г2) х 1/2(Г2). Подпространство Г является графиком оператора, который мы обозначим Л. Область определения Д обозначим D(A).
Теперь на подпространстве D(A) рассмотрим оператор, определённый формулой А — гД + д, где q Є С&(Г) функция, определенная формулой (qy)(u) — q(u)y(u), и Є Гі , у Є 2( ), такая что Re(q) cv, to 0. Оператор Бм = тр-и, и Є 1/г(Г2) будет расширением оператора Л 4-/1 2 чт0 следует из равенств: Значит, Re(Au,u) = (Лц ц)+(ц Ац) = ( 4 ) = ( ±2)(и, и) ш(и,и), и Є -О(Д) = D(A). Отсюда следует, что числовая область оператора А лежит в полуплоскости Сш = {А Є С : ReX ш}. Аналогично Re(A u, и) ш(и, и). Значит область значений оператора А совпадает со всем пространством Li (Q). Воспользовавшись теоремой 3.2 [21], получаем, что дополнение к множеству Сы содержится в р(А) - резольвентном множестве оператора А. К тому же имеет место оценка sup .R(A, А) . Значит определена Хеш сильно непрерывная сжимающая полугруппа операторов Т : R+ — EndLi l). Поскольку оператор А от t не зависит, то соответствующее эволюционное семейство операторов имеет вид:
