Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1 Приложения принципа площадей к однолистным функциям классов С и 5 19
2. Точные коэффициентные неравенства для однолистных функций класса С Каратеодори 19
3. Критерий однолистности функции класса Каратеодори. 32
4. Оценки начальных коэффициентов в классе S, зависящие от радиусов кругов покрытия элементов 36
ГЛАВА 2 Дальнейшие приложения принципа площадей к однолистным функциям классов С5, SM и S 43
5. Новые серии точных коэффициентных неравенств в подклассах Cs[n] класса Cs 43
6. Асимптотически точные оценки начальных коэффициентов в подклассах класса SM 49
7. Применение принципа площадей к оценке третьего коэффициента в классе 5[/о]-
Точные оценки логарифмических коэффициентов в классе S 58
ГЛАВА 3. Метод структурных формул для локально однолистных гармонических отображений 65
8. Вывод структурной формулы для локально однолистных гармонических отображений 65
9. Оценки коэффициентов, теорема покрытия и константы квазиконформности в классах SJJ (а) 68
10. Исследование классов гармонических отображений, ассоциированных с р-кратно симметричными однолистными функциями 76
11. Гармонические отображения, ассоциированные с конформными тображениями из классов S 84
Заключение 90
Приложение 93
Список литературы 104
- Точные коэффициентные неравенства для однолистных функций класса С Каратеодори
- Асимптотически точные оценки начальных коэффициентов в подклассах класса SM
- Оценки коэффициентов, теорема покрытия и константы квазиконформности в классах SJJ (а)
- Гармонические отображения, ассоциированные с конформными тображениями из классов S
Введение к работе
1. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР И ПРОБЛЕМАТИКА
1. Полуторовековая история геометрической теории функций комплексного переменного берет начало в трудах великого немецкого математика Б. Римана. В 1851 г. он защитил докторскую диссертацию на тему "Основы общей теории функций одной комплексной переменной" , а три года спустя прочитал свою знаменитую лекцию " О гипотезах, лежащих в основании геометрии". В них были введены фундаментальные математические понятия "многократно протяженной величины" (риманова пространства, дифференцируемого многообразия), многолистной римановой поверхности, конформного отображения, аналитического продолжения и другие. Идеи Римана пролили свет на истинную природу понятия многозначной функции. Были введены понятия однолистной и многолистной функции и важный "принцип Дирихле", положенный в основу доказательства знаменитой теоремы Римана о конформных отображениях. Данная К. Вейер-штрассом критика принципа Дирихле низвела доказательство Римана на уровень эвристических суждений, и только сорок лет спустя почти одновременно появились три строгих доказательства теоремы о существовании и единственности однолистного конформного отображения односвязной области с границей, содержащей более одной точки, на круг. Их авторами были Д. Гильберт, А. Пуанкаре и П. Кебе. Столь долгий период поиска строгого обоснования принципа Дирихле отмечен важными вехами становления и развития геометрической теории
функций. Вейерштрасс создал строгую теорию аналитического продолжения на основе степенных рядов. Пуанкаре построил теорию ав-томорфных функций, связал ее с теорией римановых поверхностей и неевклидовой геометрией Лобачевского. Ф. Клейн и Г.А. Шварц также развили тополого-алгебраические методы и широко использовали идею симметрии для решения задач геометрической теории функций. Знаменитая теорема Пуанкаре-Кебе-Клейна об униформизации аналитических функций была непосредственной предшественницей первых исследований геометрических свойств классов однолистных голоморфных функций. Речь идет о доказанной П. Кебе почти сто лет назад, в 1907 г., теореме о покрытии в классе нормированных однолистных функций. Теория конформных отображений получила значительное развитие в связи с тем, что было начато систематическое изучение классов однолистных функций в заданной области, то есть тех функций, которые реализуют различные подходящим образом нормированные конформные отображения этой области. Причем в качестве таких областей обычно берутся канонические области -единичный круг, его внешность, полуплоскость, прямолинейная полоса, круговое кольцо. Основной результат теории состоит в том, что классы однолистных функций образуют нормальные семейства. Как следствие получаем, что каждая экстремальная относительно заданного непрерывного функционала А(/) задача в таком классе имеет по крайней мере одно решение. В случае задачи на минимум (максимум) можно иметь дело с полунепрерывными снизу (сверху) функционалами. Именно этот подход позволил получить строгие доказательства
римановой теоремы о конформном отображении односвязной области на круг, теорем Гильберта, Голузина, Шиффера о конформных отображениях многосвязной области на канонические области с разрезами. Классы однолистных функций наделены топологией локально равномерной сходимости элементов.
2. В настоящей диссертации одно из центральных мест занимает впервые рассмотренный К. Каратеодори [64] и О. Теплицем [82] класс С голоморфных в круге A := {z Є С : \z\ < 1} функций p(z), имеющих положительную реальную часть и нормированных условием р(0) = 1. Каждый элемент р С представляется в А рядом Тейлора:
p{z)=l + Y,PnZn. (1)
п=1
Очевидно, что выпуклая линейная комбинация Ylv=i ^vPv(z) элементов Р\,Р2," ' iVn класса С принадлежит классу С. Наличие выпуклой структуры на С позволяет доказать следующий классический результат.
Теорема А. (Рисса-Герглотца) Необходимым и достаточным условием принадлеоюности функции p(z) классу Каратеодори является
ее представимость интегралом Стильтьеса:
r* 1-і- eilz
**) = /_, T^V4dp{t)' (1Л)
где р - борелевская вероятностная мера на промеэюутке [—7Г, 7г].
С помощью этого критерия легко выводятся интегральные параметрические представления для классов функций, выпуклых и однолистных, звездообразных и однолистных в круге и других.
Каратеодори и Теплиц решили задачу точного описания множества значений системы коэффициентов {(pi, ,pn)}i n > 1 на классе С.
2 РЇ
P~2
Теорема В. (Каратеодори-Теплица) Множество значений системы коэффициентов {(pi, ,Pn)h п> 1 на классе С есть замкнутое выпуклое ограниченное множество Кп точек п - мерного комплексного евклидова пространства Сп для которых определители
Pi ... Pk 2 ... pfc_x
At =
РЇ ... Pk-2 ,
Pk~[ ... 2
1 < к < n, либо все положительны, либо положительны до какого-то номера, начиная с которого все равны нулю. Последний случай отвечает принадлежности точки (р\, ,рп) границе дКп тела коэффициентов Кп. Каждой граничной точке этого тела отвечает только одна функция класса С и она имеет вид выпуклой линейной комбинации
д
1 — егЪи Z
с положительными коэффициентами Хи, причем l
Представляя ядро Шварца
р^);=й teR> (i-2)
в (1.1) рядом Тейлора, почленно интегрируя его и пользуясь норми-рованностью меры р, можно получить точные оценки \рп\ < 2, экстремалями которых являются ядра Шварца. Более того, областями значений функционалов рп = рп(р) являются круги с центром в начале координат радиуса 2.
Областью значений функционала p(zo) на классе С {zq- фиксированная точка единичного круга) является круг, диаметром которого служит отрезок
i+Jfoll '' 1-Ы-Г
1-|2о| і + коГ
.1 + \z0\ 1- \Zq\
Граничные точки круга вносятся только ядрами Шварца.
Если ввести бесконечную матрицу
/2 pi р2 Рз РЇ 2 pi р2
\
Р2 Р\
А =
Рк Pk-l .
\
то с учетом приведенных фактов можно привести следующую формулировку критерия Каратеодори-Теплица.
Теорема С. Множество значений системы коэффициентов {{PiiP2i" )} на классе С есть замкнутое выпуклое множество К точек бесконечномерного комплексного пространства С, определяемого условием неотрицательности всех главных миноров матрицы
Л. Область коэффициентов -Doo(C) := К является подмножеством декартова произведения кругов \ри\ < 2, и Є N. Граничные точки множества К характеризуются обращением в нуль главных миноров матрицы А, начиная с некоторого.
Класс Каратеодори порядка а, 0 < а < 1, обозначаемый символом С (а), состоит из голоморфных в единичном круге функций p(z), нормированных условием р(0) = 1 и принимающих значения в полуплоскости Rew > а. Его элементы имеют интегральные представления
вида
Гп 14- eilz
P(z) = (i-«)^ Lt-J.dp{t) + -
В диссертации будет изучаться подкласс Cs класса С, образуемый однолистными функциями.
3. Упомянутый выше результат Кебе привлек внимание Й. Пле-меля, Т. Гронуолла, Г. Пика, Г. Фабера, Л. Бибербаха. Гронуолл (1914) первым применил так называемый "принцип площадей" (площадь неотрицательна) к доказательству утверждения о том, что если функция
однолистна в А и голоморфна за исключением простого полюса в начале координат, то выполняется точное неравенство площадей
1/=1 Два года спустя Бибербах [40] и Фабер нашли точное значение константы Кебе - радиуса круга покрытия для класса S, образуемого
однолистными в А голоморфными функциями f(z) = z + Y^=2 ап z71' Она оказалась равной 1/4, а функции
получившие впоследствии название (лучевых) функций Кебе, оказались экстремальными и в ряде других задач.
Одновременно Бибербах доказал, что в классе S выполняется точная оценка |<22І < 2 с функциями Кебе в качестве единственных экстремалей и высказал ставшее широко известным предположение (гипотезу Бибербаха) о том, что в классе S для всех п Є N имеют место точные оценки \ап\ < п с теми же экстремальными функциями. Тогда же была поставлена проблема коэффициентов Бибербаха, требующая точного описания области Vn в евклидовом пространстве размерности 2п — 2, заполняемой точками (Rea2, Ima,2, , Rean, Iman), где (й25 ^з5 *" 5 ап) - векторы, образуемые начальными тейлоровскими коэффициентами функций / Є S. Проблемы о влиянии однолистности отображения на величины коэффициентов отображающих функций и структуру го-тел коэффициентов Vn были, очевидно, навеяны работами Каратеодори и Теплица о телах коэффициентов функций класса С.
Первого успеха в доказательстве гипотезы Бибербаха достиг в 1923 г. чешский математик К. Левнер [75]. Он развил метод параметрических продолжений конформных отображений класса S с помощью решений специального дифференциального уравнения (уравнения Левнера), правая часть которого представляла собой однопара-
метрическое семейство ядер Шварца. Здесь впервые обнаружилась
связь класса S с классом Каратеодори. На этом пути Левнеру удалось доказать гипотезу Бибербаха для п = 3. Другие доказательства неравенства |аз| < 3 впоследствии были получены А. Шеффером и Д. Спенсером (1943), Г.М. Голузиным (1946), Дж. Дженкинсом (1951) и Л. де Бранжем (1984). Эти и другие подобные доказательства следует рассматривать как пробные камни для используемых методов оперирования с экстремальными проблемами конформного отображения, и основное значение проблем Бибербаха в действительности состоит в том, что они бросают вызов нашим методам в этой области. Не случайно каждое из продвижений происходило как результат развития или усовершенствования какого-либо метода в теории однолистных функций. Две проблемы Бибербаха, а также риманова проблема модулей в XX веке в немалой мере способствовали возникновению и совершенствованию глубоких и эффективных методов комплексного анализа: площадей и контурного интегрирования (Г. Грунский, Н.А. Лебедев, И.М.Милин, Л.Л. Громова, О. Лехто, В.Я.Гутлянский, Л. Альфорс, В.Г. Шеретов, А.З. Гриншпан, Э. Хой и другие; см.[18], [20], [55-59], [5], [34], [36], [37], [87, 88], [92-94], [99]); внутренних и граничных вариаций конформных и квазиконформных отображений (Г.М.Голузин, М.А. Лаврентьев, М. Шиффер, А. Шеффер, Д. Спенсер, Л. Альфорс, Л. Бере, П.П. Белинский, К.И. Бабенко, С.Л. Круш-каль, Р. Кюнау, В.Я.Гутлянский, В.И. Рязанов, В.Г. Шеретов и другие; см. [4-8], [10], [14-17], [60], [32], [33], [35], [62], [89-91]); модулей и экстремальных метрик (Г. Греч, О. Тейхмюллер, Л. Альфорс, А. Берлинг, Л. Бере, Дж. Дженкинс, В.А. Зорич, Б.В. Шабат, П.М.
Тамразов, Г.В. Кузьмина, Р. Кюнау, В.Г. Шеретов, А.Ю. Васильев и другие; см. [5, б], [10, 11], [13], [19], [26], [29], [30], [86]); параметрических продолжений и методов оптимального управления (К. Левнер, П.П.Куфарев, И.А. Александров, В.И. Попов, В.Я.Гутлянский, Д.В. Прохоров, А.Ю.Васильев и другие; см. [2, 3], [75], [81]); симметризации (Г. Пойа, Д. Сеге, М. Маркус, И.П. Митюк, В.Н.Дубинин, А.Ю. Солынин, Л.В. Ковалев и другие; [22-25], [11], [31], [61], [77] [65]); структурных формул (К. Каратеодори, И.А. Александров, В.А. Змо-рович, В.В. Черников, В. Хенгартнер, В.Г. Шеретов и другие; см. [2], [83], [95, 96], [98]). Сферы применимости этих методов нередко выходят за рамки геометрической теории аналитических функций. Приведенный перечень методов и авторов весьма субъективен и далек от исчерпывающего. Вне его рамок остался метод Л. де Бранжа [41], позволивший ему дать полный положительный ответ на гипотезу Бибербаха. Перспективными в теории отображений представляются современные методы голоморфной динамики [21], а также новые методы С.Л. Крушкаля [15], [42], [69, 70], Ф.Г. Авхадиева [1]. В.И. Рязанова, В.Я. Гутлянского, В.В. Горяйнова, Г. Давида, В.В. Чуешева и другие.
4. Продолжим обзор исследований о коэффициентах функций класса S. Впервые оценка |а4І < 4 была получена П. Гарабедяном и М. Шиффером [43], после чего Альфорс [36] доказал ее методом площадей, хотя оценка |аз| < 3 для этого метода казалась недосягаемой. Лишь недавно В.Г. Шеретовым [99] был предложен усиленный вариант метода площадей в метриках аналитических квадратичных диф-
ференциалов, заданных на многолистных римановых поверхностях, открывший новые возможности, используемые и в настоящей диссертации.
Ранее де Бранжа были получены доказательства гипотезы Бибер-баха для п = б (Р. Педерсон [79], 1968 г.) и для п = 5 (Р. Педерсон и М. Шиффер [78], 1972 г.). Оба они, особенно последнее, весьма громоздки. В 2002 г. В.Г. Шеретов [99] получил эти оценки методом площадей в подклассе, содержащем класс 5*, как следствие новых серий точных неравенств, связывающих начальные тейлоровские коэффициенты.
Главы 1 и 2 настоящей диссертации посвящены применениям двух вариантов метода площадей В.Г. Шеретова [93], [97], [99] к задачам о коэффициентах однолистных функций класса Каратеодори. Доказан коэффициентный критерий однолистности функции р Є С. Дан вывод неравенств типа Альфорса [36], связывающих начальные тейлоровские коэффициенты функций классов Cs, S, а также совместно с научным руководителем получено доказательство оценки |аз| < 3 в подклассе S[fo] класса S методом площадей. Установлены верхние оценки начальных тейлоровских коэффициентов аз, сц, а^ функций из подклассов класса Sm » зависящие от параметра М и асимптотически точные при М —> со. Найдены точные оценки всех логарифмических коэффициентов в подклассе 5* класса S, образуемом звездными функциями.
Проблема описания п - тел коэффициентов Vn и получения ко-
эффициентных критериев однолистности также оставалась в центре исследований. В 1939 г. Грунский получил в [58] важный критерий однолистности в терминах введенных им коэффициентов
>оо(5) := {(а2,аз,'' О Є С : ап = f^(0)/n\, п = 2,3, ,/ Є 5}.
Этот результат дает алгоритмическое решение проблемы коэффициентов Бибербаха. Он изложен в главе 5 докторской диссертации [33] и в усиленной форме опубликован в статье [97].
Эти и многие другие исследования нашли отражение в монографической литературе [1-33], [34, 35]. Интересно отметить, что класс Ка-ратеодори находится в тесной связи с классом В голоморфных в круге А функций /, не обращающихся в нуль и таких, что \f(z)\ < 1. До настоящего времени не решена гипотеза Я. Кшижа [72] о том, что для любой функции / Є В выполняются точные оценки |ап(/)| < 2 е-1, экстремали которой ассоциированы с ядром Шварца. Некоторые результаты по проблеме Кшижа можно найти в [73, 74], [80], [85], [100].
5. Предметом диссертационных исследований являются также аналитические функции с квазиконформными продолжениями и гармонические отображения.
Основоположниками теории квазиконформных отображений были Г. Греч и М.А. Лаврентьев (1928). В настоящее время это обширная область математики [4], [6], [9], [14, 15], [17], [19], [24], [29, 30], [33, 34], [60] [69-71], [86-92], переросшая рамки геометрической теории функций, в недрах которой она зародилась.
Напомним, что Соболевским гомеоморфизмом называется решение / уравнения Бельтрами fz — ^ fz с измеримым коэффициентом /і (z), IM loo < 1? реализующим сохраняющее ориентацию топологическое отображение плоской области D на область f(D) С С. Если / -диффеоморфизм, то обобщенные производные fz и fz совпадают с формальными производными
Jz~ 2Кдх ldy),Iz~ 2{дх+ dyh
Функция \x называется комплексной характеристикой Соболевского гомеоморфизма /. Если ||//||оо = к < 1? то / называется к - квазиконформным гомеоморфизмом (отображением). Квазиконформное отображение - это к - квазиконформное отображение при некотором к, 0 < к < 1. 0 - квазиконформные отображения и только они являются конформными отображениями первого рода. Якобиан J/ квазиконформного отображения / определен почти всюду в D формулой Jj — |/z|2 — \fz\2 и почти всюду в D положителен. Если / -
конформное отображение области D, то J/ = |/'|2.
Определим еще действительные (локальные) характеристики p/(z) и 0f(z) квазиконформного отображения /, введенные М.А. Лаврентьевым (см. [9]). Они следующим образом выражаются через комплексную характеристику fj, = fif.
( ч 1 + И*)1 a ( \ w , l ( \
Pf{z) = Т^ШУ 9f {Z) = 2 + 2 аГ8 Ф)-
В общем случае эти функции определены почти всюду на подмножестве, где fi(z) ф 0. Если fi(z) = 0, то p/(z) = 1, а вторая лав-рентьевская характеристика в/ (z) не определена. Геометрический смысл характеристик p/(z), 9f(z) заключается в том, что в точке дифференцируемое z отображения / бесконечно малый эллипс с центром z, отношением большой и малой полуосей равным Pf{z) и углом наклона его большой оси к оси абсцисс, равным 9f(z) преобразуется гомеоморфизмом / в бесконечно малую окружность с центром w = f{z). Квазиконформные диффеоморфизмы обладают этим локальным свойством в каждой точке отображаемой области, то есть являются локально аффинными преобразованиями. Конформные отображения преобразуют бесконечно малые окружности в бесконечно малые окружности.
Функционал К[/] := ||р/|)||оо называется коэффициентом квазиконформности отображения / в области D. Он связан с существенной нормой комплексной характеристики к/ := Ц/і/і-ОЦоо (или дилатаци-ей отображения /) в области D соотношением К[/] = (1 + к/)/(1 — kf). Анализ задачи Греча-Тейхмюллера о минимизации K[f] в свободных гомотопических классах квазиконформных гомеоморфизмов
компактных римановых поверхностей привел к решению восходящей
к Риману проблемы модулей алгебраических кривых и построению глубокой теории пространств Тейхмюллера [4], [6], [8], [14]. Э. Рейх, К. Штребель, В.Г.Шеретов [33], [89-90] и другие качественно исследовали задачу Гретча-Тейхмюллера для единичного круга и открытых римановых поверхностей.
В диссертации будут рассмотрены некоторые свойства классов Sfc(oo), образуемых к - квазиконформными автоморфизмами римановой сферы С, таких, что /(оо) = со и ограничения / на единичный круг принадлежат классу S. Эти и другие родственные классы квазиконформных отображений являются предметом современных исследований. Здесь они будут изучаться с помощью метода площадей.
Параллельно с 1926 г. развивалась теория гармонических отображений, имеющая тесные связи с конформными, квазиконформными отображениями и минимальными поверхностями. Авторами первых исследований были Т. Радо, X. Кнезер, Г. Шоке, Л.Д. Кудрявцев. Плоские евклидовы гармонические отображения реализуются комплекснозначными гармоническими функциями вида / = д + /і, где д и h - голоморфные функции в отображаемой области. С каждым гармоническим отображением ассоциируются первая комплексная характеристика рь := ~д' jh!, вторая комплексная характеристика v := д'/h', якобиан J/ = \h'\2 — \д'\2, квадратичный дифференциал Хопфа ip(z)dz2 := д' h' dz2. Комплексная характеристика представи-ма в виде ii(z) = k(z) <р/\<р\, где k(z) = \д'/h'\ < 1. Если ||/i||oo =: к < 1, то / является к -квазиконформным отображением типа Тейхмюллера. Такие отображения нередко возникают как экстремали задач
квазиконформного отображения. В работах Дж. Клуни и Т. Шейл Смолла [66], В. Хенгартнера и Г. Шобера [83, П. Дюрена и В. Хенгарт-нера [63], А. Лизайка [76], и других были изучены свойства некоторых классов однолистных гармонических отображений, обобщающих класс S.
В.Г. Шеретов [95, 96], [98] предложил новый метод исследования классов локально однолистных гармонических отображений - метод структурных формул, связывающих эти классы с классами С, S. С помощью этого метода получены основные результаты третьей главы диссертации, связанные с оценками коэффициентов, теоремами покрытия и параметрами квазиконформности рассматриваемых отображений.
Приложение включает исходный текст программы для построения некоторых новых фракталов типа множеств Мандельброта и Жюлиа, в том числе - квазидисков, изображения этих фракталов и приближенные построения линий уровня функций Грина для соответствующих множеств Фату.
Точные коэффициентные неравенства для однолистных функций класса С Каратеодори
Полуторовековая история геометрической теории функций комплексного переменного берет начало в трудах великого немецкого математика Б. Римана. В 1851 г. он защитил докторскую диссертацию на тему "Основы общей теории функций одной комплексной переменной" , а три года спустя прочитал свою знаменитую лекцию " О гипотезах, лежащих в основании геометрии". В них были введены фундаментальные математические понятия "многократно протяженной величины" (риманова пространства, дифференцируемого многообразия), многолистной римановой поверхности, конформного отображения, аналитического продолжения и другие. Идеи Римана пролили свет на истинную природу понятия многозначной функции. Были введены понятия однолистной и многолистной функции и важный "принцип Дирихле", положенный в основу доказательства знаменитой теоремы Римана о конформных отображениях. Данная К. Вейер-штрассом критика принципа Дирихле низвела доказательство Римана на уровень эвристических суждений, и только сорок лет спустя почти одновременно появились три строгих доказательства теоремы о существовании и единственности однолистного конформного отображения односвязной области с границей, содержащей более одной точки, на круг. Их авторами были Д. Гильберт, А. Пуанкаре и П. Кебе. Столь долгий период поиска строгого обоснования принципа Дирихле отмечен важными вехами становления и развития геометрической теории функций. Вейерштрасс создал строгую теорию аналитического продолжения на основе степенных рядов. Пуанкаре построил теорию ав-томорфных функций, связал ее с теорией римановых поверхностей и неевклидовой геометрией Лобачевского. Ф. Клейн и Г.А. Шварц также развили тополого-алгебраические методы и широко использовали идею симметрии для решения задач геометрической теории функций. Знаменитая теорема Пуанкаре-Кебе-Клейна об униформизации аналитических функций была непосредственной предшественницей первых исследований геометрических свойств классов однолистных голоморфных функций. Речь идет о доказанной П. Кебе почти сто лет назад, в 1907 г., теореме о покрытии в классе нормированных однолистных функций. Теория конформных отображений получила значительное развитие в связи с тем, что было начато систематическое изучение классов однолистных функций в заданной области, то есть тех функций, которые реализуют различные подходящим образом нормированные конформные отображения этой области. Причем в качестве таких областей обычно берутся канонические области -единичный круг, его внешность, полуплоскость, прямолинейная полоса, круговое кольцо. Основной результат теории состоит в том, что классы однолистных функций образуют нормальные семейства. Как следствие получаем, что каждая экстремальная относительно заданного непрерывного функционала А(/) задача в таком классе имеет по крайней мере одно решение. В случае задачи на минимум (максимум) можно иметь дело с полунепрерывными снизу (сверху) функционалами. Именно этот подход позволил получить строгие доказательства римановой теоремы о конформном отображении односвязной области на круг, теорем Гильберта, Голузина, Шиффера о конформных отображениях многосвязной области на канонические области с разрезами. Классы однолистных функций наделены топологией локально равномерной сходимости элементов.
В настоящей диссертации одно из центральных мест занимает впервые рассмотренный К. Каратеодори [64] и О. Теплицем [82] класс С голоморфных в круге A := {z Є С : \z\ 1} функций p(z), имеющих положительную реальную часть и нормированных условием р(0) = 1. Каждый элемент р С представляется в А рядом Тейлора:
Очевидно, что выпуклая линейная комбинация Ylv=i vPv(z) элементов Р\,Р2," iVn класса С принадлежит классу С. Наличие выпуклой структуры на С позволяет доказать следующий классический результат.
Теорема А. (Рисса-Герглотца) Необходимым и достаточным условием принадлеоюности функции p(z) классу Каратеодори является ее представимость интегралом Стильтьеса: где р - борелевская вероятностная мера на промеэюутке [—7Г, 7г].
С помощью этого критерия легко выводятся интегральные параметрические представления для классов функций, выпуклых и однолистных, звездообразных и однолистных в круге и других. Каратеодори и Теплиц решили задачу точного описания множества значений системы коэффициентов {(pi, ,pn)}i n 1 на классе С. Теорема В. (Каратеодори-Теплица) Множество значений системы коэффициентов {(pi, ,Pn)h п 1 на классе С есть замкнутое выпуклое ограниченное множество Кп точек п - мерного комплексного евклидова пространства Сп для которых определители.
Асимптотически точные оценки начальных коэффициентов в подклассах класса SM
Одновременно Бибербах доказал, что в классе S выполняется точная оценка 22І 2 с функциями Кебе в качестве единственных экстремалей и высказал ставшее широко известным предположение (гипотезу Бибербаха) о том, что в классе S для всех п Є N имеют место точные оценки \ап\ п с теми же экстремальными функциями. Тогда же была поставлена проблема коэффициентов Бибербаха, требующая точного описания области Vn в евклидовом пространстве размерности 2п — 2, заполняемой точками (Rea2, Ima,2, , Rean, Iman), где (й25 з5 " 5 ап) - векторы, образуемые начальными тейлоровскими коэффициентами функций / Є S. Проблемы о влиянии однолистности отображения на величины коэффициентов отображающих функций и структуру го-тел коэффициентов Vn были, очевидно, навеяны работами Каратеодори и Теплица о телах коэффициентов функций класса С.
Первого успеха в доказательстве гипотезы Бибербаха достиг в 1923 г. чешский математик К. Левнер [75]. Он развил метод параметрических продолжений конформных отображений класса S с помощью решений специального дифференциального уравнения (уравнения Левнера), правая часть которого представляла собой однопара метрическое семейство ядер Шварца. Здесь впервые обнаружилась связь класса S с классом Каратеодори. На этом пути Левнеру удалось доказать гипотезу Бибербаха для п = 3. Другие доказательства неравенства аз 3 впоследствии были получены А. Шеффером и Д. Спенсером (1943), Г.М. Голузиным (1946), Дж. Дженкинсом (1951) и Л. де Бранжем (1984). Эти и другие подобные доказательства следует рассматривать как пробные камни для используемых методов оперирования с экстремальными проблемами конформного отображения, и основное значение проблем Бибербаха в действительности состоит в том, что они бросают вызов нашим методам в этой области. Не случайно каждое из продвижений происходило как результат развития или усовершенствования какого-либо метода в теории однолистных функций. Две проблемы Бибербаха, а также риманова проблема модулей в XX веке в немалой мере способствовали возникновению и совершенствованию глубоких и эффективных методов комплексного анализа: площадей и контурного интегрирования (Г. Грунский, Н.А. Лебедев, И.М.Милин, Л.Л. Громова, О. Лехто, В.Я.Гутлянский, Л. Альфорс, В.Г. Шеретов, А.З. Гриншпан, Э. Хой и другие; см.[18], [20], [55-59], [5], [34], [36], [37], [87, 88], [92-94], [99]); внутренних и граничных вариаций конформных и квазиконформных отображений (Г.М.Голузин, М.А. Лаврентьев, М. Шиффер, А. Шеффер, Д. Спенсер, Л. Альфорс, Л. Бере, П.П. Белинский, К.И. Бабенко, С.Л. Круш-каль, Р. Кюнау, В.Я.Гутлянский, В.И. Рязанов, В.Г. Шеретов и другие; см. [4-8], [10], [14-17], [60], [32], [33], [35], [62], [89-91]); модулей и экстремальных метрик (Г. Греч, О. Тейхмюллер, Л. Альфорс, А. Берлинг, Л. Бере, Дж. Дженкинс, В.А. Зорич, Б.В. Шабат, П.М. Тамразов, Г.В. Кузьмина, Р. Кюнау, В.Г. Шеретов, А.Ю. Васильев и другие; см. [5, б], [10, 11], [13], [19], [26], [29], [30], [86]); параметрических продолжений и методов оптимального управления (К. Левнер, П.П.Куфарев, И.А. Александров, В.И. Попов, В.Я.Гутлянский, Д.В. Прохоров, А.Ю.Васильев и другие; см. [2, 3], [75], [81]); симметризации (Г. Пойа, Д. Сеге, М. Маркус, И.П. Митюк, В.Н.Дубинин, А.Ю. Солынин, Л.В. Ковалев и другие; [22-25], [11], [31], [61], [77] [65]); структурных формул (К. Каратеодори, И.А. Александров, В.А. Змо-рович, В.В. Черников, В. Хенгартнер, В.Г. Шеретов и другие; см. [2], [83], [95, 96], [98]). Сферы применимости этих методов нередко выходят за рамки геометрической теории аналитических функций. Приведенный перечень методов и авторов весьма субъективен и далек от исчерпывающего. Вне его рамок остался метод Л. де Бранжа [41], позволивший ему дать полный положительный ответ на гипотезу Бибербаха. Перспективными в теории отображений представляются современные методы голоморфной динамики [21], а также новые методы С.Л. Крушкаля [15], [42], [69, 70], Ф.Г. Авхадиева [1]. В.И. Рязанова, В.Я. Гутлянского, В.В. Горяйнова, Г. Давида, В.В. Чуешева и другие.
Продолжим обзор исследований о коэффициентах функций класса S. Впервые оценка а4І 4 была получена П. Гарабедяном и М. Шиффером [43], после чего Альфорс [36] доказал ее методом площадей, хотя оценка аз 3 для этого метода казалась недосягаемой. Лишь недавно В.Г. Шеретовым [99] был предложен усиленный вариант метода площадей в метриках аналитических квадратичных диф ференциалов, заданных на многолистных римановых поверхностях, открывший новые возможности, используемые и в настоящей диссертации.
Ранее де Бранжа были получены доказательства гипотезы Бибер-баха для п = б (Р. Педерсон [79], 1968 г.) и для п = 5 (Р. Педерсон и М. Шиффер [78], 1972 г.). Оба они, особенно последнее, весьма громоздки. В 2002 г. В.Г. Шеретов [99] получил эти оценки методом площадей в подклассе, содержащем класс 5 , как следствие новых серий точных неравенств, связывающих начальные тейлоровские коэффициенты.
Главы 1 и 2 настоящей диссертации посвящены применениям двух вариантов метода площадей В.Г. Шеретова [93], [97], [99] к задачам о коэффициентах однолистных функций класса Каратеодори. Доказан коэффициентный критерий однолистности функции р Є С. Дан вывод неравенств типа Альфорса [36], связывающих начальные тейлоровские коэффициенты функций классов Cs, S, а также совместно с научным руководителем получено доказательство оценки аз 3 в подклассе S[fo] класса S методом площадей. Установлены верхние оценки начальных тейлоровских коэффициентов аз, сц, а функций из подклассов класса SM » зависящие от параметра М и асимптотически точные при М — со. Найдены точные оценки всех логарифмических коэффициентов в подклассе 5 класса S, образуемом звездными функциями.
Оценки коэффициентов, теорема покрытия и константы квазиконформности в классах SJJ (а)
Определим еще действительные (локальные) характеристики p/(z) и 0f(z) квазиконформного отображения /, введенные М.А. Лаврентьевым (см. [9]). Они следующим образом выражаются через комплексную характеристику fj, = fif.
В общем случае эти функции определены почти всюду на подмножестве, где fi(z) ф 0. Если fi(z) = 0, то p/(z) = 1, а вторая лав-рентьевская характеристика в/ (z) не определена. Геометрический смысл характеристик p/(z), 9f(z) заключается в том, что в точке дифференцируемое z отображения / бесконечно малый эллипс с центром z, отношением большой и малой полуосей равным Pf{z) и углом наклона его большой оси к оси абсцисс, равным 9f(z) преобразуется гомеоморфизмом / в бесконечно малую окружность с центром w = f{z). Квазиконформные диффеоморфизмы обладают этим локальным свойством в каждой точке отображаемой области, то есть являются локально аффинными преобразованиями. Конформные отображения преобразуют бесконечно малые окружности в бесконечно малые окружности.
Функционал К[/] := р/)оо называется коэффициентом квазиконформности отображения / в области D. Он связан с существенной нормой комплексной характеристики к/ := Ц/І/І-ОЦОО (ИЛИ дилатаци-ей отображения /) в области D соотношением К[/] = (1 + к/)/(1 — kf). Анализ задачи Греча-Тейхмюллера о минимизации K[f] в свободных гомотопических классах квазиконформных гомеоморфизмов компактных римановых поверхностей привел к решению восходящей к Риману проблемы модулей алгебраических кривых и построению глубокой теории пространств Тейхмюллера [4], [6], [8], [14]. Э. Рейх, К. Штребель, В.Г.Шеретов [33], [89-90] и другие качественно исследовали задачу Гретча-Тейхмюллера для единичного круга и открытых римановых поверхностей.
В диссертации будут рассмотрены некоторые свойства классов Sfc(oo), образуемых к - квазиконформными автоморфизмами римановой сферы С, таких, что /(оо) = со и ограничения / на единичный круг принадлежат классу S. Эти и другие родственные классы квазиконформных отображений являются предметом современных исследований. Здесь они будут изучаться с помощью метода площадей.
Параллельно с 1926 г. развивалась теория гармонических отображений, имеющая тесные связи с конформными, квазиконформными отображениями и минимальными поверхностями. Авторами первых исследований были Т. Радо, X. Кнезер, Г. Шоке, Л.Д. Кудрявцев. Плоские евклидовы гармонические отображения реализуются комплекснозначными гармоническими функциями вида / = д + /і, где д и h - голоморфные функции в отображаемой области. С каждым гармоническим отображением ассоциируются первая комплексная характеристика рь := д jh!, вторая комплексная характеристика v := д /h , якобиан J/ = \h \2 — \д \2, квадратичный дифференциал Хопфа ip(z)dz2 := д h dz2. Комплексная характеристика представи-ма в виде ii(z) = k(z) р/\ р\, где k(z) = \д /h \ 1. Если /ioo =: к 1, то / является к -квазиконформным отображением типа Тейхмюллера. Такие отображения нередко возникают как экстремали задач квазиконформного отображения. В работах Дж. Клуни и Т. Шейл Смолла [66], В. Хенгартнера и Г. Шобера [83, П. Дюрена и В. Хенгарт-нера [63], А. Лизайка [76], и других были изучены свойства некоторых классов однолистных гармонических отображений, обобщающих класс S.
В.Г. Шеретов [95, 96], [98] предложил новый метод исследования классов локально однолистных гармонических отображений - метод структурных формул, связывающих эти классы с классами С, S. С помощью этого метода получены основные результаты третьей главы диссертации, связанные с оценками коэффициентов, теоремами покрытия и параметрами квазиконформности рассматриваемых отображений.
Приложение включает исходный текст программы для построения некоторых новых фракталов типа множеств Мандельброта и Жюлиа, в том числе - квазидисков, изображения этих фракталов и приближенные построения линий уровня функций Грина для соответствующих множеств Фату.
Гармонические отображения, ассоциированные с конформными тображениями из классов S
Так как произвольный полином с рациональными комплексными коэффициентами отличается лишь множителем от соответствующего полинома с целыми комплексными коэффициентами, то можно считать, что неравенства (1.36) истинны для функции ip и любых отличных от констант полиномов P(oS) с рациональными комплексными коэффициентами. Пусть Р(и ) — произвольный отличный от константы голоморфный полином с коэффициентами из С. Выписав неравенства вида (1.36) для рассматриваемой функции ср и полиномов Рп{иі) степени JV = deg P{OJ) с рациональными комплексными коэффициентами, равномерно на компактах из С аппроксимирующих Р(о ), и выполнив в них предельный переход при п — со, придем к заключению, что неравенства вида (1.36) истинны для /? и любых полиномов Р{ш) с комплексными коэффициентами.
Пусть J-"P(UJ) — полиномы Фабера [18], [28], сорд - коэффициенты Грунского [18], порожденные функцией ср, однолистной в некоторой окрестности точки = со; х\, Х2,..., хм — произвольные одновременно не равные нулю комплексные числа. Беря в качестве Р(ш) полином Ylp=i рХр рі ) и используя известную связь полиномов Фабера с коэффициентами Грунского [20]
Это позволяет которое, согласно [18] (см. также [34]), равносильно неравенству Грунского Известный критерий Грунского [18], [34] гарантирует однолистность р в Л , если неравенства (1.37) истинны для ее коэффициентов Грунского LJpq при любых значениях комплексных параметров X\,X2,...,XN, N = 1..со. Из доказанной таким образом однолистности в Л функции р следует ее принадлежность классу (2), образуемому нечетными элементами известного класса Е.
Наконец, ассоциированная с (р ветвь функции нормированная условием р(0) = 1, принадлежит классу Cs- Действительно, из (1.38) следует, что если p(zi) = p(z2) для двух точек Z\,Z2 Є Д, то p2(zi) = p2{z2), поэтому (p2(zi) - l)/2pi = (p2{z2) - l)/2pi. Стало быть, (p2(zi ) — 4 2{z2 ) и, значит, (p(z ) = p{z2 ) либо p{z [ ) = — ф{%2 ) В первом случае в силу однолистности функции ср аргументы совпадают, так, что z\ = z2. Во втором случае, используя нечетность и однолистность функции р, находим , что снова дает z\ — z2.
Теорема 1.5 доказана. Ниже с помощью варианта метода площадей В.Г. Шеретова [93] получены новые точные неравенства, связывающие начальные тейлоровские коэффициенты однолистной функции класса S и радиус ее круга покрытия. Пусть / - функция класса 5 (со), образуемого теми элементами класса S, которые допускают продолжения до к -квазиконформных автоморфизмов римановой сферы С, оставляющих неподвижной бесконечно удаленную точку. Будучи голоморфной в единичном круге Д и нормированной условиями /(0) = / (0) — 1 = 0, функция / представляется там рядом Тейлора f(z) = z + 2 an.zn Рассмотрим функцию Q(w) = Qi(w)+j3Qi(w), где Q\{w) = (w l/2-\-A)1/2. Здесь {З, A - свободные комплексные параметры, которыми можно распоряжаться в дальнейшем. Продолжим функцию / Є до к - квазиконформного автоморфизма / римановой сферы, нормированного условием /(оо) = оо, и далее / - до к - квазиконформного автоморфизма / двулистной римановой поверхности Rz радикала л/z так, чтобы следы / на каждом листе Rz были идентичны /. Тогда од-нозначная на Rz функция / представляется в двулистном единичном круге A = {z Є Rz : \z\ 1} с проколом в его точке ветвления z = 0 рядом Пюизе: f(z) = г"1/2 - {a2/2)z1/2 + (Заі/8 - a3/2)z3/2 .
Выберем А Є а/"1/2(Д). Тогда функция Qi о f(z) = (} 1/2{z) + А)1/2 не имеет особых точек в четырехлистном единичном круге Д с проколом в начале координат и может быть представлена там рядом Пюизе:
Похожие диссертации на Применения принципа площадей и структурных формул к конформным и гармоническим отображениям
