Дискретизация норм и неравенства Харди в теории пространств Бесова-Лизоркина-Трибеля с обобщенной гладкостью Матарутиния Ведаст

Содержание к диссертации

Введение

I. Взаимосвязь однородных и неоднородных пространств Лизоркина-Трибеля с обобщенной гладкостью . 16

1.1. Обозначения и предварительные сведения 16

1.2. Обобщенные пространства Лизоркина-Трибеля 19

1.2.1. Обозначения и определения 19

1.2.2. Взаимосвязь однородных и неоднородных обобщенных пространств Лизоркина-Трибеля 20

II. Дискретизация норм в обобщенном пространстве Лизоркина-Трибеля с помощью -преобразования . 26

2.1. Обозначения и предварительные сведения 26

2.2. Свойства (р и -0-преобразований для пространств Лизоркина-Трибеля с обобщенной гладкостью 28

2.3. Независимость пространств Лизоркина-Трибеля от выбора функций tp и Ф 43

III. Весовые неравенства типа Харди для модулей непрерывности функций и их симметричных перестановок . 45

3.1. Предварительные сведения 45

3.2. Неравенство типа Харди для модулей непрерывности функций 47

3.2.1. Доказательство Теоремы 1. Оценка снизу 49

3.2.2. Доказательство Теоремы 1. Оценка сверху при р < q,6 < q 61

3.2.3. Доказательство Теоремы 1. Оценка сверху при р = q;9 < q 71

3.3. Неравенство Харди для модулей непрерывности перестановок 75

3.3.1. Доказательство теоремы 2. Оценка снизу 77

3.3.2. Доказательство теоремы 2. Оценка сверху 84

3.4. Неравенство Харди для разностей 85

Список

Литературы 88

• Взаимосвязь однородных и неоднородных обобщенных пространств Лизоркина-Трибеля
• Свойства (р и -0-преобразований для пространств Лизоркина-Трибеля с обобщенной гладкостью
• Неравенство типа Харди для модулей непрерывности функций
• Неравенство Харди для модулей непрерывности перестановок

Введение к работе

В современном математическом анализе важную роль играют функциональные пространства, принадлежность к которым характеризует гладкость функций (вообще говоря нецелого порядка). Наиболее известными и широко используемыми пространствами такого типа являются пространства Никольского-Бесова [-В] и Лизоркина-Трибеля [Fp_q]. Теория классических пространств Бесова-Лизоркина-Трибеля изложена в монографиях СМ. Никольского [1], О.В. Бесова, В.П. Ильина, СМ. Никольского [2], Г. Трибеля [3, 4]).

Настоящая диссертация посвящена исследованию пространств дифференцируемых функций обобщенной гладкости Бесова-Лизоркина-Трибеля, заданных на n-мерном пространстве и неравенству типа Харди для модулей непрерывности функций и их симметричных перестановок.

Актуальность исследования пространств дифференцируемых функций многих переменных обобщенной гладкости подтверждается их возникновением и применением в ряде задач теории вложений, теории приближений, теории рядов Фурье, теории вырождающихся эллипти- ческих уравнений с нестепенным вырождением, спектральной теории, теории дифференциальных операторов и теории интерполяции линейных операторов.

Кратко охарактеризуем эти источники появления пространств обобщенной гладкости.

Введение обобщенных параметров гладкости позволяет более тонко и более гибко классифицировать дифференциальные свойства функций и в ряде задач теории вложений получить окончательные результаты.

Еще один источник появления пространств типа Бесова с нестепенной гладкостью - проблема описания следов для весовых классов Соболева, которая возникает при изучении краевых задач для вырождающихся вблизи границы эллиптических операторов.

Существенное продвижение в ее исследовании достигнуто Г.А. Ка-лябиным. В его работах, а также в работах Б.В. Тандита показано, что пространство следов для весового класса Соболева с нестепенным весом совпадает с некоторым пространством Бесова с нестепенной гладкостью.

В диссертации проводится дискретизация норм в однородном обобщенном пространстве Лизоркина-Трибеля с помошью так называемого "^-преобразования" Кальдерона и установлена взаимосвязь между однородным и неоднородным пространствами Лизоркина-Трибеля, а также взаимосвязь однородных пространств и их дискретных аналогов, обобщающая известные результаты Фразье-Яверта; при этом существенно используется векторный вариант теоремы о максимальном операторе Харди-Литтливуда, установленный Фефферманом и Стенном (см. [5, 6])

Данная работа посвящена также изучению разностного аналога известного двухвесового неравенства типа Харди для производных (см., например, [14, 15]). Аналог получен заменой в правой части неравенства весовой нормы к-ож производной функции на весовую норму ее к-ото модуля непрерывности в L_p. Неравенства такого типа (для разностей первого порядка) были впервые получены Г.Н Яковлевым в одномерном случае и для степеных весов (см. [31]).

Этот результат был затем обобщен в работах А. Куфнера, Л.Э. Перссона, Г. Трибеля, Г. Хайнига и других. Уточнения условий на вес в случае связанных весов в правой и в левой частях неравенства были получены в работах В.И. Буренкова и В.Д. Эванса, В.И. Бу-ренкова, М.Л. Гольдмана и В.Д. Эванса. Потом В.И. Буренковым, и М.Л. Гольдманом в одномерном случае для разностей первого порядка было найдено необходимое и достаточное условие на весовую функцию для справедливости соответствующего неравенства. Эти результаты играют важную роль в проблеме продолжения фунций из пространств с обобщенной гладкостью для вырождающихся областей (см. [32]).

Далее, В.И. Буренковым и М.Л. Гольдманом получено развитие результатов по разностным аналогом неравенства Харди. Ими была рассмотрена двухвесовая задача (то есть снято априорное условие взаимосвязи весов в правой и левой частях неравенства), причем в многомерном случае и для модулей непрерывности высших порядков (см.[28]).

В данной работе получено дальнейшее обобщение результатов работы [28]. Здесь мы используем весовую Lq -норму модуля непрерывности функции в L_p в правой части неравенства типа Харди (в [28], рассмотрен случай согласованных норм: в = р).

Цель работы состоит в следующем:

1. Установление взаимосвязи между однородными пространствами и неоднородными пространствами Лизоркина-Трибеля обобщен- ной гладкости.

Дискретизация норм в однородном обобщенном пространстве Лизоркина-Трибеля и установление взаимосвязи между этими пространствами и их дискретными аналогами с помошью так называемого ^-преобразования Кальдерона.

Нахождение необходимого и достаточного условия на весовые функции (без априорных предположений об их свойствах или взаимосвязи), для справедливости разностного аналога двухвесового неравенства типа Харди для производных.

В главе 1 впервые найдены условия на обобщенный параметр глад-кости-функцию А(), при выполнении которых норма в неоднородном обобщенном пространстве Лизоркина-Трибеля с обобщенной гладкостью F_Pq эквивалентна сумме Lp-нормы и нормы в однородном про-странстве r_Pq .

Во второй главе введен дискретный аналог однородного пространства Лизоркина-Трибеля и впервые получена дискретизация нормы в обобщенном пространстве Лизоркина-Трибеля с помощью так называемого «^-преобразования Кальдерона и обратного к нему ф-преобразования.

В главе 3 установлены точные условия на весовые функции (без априорных предположений об их свойствах) для справедливости нового разностного аналога известного двухвесового неравенства типа Харди для производных.

В диссертации применяются методы теории обобщенных функций, теории весовых неравенств, теории атомарных разложений; методы теории вложений и приближений; методы теории вырождающихся эллиптических уравнений с нестепенным вырождением; методы общей те- ории функциональных пространств; методы теории пространств дифференцируемых функции-оценки разностных характеристик функций, интегральные представления и т.д.

Материалы диссертации докладывались на научных конференциях РУДН (1994, 1996, 1998, 1999 гг.), на научных семинарах кафедры дифференциальных уравнений и функционального анализа РУДН по теории функциональных пространств под руководством д.ф.м.н проф. М.Л. Гольдмана.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [10 -13, 33].

Краткое содержание диссертации,

В первой главе установлена взаимосвязь однородных и неоднородных пространств Лизоркина-Трибеля с обобщенной гладкостью. Рассмотрена функция (р : Ш^п —v С со следующими свойствами: <р Є 5(lRⁿ) (пространству основных функций Л.Шварца), SuppFip С { : 1/2 < |Є| < 2}, |Fy>(OI > С₀ > 0, < || < , где Fip() = (27г)~^т J е~^г(^х,(р(х) ^-преобразование Фурье в Ж_п.

Пусть t > 0, n(p(t~¹x), х Є R_n- Д^ля этой функции ір^ и для V/ Є S", \/t > 0 определяется свертка ({t)*f)(x) (2n)~ⁿ/²(f_[yhnt)(x - у)).

Здесь S' = 5'(Е_п)-пространство распределений Л.Шварца. Введем для v Є Z (р_и(х) = ?₍₂—) = 2^unvx), х Є Ш_п-

Далее, рассмотрена функция, определяющая обобщенную гладкость Л : R+ — R+- Л(1) = 1; 0 < Л₀ < ^ < Л₀ < оо, W > 0, г Є [*, 2t].

Пример.

Пусть а, (З Є R; а < (3; ^ t, Щг 1- Тогда {I;2^a}<^|

Далее, рассмотрена задача о взаимосвязи однородных и неоднородных пространств Лизоркина-Трибеля с обобщенной гладкостью X(t). Определение 1. Пусть 1<><оо, 0 < q < оо. Тогда ") = / Є S' : [А(2">„ */|]« _} - это однородное обобщенное пространство Лизоркина-Трибеля. Здесь Z={0,±1,±2,±3...}.

При X(t) = t^a, а > О получим F^ (Rⁿ) = F«_q(Rⁿ) - известное пространство Лизоркина-Трибеля (см.[3,4,5]).

Рассмотрим теперь неоднородное обобщенное пространство Лизоркина-Трибеля Fp^(Rⁿ). Определение 2. Пусть 1 < р < оо, 0 < g < оо. Тогда i$⁰(R) = j/S': ₇А(.) = РЧ |ф*/|*+Е

А(2")Ь*/| где Ф Є S(Kⁿ) и SuppFQ С К : || < 2}, |РФ()| > С₀ > 0 при

Для неоднородных пространств Отметим, что

,м.)=0^/ = 0 (в S'). ₇Л(.) «||Ф*/|и_р + '!/ = !

А(2")Ь*/| ⁵Ї 5

Аналогично, как в случае однородного пространства, если \(t) = t^a. то Fpq^W¹) = Fp_q(M.ⁿ)- известное неоднородное пространство Лизо-ркина-Трибеля.

В главе 1 доказана теорема (см. 1.2.2) о том что при 1 < р < оо, О < q < оо, и следующих предположениях относительно функции гладкости А(): -Л^- > Ао > 1,Vt > 0 справедливо соотношение Fpq = L_p П Fpq и имеет место эквивалентность норм

,*>«№„ + 11/11^)-

В качестве примеров отметим, что A (t) = t^a In⁷ (2 + f),a> О7 G IR удовлетворяет условиям теоремы, в то же время X(t) = In⁷(2 + t), не удовлетворяет условиям теоремы, ни при каком 7 Є М.

Во второй главе получена дискретизация нормы в однородном обобщенном пространстве Лизоркина-Трибеля. Рассмотрена функция ф, удовлетворяющая тем же условиям, что и <р; причем ф согласована с if так что

Далее, введен дискретный аналог пространства F_Pq , обозначаемый через fpq (М^п), то есть множество всех числовых последовательностей S — {Sq}q, отвечающих системам всех двоичных кубов {Q}, для которых _EWniSglxgWr L_P(M")

Здесь v Є Z, к Є Zⁿ; д = д^ = {(_Жі,...,_Жп)єм^п

2^- <ж,- < 2^_I/(fej + l), j = 1,...,n}; Xq(x) = |*21"Х<э(^ж) ^- нормированная в L2 характеристическая функция двоичного куба Q. В этой главе доказана теорема о дискретизации нормы в обобщенном пространстве Лизоркина-Трибеля с помощью "^-преобразования S^" и обратного к нему "^-преобразования і її ф

Дискретизация нормы в обобщенном пространстве Лизоркина-Трибеля осуществляется с помощью известной конструкции, восходящей к Кальдерону (см. [4,5]). Пусть ф(х) = ір{—х)\ <р_и(х) = 2^untp(2^vx), х Є K._n; XQ=2~^uk -"левая нижняя вершина" куба Q = Q„fc. Положим для / Є S'(R_n); (S_vf)_Q = 2-*?(v*f){x_Q) = 2~^(ф_и * f)(2~^vk).

Оператор "^-преобразования" S^ сопоставляет функции f Є S' набор чисел Stpf = \ {S(pf)n \ , отвечающих всем двоичным кубам Q.

Пусть теперь S = {Sq}q = {Sv,k}„k набор чисел, отвечающих двоичным кубам Q = Q_v,k- Тогда оператор Тф задается формулой: k&Zⁿ

В главе 2 (см. раздел 2.2) доказана теорема о том, что при 1 < р < оо, 0 < q < со и функции гладкости А(), удовлетворяющей Дг-условию (то есть А(т) : X(t) при т Є [і, 2t] и і > 0), операторы ^:^(^)-^/^(^), Т_ф : f^^] (Rⁿ)-^ F^ {Ш^п) ограничены. Кроме того Т_ф о S^, = id : F^ (W¹) —) Fp^ (Eⁿ) (тождественный оператор). Из этой теоремы следует справедливость диаграммы

F^(Rⁿ) id 3⁰ (Rⁿ)

В качестве следствия этих результатов показана независимость обобщенного пространства Лизоркина-Трибеля F_Pq (Ш_п) от функции <р Є S, удовлетворяющей вышеуказанным условиям.

Третья глава этой работы посвящена изучению разностного аналога известного двухвесового неравенства типа Харди для производных. В ней приведена теорема (см. раздел 3.2), в которой установлены точные условия на весовые функции (без априорных предположений об их свойствах), при выполнении которых имеют место неравенства, оценивающие весовую L_q норму функции в некотором шаре через весовую Le-норму ее к-ого модуля непрерывности в L_p по этому шару (см. [33]).

Определение 3. Пусть к > 2, h Є Ш^п, тогда для f(x) Є L_p(Rⁿ) A_hf(x)=f(x + h)-f(x); A^k_hf(x) = Л^Л^"¹)/^) = (-l)^k-^mC?f(x + mh) - разность fc-ого порядка с шагом h, где С- биномиальные коэфициенты.

Определение 4. Пусть Q - открытое множество в ]Rⁿ т.е. ficMⁿ, мы имеем Д{[_|П/(ж) = A^k_hf(x), если [ж,ж + /г/г] С ft; Д*_>п/(ж) = 0 в противном случае.

Далее, пусть 1 < р < оо, к > 1, г > 0, тогда для /(ж) Є L_p(Eⁿ) in/(.)||L_p |Ь|<» ЙЄК" - модуль непрерывности функции f(x) порядка к по открытому множеству ft в норме L_p.

В нашем случае рассматривается ft = В_г - шар радиуса г. Приведем следствие из этой теоремы относящееся к случаю радиально-симметричного монотонного веса. Пусть 1 < 9,р < q < оо; к > -. Пусть ио : R+ —У R₊; v : B_r —> R+ ⁼ (0? ) ^_ измеримые функции. _{«*> - (Г (} i + s /с б» w(s) c/s J , t Є и при г > 0, і Є (0, г], б» > 1, 0^;=е=і;

Фг(*) = грф(г) ₊ [sp^W]

Тогда, для величины Gr> — sup < fL_p(B_r)

I \f\^qvdx .B_r

,в_г

ФЩ f\f\^pdx) +[fu^k_p,_Br(f,y)4y)dy при v{x) = V(\x\), где V(s) l имеет место двусторонняя оценка G_r& sup [g(t)V_r(t)], g(t)= П vdyj .

Приведенный результат означает наличие двусторонней оценки для нормы оператора вложения, действующего из пространства типа Бесова Вр_в (В_г) с обобщенной гладкостью, заданной с помощью весовой функции w, в весовое пространство L_q,_v(B_r), причем постоянные в этой оценке не зависят от г.

Далее, рассматривается неравенство Харди для модулей непрерывности перестановки. Рассмотрены невозрастающая и симметричная перестановки функции /. Именно, f*(t) = inf{a R₊ : \_f(a) r : \f{x)\ > а}, и f*(y) = f4Vn\y\ⁿ), уеш^п, где V_n - объем единичного шара.

Тогда при 1 < в,р < q < оо; к > ^ справедлив следующий результат: для величины G\ = sup < fZL_p(B_r) / \f\^qvdx

,B_r ф(г)М + {f^_Br(ft_iy)u>(y)dy имеет место двусторонняя оценка G«« sup Ьі(*)Фг(*)];^і(*)=С/ ^У *Є(0,г] \./J3_t / (без априорных предположений относительно веса v(x)).

В конце главы (см. раздел 3.4) доказана теорема о неравенстве Харди для разностей в одномерном случае и для монотонных весовых функций. В ней получен следующий результат.

Пусть A_t,rf(x) = Aj_Qf(x) при Q = (-г,г), 1 < 9,р < q < оо; v : Ш. —> R+, со : Е —> Ш₊ - измеримые четные функции и v(t),w(t) \. при ф(і) = / y^e{y)dy+ / w(y)dy при t Є Ш₊; ф(і) -> oo(t -> 0), ф(і) -> 0(t -> оо), ^(1) = 1. Пусть г Є Е+ : Ф_гф = | [гЦ(г)]-⁰' + jf\yh(v)] -e'dy У і ё⁷! при ^6(0,^,^=^5 g{t)= [ J v(x)dx J*|r = sup < fL_p(-r,r) /l/l^da; v-(r) /\f\pd_X) +[fцд,,/ц,,._V)»W*

Тогда справедлива двусторонняя оценка

Сі sup Ь(*)Фг(*)] < A- < C₂ sup Ь(*)Фг(*)]. *(0,г] *Є(0,г]

Взаимосвязь однородных и неоднородных обобщенных пространств Лизоркина-Трибеля

В современном математическом анализе важную роль играют функциональные пространства, принадлежность к которым характеризует гладкость функций (вообще говоря нецелого порядка). Наиболее известными и широко используемыми пространствами такого типа являются пространства Никольского-Бесова [-В] и Лизоркина-Трибеля [Fpq]. Теория классических пространств Бесова-Лизоркина-Трибеля изложена в монографиях СМ. Никольского [1], О.В. Бесова, В.П. Ильина, СМ. Никольского [2], Г. Трибеля [3, 4]).

Настоящая диссертация посвящена исследованию пространств дифференцируемых функций обобщенной гладкости Бесова-Лизоркина-Трибеля, заданных на n-мерном пространстве и неравенству типа Харди для модулей непрерывности функций и их симметричных перестановок.

Актуальность исследования пространств дифференцируемых функций многих переменных обобщенной гладкости подтверждается их возникновением и применением в ряде задач теории вложений, теории приближений, теории рядов Фурье, теории вырождающихся эллипти ческих уравнений с нестепенным вырождением, спектральной теории, теории дифференциальных операторов и теории интерполяции линейных операторов. Кратко охарактеризуем эти источники появления пространств обобщенной гладкости.

Введение обобщенных параметров гладкости позволяет более тонко и более гибко классифицировать дифференциальные свойства функций и в ряде задач теории вложений получить окончательные результаты.

Еще один источник появления пространств типа Бесова с нестепенной гладкостью - проблема описания следов для весовых классов Соболева, которая возникает при изучении краевых задач для вырождающихся вблизи границы эллиптических операторов.

Существенное продвижение в ее исследовании достигнуто Г.А. Ка-лябиным. В его работах, а также в работах Б.В. Тандита показано, что пространство следов для весового класса Соболева с нестепенным весом совпадает с некоторым пространством Бесова с нестепенной гладкостью.

В диссертации проводится дискретизация норм в однородном обобщенном пространстве Лизоркина-Трибеля с помошью так называемого " -преобразования" Кальдерона и установлена взаимосвязь между однородным и неоднородным пространствами Лизоркина-Трибеля, а также взаимосвязь однородных пространств и их дискретных аналогов, обобщающая известные результаты Фразье-Яверта; при этом существенно используется векторный вариант теоремы о максимальном операторе Харди-Литтливуда, установленный Фефферманом и Стенном (см. [5, 6])

Данная работа посвящена также изучению разностного аналога известного двухвесового неравенства типа Харди для производных (см., например, [14, 15]). Аналог получен заменой в правой части неравенства весовой нормы к-ож производной функции на весовую норму ее к-ото модуля непрерывности в Lp. Неравенства такого типа (для разностей первого порядка) были впервые получены Г.Н Яковлевым в одномерном случае и для степеных весов (см. [31]). Этот результат был затем обобщен в работах А. Куфнера, Л.Э. Перссона, Г. Трибеля, Г. Хайнига и других. Уточнения условий на вес в случае связанных весов в правой и в левой частях неравенства были получены в работах В.И. Буренкова и В.Д. Эванса, В.И. Бу-ренкова, М.Л. Гольдмана и В.Д. Эванса. Потом В.И. Буренковым, и М.Л. Гольдманом в одномерном случае для разностей первого порядка было найдено необходимое и достаточное условие на весовую функцию для справедливости соответствующего неравенства. Эти результаты играют важную роль в проблеме продолжения фунций из пространств с обобщенной гладкостью для вырождающихся областей (см. [32]). Далее, В.И. Буренковым и М.Л. Гольдманом получено развитие результатов по разностным аналогом неравенства Харди. Ими была рассмотрена двухвесовая задача (то есть снято априорное условие взаимосвязи весов в правой и левой частях неравенства), причем в многомерном случае и для модулей непрерывности высших порядков (см.[28]). В данной работе получено дальнейшее обобщение результатов работы [28]. Здесь мы используем весовую LQ -норму модуля непрерывности функции в Lp в правой части неравенства типа Харди (в [28], рассмотрен случай согласованных норм: в = р). Цель работы состоит в следующем: 1. Установление взаимосвязи между однородными пространствами и неоднородными пространствами Лизоркина-Трибеля обобщен ной гладкости. 2. Дискретизация норм в однородном обобщенном пространстве Лизоркина-Трибеля и установление взаимосвязи между этими пространствами и их дискретными аналогами с помошью так называемого -преобразования Кальдерона.

Свойства (р и -0-преобразований для пространств Лизоркина-Трибеля с обобщенной гладкостью

Пусть функции (риф удовлетворяют каждому условию вида (1.1)-(1.3), причем ф согласована с (р, так что Полагаем как и в разделе 1.2 (р„(х) = Гпір(Тх), фи{х) = 2ипф{2их), v є Z. (2.2) Вводим в рассмотрение двоичные кубы: для v Є Z, к Є Zn полагаем Q = Quk = {(xu. ..,xn)ERn: 2-"kj Xj 2 v(kj + 1), j = 1,..., гг}. Точка 2_ІУ& = Q - это "левая нижняя вершина"куба Q„k, а 1{Q) = 2 v- сторона куба. Далее, полагаем для куба Q: \Q\ = l(Q)n = 2 vn- объем куба. 4 Q(X) = \Q\ p(2"x -к) = \Q\ ipv{x - xQ), аналогично определим (2.4) Фо(х) = \Q\ H(2vx - к) = \Я\ ф„(х - xQ). Введем теперь операторы: S - "( -преобразование"и Т-ф- "обратное -преобразование". Отметим, что вместе с ср, условиям (1.2)-(1.3) удовлетворяет и функция ф(х) = ср(—х). Положим для двоичного куба Q = Q ,k; / е S (Rn)/P игх . / \/ \ с\ ип / (5„/)Q = /, g = 2—{ pv f){xQ) = 2--( pv f)(2-vk). (2.5) Напомним, что {(pv f){x) Є C(Rn) DS {Rn) (см. раздел 1.1). Таким образом, значение этой функции в точке XQ = 2 ик определено. Наконец, оператор S сопоставляет функции / Є S (Rn)/P набор чисел Sepf = \ (Scpf)Q , отвечающих всем двоичным кубам Q. Пусть теперь S = {SQ}Q- некоторый набор чисел, отвечающих всем двоичным кубам Q. Тогда оператор Тф задается формулой: (Т 5)(я0=][ о(я), (2-6) Q где сумма взята по всем двоичным кубам Q, то есть подробнее S = \Sv,k}V%} к Є Zn (T )W = J22 Т, Sv v(x - 2-Щ. (2.7) Введем, наконец, дискретный аналог пространства FPg (En), именно, для S = {5g}Q, обозначим и через fPq(M.n)- множество всех последовательностей S = {SQ}Q, ДЛЯ которых 5 ІА(.)(МП) оо. Здесь XQ(X) = \Q\ XQ(X) это нормиро Jpq ванная в L2 характеристическая функция двоичного куба Q. 2.2. Свойства р и -преобразований для пространств Лизоркина-Трибеля с обобщенной гладкостью. Ниже, используется следующее обозначение: А(т) и X(t) 1 при т Є [t,2t] и 0 -это означает, что: ЗС0 1 : CJ"1 Со, V 0, т Є [, 2і] и Со не зависит отій г (абсолютная постоянная). Теорема 1 Пусть 1 р оо, 0 g оо, калсдая из функций (риф удовлетворяет условиям вида (1.1)-(1.3) , причем ф согласована с (р условием (2.1), а функция А(-) 0 удовлетворяет -условию. Тогда операторы 5 : )- / ( ), Тф : ffi (Rn)— F (Rn) ограничены. Кроме того Тф о S = id : F (Rn) —у F (Шп) (тождественный оператор). хэто условие обычно называют Д2-условие Замечание 1. В частности, 11/Н й- ю11М1я - («.) (2-9) и Fpq, (Rn) можно отождествить с дополняемым пространством в fpq (Шп) и справедлива следующая диаграмма 1Р (ШП) F }(Rn) id F (Шп) Замечание 2. Более отчетливо: q fpM-)\ г М-) ypQ J - JPQ отождествляет Fpq с пространством При этом оператор Pr = S о Т-ф : fPq — S (Fpqlу] является проектором в jpg (на указанное подпространство, которое тем самым является дополняемым подпространством В Jpq ). Действительно, Таким образом Рг- проектор, причем ограниченный, так как Pr S„.2V. Для доказательства теоремы нам потребуется 2 леммы. Сначала введем обозначения.

Неравенство типа Харди для модулей непрерывности функций

Дискретизация норм в однородном обобщенном пространстве Лизоркина-Трибеля и установление взаимосвязи между этими пространствами и их дискретными аналогами с помошью так называемого -преобразования Кальдерона.

Нахождение необходимого и достаточного условия на весовые функции (без априорных предположений об их свойствах или взаимосвязи), для справедливости разностного аналога двухвесового неравенства типа Харди для производных.

В главе 1 впервые найдены условия на обобщенный параметр глад-кости-функцию А(), при выполнении которых норма в неоднородном обобщенном пространстве Лизоркина-Трибеля с обобщенной гладкостью FPq эквивалентна сумме Lp-нормы и нормы в однородном про-странстве rPq .

Во второй главе введен дискретный аналог однородного пространства Лизоркина-Трибеля и впервые получена дискретизация нормы в обобщенном пространстве Лизоркина-Трибеля с помощью так называемого « -преобразования Кальдерона и обратного к нему ф-преобразования.

В главе 3 установлены точные условия на весовые функции (без априорных предположений об их свойствах) для справедливости нового разностного аналога известного двухвесового неравенства типа Харди для производных. В диссертации применяются методы теории обобщенных функций, теории весовых неравенств, теории атомарных разложений; методы теории вложений и приближений; методы теории вырождающихся эллиптических уравнений с нестепенным вырождением; методы общей теории функциональных пространств; методы теории пространств дифференцируемых функции-оценки разностных характеристик функций, интегральные представления и т.д. Материалы диссертации докладывались на научных конференциях РУДН (1994, 1996, 1998, 1999 гг.), на научных семинарах кафедры дифференциальных уравнений и функционального анализа РУДН по теории функциональных пространств под руководством д.ф.м.н проф. М.Л. Гольдмана. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [10 -13, 33]. Краткое содержание диссертации, В первой главе установлена взаимосвязь однородных и неоднородных пространств Лизоркина-Трибеля с обобщенной гладкостью. Рассмотрена функция (р : Шп —v С со следующими свойствами: р Є 5(lRn) (пространству основных функций Л.Шварца),

Неравенство Харди для модулей непрерывности перестановок

Следующий результат показывает,что при использовании в качестве характеристики гладкости функции модуля непрерывности ее симметричной перестановки, удается и в общем случае получить точную двустороннюю оценку. Теорема 2. В условиях теоремы 1 для величины справедлива двусторонняя оценка (с постоянными, зависящими от k,n,p,9,q) Gl& sup [gi(t)4 r(t)]. (3.73) Є(0,г] Замечание 3. Известно, что модуль непрерывности первого порядка для симметричной перестановки оценивается сверху через модуль непрерывности самой функции, а для модулей более высоких порядков это, вообще говоря не так. В то же время, сопоставление (3.73) и (3.9) показывает, что всегда Gr CG\.. Это означает, что в интегральном смысле, заложенном в формулах (3.8) и (3.72), модуль непрерывности симметричной перестановки всегда мажорируется модулем непрерывности самой функции. Если же go(t) « gi(t), то Gr и G\. Замечание 4. В полученых результатах постоянные не зависят от г и можно осуществить предельный переход при г —У со. Если ф(1) = со, то ф(і) = со, t Є М+; Gr = 0 в (3.8) и Фг( ) = 0 в (3.9). Если же ф(1) со, то ф{і) — 0 (t — со) и для (f\f\4dx)q G = sup Iu%(f,y)eu(y)dy получим Подобным образом модифицируется и оценка (3.13). 3.3.1. Доказательство теоремы 2. Оценка снизу. 1. В первом этапе доказательства нет изменений, (см. 2.1. пункты 1,2,3). Так как в данном случае j = 1, то из формулы (3.21) мы имеем, что V Є (0, г] существует га = m(t) : t Є \рт+і, A m] и ЕІ1} = sup [0і( )Фг( )]= sup sup Ы )ФГ( )]« ) Докажем сначала первое неравенство в (3.76). Рассмотрим функции вида (3.25), fu[x) при 0 г v. Для них fl(x) = fjy(x) (так как они радиально-симметричны и fv{x) = F( )-), г/ 0; F(t) убывает) и верны оценки (3.27),(3.28). Затем рассмотрим все функции / Є Lp(Br), такие, что /й(ж) = fu(x) при х Є Вг. По свойству перестановок (см. [31] Теорема 4.1 глава VII) если г;(а;) 0, то (здесь мы использовали (3.81) и учли, что & -). В результате из (3.79), с учетом (3.78), (3.80), (3.83) и, оценивая в (3.83) г к ( f theuj(t) dt 1 через ф(г), получим Для доказательства второго неравенства в (3.76) будем использо-вать функции из (3.32). Для f0(x) = 6m//,m(a;), имеем f$(x) = /0(ж), m=0 так как /о (ж) радиально-симметрична и убывает по радиусу (таковы все fnm(x)) , Ът 0. В дальнейщем нам понадобятся оценки (3.33)-(3.36), а вместо оценки (3.38), будет

Похожие диссертации на Дискретизация норм и неравенства Харди в теории пространств Бесова-Лизоркина-Трибеля с обобщенной гладкостью

Применение интегральных неравенств на конусах монотонных функций в теории вложения пространств КальдеронаЖамсранжав Даваадулам

Абсолютно представляющие системы в пространствах аналитических функций с заданной граничной гладкостьюПетров, Сергей Владимирович

О точных константах в неравенствах для норм функции и ее производных на конечном интервале Звягинцев Александр Иванович

Оценки постоянных в неравенствах аддитивности и неравенства для норм смешанных дробных производныхАбделькадер Сенуси

Неравенства между нормами производных функций с ограничениями на старшую производнуюЗернышкина Елена Александровна

Восстановление функций по неточно заданному преобразованию Радона и неравенства для норм некоторых операторовБаграмян, Тигран Эммануилович

Неравенства типа Либа-Тирринга и их приложения в спектральной теорииБарсегян Диана Смбатовна

Методы кусочно-полиномиальной аппроксимации в теории пространств Никольского-БесоваИродова, Ирина Павловна

Канонические весовые системы в теории пространств бесконечно дифференцируемых и голоморфных функцийФам Чонг Тиен

Классические области в операторном проективном пространстве (теория ПАР) и решение интерполяционных задач вида: ..........Хассан, Недал