Введение к работе
Актуальность темы. В работе изучаются поперечники различных конечномерных множеств в пространствах со смешанной нормой и даются приложения конечномерных результатов к вычислению поперечников классов гладких функций нескольких переменных.
Приведем основные определения.
Определение 1. Колмогоровским N-поперечникомпоттожест-ва V банахова пространства X называется величина
dN {V, X) = inf sup inf \\x - y\\x,
где внешний инфимум берется по всем подпространствам Ln пространства X,dimZ/jv ^ N.
Определение 2. Линейным N-попере-чникомпоттожеств& V банахова пространства X называется величина
\N(y,X) = Msup\\x-Tx\\x,
где инфимум берется по всем линейным операторам Т: X —У X, rangT ^ N.
Исследование порядков поперечников функциональных классов в последние годы являлось одним из центральных направлений в теории аппроксимации. При этом вопрос о нахождении порядков поперечников различных функциональных классов часто сводится к задаче о поперечниках некоторых множеств в конечномерных пространствах.
А. Д. Изаак
Так, например, для оценки колмогоровских поперечников Соболевских классов Wp в пространствах Lq используют поперечники dN(B^,t^), 1 ^ N ^ М, и, в частности, dN{BjN1^lN)t где В1^ - единичный шар в М-мерном пространстве t с нормой
\\х\\ем = ( J2 \xk\p) Точные по порядку оценки последнего по-перечника известны при всех значениях р, q, 1 ^ р, q ^ оо, а именно, справедлива
Теорема А. Пусть 1 ^p,q < со. Тогда
dN(B,qN)*l
1, если 1 ^ р ^ q < 2,
k JV1^-1/*, если 2 ^р^оо или 1 ^q^p^ioo.
В случае 9 ^ р имеет место точное равенство (Пич [3], Стесин [4])
dN{Bp4,t^) = Ал (5*Vf) = (М - JV + 1)V«-i/p Vl^JV^M, l^q^p^oo.
Случай p ^. q ^ 2 немедленно следует из равенства, полученного С. Б. Стечкиным в [5]
/ IV _ і \ 1/2
dN{B^,l^) = \N(By,?) = [l- ~j Vl^N^M.
(0.2) Остальные случаи доказаны в работах Б.С. Кашина [б], [7].
Отметим также, что к 1983 году были вычислены точные по порядку оценки как колмогоровских гідг [В ^, i-^1), 1 ^ Р ^ q < со, таки линейных поперечников \^{В^ ,1^), 1 < р ^ g < оо, при различных значениях 1 < N <М.
Автореферат диссертации
Отметим здесь работу Р. С. Исмагилова [10] 1974 года. Наиболее важные результаты в этом направлении были получены Б. С. Катиным в работах [6]-[9]. В них был вычислен точный порядок величин Адг (Bi*, Е^1) = (In {Bi1 , tff) при q < со, а также получены точные в степенной шкале оценки djv {Вр1, ^) при 1 ^ р ^ 2. Точные по порядку оценки поперечника ds (5^, 1^,) найдены А. Ю. Гарнаевым и Е. Д. Глускинымв работе [11].
Уточняя результат Б. С. Кашина [7], Хёллиг [12] получил оценку сверху поперечника Ajv (В^1, (.4), lfp' = 1 — 1/р < 1/2, которая, однако, была точна не при всех значениях N vlM.
Окончательно задача о порядке величин Адг {Вр , i^1) и им (В^, 1), q < со, была решена в работах Е. Д. Глускина [13], [14].
Для чисел 1 ^ pi,P2 ^ оо, п,т Є Nb пространстве Km" введем норму
f т. ( \ P2/P1N 1/Р2
Е( Е Vk\VX\ , ЄСЛИІ ^Р!,Р2 <0О,
\а=1 \кЄЛ, J J
\Х\\(П,т 1 "*Р1,Р2
/ \ 1/Р1
max ( ]П \xk\Pl І , еслир2 = оо,
V г^^т\кеЛа )
где Д3 = {fc Є N : (s — l)n < A; ^ sn}, s = 1,...,m. Тем самым
получим (тп)-мерное нормированное пространство ^'"12 с единичным
шаром В' = {х : \\х\\еп,т ^ 1}. Заметим, что при рг. = рг = Р
II ||ф =11 ||/»»»,1<Р<«>.
Итак, задача о поперечниках шаров В* в пространствах ^ можно считать исследованной с достаточной полнотой. В диссертации рас-сматривается более общая задача о ^(Вр^2,д'^2),рі фр2,Чі Ф 92-
Задача об оценках поперечников d^ {Вр^2, q{2) имеет самостоятельный геометрический интерес, однако в последнее время при нахождении порядков поперечников функциональных классов возникла потребность в оценках таких поперечников при различных значениях параметров рі,Р2»9ь 42- Например, в [15], [16] Э.М. Галеевымполучены
А. Д. Изаак
оценки колмогоровских поперечников классов Гёльдера-Никольского Нр(Тп) периодических функций нескольких переменных в пространстве Lq при некоторых значениях р, q. Оценки снизу d^(Hp(Tn), Lq) сводились при этом к оценкам снизу поперечников шаров В^ в пространствах " ^2. Приведем соответствующие теоремы.
Теорема В [15]. Пусть 2 ^ q < со, l^p^oo. Тогда существует постоянная с = c{q) > 0, что при N ^ стп
Теорема С [16]. Пусть q > 1, N г% тп/2. Тогда
dN(B?;,%;?)~m^.
Научная новизна. Теоретическая и практическая ценность.
Основные результаты диссертации являются новыми. Диссертация носит теоретический характер. Оценки поперечников конечномерных множеств, приведенные в первых двух параграфах, могут быть использованы при изучении поперечников классических функциональных классов, а также их пересечений. Примеры такого использования приведены в третьем параграфе.
Апробация. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на научно-исследовательском семинаре под руководством Б. С. Кашина в Математическом институте им. В. А. Стеклова РАН (1993-1995 г.г.), на VII Саратовской зимней школе по теории функций и приближений (январь-февраль 1994 г.), на Международной конференции "Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ" (апрель-май 1995 г.) и на VIII Саратовской зимней школе по теории функций и приближений (январь-февраль 1996 г.).
Автореферат диссертации 5
Публикации. Основные результати диссертации опубликованы в работах [А1]-[АЗ], приведенных в конце автореферата.
Структура работы. Диссертация состоит из введения, трех параграфов и списка литературы. Объем текста работы составляет 56 страниц. Список литературы включает 32 названия.
