Введение к работе
Актуальность темы.
В работах М. А. Красносельского1 и его учеников2 3 создана детальная теория исследования положительных решений нелинейных уравнений с вполне непрерывными операторами в банаховых пространствах с конусами, получены многочисленные применения в различных задачах современного анализа и естествознания.
Возникла задача о ее распространении на более широкие классы операторных уравнений и в частности на уравнения с операторами, не обладающими свойством компактности.
В диссертации без условия компактности оператора исследуются положительные решения нелинейных уравнений с непрерывными и—выпуклыми операторами в банаховых пространствах с вполне правильными конусами и в случае, когда исследуемые операторы обладают свойством монотонной компактности.
Тема диссертации актуальна и представляет реальный научный интерес.
Цель работы
Развитие методов исследования положительных решений нелинейных уравнений с непрерывными и—выпуклыми операторами в банаховых пространствах с вполне правильными конусами и в случае, когда исследуемые операторы обладают свойством монотонной компактности.
Методика исследования
В работе применяются конусные методы исследования положительных решений нелинейных уравнений с непрерывными и—выпуклыми операторами в банаховых пространствах с вполне правильными конусами и в случае, когда исследуемые операторы обладают свойством монотонной компактности:
метод последовательных монотонных приближений в теории нелинейных уравнений с непрерывными и—выпуклыми операторами в банаховых пространствах с вполне правильными конусами;
метод последовательных монотонных приближений в теории нелинейных уравнений с монотонно компактными операторами в банаховых пространствах с конусами;
общие методы функционального анализа и теории полуупорядоченных пространств.
1 Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа.-М.:Наука, 1975.-512с. Бахтин И.А. Метод монотонных приближений в теории нелинейных уравнений с вполне непрерывными операторами // Функцией. анализ.-Ульяновск: УГПИ, 1985.-Вып. 25.-е. 33-41.
3Красносельский М. А., Перов А. И., Поволоцкий А. И., Забрейко П. П. Векторные поля на плоскости. Москва. Физматгиз. 1963. 248 с.
Научная новизна работы
Развит метод монотонных приближений в теории нелинейных уравнений с непрерывными и—выпуклыми операторами в вещественных банаховых пространствах с вполне правильными конусами и в случае, когда исследуемые операторы обладают свойством монотонной компактности.
получены разнообразные признаки существования положительных неподвижных точек, положительных собственных векторов непрерывных и—выпуклых операторов в банаховых пространствах с вполне правильными конусами и положительных монотонно компактных операторов, растягивающих конус;
приведены условия совпадения позитивного спектра и—выпуклого оператора с некоторым интервалом;
доказаны теоремы единственности положительной неподвижной точки и положительного собственного вектора и—выпуклого оператора;
найдены условия монотонной и непрерывной зависимости положительного собственного вектора от соответствующего собственного значения на позитивном спектре и—выпуклого непрерывного оператора и и—выпуклого монотонно компактного оператора, обладающего свойством единственности;
исследовано поведение положительного собственного вектора в зависимости от соответствующего собственного значения на границе позитивного спектра и—выпуклого оператора;
полученные результаты применены к исследованию структуры позитивного спектра и множества положительных собственных векторов интегральных и—выпуклых операторов, действующих в некоторых функциональных пространствах с конусами.
Практическая и теоретическая значимость работы
Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы в исследованиях, проводимых в Воронежском, Ярославском, Белгородском университетах, в НИИ проблем управления РАН, в Воронежском государственном педагогическом университете. Они могут также найти приложения в различных задачах современного анализа.
Апробация работы
Основные результаты диссертации докладывались в Воронежских зимних математических школах (2008, 2009 гг.), на Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения"(2007, 2008 гг.), на научном семинаре по функциональному анализу в Воронежском государственном педагогическом университете.
Публикации
Основное содержание диссертации опубликовано в работах автора [1] — [6]. В совместных публикациях [1],[2],[5] соавтору принадлежит только постановка задач. Работы [1],[4] опубликованы в издании, соответствующем списку ВАК РФ для кандидатских диссертаций.
Структура и объем диссертации
