Регулярность роста систем целых функций и ее применения Ганцев Сергей Николаевич

и E(yt,6) при помощи изъятия конечного числа элементов из последовательности {zkj} можно добиться того, чтобы было верно включение {^zk,i} Є E(yi,Si/2). С учетом этого включения нетрудно видеть, что для каждого I = 1,... , Jo найдется Ri > 0 такое, что вне круга Б(0, Ri) угол (с вершиной в нуле), порожденный кружком B(yi, \JkB{zk,u&\zk,i\). Пусть

'/о

E = S\

)

Тогда найдется 6 > 0 такое, что для каждого х Є Е кружок В (ж, S5)

компактно принадлежит углу (с вершиной в нуле), порожденному множеством S \ Z.

Согласно условию іі) для т = 2_}г = 4 и каждого яг Е S найдем число ^о = $о(^х)і фигурирующее в определении 4. Для каждого х Є фиксируем произвольное число S(x) > 0, удовлетворяющее неравенству:

5(х) < min{5', 5, 5q(x)}.

Как и выше, найдем точки х\ Є И,Z = 1,... Л\_у такие, что выполнено

включение

h Е с U*te.$/2),

где 5i — S(xi). Согласно определению 4 для каждого мы

можем выбрать последовательность {wk,i} Є E(xi_tSi) и число Ai > 0 так, чтобы неравенство в этом определении было выполнено для фі = /і, і — 1,... ,п, с заменами {^}₍Л-и соответственно на {w/.j}_tAi п Si. Как и выше, найдутся Ті > 0,/ = 1,... , її, такие, что вне круга 5(0,7]) угол, порожденный кружком B(xi, Si/2), покрывался объедине-

нием [jB(wk,i_t2Si\w_k>i\).

Пусть 9 = max Л/. Через Щ_{(с1) (соответственно Ul_t(d)) обозначим открытое подмножество точек z круга B(zkj,d5t\zk,i\) (соответственно

круга B(wk,i,^d6i\wk_>i\)_i удовлетворяющих неравенству:

Ь|/і(г)/^,(г,^,Л)[ - h_fi(z) > -de\z\^p, (соответственно неравенству:

где Л = {Aj} - общие нули с учетом их кратностей функций Д, ,f_n.

Найдем число G' > 0 такое, что

max In 1/^)/^ я₀,Л)| > -d&\z\^p, Vz Є B(Q,2dR₀).

Для каждого і = 1,... , п через Щ{3) обозначим подмножество точек z круга B(0,2dR()) таких, что выполнено неравенство:

\п\/&)/д_т^,х₀,А)\> -d&lzf.

Тогда, как и выше, круг B(0,2dRo) совпадает с объединением U"₌₁ Щ(ії). Положим

00 /о

00 її

Vi(d) = U^(d)\J

_{и и ад}

_UIKW)

U=H=1

Таким образом, для каждого d = 1,2 построено открытое покрытие комплексной плоскости Vi(d),... ,V_n(d). Это покрытие определяется є > 0, функциями /i,... ,/п, удовлетворяющими условиям і) и іі), и множеством Z С S. Введем следующее обозначение:

x(d) = sp

[JB{x_h2d5i)

li=i

где <^ и xi - те же, что и выше.

Построенное покрытие обладает одним хорошим свойством: расстояние между границам множеств V^l) и V(2) имеют подходящие для нас оценки снизу. Что и утверждается в следующей лемме.

Лемма 4. Существуют положительные постоянные с, а такие, что для каждого номера і = 1,.,. , п и любого z Є V^(l) \ {0} верпа оценка:

dist(z, дЦ{2)) > і

' сехр[-(2 + 2"⁺¹ + 2²')ф|1, z/\z\ І Х{1) сехр[-5ф|'],г/|г| ЄХ{\)

Для указанной выше склейки нам необходимо построить специальное разбиение единицы, подчиненное данному покрытию. Первом шагом на этом пути выступает ниже приведенная лемма.

Лемма 5. Пусть 1 - открытое множество в С, К - замкяутое подмножество Q и числа Л>0,а(0,1) такие, что

dist(z, 80) > 2aexp[-A|z|'], Vz Є К.

Положим

П' = {zeQ: dist(z, дП) > aexp[-A{\z\^p + 2)]}.

Тогда существуют числа с > 0 и функция e(z) С(С) такие, что

0 < e(z) < 1, Vz Є С; e(z) = 1, Vz Є if; e(z) = 0, Vz Є C\fi'; |3e(z)/3z| < cexpA\z\t>, Vz Є С.

В следующей лемме строится собственно само разбиение.

Лемма 6. Существует разбиение единицы 2 Є С(С),г = 1,... ,тг, соответствующее покрытию К(2),... , V^(2) комплексной плоскости (т.е. Е{ равна нулю в окрестности границы множества VJ(2) и вне него), такое, что для некоторых с, Ь > 0 выполнены неравенства:

\й*( w^l <г ; сехр[(2 + 2^+2²<>)фП, г/\₂\фХ(2) . '
\d-bi[z)/az \< < -, г = 1, ...,тг.

'-^ ?_ex_P[b|z|'Lz/|z|GX(2)

В заключении этого пункта строится специальная функция позволяющая избавиться от общих нулей функций /ь ... , /„. И специальная весовая функция применяемая для решения д задачи.

Для последовательности Л = {Aj} - общих нулей с учетом кратностей функций /і»... , /п Є [р, оо) определим функцию f(z) по формуле:

Z \ I z z^p

^т_^Л^)^е_Лї⁺_---⁺_ії)>^гС_'

где то - кратность общего нуля z — 0 функций /i,... ,/_п (возможно равная нулю) яр- наименьшее целое число удовлетворяющее условию:

Y, VIA/⁺¹ < 00. 7=1

Для всех к = 1,2,... и / = 1,... , /о положим:

\ max{ln 1/(^)1,In\f{z)/q_45l(z,z_khЛ)j}, ^ B(z_kih8$i\z_k,i\)

Для всех к — 1,2,... и I- 1,... , її определим еще функцию фк,і(²) ^по предыдущей формуле, где B(z_kj,85i\zk,i\) и д45;(г, Zfc,i,A) нужно заменить соответственно на B(wk,i,lQSi\wk^\) и q-(z,Wk,i,A). Пусть также

^,_} ( Ь|/(г)|, zB(x_Q,imz)

Іт^ІпІ/^І.ІпІ/И/йд.^жо.Л)!}, * Є В(аг₀, 16До) ' Положим теперь

где супремум берется по всевозможным значениям индексов к,1,р,г.

п. 2.3 В этом пункте формулируются и доказываются достаточные условия разрешимости систем неоднородных уравнений свертки.

Для выпуклой области D С С положим

Id = {z Є С : #_D(z) = +00}.

Если D ограничена, то, очевидно, /д - пустое множество.

Теорема 5. Пусть области D,G_tGi, компакты К{, операторы Мі и функции fi - те же, что и выше. Предположим, что выполнены следующие условия:

1. Система (/і,... , /n) имеет регулярный рост на луче tz, t > 0, для каждого z из замыкания множества S\Iq;

2. Система (/ь ... , /„) имеет слабый регулярный рост на луче tz, t > О, для каждого z Є S f] Iq.

Тогда система уравнений свертки

Mi[h]-g_u... ₁M_n[h]=g_n

разрешима в пространстве H(D) при любой допустимой правой части (ffi).-- ,9п) Є Я.

В случае, если область D с гладкой границей, то условия регулярности роста являются и необходимыми. Справедлива следующая теорема.

Теорема 6. Пусть G - область с гладкой границей такая, что Iq -открытое множество (возможно пустое). Тогда для того чтобы система (1) была разрешима в H(D) для любой допустимой правой части из Н необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

1) Система функций (/і /„) имеет регулярный рост на луче tn для

каждого г} Є S\Ig-

2) Система функций (/ь ... , /_п) имеет слабый регулярный рост на луче
tn для каждого п S f] Ig.

Краткое содержание Главы 3

В главе 3 показывается, что слабая регулярность роста всюду в С есть необходимое и достаточное условие для того чтобы идеал, состоящий из функций, обращающихся в нуль на общих нулях системы, ими порождался.

п. 3.1 В этом пункте доказываются достаточные условия представления для представления F Є [р, сю)(Л).

Теорема 7. Рассмотрим функции /і,... ,/_п принадлежащие [р,оо) и имеющие общее нулевое множество Л = {^j}jL\- Пусть система (/ь )/п) имеет в С слабый регулярный рост вдоль каждого луча

{ty,t > 0} (у Є SJ. Тогда для любой функции F [р,оо)(Л) можно найти gi_}... ,g_n Є [р, оо) такие, что

F{z) = /1(2)51 (z) + ... + f_n(z)g_n(z), zeC.

п. 3.2 В этом пункте доказываются необходимые условия представления.

Теорема 8. Рассмотрим /і,... , /„ Є [р, оо) и Л = {Aj-}^ их общее нулевое множество. Пусть для любой функции F Є [р, оо)(Л) существуют 5ь ) 9п Є [р, оо) такие, *гто

^М = /lHffiW + + Л. (*Ы*)> Vz є с,

тогда система (/ь... , /_п) имеет слабый регулярный рост вдоль каждого луча{Ьу,г>0} (yS).

Мы все подготовили для того, чтобы сформулировать основной результат третьей главы.

Теорема 9. Рассмотрим конечный набор функций /i,... , /_п [р, со), имеющих общее нулевое множество А = {^j}JLi- Идеал /(/і,... , /„) совпадает с идеалом [р, оо)(Л), в том и только в том случае, когда система (/її ) fn) имеет слабый регулярный рост вдоль каждого луча \ty, t > 0}

(у є s;.

п. 3.3 В этом пункте применяется задача о порождающих в идеалах целых функций конечного порядка и типа к известному результату о порождающих в замкнутых идеалах целых функций.

В работе [31] доказан известный результат, что для каждого замкнутого идеала, с определенными условиями на весовую функцию, существуют как минимум две образующие. В этом пункте мы подтверждаем этот результат для весовой функции p(z) = \z\^p. Как следствие, из теорем 4 и 9 вытекает следующее утверждение.

Теорема 11. Каждый идеал, состоящий из целых функций конечного порядка р и типа (при порядке р) порождается двумя элементами.

Изучение регулярности роста систем целых функций

Подобную характеристику можно встретить, например, в работе В.В. Напалкова [27], для п - мерного комплексного пространства, когда у характеристических функций нет общих нулей. Но общем случае, у характеристических функций могут быть общие нули. В работе А.С. Кривошеева [16] были введены характеристики взаимного поведения системы целых функций с общими нулями. Причем введенная там же регулярность роста систем целых функций совпадает с обычной регулярностью роста для одной функции. В данной диссертации приведены аналоги этих определений, основанные не на оценках в кругах максимума модулей функций, как в работе [16], а на оценках в самих необщих нулях системы. Также решаются две задачи. Это задача о разрешимости систем неоднородных уравнений свертки с новыми, введенными в диссертации условиями. В отличие от работы [16], приведенный здесь метод доказательства не использует индуктивных построений и существенно более прост. Данный метод является комбинацией метода использованном Волффом (см. [20], дополнение) и некоторых идей из работы [16]. Вторая задача связана с порождающими в идеалах целых функций конечного порядка и типа с общими нулями. Перейдем к более подробному рассмотрению поставленных задач и анализу результатов полученных ранее.

В пунктах 1.3 и 1.4 первой главы приводятся эквивалентные определения регулярности и слабой регулярности роста систем целых функций. В качестве основы используется теорема 1 в пункте 1.2. Остановимся на ней поподробнее. Пусть у нас имеется некоторый набор многочленов - Причем их нулевые множества в совокупности имеют пустое пересечение. Рассматривается максимум модулей этих многочленов на их нулевых множествах. Он должен быть ограничен снизу. Оказывается, что из этих дискретных оценок можно получить непрерывные оценки уже на всей комплексной плоскости. Естественно, эти оценки будут несколько хуже и будут зависеть от количества нулей заданных многочленов, что собственно и показывает теорема 1. Данная теорема, без существенных изменений, может быть расширена для случая бесконечной последовательности многочленов.

Определения регулярности и слабой регулярности роста системы целых функций (fiy... ,/п), введенных в работе [16], требуют оценок максимума модулей на совокупности некоторых кругов. В этой связи стояла задача получить более прозрачные эквивалентные определения регулярности и слабой регулярности, основанные лишь на взаимном расположении необщих нулей функций /і, , /„. Это взаимное расположение, конечно, должно характеризоваться оценками снизу максимума модулей функций /її /п или оценками снизу максимума модулей некоторых многочленов построенных по этим функциям. Одним из первых и основных шагов на пути получения эквивалентных определений является теорема 1 сформулированная и доказанная в пункте 1.2. Далее в пунктах 1.3 и 1.4 приводятся новые определения регулярности и слабой регулярности роста систем целых функций и доказывается их эквивалентность определениям из работы [16]. В конце пункта 1.4 приводится теорема 4, показывающая существование системы целых функций с произвольным общим нулевым множеством, имеющей слабый регулярный рост вдоль любого луча из С. Причем, как видно из определения слабой регулярности, общее нулевое множество не влияет на совместное поведение функций. Сложность состоит в том, что нужно достроить это нулевое множество таким образом, чтобы полученные функции были конечного типа и нули их были разделены. В дальнейшем эта теорема будут применена в главе 3 для другого более простого доказательства одного важного результата из теории замкнутых идеалов. В работах [8],[11],[21] были также рассмотрены задачи сравнения функций на основе взаимного поведения их нулей. В частности, в [21], стр. 130 и 143 сравниваются функции корни которых различаются по аргументу. Аналогичный вопрос затрагивается также в статье [8]. В работе [11] И.Ф. Красичкого-Терновского изучается изменение поведения целой функции конечного порядка, когда ее нули А,- С сдвигаются в точки 7» так, что А — 7 1 i гДе d If2,

Перейдем к рассмотрению задачи о разрешимости систем неоднородных уравнений свертки. Для одного сверточного уравнения имеется большое количество работ отечественных и зарубежных математиков, посвященных проблеме разрешимости. Частным случаем уравнений свертки являются дифференциальные уравнения конечного и бесконечного порядка с постоянными коэффициентами, разностные уравнения с постоянными коэффициентами и другие. Вопросы разрешимости таких уравнений можно найти в работах Р. Кармикаэля [33], X. Мугля [40], Р. Боаса [30], А.Ф. Леонтьева [22], [23] , А.О. Гельфонда [6], [7], П. Сиккемы [41], [42] и Б. Мальгранжа [38]. В случае общих уравнений свертки можно выделить работы Ю.Ф. Коробейника [10], B.C. Азарина [1] и В.В. Напалкова [26]. Полное ее решение можно найти в работах А.С. Кривошеева [15] и А.С. Кривошеева, В.В. Напалкова [14]. В случае систем неоднородных уравнений свертки можно отметить работы Л. Эренпрайса [34] и Б. Мальгранжа [39], где изучались системы дифференциальных уравнений конечного порядка с постоянными коэффициентами. В работах Л. Эренпрайса [34] и В.В. Напалкова [27], [28] исследовалась разрешимость во всей комплексной плоскости и когда у преобразований Лапласа нет общих нулей. В общем случае (когда у преобразований Лапласа могут быть общие нули) рассмотрен в работе А.С. Кривошеева [16], где приведены достаточные условия разрешимости сверточных уравнений. Показано также, что для областей с гладкой границей разрешимость оказывается эквивалентной регулярности роста системы преобразований Лапласа.

Изучение слабой регулярности роста систем целых функций

. Вопросы разрешимости таких уравнений можно найти в работах Р. Кармикаэля [33], X. Мугля [40], Р. Боаса [30], А.Ф. Леонтьева [22], [23] , А.О. Гельфонда [6], [7], П. Сиккемы [41], [42] и Б. Мальгранжа [38]. В случае общих уравнений свертки можно выделить работы Ю.Ф. Коробейника [10], B.C. Азарина [1] и В.В. Напалкова [26]. Полное ее решение можно найти в работах А.С. Кривошеева [15] и А.С. Кривошеева, В.В. Напалкова [14]. В случае систем неоднородных уравнений свертки можно отметить работы Л. Эренпрайса [34] и Б. Мальгранжа [39], где изучались системы дифференциальных уравнений конечного порядка с постоянными коэффициентами. В работах Л. Эренпрайса [34] и В.В. Напалкова [27], [28] исследовалась разрешимость во всей комплексной плоскости и когда у преобразований Лапласа нет общих нулей. В общем случае (когда у преобразований Лапласа могут быть общие нули) рассмотрен в работе А.С. Кривошеева [16], где приведены достаточные условия разрешимости сверточных уравнений. Показано также, что для областей с гладкой границей разрешимость оказывается эквивалентной регулярности роста системы преобразований Лапласа.

Перейдем теперь к рассмотрению задачи о порождающих в идеалах целых функций конечного порядка и типа. Пусть [р, со) определяет множество всех целых функций / таких, что для некоторых положительных констант с\ и c i Другими словами, [р, со) - это множество всех целых функций порядка (не выше) р и конечного типа (при порядке р). Через [р, со)(Л), где Л — { }}%і - последовательность комплексных чисел, обозначим идеал, который состоит из всех функций из [р,со) множество нулей которых содержит в себе Л. Как обычно, обозначим через /(/i,... ,/п) идеал в [р, оо), порожденный функциями /ь ... , /rt Є [р, оо), т.е множество вида Пусть Л = {Xj} последовательность общих нулей функций /1(... , /„. Возникает вопрос: при каких условиях на /i,... , fn идеал /(/і,..-, fn) совпадает с идеалом [р, со)(Л)? Эта задача полный аналог хорошо известной теоремы о Короне (см., например, книгу [20]). Согласно этой теореме, для любых функций /i,... ,/п Є Н (где Н - это множество функций аналитических и ограниченных в единичном круге) для некоторого 5 0 удовлетворяющих оценке: Опираясь на данную теорему, Келлехер и Тейлор в работе [37] доказали, что идеал /(/і,... ,/п Є [1,оо)) в [1,оо) совпадает со всем множеством [1, со) в том и только в том случае когда для некоторых положительных констант є и А выполнено неравенство: \h(z)\ + ... + /n(z) Gxg[-A\z\\t Ух Є С. Основная идея доказательства теоремы о Короне, предложенной Волф-фом, состоит в решении д - уравнения. Эта методика позволила расширить данную задачу уже на более широкий класс функций, рассмотренных в работах В.В. Напалкова [27] и Л. Хермандера [29]. Существенное ограничение во всех выше перечисленных работах состоит в том, что функции /lj ) In не имеют общих нулей, т.е. указанная нами задача рассматривалась в одном частном случае когда идеал [р, сс)(Л) совпадает со всем [р,со). В отличие от этих работ, в работе А.С. Кривошеева [16] был рассмотрен общий случай, но для.порядка р равного 1. Здесь был найден критерий совпадения идеалов, который основывается на введенном там же понятии регулярного роста системы функций. В данной диссертации также рассматривается общий случай, но уже для произвольного порядка. Краткое Главы 1 В главе 1 изучается регулярность систем целых функций. Приводятся новые определения регулярности и слабой регулярности роста систем целых функций. Доказывается их эквивалентность определениям из работы А.С. Кривошеева [16]. п. 1.1 В этом пункте даются первоначальные сведения о регулярности роста систем целых функций. Пусть S - единичная окружность с центром в нуле и z Є S. Через E(z,5)t5 0, обозначим совокупность последовательностей {zk}kLlf лежащих на луче {tz,t 0} и удовлетворяющих условиям: zj. -4 +оо и

Разрешимость систем неоднородных уравнений свертки в выпуклых областях в С

Простое сравиение определений 2 и 3 показывает, что понятие регулярности роста системы (ф\,... , фп) в случае п — 1 совпадает с обычной регулярностью роста целой функции.

Замечание. Рассмотрим теперь ситуацию, когда каждая из функций по отдельности имеет регулярный рост на луче ty. В этом случае можно привести простые условия на взаимное расположение нулей этих функций, достаточные для того, чтобы система {ф\,... ,фп) имела регулярный рост вдоль луча ty. Поскольку объединение конечного числа множеств нулевой относительной меры, то, согласно приведенному здесь классическому определению регулярности роста целых функций, найдется последовательность {zk}kLi Є Е(у) (единая для всех функций ф\,... ,фп).

Тогда из определения 2 следует, что для ф(,к{ ) — Фііг)я$ 1{Z) ZktA) верно неравенство: которое выполнено в круге i3(.fc,r5[zfc), но вне исключительного множества Cifk,i n,fc &Q. Для регулярности роста системы ( 1,... , фп)у согласно определению 3, достаточно потребовать теперь, чтобы для каждого г Є (0,1) и всех достаточно больших номеров к пересечение С\ ПCn,k было пустым в круге B(zktrS\zk\). В некоторых случаях можно дать довольно простое описание множеств C fc. Пусть Г - открытый угол (с вершиной в нуле), содержащий луч {ty,t 0}; {Aitj,mjj} - последовательность, построенная следующим образом: она содержит все нули Xij функции фі(г), лежащие в Г и не являющиеся общими для фі,... ,фп, при этом т обозначает кратность Ajj как нуля фі(г). Оставшаяся (после исключения указанных Ау) часть последовательности {Ajj} 0 = 1 состоит из всех тех общих нулей Xj системы {ф\,... , фп), лежащих в Г, для которых общая кратность rrij меньше кратности Xj как нуля фі(г). В этом случае ггц является разностью между кратностью Xij как нуля фі{г) и его кратностью как общего нуля системы {Фи) Фп)- Предположим, что для каждого і = 1,... , п последовательность {т{,}У? = 1 ограничена и выполнено одно из следующих условий (правильно распределенное множество, удовлетворяющее этим условиям, называется регулярным (см. [21])): 1) Существует такое число d% 0, что кружки радиусов r = йА 1-р 2 с центрами в точках Ajj не пересекаются. 2) Существует di 0 такое, что [А +1 — Ajj di\X{j\l p, Пусть d обозначает множество, состоящее из объединения кружков \z — AjjJ T JJ в первом случае и \z — A;j е&А; [1-р во втором. При достаточно малом 8 0 в круге B(zk,S\zk\) функция ipitk{z) име ет нули только из числа точек {А»,;} причем с кратностью TTHJ. По этому, повторяя почти дословно рассуждения из книги [21] на с. 163 166, нетрудно показать, что оценка, аналогичная (1.2) будет выполнена в круге S(zfc,r 5[ ), но вне множества С . Для регулярности роста си стемы (-01,.... уфп) остается потребовать, чтобы было пустым пересечение Ci Pi... P Сп (для некоторых rfj, і — 1,... , п). К примеру, если все функ ции фг(г) удовлетворяют условию 2), то в случае р = 1 достаточно потре бовать существования числа d 0, такого, что для любых і = 1,... , п и j — 1,2,... найдется номер I = 1,... ,п, для которого выполнены нера венства: \Xij — A/)Sj d, s = 1,2, Рассмотрим целую функцию порядка р и конечного типа. Каждая такая функция имеет, в некотором смысле "слабый"регулярный рост всюду в С. Действительно, согласно теореме об оценке снизу целой функции конечного порядка и типа на системе окружностей (см. [21]) для каждого 5 0 найдутся возрастающая неограниченная последовательность положительных чисел {rjtj lj и число А 0 такие, что Гк+і/г}. 1 +S и выполнена оценка: Пусть у Є S. Поскольку ф{г) имеет конечный тип, то для каждого 5\ Є (0,1) существует В 0 такое, что при достаточно больших t 0 С учетом двух последних формул, нетрудно показать, что для любых г т 1 существует о 0, удовлетворяющее условию: для каждого 5 (0,5о) найдутся последовательность (} Є Е(у,6) и число а 0 такие, что выполнены неравенства:

Применение задачи о порождающих в идеалах целых функций конечного порядка и типа

Пусть D - выпуклая область в С. Через H(D) обозначим пространство функций, аналитических в D с топологией равномерной сходимости на компактных подмножествах из D. Сильно сопряженное к нему пространство обозначим H (D). Элементы H (D) называются аналитическими функционалами в D. Пространство H{D) является замкнутым подпространством пространства непрерывных функций в области D. Поэтому из теорем Хана-Банаха и Рисса следует, что каждому элементу fi Є H (D) соответствует мера т с компактным носителем в Д такая, что Опишем в общих чертах постановку задачи. Функционал /І порождает в пространстве H(D) следующий оператор: который называется оператором свертки в пространстве H(D). Оператор М - линейный и непрерывный, поэтому его значениями являются аналитические функции. Молено рассмотреть уравнение вида: где G — выпуклая область (она будет описана ниже). В данной главе приводятся необходимые и достаточные разрешимости систем таких уравнений свертки для множества допустимых правых частей (этот термин разъяснен немного далее).

Говорят, что выпуклый компакт К С С является определяющим множеством функционала /л Є # (С), если для всякой его окрестности U существует постоянная Сц такая, что Пусть ц - аналитический функционал в С. Преобразованием Лапласа функционала fi называется функция f(z), определяемая равенством:

Она является целой и имеет экспоненциальный тип. Пусть К - сопряженная диаграмма функции / (см. [24]). По теореме Полна (см. [24]), К является наименьшим выпуклым компактом, определяющим \L. Поскольку целые функции плотны в любом пространстве Н(1), где Q - выпуклая область в С, то из неравенства (2.2) легко следует, что функционал /і продолжается как линейный и непрерывный на пространство Н{К) - функций аналитических на К. Следовательно, если некоторый сдвиг K-\-z компакта К лежит в области D, то для любой функции ф Є H{D) определено значение функционала /І на элементе ф[у + z),y Е D — z} пространства H(D-z)cH{K). Пусть D представляется в виде G + К, где G - выпуклая область и fj, Є Н (С) . Значениями оператора свертки (2.1) являются функции, аналитические в области G, т.е. М действует из H{D) в H(G). При этом преобразование Лапласа / функционала /х называется характеристической функцией оператора М.

Пусть G - выпуклая область в С, /ІІ, ... ,/І„ - аналитические функционалы в С, /i,... , /п и К\,... , /fn - соответственно их преобразования Лапласа и сопряженные диаграммы. Положим Тогда для каждого г = 1,... ,п функционал /г» определяет оператор свертки МІ, действующий из пространства H(D) в пространство H(Gi). Рассмотрим систему сверточных уравнений: Приведем теперь некоторые известные факты и понятия, необходимые нам в дальнейшем. Пусть области D,G,Gi, функционалы fj,(, функции /j и операторы МІ - те же, что и выше. Положим М = (Mi,... , Мп) и Оператор М действует из H(D) в произведение Н = H(Gi) х... х H(Gn). Пусть М - сопряженный к М оператор, действующий из H (G\) х ... х H (Gn) в H (D), и PQ - пространство целых функций экспоненциального типа, сопряженные диаграммы которых лежат в области D. Топология в PD задается как топология индуктивного предела банаховых пространств где Lj - последовательность выпуклых компактов из области Z), такая, что Lj С int Lj+i и [J Lj = D\ Hi - опорная функция множества L:

Из определения топологии в Рд, в силу компактности вложений, следует (см., например, [27]),.что последовательность { fk} С PD сходится в PD К функции р, если найдется номер j такой, что р, { fk} С Pj и { рк} сходится к р в пространстве Pj. Сходимость же в Pj означает, что для некоторого С 0 и всех к выполнено неравенство /? (2) СехрН (г), гС,и { Рк} сходится равномерно на каждом компакте из С к функции

Известно (см. [27]), что преобразование Лапласа устанавливает алгебраический и топологический изоморфизм пространств H (D) и Рд, следовательно, оператор М однозначно определяет некоторый оператор, действующий из Рс1 х ... х Рсп в PD, который мы обозначим Е. Пусть

H (Gn) и fj, — M [v]. Обозначим через Pi ж F - преобразования Лапласа соответственно функционалов щ и д. Найдем явный вид оператора Е. Для этого в равенство, определяющее сопряженный оператор подставим экспоненту и получим:

Похожие диссертации на Регулярность роста систем целых функций и ее применения

Целые функции типа синуса. Применение к исследованию систем экспонент в весовых гильбертовых пространствахПутинцева, Анастасия Андреевна

Асимптотика -субгармонических функций и их ассоциированных мер. Применение в вопросах полноты систем экспонентРумянцева, Алла Александровна

Теорема типа Левинсона - Щёберга. Квазианалитические классы функций. ПримененияКинзябулатов, Ильнур Галиянович

Экстремальные задачи для квадратурных формул на некоторых классах дифференцируемых функций и применение проекционных методов к построению наилучших по порядку квадратурных формулАлиев, Рафиг Муса оглы

Пространства векторнозначных и операторозначных функций и их применение к аналитическому представлению операторов Наводнов Владимир Григорьевич

Условия квазиконформной продолжимости аналитических функций и их применениеЧуев, Василий Петрович

Новые соотношения для неванлинновских характеристик мероморфных и алгеброидных функций и их применениеМохонько, Анатолий Захарович

Атомарные функции и их применениеРвачев, Владимир Алексеевич

Равномерная непрерывность неаддитивных функций множества и их применение к векторному интегрированию Никифоров Вячеслав Михайлович

Обобщенные приведенные модули и некоторые их применения в геометрической теории функций комплексного переменногоЭйрих Надежда Владимировна