Применение левнеровских семейств отображений в задачах комплексного анализа Юферова Галина Александровна

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Примеры интегрирования уравнения Левнера и уравнения Левнера - Куфарева . 16

1 Экстремальные функции в теореме вращения на классе S 17

2 Уравнение Левнера с управляющей функцией JU(T,OC,J3) = е'^а т' 27

3 Об одном случае интегрирования уравнения Левнера — Куфарева 31

Глава 2. Функция Кебе и ортогональные многочлены 35

1 Теорема о композиции степенных рядов 35

2 Гипергеометрические многочлены Гаусса, ортогональные многочлены и функция Кебе 38

3 Применение теоремы о композиции степенных рядов к решению уравнения Левнера с постоянным управлением 47

Глава 3. Связь экспоненциальных многачленов Бранжа с функцией (T,Z) И функцией Кебе 53

1 Производящая последовательность для полиномов Бранжа 56

2 Связь функции Бранжа с коэффициентами функции Wm \T,zJ 60

3 Неравенства для коэффициентов функции Wm[T,z) 65

Литература 77

• Об одном случае интегрирования уравнения Левнера — Куфарева
• Гипергеометрические многочлены Гаусса, ортогональные многочлены и функция Кебе
• Применение теоремы о композиции степенных рядов к решению уравнения Левнера с постоянным управлением
• Связь функции Бранжа с коэффициентами функции Wm \T,zJ

Введение к работе

В начале XX классическая теория Вейерштрасса о последовательностях голоморфных функций пополнилась исследованиями Каратеодори о сходимости последовательности областей к ядру и соответствующих отображений к отображению на ядро. Эти результаты были обобщены на семейства, зависящие от вещественного параметра и появилась возможность и необходимость исследовать дифференциальные свойства отображений относительно вещественного параметра. Первые исследования в этом направлении были выполнены Левнером [60] в 1923 году. Им был получен следующий результат. Пусть А є С, А^С, — односвязная область в w-плоскости, содержащая точку w = 0. Пусть w = ;к (г), 0<т<т<+<»,- простая

жорданова дуга в А, начинающаяся в точке ^(г^єА, оканчивающаяся в

точке /(г⁰) границы области А и не проходящая через нуль. Обозначим

отображение единичного круга E = (z є C;|zJ < 1| на А с исключенной частью

рассматриваемой дуги от у(0) до у{т) через w = 4^(7,^), ^(0,^) = 0,

4^J'_z(Q,z)>0. Всегда можно полагать, что 4^/{r,z) = e^Tz + .... Левнер показал,

что (г,г) имеет производную

&(t,z) _ fflF(r,z) ju(t) + z
дт dz ju(t)~z

где ju(t) - точка на границе круга Е, соответствующая подвижному концу

разреза. Полученную формулу можно рассматривать и изучать как

дифференциальное уравнение. Из-за неизвестности ((),), Wr⁰,^) более

удобно исследовать уравнение для функции (т,г) = р{Ч!(<д,г),т}, где

т єГо,г], a F(t,w) — функция, обратная к ^(r^z) при фиксированном т, то есть уравнение

dr ju{t)-C

Плотный относительно равномерной сходимости внутри Е подкласс класса S, то есть класса голоморфных однолистных отображений f{z) круга

Е, удовлетворяющих условиям: /(0) = 0, /'(0) = 1, можно получить как множество отображений

f(z) = lime^T^(т,z) = z + c₂z² +..., zеЕ,

где {t,z) — решение уравнения (*) (уравнения Левнера) с непрерывной управляющей функцией м{^т)> |//(т) = 1. Левнер, пользуясь (*), доказал неравенство |с₃|<3 на классе S, что было дополнительным фактом в пользу справедливости гипотезы Бибербаха [29]: |с„|<и на S при любом neN. На

основе уравнения Левнера и исследований Г.М. Голузина [34], [35], [36], [37], [38]; [39], [41], И.Е. Базилевича [23], [24], [26] сформировался один из методов геометрической теории функций комплексного переменного: метод параметрических представлений. П.П. Куфаревым [53], [56], [57], И.А. Александровым [5], [15], В.А. Синевым, Г.Д. Садритдиновой [65], [66] он был развит в направлении реализации конформных отображений (нахождение постоянных в интеграле Кристоффеля - Шварца, получение интегральных представлений подклассов класса 5). И.А. Александров [9], В.И. Попов [62], С.А. Копанев [17], В.Я. Гутлянский [43] нашли области значений многих функционалов на классе S, в том числе, область изменения ln/'(z₀) на S, П.П. Куфарев [48] и А.Э. Фалес [58] решили известную задачу

М.А. Лаврентьева о дополнительных областях.

Более общее, чем уравнение Левнера, уравнение

^- = -СР{С,т),0<т<+ъ,

где функция Р(<^,г), при фиксированном г, голоморфна в круге Е и имеет в

нем положительную вещественную часть, изучалось П.П. Куфаревым, [49], [51], [52], [54] и получило название уравнения Левнера — Куфарева. Основываясь на выпуклости класса функций Каратеодори, И.Е. Базилевич [25], интегрируя уравнение Левнера - Куфарева, получил интегральное представление подкласса класса S, включающее звездные и выпуклые отображения. А.П. Сыркашев [71] в частных случаях свел уравнение Левнера - Куфарева к уравнению Бернулли и уравнению к Рикатти.

Д.Б. Прохоров* [63], С.А: Копанев [45], И.А. Александров [4]' исследовали вариационные задачи, сочетая метод параметрических представлений с методом оптимального управления Л.Є. Понтрягина.

Объединение метода внутренних вариаций Шифера' - Голузина и метода параметрических представлений Левнера дано П.П. Куфаревым [50]. М.Р: Куваев [47] распространил уравнение Левнера на автоморфные функции; И.А.Александров - на однолистные отображения кругового кольца, Л.М. Бер [28] - на области с несколькими разрезами, Л.С. Копанева [46] - на отображения с симметрией переноса.

Установлены связи между методом параметрических представлений и вариационно-параметрическим методом М.А. Лаврентьева.

В недавних работах И.А. Александрова [1], [8] показано, что в рамках метода параметрических представлений можно получить основную вариационную формулу Голузина.

В работах Н.А. Лебедева и И.М. Милина [59] был разработан «аппарат формального экспоненцирования», позволяющий перенести ограничения^ с логарифмических коэффициентов * на тейлоровские коэффициенты однолистных функций, в частности, позволяющий оценивать коэффициенты функции / є S следующими неравенствами:

\c_n{f)\^M"(^/\n = 2,3_i...,

п _к=і\ і к I z _и=1

Уп (f) ~ логарифмические коэффициенты функции /.

Полное решение задачи Бибербаха о коэффициентах функций класса S было получено Л.де Бранжем [30], [31] в 1984 году. Важной частью предложенного им доказательства стал этап с использованием метода параметрических представлений.

Функционал И.М. Милина Бранжем рассматривался как предельное значение при г = 0 функции

k=\ ^v '

где у„(f) -логарифмические коэффициенты функции е~^тхИ(т,г), а

м ⁿ~J \ ^S-J Л J-¹ J — компоненты решения некоторой системы уравнений. Бранж, пользуясь работой Р. Аски, Г. Гаспера [21] установил, что

где m = n-s + l, k = s-l, и доказал гипотезу Милина [61], то есть показал, что М_п (f) > 0. В силу леммы Лебедева - Милина имеем \с_п\ < п.

В 1991 году Вайнштейн [32] представил другое доказательство гипотезы Бибербаха без использования результата Р. Аски и Г. Гаспера. Доказательство Вайнштейна сводилось к установлению знака введенных в рассмотрение специальных функций А"(г). Тодоров [72] и Вильф [33]

независимо друг от друга показали, что функции А" (г) связаны с функциями

Бранжа следующим соотношением: Y'_sn (г) = -sA" (т).

И.А. Александровым, А.И. Александровым, Т.В. Касаткиной [14], [16], Г.А. Юферовой [20], [75], [76] исследованы связи Y_kn(r) с задачами

конформных отображений.

Метод параметрических представлений получил дальнейшее развитие и выделился среди всех методов исследования экстремальных задач на классах однолистных отображений как единственный в настоящее время приведший к решению задачи Бибербаха о коэффициентах.

Приведем краткое изложение содержания диссертации. Мы будем использовать номера теорем и формул, введенные в основном тексте данной работы.

В первой главе приводятся новые случаи интегрируемости уравнения Левнера и уравнения Левнера - Куфарева.

В первом параграфе первой главы получено решение (t,z,ju)

уравнения Левнера с заданной управляющей функцией /j.[t) = е~^2ир Х^ъ {т ,(р),

где X (г, (р) дается формулой X = X (г, (р) = cos (р е~^т + /у 1 - cos² ср e~^2r, и с начальным условием ^(0,z,//) = z, zeE. Теорема 1.1. Функция

D D

Хе~^2і(р

z-cos

_k2 '

D = D(z,cp) =

cos (p [\-_e*z)

при фиксированном т, 0<г<+ао, осуществляет однолистное конформное отображение единичного круга при (р е (0,2л^-) \ {л^-} в единичный круг

|^"е<С;|^|< 1| с разрезом, начинаюгцимся в точке ^_х = ^\у^е^щ\ju) и,

оканчивающемся в точке на единичной окружности, а при <рє{0,7г) в

единичный круг с выкинутой лункой, ограниченной дугой единичной окружности и дугой кривой, лежащей в единичном круге. При этом С{т,0,м) = 0, (г,0,/і) = е-^г. Функция

f(z,(p) = ^{Z COS<}^ f , (ре[0,2тг), zgE, (і - e^i(pz)

является предельной для е^т(т,г,(р) при т—»+оо, дает точную оценку

аргумента производной при Ы<—-j= и осуществляет однолистное

конформное отображение круга Е на плоскость w-u + iv с разрезом вдоль

1 г( ш \ і

4sin#? ^v ' 4sin#>

прямой v = ctgl(p'UA _:—, начинающимся в точке /fe^,(\

- COS67

пересекающий ось абсцисс в точке

2 cos 2q)

Частным случаем теоремы 1.1 при <р = 0 является пример П.П. Куфарева [56]

_^^ТЛ_"⁾⁼_тЬ\

_{? + Я}»-Д',|(1-,)Гі-^

показывающий, что решение ^(r,z,//) уравнения Левнера не всегда отображает круг Е на круг |^| < 1 с разрезом.

Во втором параграфе первой главы решается задача о нахождении решения (t,z,/li) уравнения Левнера с управляющей функцией

//(г) = e^^a+Pv', а,рєЕ, и с начальным условием {p,z,/i) = z, ze.

Теорема 1.2. При фиксированном т, 0<г<+оо, и а,/ЗеШ функция (t,z,jli), заданная неявно уравнением

e^rQ _ z

2 ^— _2_ '

где 8 = ;—, осуществляет однолистное конформное отображение круга

Е в единичный круг \С єС;|^|<і}. При этом <^(г,0,//) = 0, <^'(г,0,//) = е^_г.

[\-^\ + <\e-*K{z)\

В частности, функция C(t,z,-1) = - — — является

^{W bV ;} 4e~^TK(z)

решением дифференциального уравнения Левнера с управляющей функцией //(г) = -1. Она играет важную роль в исследовании проблемы

коэффициентов.

В третьем параграфе первой главы решается задача о нахождении решения С{^Т) уравнения Левнера - Куфарева с начальным условием (0) = z, zєЕ и

P(z,z,t,a) = \t + (\-2t)ae~^T~Y^- + \\-t-(\-2t)ae~^T^—-, zeE. Теорема 13. При любых a, t функция

l-2Ae-^Tw-J(l-2Ae-^Tw) -4<Г^2гі
С(т) = ^ '- , 0<г<+оо,

w — w [z =

(z) = , г =-, A = (l-2t)(l-ae-^T),

^{V J} \ + 2(l-2t)(\-a)z + z^{2 V Л ;}

осуществляет однолистное конформное отображение единичного круга на круговой шестиугольник с границей, образованной единичной окружностью и двумя отрезками вещественной оси. Функция

H(z,t,a) = —

2 Z + Z

^{V ;} l + 2(l-2t)(l-a)

является предельной для е^т^{т) при т—»оо. Она принадлежит классу S и

осуществляет однолистное конформное отображение единичного круга Е на область, представляющую собой, плоскость С с двумя разрезами вдоль

,+со

-оо.

вещественной оси:

2 + 2(\-2t)(\-a)

' 2-2{\-2t)(\-a)

используется в третьей главе при установлении знака функции Бранжа.

Во второй главе получены формулы, связывающие классические ортогональные полиномы Лежандра, Чебышева, Якоби, Гегенбауэра с решением (t,z) уравнения Левнера с постоянным управлением /г(т) = -1.

Они представляют композицию простейшего отображения с функцией Кебе. Доказывается теорема о подстановке ряда обобщенной функции Кебе

3.

т, /7 = 1,2,..., в произвольный степенной ряд Q_p{u)-^b\^р'и^, то

(l-z^PY *=о

есть о представлении композиции

\кр

_{*,(«)=f>J"e,}

/с=0

2^pxz

(1-_г>)

в виде ряда по степеням z, zєЕ. Полученная теорема применяется для разложения целой положительной степени решения ^{t,z) уравнения Левнера

dC -1 + С

, (0,z) = z, z<=E,

dr -\-C

d^m(T,z)

Установлена связь между членами последовательности

m=\

Применяемый нами способ может быть распространен с целью получения разложений, коэффициенты которых связаны со специальными функциями.

Все результаты получаются как следствия применения доказанной в первом параграфе второй главы теоремы 2.1 о разложении композиции сходящегося ряда с/?-симметричной функцией Кебе.

Теорема 2.1. Пусть функция Q_p{u) голоморфна в области D, OeD, и

имеет разложение вряд вида:

^{а («)=21^^,^=1,2,...}

Тогда при фиксированном х є (0, і) разложение функции

^Ґ г Л

2^PXZ

"(1-zO*

Ф„ (*) = -—б,

по степеням переменной z имеет вид

_{ф,М=1гЛ*К'.}

m=0

g,

'k\ Jk

,(/0

_{У(^)-ї^(-іГ}^,(_"7У"⁺¹⁾_'^

представляет собой полином степени т, если Ь^' Ф О.

В частности, при р = \ и фиксированном хє(0,і) разложение функции

Ф« = — Q

по степеням z имеет вид

(l-zf

,где Q(u) = Y,b_ku^k,

k=0

(-m)_k(m + l)_kb_l

W III

^h x^hz^m

_m=ok=o (i)_kQ)_k

Ранее теорема 2.1 для р = 1 была доказана Г.Д. Садритдиновой [67]. Во втором параграфе второй главы приводится ряд примеров, показывающих связь между экстремальной в ряде вариационных задач на

классе S функцией Кебе и классическими ортогональными полиномами Чебышева, Лежандра, Гегенбауэра, Якоби, а также с некоторыми другими функциями.

В третьем параграфе второй главы получены ряды по степеням z для степеней решения "(r,z) уравнения Левнера и для производных от

ln^(r,z) по т и ПО Z.

Теорема 2.2 Решение (т,г), 0 < г < +оо, уравнения Левнера

dr ^Ъ1 + С с начальным условием "(0,z) = z, возведенное в степень т, имеет разложение вряд по степеням z следующего вида'.

_{«'^"-gf'L-:,"}

х?х

m + l,m-l 2т +1

;е

z^l, meN.

Получено дифференциальное соотношение между степенями решения уравнения Левнера с постоянной управляющей функцией. Теорема 2.3 При т = 1,2,... имеет место равенство

dC^m+l{T,z) dC"^l(T,z)
dv dr

1 dC'"^+l(T,z) ld^M(T,z)

m + \ dr m dr

В третьей главе исследуется проблема Бибербаха о коэффициентах. Получена система дифференциальных уравнений для коэффициентов

разложении функции ^ ^п0 степеням z.

(l - z) dr

Показано совпадение этой _% системы с системой дифференциальных уравнений для нахождения экспоненциальных полиномов Бранжа, используемых в доказательстве справедливости гипотезы Бибербаха о коэффициентах. Дается вывод формулы суммирования для полиномов Чебышева второго рода и получено представление производных функций Бранжа 1„(г) не в виде суммы знакочередующихся слагаемых, как оно

первоначально была получена Бранжем, а в виде суммы со слагаемыми одного знака. Получена связь полиномов Чебышева второго рода с полиномами Бранжа. Это позволяет провести исследование указанных полиномов с , позиции теории конформных отображений и получить неравенство В_п (г) > 0, а значит М_п (/) > 0.

В первом параграфе третьей главы рассмотрена определенная в \0,со)хЕ последовательность \W_m{r,z)^ _ , где

W₀(T,z) = -K(z)^dlnC}^T>^Z\ W_m+l(r,z) = C(T,z)W_m(T,z), m=0,U.

Пользуясь теоремой 2.3, устанавливается связь между элементами этой

последовательности: при т = 0,1,... имеет место равенство

^^^) + 1^(^) = (^ + 1)^.(^)-^.(^). Получена система дифференциальных уравнений для коэффициентов

функций W_m(z,z)= Yj QiA^t)^z''> ю = 0,1,.-.:

l-m+l

~s^iM=-("-i)fi,^W.^i.

^^,^^) = 22(-1)^(^-7)^^^-(^-,)0,^(^), s = 2,...,n-l, neN\{l}

Во втором параграфе третьей главы установлена связь экспоненциальных полиномов Бранжа

( _s \ >(-\у-^г(2п-2А(2п-А ,_пАг

n — s) _r=i n — r

_v s-r

r-l

с решением (t,z) уравнения Левнера и функцией Кебе .

( s ^

Теорема 3.1. Производная функции Бранжа Y_sn

' V n-sj

коэффициенты Q_nn__s{t) разложения функции W_m{r,z) связаны равенством:

xin,n-s V / s,n

_{T i±H)}

² ,

В третьем параграфе третьей главы введена в рассмотрение функция

^Hr(^z) = Г'

^rK ' l-2cosy-z + z²

полученная в первой главе как предельная при т-»оо для решения е~^т(т) уравнения Левнера-Куфарева при t = 1, а~\-sin²у.

Показана связь этой функции с последовательностью \W_m(r,z)j :

H_r{z) = W_Q{r,z) + 2YW_m(r,z)'COsme и с ортогональными полиномами Чебышева:

H_y{z) = ^U_m__l(cosy)z^m.

Получена связь коэффициентов разложения функции W_m{r,z) с полиномами Чебышева:

Cl_l{oosy) = U_m__i(cosy)^Q_mfi(T) + 2Y_jQ_mJ(T)-cosl0, ш = 1,2,... (10)

i=i

Дан вывод формулы суммирования для полиномов Чебышева второго рода и ее применение к исследованию экспоненциальных полиномов Бранжа: Лемма 3. Имеет место функциональное соотношение

^хс-(_х^{)с^(}_у^)рла

где постоянная

(n + j+ 1)\

Теорема 3.2. Коэффициенты Q„j(t), 0в разложении (10) функции t/_m(cos^) неотрицательны.

Следствие 1. Имеет место неравенство Y'_sn\ т, <0, 0<г<+оо,

'v n-s)

#ieN\{l}, s = \,2,...,n.

\

Следствие 2. Экспоненциальный полином Бранжа Y_sn\ т,—

' V n-sJ

(0,+оо) положительно определен.

Об одном случае интегрирования уравнения Левнера — Куфарева

Логарифмическими коэффициентами функции класса S называют коэффициенты уп (/) разложения функции В работах Н.А. Лебедева и И.М. Милина [59] был разработан «аппарат формального экспоненцирования», позволяющий перенести ограничения с логарифмических коэффициентов на тейлоровские коэффициенты функций, в частности, позволяющий оценивать коэффициенты степенного ряда функции f{z) класса S следующими неравенствами:

Нетрудно видеть, что тахМ„(/) = — реализуется на функции и что Mn(Kp(z)) = 0, поскольку ( (г)) = -. И.М. Милиным [61] на основе приведенных им исследований была высказана гипотеза: min Мп (/) = Мп (Кр (z)).

В 1984 году Л. де Бранж [30] доказал ее справедливость и как следствие получил неравенство с„(/) «, feS. Задача Бибербаха о коэффициентах, известная как проблема коэффициентов, получила решение. В основе доказательства лежат неравенство (1) и метод параметрических представлений Левнера.

Наметим, следуя работе [6] и используя введенные в ней обозначения, ход доказательства Л. де Бранжа. Пусть f(z) — функция класса S, дающая при фиксированном п = 2,3,... минимум функционалу Мл(/) на классе S. Поскольку f(z) отображает единичный круг на плоскость с кусочно — аналитическим разрезом, не проходящем через нуль и оканчивающимся в бесконечности, то при соответствующей параметризации разреза функция Ш[т,г), z єЕ, 0 т оо, отображающая круг Е на плоскость с укороченным разрезом, удовлетворяет уравнению Здесь кусочно-непрерывная функция м(2)- Мг) = Ь является прообразом подвижного конца разреза (рис. 4). Параметризация разреза выбирается таким образом, что (г,г) = eTz +..., и поэтому e TXV(r,z) є S. Пусть у „(г) — логарифмические коэффициенты функции x(riz)i то 1 4 (T,Z) , ч есть —In——т—- = 2_jyn\T\z". В силу теоремы Каратеодори о ядре и теоремы 2 eTz и=1 Вейерштрасса функция її ] -\ V ч к сходится при т -» 0 к Mn (/). Бранж ввел функцию 5-WS=Z(1- 2KM2) MW»0 7 +C. Лг=1 n — k и доказал возможность выбора функций Yn_kn(r), Yn_kn{0) = к п \ Y„-k,nH = таких что W = SHW W » 0 т +со. Поэтому Вп (г) 0, Вп (О) = пМп (/) 0. Фулкция 71 (г), s = n-k, получила название (s, п) -функция Бранжа. Бранжем было показано, что в качестве Ykn(r) для фиксированного п следует взять компоненты решения { и(т), „(г),...,7п_1л(т) системы дифференциальных уравнений y[ = -(n-\)yv s-\ y s=2j](-l)s+J+ (n-j)yj-(n-s)ys, s = 2,...,n-l, с начальным условием у (О) = , s = 1,...,п — 1. n-s Отношение этой системы уравнений к конформным отображением Бранжем не выяснялось. Представляет интерес задача об установлении возможной связи между Ykn[r) и функцией (T,Z), сходящейся при т— со (после умножения на ет) к функции Кебе K{z) и являющейся экстремальной вместе с Кр(г) = J" в проблеме коэффициентов. Проведенный нами (1 - e zj исследования показывают, что Ykn[r) выражаются через коэффициенты разложения степеней (r,z). Полученные формулы приводят к новому доказательству неравенства Вп (г) 0. Отметим работы И.А. Александрова [14], [16], [18], Коефа В. [44], Тодорова П. [73], относящиеся к этой задаче.

Гипергеометрические многочлены Гаусса, ортогональные многочлены и функция Кебе

Приведем краткое изложение содержания диссертации. Мы будем использовать номера теорем и формул, введенные в основном тексте данной работы.

В первой главе приводятся новые случаи интегрируемости уравнения Левнера и уравнения Левнера - Куфарева.

В первом параграфе первой главы получено решение (T,Z,JU) уравнения Левнера с заданной управляющей функцией /J.[T) = е 2ир Хъ {т ,(р), где X (г, (р) дается формулой X = X (г, (р) = cos (р е т + /у 1 - cos2 ср e 2r, и с начальным условием (0,z,//) = z, zeE. Теорема 1.1. Функция при фиксированном т, 0 г +ао, осуществляет однолистное конформное отображение единичного круга при (р е (0,2л-) \ {л-} в единичный круг "е С; 1 с разрезом, начинаюгцимся в точке х = \у ещ\ju) и, оканчивающемся в точке на единичной окружности, а при рє{0,7г) в единичный круг с выкинутой лункой, ограниченной дугой единичной окружности и дугой кривой, лежащей в единичном круге. При этом С{т,0,м) = 0, (г,0,/і) = е-г. Функция f(z,(p) = Z COS f , (ре[0,2тг), ZGE, (І - ei(pz) является предельной для ет(т,г,(р) при т—»+оо, дает точную оценку аргумента производной при Ы —-j= и осуществляет однолистное V2 конформное отображение круга Е на плоскость w-u + iv с разрезом вдоль 1 г( ш \ і и 4sin#? v 4sin# прямой v = ctgl(p UA :—, начинающимся в точке /fe,(\ pj = - COS67 пересекающий ось абсцисс в точке 2 cos 2q) Частным случаем теоремы 1.1 при р = 0 является пример П.П. Куфарева [56] ТЛ")=тЬ\ ? + Я»-Д ,(1-,)Гі- показывающий, что решение (r,z,//) уравнения Левнера не всегда отображает круг Е на круг 1 с разрезом. Во втором параграфе первой главы решается задача о нахождении решения (T,Z,/LI) уравнения Левнера с управляющей функцией //(г) = e a+Pv , а,рєЕ, и с начальным условием {p,z,/i) = z, ze. Теорема 1.2. При фиксированном т, 0 г +оо, и а,/ЗеШ функция (T,Z,JLI), заданная неявно уравнением erQ _ z 2 — _2_ где 8 = ;—, осуществляет однолистное конформное отображение круга Е в единичный круг \С єС; і}. При этом (г,0,//) = 0, (г,0,//) = е_г. [\- \ + \e- K{z)\ В частности, функция C(T,Z,-1) = - — — является W bV ; 4e TK(z) решением дифференциального уравнения Левнера с управляющей функцией //(г) = -1. Она играет важную роль в исследовании проблемы коэффициентов. В третьем параграфе первой главы решается задача о нахождении решения С{Т) уравнения Левнера - Куфарева с начальным условием (0) = z, zєЕ и P(z,z,t,a) = \t + (\-2t)ae T Y - + \\-(\-2t)ae T —-, zeE. Теорема 13. При любых a, t функция w2 l-2Aew-J(l-2Aew) -4 Г2гі С(т) = - , 0 г +оо, где w — w [z = (z) = , г =-, A = (l-2t)(l-ae), V J \ + 2(l-2t)(\-a)z + z2 V Л ; осуществляет однолистное конформное отображение единичного круга на круговой шестиугольник с границей, образованной единичной окружностью и двумя отрезками вещественной оси. Функция является предельной для ет {т) при т—»оо. Она принадлежит классу S и осуществляет однолистное конформное отображение единичного круга Е на область, представляющую собой, плоскость С с двумя разрезами вдоль используется в третьей главе при установлении знака функции Бранжа. Во второй главе получены формулы, связывающие классические ортогональные полиномы Лежандра, Чебышева, Якоби, Гегенбауэра с решением (T,Z) уравнения Левнера с постоянным управлением /г(т) = -1. Они представляют композицию простейшего отображения с функцией Кебе. Доказывается теорема о подстановке ряда обобщенной функции Кебе есть о представлении композиции в виде ряда по степеням z, zєЕ. Полученная теорема применяется для разложения целой положительной степени решения {T,Z) уравнения Левнера Установлена связь между членами последовательности m=\ Применяемый нами способ может быть распространен с целью получения разложений, коэффициенты которых связаны со специальными функциями. Все результаты получаются как следствия применения доказанной в первом параграфе второй главы теоремы 2.1 о разложении композиции сходящегося ряда с/?-симметричной функцией Кебе.

Применение теоремы о композиции степенных рядов к решению уравнения Левнера с постоянным управлением

Функция eT{r,z,t,a) отображает круг Е на круг радиуса М = еТ с двумя разрезами и нормирована условием (r,0,t,a) = 0, z(r,0,t,a) = l. По теореме об.однолистности предельной функции функция принадлежит классу S и осуществляет однолистное конформное отображение единичного круга Е на область, представляющую собой плоскость С с разрезами вдоль вещественной оси по лучам а = О и 1 - It = cos у будет использоваться далее в 3 главы 3. Применяя тот же подход к решению уравнения (14) с получим несколько более общий результат. Теорема 1.4 При любых a, t, 0 а со, seN, решение (r,z,t,a) уравнения однолистно и конформно отображает единичный круг на круговой 3s-угольник с границей, образованной единичной окружностью и 3s отрезками вещественной оси. Функция является предельной для функций er(z,z,t,a) при Т — 00 . Остановимся на частных случаях полученного отображения. Следствие Функция является решением дифференциального уравнения dr \-С и осуществляет однолистное конформное отображение круга Е на единичный круг с разрезами вдоль вещественной оси от точки —I до точки -eT + yJe2T-l йот е1-4еъ"-1 до 1. Заметим, что следствия 1 и 3 в 2 также являются следствиями и для теоремы 1.3. Глава 2. Функция Кебе и ортогональные многочлены Классические ортогональные многочлены часто применяются в теоретических исследованиях математиков, в математической физике, в вычислительной математике и квантовой механике. Их можно рассматривать как наиболее простые специальные функции математической физики. В монографической учебной литературе [68], [27] встречаются разные подходы к введению понятия ортогональных многочленов и изложению их свойств. Среди этих свойств выделяют возможность представлять функции как коэффициенты некоторого разложения. При различных подходах к определению ортогональных многочленов по разному начинается изложение теории автором. Мы придерживаемся того, что производящие функции являются исходными [69]. Нами будет многократно использоваться теорема о подстановке степенных рядов, которую приведем и докажем в первом параграфе. Затем во втором параграфе приведем примеры, относящиеся к теории классических ортогональных многочленов Лежандра, Чебышева, Гегенбауэра, Якоби. В третьем параграфе будут получены ряды по. степеням z для степеней решения {r,z) уравнения Левнера с управляющей функцией //(г) = -1 и для производных от ln"(r,z). Они используются в главе 3. 1 Теорема о композиции степенных рядов Теорема 2.1 Пусть функция Qp(u) голоморфна в области D, OeD, и имеет разложение вряд Тогда, при фиксированном хє(ОД) разложение функции и соберем в двойной сумме слагаемые, для которых k + j = m, m = 0,1,..., получим

Связь функции Бранжа с коэффициентами функции Wm \T,zJ

В начале XX классическая теория Вейерштрасса о последовательностях голоморфных функций пополнилась исследованиями Каратеодори о сходимости последовательности областей к ядру и соответствующих отображений к отображению на ядро. Эти результаты были обобщены на семейства, зависящие от вещественного параметра и появилась возможность и необходимость исследовать дифференциальные свойства отображений относительно вещественного параметра. Первые исследования в этом направлении были выполнены Левнером [60] в 1923 году. Им был получен следующий результат. Пусть А є С, А С, — односвязная область в w-плоскости, содержащая точку w = 0. Пусть w = ;к (г), 0 т т + »,- простая жорданова дуга в А, начинающаяся в точке (г єА, оканчивающаяся в точке /(г0) границы области А и не проходящая через нуль. Обозначим отображение единичного круга E = (z є C;zJ 1 на А с исключенной частью рассматриваемой дуги от у(0) до у{т) через w = 4 (7, ), (0, ) = 0, 4J z(Q,z) 0. Всегда можно полагать, что 4/{r,z) = eTz + .... Левнер показал, что (г,г) имеет производную где JU(T) - точка на границе круга Е, соответствующая подвижному концу разреза. Полученную формулу можно рассматривать и изучать как дифференциальное уравнение. Из-за неизвестности ((),), Wr0, ) более удобно исследовать уравнение для функции (т,г) = р{Ч!( д,г),т}, где т єГо,г], a F(T,W) — функция, обратная к (r z) при фиксированном т, то есть уравнение Плотный относительно равномерной сходимости внутри Е подкласс класса S, то есть класса голоморфных однолистных отображений f{z) круга Е, удовлетворяющих условиям: /(0) = 0, / (0) = 1, можно получить как множество отображений где {T,Z) — решение уравнения ( ) (уравнения Левнера) с непрерывной управляющей функцией м{т) //(т) = 1. Левнер, пользуясь ( ), доказал неравенство с3 3 на классе S, что было дополнительным фактом в пользу справедливости гипотезы Бибербаха [29]: с„ и на S при любом neN. На основе уравнения Левнера и исследований Г.М. Голузина [34], [35], [36], [37], [38]; [39], [41], И.Е. Базилевича [23], [24], [26] сформировался один из методов геометрической теории функций комплексного переменного: метод параметрических представлений. П.П. Куфаревым [53], [56], [57], И.А. Александровым [5], [15], В.А. Синевым, Г.Д. Садритдиновой [65], [66] он был развит в направлении реализации конформных отображений (нахождение постоянных в интеграле Кристоффеля - Шварца, получение интегральных представлений подклассов класса 5). И.А. Александров [9], В.И. Попов [62], С.А. Копанев [17], В.Я. Гутлянский [43] нашли области значений многих функционалов на классе S, в том числе, область изменения ln/ (z0) на S, П.П. Куфарев [48] и А.Э. Фалес [58] решили известную задачу

М.А. Лаврентьева о дополнительных областях. Более общее, чем уравнение Левнера, уравнение где функция Р( ,г), при фиксированном г, голоморфна в круге Е и имеет в нем положительную вещественную часть, изучалось П.П. Куфаревым, [49], [51], [52], [54] и получило название уравнения Левнера — Куфарева. Основываясь на выпуклости класса функций Каратеодори, И.Е. Базилевич [25], интегрируя уравнение Левнера - Куфарева, получил интегральное представление подкласса класса S, включающее звездные и выпуклые отображения. А.П. Сыркашев [71] в частных случаях свел уравнение Левнера - Куфарева к уравнению Бернулли и уравнению к Рикатти. Д.Б. Прохоров [63], С.А: Копанев [45], И.А. Александров [4] исследовали вариационные задачи, сочетая метод параметрических представлений с методом оптимального управления Л.Є. Понтрягина.

Объединение метода внутренних вариаций Шифера - Голузина и метода параметрических представлений Левнера дано П.П. Куфаревым [50]. М.Р: Куваев [47] распространил уравнение Левнера на автоморфные функции; И.А.Александров - на однолистные отображения кругового кольца, Л.М. Бер [28] - на области с несколькими разрезами, Л.С. Копанева [46] - на отображения с симметрией переноса.

Похожие диссертации на Применение левнеровских семейств отображений в задачах комплексного анализа

Применения преобразования радона к аппроксимационным задачам многомерного комплексного анализаСекерин, Алексей Борисович

Применение методов спектрального анализа оператор-функций в задаче о колебаниях маятника с полостью заполненной жидкостьюВадиаа, Али

Методы нелинейного многозначного анализа в задачах операторных и дифференциальных включенийНгуен Ван Лой

Обратная задача спектрального анализа для матричного оператора Штурма-ЛиувилляБондаренко, Наталья Павловна

Прямые и обратные задачи спектрального анализа и их приложения к нелинейным эволюционным операторамПоплавский Дмитрий Владиславович

Вторичные редукции в бифуркационном анализе вариационных задач с симметриейБелых Федор Александрович

Методы топологической степени в некоторых задачах нелинейного анализаАЛЬ ОБАИДИ Джамхур Махмуд Исмаил

Нелинейные преобразования мер в задачах стохастического анализаТолмачев, Николай Андреевич

Некоторые вопросы асимптотического анализа краевых задач для дифференциальных уравнений второго порядкаАржанов Алексей Анатольевич

Обратная задача спектрального анализа для интегральных операторов Бутерин Сергей Александрович