Введение к работе
Актуальность работы
Во многих практических задачах возникает ситуация, когда необходимо знать (по возможности, точно) какую-либо характеристику сигнала (скажем, его значение в данной точке, или интеграл от него, или вообще целиком весь сигнал в той или иной метрике) по некоторой информации о самом сигнале (например, известны значения этого сигнала в данном наборе точек или известны его коэффициенты Фурье, Тейлора и т.п.), которая может быть задана неполно и/или неточно. Математическая теория, где ставятся и изучаются подобного рода задачи называется теорией оптимального восстановления. Она активно развивается последние несколько десятилетий. Теория оптимального восстановления предлагает новый подход к решению достаточно широкого класса задач, связанных с восстановлением тех или иных характеристик объектов по неполной и/или неточной информации о самих объектах. Важная особенность данного подхода заключается в том, что ставится задача о нахождении на данном классе элементов метода восстановления, являющегося наилучшим среди всех возможных.
Цели диссертационной работы:
Диссертация посвящена решению различных задач теории оптимального восстановления линейных операторов по неточной информации. Рассматриваются следующие задачи:
Восстановление разностей последовательностей по неточной информации о самой последовательности.
Восстановление функций и их дробных производных по неточно заданному спектру;
Восстановление интегралов по многомерным шарам на различных клас-
3 л
сах гладких функций по информации о граничных значениях функций и их нормальных производных.
На защиту выносятся следующие основные результаты:
Решена задача об оптимальном восстановлении к—й разности числовой последовательности по неточной информации о самой последовательности;
Исследована проблема восстановления функций и их производных на прямой по приближенно известному на конечном отрезке преобразованию Фурье этих функций. Найдено семейство оптимальных методов.
Получено явное выражение оптимального метода восстановления функций и их дробных производных по конечному набору коэффициентов Фурье, заданных с погрешностью, и найдена оценка погрешности оптимального восстановления;
Решена задача об оптимальном восстановлении интегралов по многомерным шарам на соболевских классах функций по информации о граничных значениях функций и их нормальных производных.
Научная новизна
При решении поставленных задач использовался современный подход, основанный на применении общих методов теории экстремума и принципов выпуклой двойственности. Были построены и проанализированы цовые методы оптимального восстановления. Практическая значимость
В различных областях науки при исследовании тех или иных сигналов (звуковых, оптических и т.д.) возникает необходимость восстановления их по коэффициентам Фурье. Это типичная обратная задача, примеры которой
можно найти, например, в геофизике, астрономии, дистанционном зондирование Земли, спектральном анализе. Задача восстановления разностей последовательностей по неточным данным возникает всякий раз, когда необходимо численно продифференцировать некоторую экспериментальную' кривую. Используемые для численного дифференцирования формулы, как правило, содержат в себе конечные разности.
Апробация работы
Основные теоретические положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:
научном семинаре кафедры «Общих проблем управления» механико-математического факультета МГУ под руководством проф. В. М. Тихомирова;
Международной конференции «Колмогоровские чтения. Общие проблемы управления и их приложения. Проблемы преподавания математики.» («ОПУ-2007») 8-12 октября 2007 г., Тамбов;
XXVI Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова, Москва, 2004 г.
52-й научно-технической конференции МИРЭА, Москва, 2003 г.
Публикации
Материалы диссертации опубликованы в 5 печатных работах, из них 1 статья в рецензируемом журнале, рекомендованном ВАК [1'] . Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка литературы и приложения. Общий объём диссертации составляет 90 страниц. Диссертация содержит 8 рисунков, 3 таблицы, список литературы из 14 наименований и приложение.
