Введение к работе
Актуальность темы. Диссертация посвящена изучению вопросов, связанных с квазианалитичностью классов Карлемана на дугах и двойственной задачей о компактности семейства Fm = {/} аналитических в некоторой области D функций /, удовлетворяющих вне некоторой дуги 7 из D оценке вида
\f(z)\
где dist(z,-y) = ini\z — t\, М = М(р) — убывающая на (0,оо) функция, не
ограниченная в окрестности нуля. Предполагается, что функция М удовлетворяет некоторому билогарифмическому условию, которое называется условием Левинсона. Данное условие возникает во многих вопросах комплексного анализа, спектральной теории и теории операторов, в теории целых и субгармонических функций, рядов экспонент, в теории интерполяции (см., н-р,
в [1]).
В 1938 году Н. Левинсон [2] доказал теорему, которая явилась „далеко идущим обобщением принципа максимума модуля для аналитических функций" [3].
Теорема (Н. Левинсон). Пусть М{у) положительная, монотонно
убывающая в полуинтервале (О, Ь\ функция, М(у) | оо при у і О, М{Ъ) = е.
Пусть, далее, Fm ~ семейство функций, аналитических в прямоугольнике
Р = { z = х + iy : \х\ < о, \у\ < b }, удовлетворяющих в Р оценке. \F{z)\ <
М{\у\). Если
/ lnlnM(y)dy < оо, (2)
то для любого д > 0 существует постоянная С, зависящая только от 6 и
М(у), такая, что для всех функций f є F^ в прямоугольнике
Ps = {z = x + iy:\x\у\ < b}
справедлива оценка \f(z)\ < С.
Отметим, что независимо от Левинсона (по-видимому, одновременно с ним) эту теорему в несколько иной форме доказал Шёберг (N. Sjoberg) [4]. Впоследствии, Ф. Вольф (F. Wolf) распространил теорему Левинсона-Шёбергана более широкий класс функций [5]. П. Кусисом показано, что условие (2) в теореме Левинсона является и необходимым [6]. Существуют иные варианты и различные обобщения этой теоремы. В отличии от первоначального, весьма громоздкого и сложного, доказательства теоремы Левинсона в [3] предлолсено более простое.
Теорема Левинсона нашла многочисленные применения в различных областях анализа, в первую очередь в комплексном анализе, спектральной теории функций и теории операторов (см., н-р, в [6]-[12]).
В диссертации получено некоторое обобщение теоремы типа Левинсона -Щёберга, которое представляет особый интерес с точки зрения её применения к известным проблемам квазианалитичности классов Карлемана и полноты систем экспонент на дугах. Как известно, в случае отрезка 7 = [а, Ь] исчерпывающие ответы на эти проблемы получены в теоремах Мюнца [13] и Данжуа-Карлемана [14].
Классическая проблема квазианалитичности в дальнейшем обобщалась в разных направлениях. В работах М.М. Джрбашяна и его учеников разработана теория а - квазианалитичности, которая при а = 0 совпадает с обычной квазианалитичностью (см., н-р, [16]).
Проблема квазианалитичности класса Н(А7,Мп), где Д7 — угол А7 = { z : \argz\ < ~, 0 < \z\ < со }, была впервые поставлена и решена Сали-насом [17]: класс Я(А7, Мп) квазианалитичен в точке 2 = 0 тогда и только тогда, когда
Г^Ш*г = +оо, T(r)= sup -. (3)
Следует заметить, что известное условие квазианалитичности А. Островского (см., н-р, [15]) для класса Сі{Мп) формально является предельным случаем условия (3) (при 7 — со).
Задача о квазианалитичности класса Н(К, М„) (К — круг) решена Б.И. Коренблюмом [18]. В [19] Р.С. Юлмухаметовым доказан критерий квазианалитичности класса H(D, Мп) в граничной точке.произвольной выпуклой, области D. В последние годы было получено описание классов Карлемана для ограниченных односвязных областей со спрямляемой жордановой границей [20], [21].
В работах А. Бёрлинга [22], Бреннана [23], В. Мацаева и М. Содина [24] и других исследованиях обнаружена тесная связь квазианалитичности с задачами аналитического продолжения и аппроксимации полиномами в различных весовых пространствах. В [25] А.А. Гончар исследовал задачи, связанные с понятием квазианалитического продолжения через дугу. Полученные в данной работе результаты применимы к исследованию особенностей и единственности представления функций рядами вида ]Г}П -^-. Вопросам квазианалитической продолжаемости или непродолжаемости функций, представляемых рядами Дирихле или рядами экспонент посвящены работы А.Ф. Леонтьева [26]-[28]. В [29] А.И. Павловым приведен пример функции, которая квази-аналитически продолжается через прямую голоморфизма на всюду плотном множестве.
Применяя метод, основанный на решении одной экстремальной задачи в
неквазианалитическом классе Карлемана Cr(Mn), A.M. Гайсину удалось по-' лучить точную оценку роста ряда Дирихле с вещественными коэффициентами на положительном луче [30].
Особую актуальность описание классов Карлемана приобретает в связи с задачами аппроксимации системами экспонент на тех или иных континуумах (например, на дугах) комплексной плоскости.
В [31] А.Ф. Леонтьевым доказана теорема:
Пусть 7 : У = f(x) — непрерывная кривая, составленная из конечного числа гладких дуг js : у = fs{x), причем \f's{x)\ < 1. Если
0 < Afc 1 со, Afc+i - Afc > h > 0,22 Г" = >
fc=iAfc
то система {eAtz} не полна на 7 в метрике С.
Данная теорема основана на замечательной „теореме о стирании особенностей" [31], доказательство которой сводится к обоснованию квазианалитичности класса Карлемана Су(Мп),
п 2
на кусочно-гладкой кривой 7- Отметим, что приведенный результат А.Ф.
Леонтьевым ранее был доказан для аналитических дуг в [32]. В [33] Коре-
варом показано, что для полноты системы {ел*г} на кусочно-гладкой кривой
7 достаточно лишь условия
оо 1
аГ- - W
Используя те же соображения квазианалитичности класса Су(Мп), ученик Коревара R.Zeinstra в [34] перенёс результат из [33] на случай кривых ограниченного наклона.
А.Ф. Леонтьевым показано [31], что условие (4), следовательно, соответствующие условия Карлемана, А.Островского, Мандельбройта и Банга достаточны для того, чтобы класс С^М^ был квазианалитическим.
Проблема заключается в следующем: будет ли для полноты системы {eAtz}
в (7(7) (С(т)~~ пространство непрерывных функций с нормой ||/|| = max \f(z)\)
і условие (4) необходимым?
Для аналитических дуг 7 ответ положительный [35]. В общем случае задача весьма сложная и, как следует из [36], всё сводится к двойственной проблеме о квазианалитичности класса Карлемана С7(М„).
В настоящей диссертации полностью решена задача о квазианалитичности регулярных классов Карлемана на дугах ограниченного наклона.
В качестве применения изучается свойства систем {ел"г} (последовательностей полиномов и рядов экспонент), показатели которых подчинены условиям:
оо 1
An > /*п, 0 < /in Т со, — j 0, ]>2 — < - (5)
^" п=1 ^п
Как известно, группа условий (5) сильнее, чем требование Y^Li Г" < [!] В диссертации показано, что при выполнении условий (5) система {е nZ} усиленно не полна и усиленно свободна на семействе дуг ограниченного наклона (в частности, система {еЛ"2} не полна в C(-f)). Наконец, решена задача аналитического продолжения и представимости рядами Дирихле функций / из замыкания линейной оболочки системы {eA"z} в С(7); доказана теорема единственности о поведении рядов Дирихле F(z) = ^ опеЛ"г на системе дуг,
уходящих определенным образом в бесконечность и образованных движением (сдвиг, поворот) дуги 7- Этот круг результатов обобщает и дополняет известные результаты Бёрлинга [22], Коревара, Диксона [36],[37], А.Ф. Леонтьева [31],М.А. Евграфова [38], А.Е. Фрынтова [39], A.M. Гайсина [40].
Цель работы. Доказать теорему типа Левинсона в случае, когда семейство Fm — {/} аналитических функций / вблизи некоторой дуги 7 подчинено оценке (1), применить полученный результат к известным проблемам квазианалитичности классов Карлемана и полноты систем экспонент на дугах.
Научная новизна. Все основные результаты настоящей работы новые. Получены следующие результаты:
получено обобщение известной теоремы Левинсона - Щёберга для семейства аналитических функций, имеющих вблизи некоторой дуги определенную мажоранту роста.
доказан критерий квазианалитичности для регулярных классов Карлемана на дугах.
полученные результаты применены в задачах аналитического продолжения, для доказательства теорем единственности рядов Дирихле.
Методика исследования. Использованы методы теории рядов экспонент, разработанные А.Ф. Леонтьевым и развитые в работах A.M. Гайсина, а также методы комплексного анализа, теории целых функций.
Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации носят теоретический характер. Полученные в диссертации результаты и разработанная в ней методика могут быть полезны как в теории целых функций,
рядов экспонент, так и в смежных областях анализа, таких, как теория аппроксимации в комплексной области, теория дифференциальных уравнений бесконечного порядка, спектральная теория. Они могут быть использованы специалистами, работающими в Математическом институте имени В. А. Стек-лова РАН, Институте математики с ВЦ Уфимского научного центра РАН, Санкт - Петербургском отделении Математического института имени В.А. Стеклова РАН, Московском, Ростовском, Саратовским, Львовском, Башкирском, Сыктывкарском госуниверситетах а также в других ведущих российских и зарубежных научных центрах.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинарах Института математики с ВЦ Уфимского научного центра РАН; на семинарах кафедры теории функций и функционального анализа Башкирского госуниверситета; на VI Региональной школе — конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по естественным наукам(2006 г.), на Уфимской международной конференции, посвященной памяти А.Ф. Леонтьева(2007 г.), на Международной конференции "Комплексный анализ и дифференциальные уравнения"(4-8 декабря 2006 г., Якты-куль), на Международной конференции "Нелинейные уравнения и комплексный анализ"(1-5 декабря, Якты-куль 2008 г.).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 работ, список которых приведен в конце автореферата.
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разделенных на 9 параграфов, списка литературы. Объем диссертации составляет 92 страниц. Библиография - 61 наименований.
