Введение к работе
Актуальность темы. В работе изучаются топологические свойства пространства С(Х) всех непрерывных веществешю-значных функций, наделенного множественно-открытой топологией. Пространства непрерывных отображений являются классическими объектами изучения в математике; на них рассматривались многие топологии, наиболее известными среди которых являются топология поточечной сходимости и компактно-открытая топология. Одним из естественных обобщений этих типов топологий является множественно-открытая топология, которая была впервые определена в 1956 году в работе Аренса и Дугунджи.1 Такой тип топологий впоследствии изучался многими математиками мира: А. В. Архангельским, М. О. Асановым, Р. А. МакКоем и другими.
Вопросы, рассматриваемые в настоящей диссертации, можно условно разделить на два типа. Первый: какими должны быть пространство X, семейство его подмножеств Л и семейство г открытых множеств числовой прямой, чтобы пространство С(Х), наделенное Х-т топологией, обладало тем или иным свойством? В случаях компактно-открытой топологии и топологии поточечной сходимости ответы на поставленные в диссертации вопросы хорошо известны, поэтому возникает второй тип вопросов: для каких семейств Лиг соответствующие теоремы останутся верными? Как следует изменить тот или иной критерий, чтобы он оказался справедливым в общем случае? и.т.п.
Цель работы. Работа посвящена изучению таких топологических свойств пространств непрерывных вещественнознач-ных функций с множественно-открытой топологией, как хаусдорфовость, регулярность, полная регулярность, локальная компактность и <т-компактность, а также вопросам сравнпмо-
'Arens R., Dugundji J. — Topologies for functions spices. — Pacific J. Math., 1951, v.l, p.5 —31.
сти различных топологий на С(Х).
Основной метод исследования. В диссертации используются методы общей топологии и функционального анализа, развитые в работах отечественных и зарубежных математиков.
Научная новизна. В работе получены следующие результаты:
1) Найдены критерии совпадения Х\- и Лг-топологий в не
которых частных случаях (теоремы 1.6, 1.7, и 2.1);
2) Найдено новое (более широкое) условие совпадения
открыто-множественной топологии и топологии равномерной
сходимости на элементах покрытия, а также необходимое и
достаточное условие того, что топология равномерной сходи
мости сильнее множественно-открытой (теоремы 3.5 и 3.9);
-
Доказан критерий хаусдорфовости рассматриваемых пространств; найдены необходимые условия регулярности и полной регулярности (5 — 6)
-
Найден критерий локальной компактности пространства СХ(Х) (теорема 7.3);
5) Найден критерий ст-компактности пространства СХ(Х)
(теорема 8.10);
Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации носят теоретический характер. Они могут найти применение при дальнейшем изучении функциональных пространств методами общей топологии и функционального анализа.
Апробация результатов работы. Результаты диссертации докладывались на Киевской (1990) и Московской (1996) международных топологических конференциях, на 4-ом русско-японском коллоквиуме (Москва, 1995), на городском топологическом семинаре (г.Екатеринбург), на семинарах памяти П. С. Александрова, и других.
Публикации. Основные результаты опубликованы в десяти работах, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем диссертации. Работа состоит из вве-
дения, восьми параграфов и списка литературы. Объем диссертации составляет 63 страницы машинописного текста и содержит 32 библиографические ссылки.
