Методы кусочно-полиномиальной аппроксимации в теории пространств Никольского-Бесова Иродова, Ирина Павловна

Введение к работе

Актуальность темы. Теория пространств функций обобщенной гладкости является интенсивно развивающейся областью исследований, активно взаимодействующей со многими разделами современного анализа (теория функций многих вещественных переменных, теория дифференциальных уравнений в частных производных, теория приближения, гармонический анализ и др.). При этом изучение каждого из классов пространств, являющихся основными объектами теории, основывается на использовании базовых методов современного анализа. В частности, в теории пространств Никольского-Бесова основными средствами исследований являются приближение целыми функциями экспоненциального типа, интегральные представления, сингулярные интегралы, локальные приближения многочленами, гармонический анализ, теория нелинейного потенциала и др. По этому поводу см., в частности, монографии С.М. Никольского, О.В. Бесова, В.П. Ильина, С.М. Никольского, И.М. Стейна, Х. Трибеля, Д. Адамса, Л. Хедберга, а также статью Ю.А. Брудного.

В свою очередь решение актуальных проблем теории стимулирует появление новых концепций, методов и результатов, имеющих общематематическое значение.

Цель работы. В настоящей работе предложен новый подход к изучению пространств Никольского-Бесова, который состоит из двух этапов. На первом этапе мы вводим и детально изучаем свойства диадиче- ских аналогов пространств Никольского-Бесова, которые определяются с помощью кусочно-полиномиальной аппроксимации на подмножестве почти диадических кубов. Благодаря более простой структуре при изучении этих пространств наряду с классическими методами мы применяем разработанные автором комбинаторные алгоритмы. Эти алгоритмы могут быть использованы в прикладных задачах (распознавание образов, сжатие информации).

На втором этапе мы изучаем связь между диадическими и классическими пространствами Никольского-Бесова и на этой основе доказываем ряд известных и новых результатов для классических пространств.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми. Для их изложения нам потребуются некоторые определения. Одним из центральных понятий работы является диадическое пространство Никольского-Бесова, с определения которого мы и начнем.

Обозначим через D_n семейство замкнутых диадических кубов из Q₀ = [0,1]^d с длиной ребра 2^-n. Определим наилучшее приближение функции f Є L_p(Q₀), 0 < p < ж с помощью кусочно-полиномиальных функций вида 9qXq, где gQ является полиномом степени не более

k — 1 по каждой из d переменных, а Xq обозначает характеристическую функцию куба Q. Обозначим эту величину через вк(f,D_n)_p. Таким образом,

е_к^(f,Dn⁾p = inf ^{||f —} gQXQ^||Lp^,

QєD_n

где нижняя грань взята по всем наборам полиномов gQ. Здесь и всюду ниже L_p = L_p(Q₀).

Тогда диадическое пространство Никольского-Бесова, построенное по семейству D, определяется с помощью квазинормы (нормы при p > 1)

/ ж \ V^е

IlfIIb-(D) := E(2^nAek(f,Dn)pП + UfUl_p; (1)

n=0

здесь D = {D_n, n = 0,1,...} - семейство диадических кубов.

Чтобы мотивировать это определение, напомним результат Ю.А. Брудного, который показал, что если в этой формуле D_n заменить на произвольное семейство замкнутых попарно непересекающихся кубов с длиной ребра 2^—n и взять верхнюю грань по всем таким семействам, то получится величина эквивалентная квазинорме классического пространства B^^e, определяемого с помощью k-модуля непрерывности.

По ряду причин нам удобно расширить эту шкалу, заменяя семейство {D_n, n = 0,1,...} на семейство {F_n,n = 0,1,...} почти диадических квазикубов. Для их определения будем пользоваться особыми разбиениями куба Qo.

Для краткости будем называть разбиением куба Q₀ множество замкнутых параллелепипедов, внутренности которых попарно не пересекаются, а объединение дает Q₀.

Положим F₀ = {Q₀}; разбиения F_n, n > 1, состоят из замкнутых параллелепипедов, получающихся при делении Q₀ гиперплоскостями, параллельными координатным гиперплоскостям и удовлетворяющих условиям:

1. длины ребер параллелепипедов из F_n эквивалентны 2^-n c фиксированными константами эквивалентности, не зависящими от n. В дальнейшем такие параллелепипеды будем называть квазикубами;

2. для любого квазикуба Q Є F_n+1 существует единственный квазикуб QQ Є F_n такой, что Q С Q'.

Разбиение F_n будем называть почти диадическим разбиением порядка n. Семейство F = {F_n, n = 0,1,...} будем называть почти диадическим семейством. Отметим, что диадическое семейство является частным случаем этого понятия.

Заменяя в формуле (1) разбиение D_n на F_n, мы получим определение диадического пространства Никольского-Бесова B^^e(F), построенного по семейству F. Далее диагональное пространство B^^p (F) будем обозначать Bp^A(F).

Еще одним объектом, изучаемым в диссертации, является пространство функций с ограниченной средней осцилляцией, построенных по семейству F. В дальнейшем это пространство будем обозначать BMO(F). Отметим, что в случае, когда F совпадает с семейством диадических кубов D, это пространство впервые было введено в работе Дж. Гарнетаи изучено многими авторами. Укажем в частности, что один из наиболее глубоких результатов в этой области получен в статье Дж. Гарнета, П. Джонса.

Далее изложим новые результаты, которые получены в диссертации. Прежде всего отметим серию результатов, в которых изучаются основные свойства кусочно-полиномиальных приближений, построенных по почти диадическим разбиениям. Доказаны теоремы, в которых сравнивается скорость приближения кусочно-полиномиальными функциями в разных нормах, построенными по разным разбиениям, c разными степенями многочленов, составляющих кусочно-полиномиальные функции.

Основываясь на этих результатах и развитой при их доказательстве технике, мы подробно изучаем свойства диадических пространств Никольского-Бесова: теоремы вложения, интерполяционные теоремы, порядок диадической гладкости.

Существенную роль при доказательстве играют комбинаторно- геометрические свойства дерева, порожденного почти диадическим семейством. Основная теорема, использующая эти свойства, дает разбиение дерева с конечным множеством выделенных n вершин в виде объединения O(n) попарно непересекающихся путей.

С помощью этой теоремы, мы конструируем алгоритмы, которые дают два центральных результата работы: теорему о нелинейной аппроксимации и неравенство типа неравенства Бернштейна.

Первый из этих результатов оценивает скорость приближения функции из Bp(F) в метрике пространства L_q, 0 < p < q < ж или 0 < p < 1,

q = ж с помощью кусочно-полиномиальных функций вида ^ PQ_iXQ_i,

i=i ^{i i}

где PQ_i - полиномы, а Q_i - квазикубы из F. Здесь Л - это предельный показатель, который определяется равенством Л = d(p — 1). В случае, когда p > 1, q = ж аналогичный результат верен в метрике пространства BMO(F).

Особенностью этой теоремы является тот факт, что скорость приближения остается такой же, как если бы мы приближали эту функцию в более слабой L_p - метрике (эффект нелинейной аппроксимации).

Вторая теорема, неравенство типа неравенства Бернштейна, дает оценку Bp(F) - квазинормы, вообще говоря, разрывной кусочно -

полиномиальной функции s_n = ^ PQ_iXQ_i, Q_i Є F через ее квазинорму

i=i ^{i i}

в пространстве L_q, здесь, как и выше, Л = d(¹¹ — ¹).

Этот результат основан на алгоритме в каком-то смысле обратном к аппроксимационному алгоритму предыдущей теоремы. Отметим, что его можно рассматривать, как обращение теоремы вложения B^(F) в L_q.

Используя эти результаты, мы получаем описание диагонального диадического B-пространства в терминах нелинейного приближения кусочно-полиномиальными функциями.

Диадические B-пространства тесно связаны с классическими B- пространствами. Как доказано в диссертации, каждое диадическое пространство содержит соответствующее классическое, а для малых гладкостей эти пространства совпадают. Для остальных гладкостей B^^e является пересечением конечного числа диадических B-пространств с подходящим образом подобранными семействами разбиений F. Благодаря этому свойству многие трудные результаты для классических пространств удалось получить из аналогичных, существенно более просто доказываемых результатов для диадических пространств либо с помощью алгоритмов, развитых в теории диадических пространств.

Отметим некоторые из основных результатов, установленных подобным образом.

2. 1. Теорема о нелинейной аппроксимации сплайнами функций из пространства B^ в метрике пространства L_q, где Л = d ^ 1 — ^, 0 < p < q < ж или 0 < p < 1, q = ж.

   Отметим, что вопрос о приближении функций из пространства Bp^p, p > 1 остается открытым.

   Трудность доказательства этой теоремы классическими методами состоит в том, что граф пересечений носителей B-сплайнов, которые участвуют в разложении функции f Є Bp^, носит сложный характер. Поэтому предварительно представляем этот граф в виде объединения попарно непересекающихся c(d) деревьев, порожденных почти диадическими семействами. Это позволяет разбить f на сумму c(d) функций, а затем к каждой из этих функций применить слегка модифицированный алгоритм, разработанный для диадических пространств.

   2. 2. Неравенство типа неравенства Бернштейна для функций s_n, которые являются линейными комбинациями n гладких B-сплайнов.

      Для доказательства этого неравенства используется аналогичное неравенство для диадических пространств и интерполяционная техника.

      3) Конструктивная характеристика пространства B^ в терминах нелинейной аппроксимации сплайнами в метрике пространства L_q(Q₀) или BMO.

      Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут найти применение в теории функций, в теории приближений, а также в прикладных задачах (распознавание образов, сжатие информации и др.).

      Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на заседании следующих научных семинаров: Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова, механико- математический факультет, семинар под руководством профессора В.М. Тихомирова; математического института им. В.А. Стеклова, семинар под руководством академика С.М. Никольского и чл.-корр. РАН Л.Д. Кудрявцева; Российского университета дружбы народов, факультет физико-математических и естественных наук, семинар под руководством чл.- корр. РАН В.Д. Степанова и профессора А.Л. Скубачевского; Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова, семинар под руководством профессора Ю.А. Брудного и семинар под руководством профессора Н.Я. Кругляка. По материалам диссертации были сделаны доклады на международных конференциях, список которых приведен в конце автореферата.

      Публикации. По теме диссертации опубликовано 28 работ, из них 11 статей в научных журналах списка ВАК и 11 тезисов докладов на международных конференциях.

      Структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, разбитых на разделы, и списка литературы из 104 наименований.

      Похожие диссертации на Методы кусочно-полиномиальной аппроксимации в теории пространств Никольского-Бесова

      

      Распределение нулей функций из обобщённых пространств Бергмана и некоторые применения в теории аппроксимацииБирюков Лев Николаевич

      Топологические методы теории регулярных операторов в пространствах КанторовичаШамаев, Иван Иванович

      Нестандартные методы в гармоническом анализе и теории упорядоченных пространствГордон, Евгений Израилевич

      Инфинитезимальные методы в теории векторных решеток и решеточно нормированных пространствЕмельянов, Эдуард Юрьевич

      

      Дискретизация норм и неравенства Харди в теории пространств Бесова-Лизоркина-Трибеля с обобщенной гладкостьюМатарутиния Ведаст

      Классические области в операторном проективном пространстве (теория ПАР) и решение интерполяционных задач вида: ..........Хассан, Недал

      Канонические весовые системы в теории пространств бесконечно дифференцируемых и голоморфных функцийФам Чонг Тиен

      

      Некоторые вопросы теории весовых пространств и приложения к вырождающимся эллиптическим уравнениям Байдельдинов Бахыт Лаикович

      

      Применение интегральных неравенств на конусах монотонных функций в теории вложения пространств КальдеронаЖамсранжав Даваадулам

      

      Последовательности функций в симметричных пространствах и их приложения в геометрии банаховых пространств и теории операторовНовиков Сергей Яковлевич