Введение к работе
Актуальность работы. В аналитической механике, теории упругих систем, теории кристаллов, теории нелинейных волн и ряде других разделов современного естествознания естественным образом возникает вариационная задача
Vx(x) — inf, (1)
в которой V\(x) — гладкое семейство гладких функционалов (на банаховом пространстве Е или гладком банаховом многообразии М), симметричное (инвариантное) относительно линейного действия Тд группы Ли G на Е:
Vx(Tgx) = Vx(x) Ух, А, (2)
А — параметр со значениями в некотором банаховом пространстве L (конечномерном или бесконечномерном).
В диссертации рассмотрена вариационная задача (1) с дискретной и круговой симметриями (2) при следующих основных условиях: функционал V(x) фредгольмов индекса нуль; действие группы G задано гомоморфизмом д н-> Тд — из G в группу 0{Н) (линейных ортогональных преобразований Н): где Н — некоторое гильбертово пространство, в которое непрерывно и плотно вложено Е\ в случае непрерывной симметрии [G — группа Ли положительной размерности) представление Тд является гладким гомоморфизмом (т.е. отображение д н-> Тд из 5*0(2) в SO{H) является гладким) с дополнительным условием: Тд{М) С М (многообразие М инвариантно относительно Тд).
Фредгольмовость функционала V п& Е означает, что
?-(x)h=(f(x),h), (3)
где f : Е —> F — гладкое фредгольмово отображение нулевого индекса банаховых пространств, (, ) — скалярное произведение в пространстве Н, содержащем Е и F как непрерывно и плотно вложенные подпространства.
Фредгольмовость V на подмногообразии М означает фредгольмо-вость второго кодифференциала V на М l.
При изучении бифуркаций решений вариационных задач, содержащих параметры, достаточно хорошо зарекомендовал себя метод конечномерной редукции 2, который использован и в настоящей диссертации.
Вопросам анализа уравнений с групповой симметрией посвящена обширная литература (например, монографии и статьи Л.В. Овсянникова, Н.Х. Ибрагимова, П. Олвера, A.M. Виноградова с соавторами, В.Ф. Зайцева, А.Т. Фоменко, В.А. Треногина, Б.В. Логинова, З.И. Ба-ланова и др.)
Ряд аспектов теории функционалов с групповой симметрией развивался при непосредственном воздействии эквивариантной теории Морса (А.Т. Фоменко, В.В. Шарко и др.) и теории ветвления решений нелинейных вариационных эквивариантных уравнений (Н.А. Бобылев, Б.В. Логинов, В.А. Треногий и др.).
Уравнения с круговой и бикруговой симметриями изучались в работах Б.В. Логинова, В.Г. Звягина, В. Кравцевича, Б.М. Даринского,
^арийский Б.М., Сапронов Ю.И., Царев С.Л., Бифуркации экстремалей фредгольмовых функционалов// Современная математика. Фундаментальные направления. М.: МАИ. Т.12.
2004. С.3-140.
2Красносельский М.А., Бобылев Н.А., МухамадиевЭ.М. Об одной схеме исследования вырожденных экстремалей функционалов классического вариационного исчисления// ДАН СССР. -1978. - Т. 240, N 3. - С. 530-533.
Ю.И. Сапронова, Е.В. Ладыкиной и др. В работах А.В. Гнездилова изучались уравнения с поликруговой симметрией.
Используемый в диссертации подход к анализу инвариантных функционалов в идейном отношении опирается, с одной стороны, на теорию Ботта (о критических многообразиях) с ее развитием в виде теории Морса для боттовских интегралов (А.Т. Фоменко и др.) и, с другой стороны, на теорию эквивариантных особенностей гладких функций ( В.И. Арнольд, СМ. Гусейн-Заде, В. Поэнару, С.Т.С Уолл, Д. Сирсма и др.).
Ряд вопросов бифуркационного анализа вариационных задач в условиях симметрии сводится к теории миниверсальных разверток краевых и угловых особенностей гладких функций, развитой В.И. Арнольдом, С.Т.С. Уоллом, Д. Сирсмой, Д. Питом, Т. Постоном и др.
В рамках теории фредгольмовых функционалов на банаховых многообразиях недавно получен ряд новых результатов, связанных с анализом бифуркаций вблизи краевых и угловых особых точек границы банахова многообразия (Ю.И. Сапроновым, А.В. Гнездиловым, О.Ю. Даниловой, О.В. Швыревой, М.А. Хуссаином и А.В. Белоглазовым).
В задаче о бифуркации минимальных поверхностей с симметриями и ограничениями были получены новые результаты на основе метода фредгольмовых функционалов А.Ю. Борисовичем и Л.В. Стенюхи-ным.
Основные результаты настоящей диссертации получены при изучении 1) бифуркаций экстремалей гладких фредгольмовых функционалов в случае Ъ\—симметрии (симметрии относительно некоммутати-вой 16-элементной группы, порожденной четырьмя (базисными) инволюциями (не дающей сведение к случаю ключевой функции, четной
по каждой переменной) и 2) при изучении нелокальной редуцируе-мости функционала Эйлера-Пуассона (на группе Ли) к более простой вариационной задаче, допускающей редукцию Ляпунова - Шмидта.
Все исследования в диссертации проведены посредством использования модификаций схемы Ляпунова - Шмидта, специально разработанных для рассмотренных задач. Стержневой идеей, объединяющей результаты диссертации в единое целое, является идея вторичной (повторной) редукции. Последнее означает сведение анализа исходного функционала к анализу функции на конечномерном пространстве посредством последовательности двух или более редуцирующих переходов.
Основные задачи, рассмотренные в диссертации, можно сформулировать следующим образом:
локальное и нелокальное описания геометрических структур дис-криминантных множеств (каустик) в целом или их сечений (для рассмотренных в диссертации типов порождающих особенностей);
описание раскладов бифурцирующих экстремалей (bif—раскладов), отвечающих всевозможным регуляризирующим гладким возмущениям (локальным и нелокальным) уравнений (для рассмотренных типов порождающих особенностей);
приложение к задаче о фазовых переходах в кристаллах;
описание вещественных подалгебр Ли в М(2,С);
приложение к (модельной) задаче о петлеобразных решениях уравнения Эйлера - Пуассона на группе Ли.
Цель работы. Основная цель диссертационной работы — разработка и апробация новых методов изучения локальных и нелокальных бифуркаций орбит экстремалей G—инвариантных фредгольмо-
вых функционалов.
Методика исследования. В математических конструкциях диссертации использованы методы общей теории бифуркаций решений нелинейных фредгольмовых уравнений, теории групп и алгебр Ли, вариационного исчисления и теории гладких функций многих переменных. Методологическую основу развитого в диссертации анализа составляет модифицированный метод Ляпунова-Шмидта.
Научная новизна. Перечисленные ниже основные научные результаты диссертации являются новыми.
Развита новая схема анализа бифуркаций экстремалей фредголь-мова функционала из конечнократной критической точки, приспособленная к случаю Z|—симметрии и 4—мерного вырождения порождающей особой точки.
Изучены плоские сечения каустики и описаны расклады бифур-цирующих критических орбит в случае Z|—симметрии и 4—мерного вырождения порождающей особой точки.
Разработано новое приложение к задаче фазовых переходах в кристаллах.
Дано описание вещественных подалгебр Ли в М(2, С) малой размерности.
Разработано приложение к задаче о бифуркациях петлеобразных решений уравнения Эйлера - Пуассона на группе SL{2).
Практическая и теоретическая значимость. Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации дают обоснование и новое развитие методу фредгольмовых функционалов в вариационном исчислении и, в частности, дают обоснование и развитие методу конеч-
номерных редукций для изучения бифуркаций экстремалей в условиях групповой симметрии.
Результаты диссертации могут найти применение в исследованиях нелинейных проблем классической механики и математической физики, связанных с вариационным подходом и симметрииным анализом краевых задач.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на конференции "Современные методы теории краевых задач"(Воронеж, 2001 г.), на международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамических системам (г. Суздаль, 2004 г.), на конференции "Образование, наука, производство и управление в XXI веке" (г. Ст.Оскол, 2004 г.), на семинаре отдела нелинейного анализа НИИ математики ВГУ и на семинаре проф. Костина В.А. по математическому моделированию (математический факультет ВГУ).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 8 работах [1] - [8]. Из совместных работ [2, 4, 5, 6], в диссертацию вошли только результаты, полученные лично диссертантом.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав, разбитых на 15 параграфов, и списка цитируемой литературы из 87 наименований. Общий объем диссертации — 100 стр.
