Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Ряды экспонент с положительными показателями
1.1. Линейный дифференциальный оператор бесконечного порядка в пространствах целых функций многих комплексных переменных 24
1.2. Порядок роста по вертикалям многомерного ряда экспонент 29
1.3. R. -характеристики роста многомерного ряда экспонент 36
1.4. Кратные ряды экспонент с положительными показателями 42
ГЛАВА II. Ряды экспонент с комплексными показателями
2.1. Условия сходимости многомерного ряда экспонент в Вычисление классического порядка роста суммы ряда 50
2.2. Условия сходимости многомерного ряда экспонент в Вычисление классического типа роста суммы ряда 59
2.3. А-характеристики роста целых функций многих комплексных переменных. Пространство А-порядок роста многомерного ряда экспонент 63
2.4. А-тип роста многомерного ряда экспонент 73
2.5. Кратные ряды экспонент с комплексными показателями 79
ГЛАВА III. Исследование свойств замкнутой линейной оболочки системы экспонент
3.1. Условия представления функций замкнутой линейной оболочки многомерным рядом экспонент с показателями, сумма координат которых имеет конечную верхнюю плотность 90
3.2. Условия представления функций замкнутой линейной оболочки многомерным рядом экспонент с показателями, сумма координат которых имеет показатель сходимости больше единицы 99
3.3. Исследование замыкания линейной оболоч ки кратной системы экспонент 104
Литература
- Линейный дифференциальный оператор бесконечного порядка в пространствах целых функций многих комплексных переменных
- Условия сходимости многомерного ряда экспонент в Вычисление классического типа роста суммы ряда
- Кратные ряды экспонент с комплексными показателями
- Условия представления функций замкнутой линейной оболочки многомерным рядом экспонент с показателями, сумма координат которых имеет показатель сходимости больше единицы
Введение к работе
Теория одномерных рядов экспонент имеет более чем столетнюю историю. Большой вклад в ее развитие внесли Э.Борель, Ж.Ритт, С.Мандельбройт, А.Ф.Леонтьев, Г.Л.Лунц, Ю.Ф.Коробейник, В.П.Громов, Ю.Н.Фролов, И.Ф.Красичков и другие.
Начиная с 60-х годов появился большой цикл работ А.Ф.Леонтьева, в которых получены фундаментальные результаты о разложении аналитических функций в ряды экспонент и более общие функциональные ряды. Исследования рядов экспонент и свойств функций, определяемых такими рядами, составляют в настоящее время один из важнейших разделов теории функций. Интерес к рядам экспонент неуклонно растет и в связи с их применением в различных областях математики, например, в современной теории линейных дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами, в теории асимптотических методов решения нелинейных уравнений (см. обзор [153). Если теория одномерных рядов экспонент достаточно хорошо развита (ее основные достижения наиболее полно отражены в монографиях А.Ф.Леонтьева [22-243, [29]), то теория многомерных рядов экспонент, включая и кратные ряды экспонент, находится до сих пор в начальной стадии развития.
Одной из первых работ, в которой рассматривались ряды вида ^ А Р<х^г" ч ч«> о» (I) была работа В.П.Громова [9], опубликованная в 1969 году, в которой показано, что каждой предельной функции последовательности конечных линейных комбинаций многомерных экспонент соответствует ряд (I) при определенных условиях на показатели ряда
П-fTL - 5 -и он однозначным образом определяет предельную функцию Fc?> .
В работе [14] аналогичная задача решается в более общем случае.
Область абсолютной сходимости ряда (I) описана в работе З.Г.Га- бовича С41. Ряды вида (І) в дальнейшем будем называть многомерны- ми рядами экспонент.
Кратным рядом экспонент называется ряд
Кратный ряд экспонент, в отличие от многомерного ряда экспонент, подвергался исследованиям несколько чаще. Основными работами по теории кратных рядов экспонент являются работы А.Ф.Леонтьева ([28]), В.П.Громова ШІ-ІЗ]), А.И.Янушаускаса ([44,45]), Г.И.Ибрагимова ([18,19]).
Настоящая работа посвящена, в основном, изучению свойств и поведения многомерного ряда экспонент в различных линейных топологических пространствах целых функций многих комплексных переменных. Наибольшее внимание уделяется тем свойствам ряда, которые зависят от поведения показателей {.Х,Л= 1(^ ..., ^il") J При изучении многомерного ряда экспонент мы заботимся лишь о поведении системы показателей в целом, не накладывая дополнительных условий на каждую координату показателей в отдельности, как это делается часто в случае кратных рядов экспонент. Этот момент - одно из существенных отличий многомерного ряда экспонент от кратного ряда экспонент. На наш взгляд, именно поэтому, во многих задачах практического комплексного анализа многомерный ряд предпочтительней, чем кратный ряд экспонент.
Большинство результатов, полученных для многомерных рядов экспонент, не следует из соответствующих результатов для кратных рядов экспонент и не может быть сведено к ним, и наоборот. Хотя в некоторых частных случаях наблюдается пересечение результатов.
Другим существенным моментом, отличающим исследования многомерных рядов экспонент от аналогичных исследований кратных рядов экспонент, является метод исследования. Методы, применяемые для исследования кратных рядов экспонент, здесь не подходят.
Основой метода исследования многомерных рядов экспонент в работе является развитие (применительно к многомерному случаю) метода линейных дифференциальных операторов бесконечного порядка, детально разработанного в одномерном случае А.Ф.Леонтьевым. В нашем случае эти операторы имеют вид LLFJ =2^ ъ-Ъ*Г к=-о ||ot(|=m.-K ^ . , . <^2Г
Следует отметить, что часть результатов, полученных в работе для многомерных рядов экспонент, содержит в себе, как частный случай, результаты новые и для одномерного ряда экспонент (например, теоремы 1.2.2-І.2.6, 2.1.2, 2.3.1-2.3.3, 2.4.1, 2.4.3, 2.4.4, 3.1.5, 3.1.6, 3.2.1, 3.2.2 ).
Перейдем к краткому изложению содержания диссертации. Работа состоит из трех глав, в которых проводится исследование многомерного ряда экспонент. Последний параграф каждой главы посвящен кратным рядам экспонент.
Основными функциональными пространствами, в которых проводятся исследования, являются следующие: І) іл&о - пространство всех целых функций многих комплексных переменных с топологией равномерной сходимости на компактах; - 7 - l
2) ь^ - пространство целых функций многих комплексных переменных порядка роста (по совокупности переменных) не выше о) , топология которого задается системой норм ||Р|| = 4u>(u{M(F, R.,«)- eacpGR.^6)} у V>0,-
3) C-^jO^l - пространство целых функций многих комплексных пе ременных порядка роста меньше -о с топологией индуктивного предела пространств 6о- (л\] =
4) ь^ - пространство целых функций многих комплексных пе ременных порядка роста меньше ~э или равного -^ , но типа роста не выше ^ , с топологией, определяемой системой норм l|P|lt= ^[М(РД3^)-^>ТС-с^О^)\, ^>о.
5) cs>,c~) - пространство целых функций многих комплексных переменных порядка роста не выше -S) , если порядок равен ->> , то тип конечен, с топологией индуктивного предела пространств
Поскольку в работе все характеристики роста целых функций многих комплексных переменных рассматриваются по совокупности переменных, то термин "по совокупности переменных" в дальнейшем будем опускать.
Как известно (Е371), тип роста целой функции многих комплексных переменных зависит от области исчерпывания пространства
С , р ^ l .В настоящей работе при изучении типа роста целой функции многих комплексных переменных исчерпывание пространства всегда будем производить с помощью полицилиндра ^=(гв^ * l^il^l., j=i,...} р\ и для упрощения записи вместо f-будем писать просто с
Первая глава работы посвящена изучению роста целых функций, представимых многомерным рядом экспонент (I) с положительными показателями. Как уже отмечалось, метод исследования работы опирается на линейные дифференциальные операторы бесконечного порядка вида (3), поэтому в I.I изучаются свойства операторов вида (3).в пространствах целых функций многих комплексных переменных. Основной теоремой этого параграфа является теорема I.I.I.
ТЕОРЕМ I.I.I. Пусть характеристическая функция оператора LIP] целая функция порядка роста f> т^ . Тогда LtF] определен на пространстве ( *-* > -^ » переводит его в себя и является линейным непрерывным оператором.
Во втором параграфе главы I начинается непосредственное изучение роста целых функций, представимых абсолютно сходящимся рядом экспонент (I) с положительными показателями, имеющими единственную предельную точку в бесконечности,
Пусть M(F,є^...,6^= ^llF(^n±4)...^-1^-. |t.\^,j=v..,py ЛЕММА. Если
Лемма показывает, что если Rz) не является конечной линейной комбинацией экспонент, toMCF,^,...,р) растет быстрее. рост функции Fc^) будем характеризовать с помощью порядка роста по вертикалям. Порядком роста по вертикалям функции Р(.2о называется величина ^1+,.. + 6^-^^ іиЛ<> t+ .. / + Op)
Между порядком роста по вертикалям, коэффициентами и показателями ряда (I) существует связь.
ТЕОРЕМА I.2.I. Пусть Fc*; _ целая функция, представимая абсолютно сходящимся рядом (I) с положительными показателями, имеет порядок роста по вертикалям ^^ и пусть коэффициенты ряда удовлетворяют равенству
ifj|>^!l аС-1. h-->^ brv. Vrv 1 і І «І p. I ^
Тогда <***«. . Если же существует # , ^^-~i , такое, что
^,,^ \\>ле <с~' TO С = ^^ , IIXj| = s"J + +x
Понятие порядка рост"! по вертикалям для целых функций одной переменной, представимых абсолютно сходящимся рядом экспонент с положительными показателями, вводилось в работе [17].
Известно, что рост целой функции можно характеризовать с помощью классического порядка роста ^ - Unrv р q '
ГДвМ(Р,Я,50)=таой\1Рса^|.Ч|)е Я 1, 3 = ^6^ »*jl* ±, j-i,..., pi
Естественно возникает вопрос о связи классического порядка роста с порядком роста по вертикалям.
В 1.2 показано (теорема 1.2.2), что при некоторых условиях, накладываемых на поведение суммы координат показателей ряда, справедливо неравенство
Здесь же показано (теорема 1.2.4), что условие является необходимым и достаточным для совпадения классического порядка роста и порядка роста по вертикалям целой функции, представимой абсолютно сходящимся рядом (I) с положительными показателями.
Пусть последовательность { '-VII j , НМ+ 1^Л^И , ^ит, t имеет усредненную верхнюю плотность ^f и 5(іси)=1ге(СЛ \tj -LVa-jj^.-.p 5 - слой в пространстве С Порядком роста в слое
ТЕОРЕМА 1.2.5. Порядок роста пЦ,, в слое S(i ск) t а> fc%* t суммы ряда (I) удовлетворяет неравенствам
В теореме 1.2.6 показано, что условие (4) является необходимым и достаточным для того, чтобы ^^=-9^ .
Результаты 1.2 являются новыми и для одномерного случая, кроме теоремы I.2.I, которая уточняет известный одномерный аналог.
В 1.3 изучается рост целых функций, представимых абсолютно сходящимся рядом (I) и имеющих бесконечный порядок роста по вертикалям. В этом случае принято вводить R. -характеристики роста. Понятие Я -характеристик роста для целых функций, представимых кратным рядом экспонент, вводилось в работах[18],[40]. В 1.3 указаны (теоремы I.3.I и 1.3.2) формулы для вычисления R.-характеристик роста суммы ряда (I) через коэффициенты и показатели ряда, установлена связь (теоремы 1.3.3 - 1.3.6) между R.-харак- - II - теристиками роста суммы ряда (I) во всем пространстве С- и в слое >(У>) , Л> 5ПЭ* #
Вторая глава посвящена исследованию многомерного ряда экспонент (I) с комплексными показателями 1>Л є 4L
В 2.1 изучены свойства ряда (I), связанные с порядком роста (классическим) его суммы. Условия сходимости ряда (І) в топологии пространства Л о* и рост его суммы описывает теорема.
ТЕОРЕМ 2.І.І. Пусть последовательность{^*.} с единственной предельной точкой в бесконечности удовлетворяет условиям
ІІЛ^Ікж- где llxjM >^1+ ...+1-^^1 . Если коэффициенты ряда (I) удовлетворяют равенству
U^A = $-1 _ Uq^_^_, (5) то ряд (I) сходится абсолютно в топологии пространства ^ и представляет собой целую функцию порядка роста ^ - %
Следующий результат тесно связан с условием (5) (он является новым и для одномерного случая).
ТЕОРЕМА 2.1.2. Пусть последовательность {Х1г.^ удовлетворяет условию
I ч C-L) . (Р) \
Для того, чтобы ряд (I) абсолютно сходился в топологии пространства ь<^ , <^>i , и не сходился в топологии пространства ^у при i^v-ca , необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие (5).
В связи с этим результатом возникает вопрос: можно ли и как вычислять порядок роста суммы ряда (I) через его коэффициенты и показатели. Если последовательность различных чисел lV+--+>v J имеет конечный показатель сходимости р , то можно лишь определить (теоремы 2,1,3 и 2.1.4) границы интервала, в котором лежит порядок роста его суммы. Если же дополнительно потребовать выполнения условия n->o~ W.I >V +. ,.+ х. \ \ р ^0^+...+.0
К >[rwajc (.4.,/»)] п.- ± то порядок роста ^ суммы ряда (I) можно вычислять по формуле (теорема 2.1.5)
Т-— Lull* Л _ ±±
Второй параграф главы II посвящен изучению типа роста суммы ряда (I). Прежде всего укажем условия сходимости ряда (І) в топологии пространства «^«с
ТЕОРЕМ 2.2.1. Пусть показатели {^^) удовлетворяют условию -хЛ
РЯД (I) СХОДИТСЯ абСОЛЮТНО В ТОПОЛОГИИ ^^/f и не сходится в топологии ^Чл при /з < т , тогда и только тогда, когда Г- 11>Л^"1} V<~> ^ = (т>) -\7-d. п.—>t* — -Cn-ioL^l
В одномерном случае аналог теоремы 2.2.1 получен ранее другим методом А.Ф.Леонтьевым [24, стр. 15]. - ІЗ -
В теореме 2.2.3 показано, что при некоторых дополнительных условиях на показатели ряда (6) в точности дает формулу для вычисления типа роста суммы ряда (I). Этими дополнительными условиями являются существование конечной верхней плотности последо-вательности различных комплексных чисел {Х^ + .. . +>^ ) и условие
|\--?>оО -І-4- -О. (V)
Если условие (7) не выполняется, то можно (теорема 2.2.2) указать только границы интервала, содержащего тип роста суммы ряда (I). В случае бесконечного порядка роста целой функции вводятся новые характеристики роста. Одна из них - А-порядок - введена В.П.Громовым [6] для целых функций одной переменной, представи-мых рядом экспонент. Им получены достаточные условия ( А.Ф.Леонтьев [26]показал, что эти условия и необходимые ), в которых А-порядок роста можно вычислять через коэффициенты и показатели ряда экспонент. Понятие А-типа роста для тех же функций введено в работе [20]. Понятие А-порядка роста для целых функций многих комплексных переменных, представимых кратным рядом экспонент, вводилось в работе Г.И.Ибрагимова [18] при исчерпывании пространства полицилиндрами. Однако, как оказалось, А-характеристики роста целых функций многих переменных зависят от области исчерпывания пространства и, следовательно, введенное в [18] определение носит частный характер. Оставался открытым и вопрос о связи А-характеристик роста целой функции с ее тейлоровскими коэффициентами. Поэтому в 2.3 дается общее определение А-характеристик роста целых функций многих комплексных переменных и устанавливается их связь с тейлоровскими коэффициентами, при этом доказывается зависимость А-характеристик роста от области исчерпывания пространства С ; описываются свойства пространства 91«^), пороаденного целыми функциями конечного А-порядка роста зе_ и изучается поведение ряда (І) в пространстве GL^C).
Пусть Рсг) ,г-<ь(І2 , р^і ,- целая функция. А-порядком роста функции Рсг) назовем величину
ИЛТЪ 0
А-типом роста функции Рсг; при данном А-порядке «.^ будем называть величину
1гъН(Р R я» где МСР,Я,^)= ^llFc^l (J)e^} , ^) <=: CD.р - ограниченная, полная, кратно-круговая область с центром в начале координат.
ТЕОРЕМА 2.3.1. Для того, чтобы целая функция ^г)-^ссюг имела А-порядок роста ^ и при этом порядке А-тип ^-э , необходимо и достаточно, чтобы Уитг [LllKll ^iC^ld^O^'} =*э, > -и*. ;urrL а нк и еэер -
ГДес1Ск)^)^и|ъ\1г|К: 2<-<3] ф
Обозначим через сЦеЛ^) пространство целых функций А-порядка роста не выше &.<% с топологией, задаваемой системой норм
С такой топологией 6^() _ полное, счетно-нормированное пространство. Пространство сопряженное с ним описывает теорема.
ТЕОРЕМА 2.3.2. Любой линейный непрерывный функционал на пространстве &gS%b имеет вид ^C(F) -- > с, ^ Ри
Ск-) =Со) х . . . _
I т/ (с1к)|(Ю/ 4. &Jlkil V oLt(0f*>) -*-
НК(1-9 0-о 'сю L ' й
Ряды экспонент во введенном пространстве /. () удобно изучать, если в качестве области исчерпывания рассматривать область %)- [гєС -1 г.- ( . = ^... ^ р} , поэтому в дальнейшем будем опускать индекс у «» ,
В 2.3 доказана следующая теорема.
ТЕОРЕМА 2.3.3. Пусть последовательность {^А удовлетворяет условию
Для того, чтобы ряд (I) абсолютно сходился В ТОПОЛОГИИ Ц^из ,ы>^, и не сходился в топологии (%^ при ^ud , необходимо и достаточно, чтобы
1\Л^1>Л+...+1хЛк(>^| —- -UJ.
Заметим, что теоремы 2.3.1 - 2.3.3 новые и для одномерного случая.
Далее, пусть последовательность ^ >^+ . .. +>*ІГ I, >ч^+... + Х^' ^x^U...-4-x^ , Vw-*»"' , имеет конечную верхнюю плотность, тогда существует интервал, содержащий А-порядок роста суммы ряда (I). При некоторых дополнительных условиях на показатели можно указать формулу для вычисления А-порядка роста суммы ряда (I).
ТЕОРЕМА 2.3.5. Пусть ч «-. , ч W «=: оо Vfv.^»n-- fL->c-3 I ^П. + . . . +>п. 1
Для того, чтобы А-порядок роста « суммы ряда (I) вычислялся по формуле
»01а1>Л+...^>Л^1ХЛ необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие ^WV..+хЛ
В 2.4 вводится пространство &**tu. №) целых функций А-по-рядка роста меньше *.я или равного - , но А-типа не выше у^ , с топологией, задаваемой системой норм
ГДЄ МС?Я/») = тл:х:\іРсг^:(|)% \^-ЬеЄР: |^-( і j = 4.,..., pi ( в дальнейшем вместо j*-^ будем писать просто j*- ). Условия сходимости ряда (І) в топологии ^v^ описывает следующая теорема (новая и для одномерного случая).
ТЕОРЕМА 2.4.1. Пусть последовательность {>v] удовлетворяет условию / -Wvft.
ДЛЯ ТОГО, ЧТОбЫ РЯД (I) абСОЛЮТНО СХОДИЛСЯ В ТОПОЛОГИИ & ауо и не сходился в топологии ^-«у* при f>y^ , необходимо и достаточно, чтобы к-^>^э -Эе-/Н>-к V
Если последовательность (ХЛ] удовлетворяет условию (8), то существует интервал, содержащий А-тип роста суммы ряда (I) и границы этого интервала неулучшаемы (теоремы 2.4.2 и 2.4.3). Если, кроме этого, наложить ограничения на скорость сближения показателей, то получим следующий результат.
ТЕОРЕМ 2.4.4. Пусть последовательность удовлетворяет условию (8). Для того, чтобы А-тип роста суммы ряда (I) вычислялся по формуле A f \ «/ll-XrJI 1 t = ё^ё. ІІЛп \ HXJ-lolJ J
К—>с-о ; необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие / АЛЬ ІА/ПЬ і ч (і) (р; і ^:v..,o
Третья глава работы посвящена исследованию свойств замкнутых линейных оболочек многомерных систем экспонент в различных топологических пространствах целых функций многих комплексных переменных.
В 3.1 изучаются свойства замыкания линейной оболочки системы ^еосо<^^^> } в топологии пространства J^=> :
При этом на показатели { X ^} накладываем следующие условия
К. . с« (р) . <*) ч
К->>оо )>„. i- , +>^ j
Известно ([141), что между функциями из Н1>Л и рядами вида (I) существует изоморфизм VFs.hUJ: Fc«~^^e,""> (9)
В 3.1 получены необходимые и достаточные условия сходимости ряда (9) для функций из И \>*"\ . Здесь же уточняется топология, в которой ряд (9) сходится, и указываются формулы для вычисления соответствующих характеристик роста. В одномерном случае критерии сходимости ряда (9) для любой функции ИЗ НІХ1! , имеющей классические характеристики роста, доказаны А.Ф.Леонтьевым [251,126]. В настоящей работе удалось получить результаты новые и для одномерного случая. Приведем их.
ТЕОРЕМА 3.1.5. Пусть F^H\XJ} - любая целая функция, имеющая А-порядок роста -^>о . Для того, чтобы ряд (9) абсолютно сходился к Р сг) в топологии пространства ^~ , необходимо и достаточно, чтобы i^\>r\u^'u ..^\>:\L\x:\
1,^ i«
ТЕОРЕМА 3.1.6. Ряд (9) абсолютно сходится к Рея , \/рє Н {х^.\ Л Q^-ge. , в топологии пространства Э^ае , тогда и только тогда, когда f- * 4'(>vV.*0
При этом А-порядок роста ^ * «. суммы ряда (9) вычисляется по формуле
1/Ыгть
В 3.2 рассматривается случай, когда последовательность показателей такова, что последовательность различных комплексных имеет конечный показатель сходимости чисел і >*. + - + л N ;
Р > і . Замыкание линейной оболочки системы {<аэср «i>v, z>j производится в топологии пространства ( « 4 > ~ 1
Основной теоремой этого параграфа является теорема 3.2.2.
ТЕОРЕМА. 3.2.2. Для того, чтобы любая функция ре Н \Х,Л с: (ji.' ~~1 представлялась абсолютно сходящимся в топологии {-рт > ~^ ] рядом (9), необходимо и достаточно, чтобы {/TLUV v- tn,lXvl"+ . .. +>V 1
Х^-Ъсгэ <(>Г+...+хГ) И в этом случае порядок роста -э функции ^С2) вычисляется по формуле
InJlVU ^-4.
Результаты 3.2 являются новыми и для одномерного случая.
Как уже отмечалось, в последнем параграфе каждой главы ( 1.4, 2.5, 3.3 ) задачи, рассмотренные в предыдущих параграфах, ставятся и решаются для кратных рядов экспонент (2) ^ V),г^
Отметим, что в известных работах по теории кратных рядов экспонент многие из рассмотренных задач детально не изучались. Например, впервые в теории роста кратных рядов экспонент удалось получить результаты для того случая, когда, по крайней мере, одна из координат показателей имеет неограниченную верхнюю плотность (теоремы 1.4.3, 1.4.4, 2.5.7, 2.5.8, 3.3.8).
Заметим, что результаты для многомерного ряда экспонент (I) получены в довольно общих условиях, накладываемых на показатели ряда. При таких общих условиях на показатели аналогичные результаты для кратных рядов (2) неизвестны и некоторые из них, по-видимому, невозможны.
Естественно, что в том случае, когда на показатели многомерного и кратного рядов экспонент накладываются одинаковые условия некоторые частные результаты о многомерном ряде экспонент можно получить как следствие из соответствующих результатов о кратном ряде экспонент, К таким теоремам относятся, в частности, теоремы I.2.I, 2.1.2, 2.2.1, 2.3.3, 2.4.1. В общем случае при исследовании многомерного ряда экспонент (I), как правило, на показатели накладываются существенно иные условия, чем в случае кратного ряда (2).
Поясним последнее замечание. Например, основные результаты 2.2 главы II справедливы при следующих предположениях > <=-<=>. (TQ)
Для кратного ряда подобные результаты получены лишь в предположении, что ? Urru т^тігг **"> <И*->р- (II) . . с;> 14" і
Очевидно, что условия (10) и (II) существенно различны, причем (II) является более широким требованием на показатели и только в случае положительных показателей они совпадают.
При вычислении R. -характеристик роста для многомерного ряда экспонент мы накладываем следующие условия на показатели: для R-порядка / = ъ
Ш^ ч ct)0 М) сер ч '- для &-типа У- -^— -ol <с?~.
В случае кратных рядов экспонент Ф.Г.Салимов [401 требует выполнения условий -Vn-^i
ДЛЯ R-ПОряДКа [^ - A ф =^ , ^= ma^S-p-о», f!.. ->сй ^d " 4 (13) для R -типа Т. ^ =ct. ^m^u,)^, d a «rV--, P-Совершенно ясно, что условия (12) шире условий (IS). Более того, даже в тех случаях, когда условия (12) вытекают из условий (13), для многомерного ряда экспонент получаются более точные результаты.
Кроме иных условий на показатели, которые обсуждались выше, задачи о кратных рядах экспонент требуют и других операторов исследования.
В 1.4 изучается рост целых функций, представимых абсолютно сходящимся рядом (2) с положительными показателями. В частности, доказана теорема.
ТЕОРЕМА 1.4.6. Пусть последовательность \>0 ] имеет усредненную верхнюю плотность ^- и "V - порядок роста по вертикалям суммы ряда (2). Для того, чтобы порядок роста по вер-тикалям во всем пространстве С совпадал с порядком роста в слое <3(/t ",<*-) , "-j^^f , j =-4.,--,-р , необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие VrtM-L где W-a - целая функция с простыми нулями \^к. \ , j=V~>p . В 2.5 исследуются свойства ряда (2) с комплексными показателями, указываются условия сходимости ряда (2) в различных линейных топологических пространствах целых функций многих комплексных переменных. Например, доказаны следующие теоремы. - 22 -ТЕОРЕМ 2.5.7. Если последовательность V^*im-, , имеет показатель сходимости л^ и
Х(Л, II 01,-1 , Р = rrvo-oc ( Л" ) > і ,^-1,...,^
, то ряд (2) абсолютно сходит- где/==^(^,.--. , ся в топологии пространства Чї» и порядок роста его суммы удовлетворяет неравенству где величина 0 вычисляется по формуле Q-Л "8 їгЛ>соІ\ LUiU^^c>^)\
ТЕОРЕМА 2.5.8. В условиях теоремы 2.5.7 условие 4 ІП-ifu rv|l->oo 'Vn-I^h, +...+ХКр| является необходимым и достаточным для того, чтобы порядок роста -* суммы ряда (2) вычислялся по формуле И\Л
3.3 посвящен изучению замыкания линейной оболочки кратной ности, если система \Х^. ] имеет показатель сходимости л системы экспонент в зависимости от поведения показателей. В частей a = т-аос- (А-) > і
, 1=1 "Ьн^иь^.Н
Сп->, и каждой функции Pt*> из единственным образом ставится в соответствие ряд (2). Для этого случая справедлива теорема.
ТЕОРЕМ 3.3.8. Для того, чтобы любая функция FeH\X^j с \fi~± 'J представлялась абсолютно сходящимся в топологии (~^r± > ^ ] рядом (2), необходимо и достаточно, чтобы \АЛГЬ К"\ л/сьЬсь
IIMt-^t*0 то имеет с/-*-
Если ^ - порядок роста функции ^г место формула buU>»„ii
В заключение автор выражает глубокую признательность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору В.П.Громову за постановку задачи и постоянное внимание к работе.
Линейный дифференциальный оператор бесконечного порядка в пространствах целых функций многих комплексных переменных
Теория одномерных рядов экспонент имеет более чем столетнюю историю. Большой вклад в ее развитие внесли Э.Борель, Ж.Ритт, С.Мандельбройт, А.Ф.Леонтьев, Г.Л.Лунц, Ю.Ф.Коробейник, В.П.Громов, Ю.Н.Фролов, И.Ф.Красичков и другие.
Начиная с 60-х годов появился большой цикл работ А.Ф.Леонтьева, в которых получены фундаментальные результаты о разложении аналитических функций в ряды экспонент и более общие функциональные ряды. Исследования рядов экспонент и свойств функций, определяемых такими рядами, составляют в настоящее время один из важнейших разделов теории функций. Интерес к рядам экспонент неуклонно растет и в связи с их применением в различных областях математики, например, в современной теории линейных дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами, в теории асимптотических методов решения нелинейных уравнений (см. обзор [153). Если теория одномерных рядов экспонент достаточно хорошо развита (ее основные достижения наиболее полно отражены в монографиях А.Ф.Леонтьева [22-243, [29]), то теория многомерных рядов экспонент, включая и кратные ряды экспонент, находится до сих пор в начальной стадии развития.
Одной из первых работ, в которой рассматривались ряды вида была работа В.П.Громова [9], опубликованная в 1969 году, в которой показано, что каждой предельной функции последовательности конечных линейных комбинаций многомерных экспонент соответствует ряд (I) при определенных условиях на показатели ряда -и он однозначным образом определяет предельную функцию Fc? . В работе [14] аналогичная задача решается в более общем случае.
Область абсолютной сходимости ряда (I) описана в работе З.Г.Га бовича С41. Ряды вида (І) в дальнейшем будем называть многомерны ми рядами экспонент. Кратным рядом экспонент называется ряд Кратный ряд экспонент, в отличие от многомерного ряда экспонент, подвергался исследованиям несколько чаще. Основными работами по теории кратных рядов экспонент являются работы А.Ф.Леонтьева ([28]), В.П.Громова ШІ-ІЗ]), А.И.Янушаускаса ([44,45]), Г.И.Ибрагимова ([18,19]).
Настоящая работа посвящена, в основном, изучению свойств и поведения многомерного ряда экспонент в различных линейных топологических пространствах целых функций многих комплексных переменных. Наибольшее внимание уделяется тем свойствам ряда, которые зависят от поведения показателей {.Х,Л= 1( ..., il") J При изучении многомерного ряда экспонент мы заботимся лишь о поведении системы показателей в целом, не накладывая дополнительных условий на каждую координату показателей в отдельности, как это делается часто в случае кратных рядов экспонент. Этот момент - одно из существенных отличий многомерного ряда экспонент от кратного ряда экспонент. На наш взгляд, именно поэтому, во многих задачах практического комплексного анализа многомерный ряд предпочтительней, чем кратный ряд экспонент.
Большинство результатов, полученных для многомерных рядов экспонент, не следует из соответствующих результатов для кратных рядов экспонент и не может быть сведено к ним, и наоборот. Хотя в некоторых частных случаях наблюдается пересечение результатов.
Другим существенным моментом, отличающим исследования многомерных рядов экспонент от аналогичных исследований кратных рядов экспонент, является метод исследования. Методы, применяемые для исследования кратных рядов экспонент, здесь не подходят. Основой метода исследования многомерных рядов экспонент в работе является развитие (применительно к многомерному случаю) метода линейных дифференциальных операторов бесконечного порядка, детально разработанного в одномерном случае А.Ф.Леонтьевым. В нашем случае эти операторы имеют вид
Следует отметить, что часть результатов, полученных в работе для многомерных рядов экспонент, содержит в себе, как частный случай, результаты новые и для одномерного ряда экспонент (например, теоремы 1.2.2-І.2.6, 2.1.2, 2.3.1-2.3.3, 2.4.1, 2.4.3, 2.4.4, 3.1.5, 3.1.6, 3.2.1, 3.2.2 ).
Перейдем к краткому изложению содержания диссертации. Работа состоит из трех глав, в которых проводится исследование многомерного ряда экспонент. Последний параграф каждой главы посвящен кратным рядам экспонент.
Основными функциональными пространствами, в которых проводятся исследования, являются следующие:
Условия сходимости многомерного ряда экспонент в Вычисление классического типа роста суммы ряда
Доказательство леммы 2 проводится аналогично, поэтому мы его опускаем. Пусть в условиях леммы I (леммы 2) сумма ряда F( (2.I.I) имеет порядок роста L , тогда Рсг)=о . Доказательство. Так как сумма ряда (2.I.I) F(z имеет порядок роста ± , то воспользуемся оценкой (2.1.9) где =-J+ i . При Я- о все коэффициенты dh. равны нулю, следовательно, Рсг; = 0 . Лемма 3 доказана. Пусть выполнено условие (2.1.8) и величина а такова, что і ч о . Тогда ряд (2.І.І) сходится абсолютно в топологии ЧГд и представляет собой целую функцию, порядок роста которой удовлетворяет неравенствам где величина в вычисляется по формуле Если последовательность l wj такова, что последовательность различных чисел (Х -+ . .. + \ } имеет конечный показатель сходимости Р А И, кроме того, 1 уЬх , то ряд (2,1,1) сходится абсолютно в топологии 4L и порядок роста п? его суммы удовлетворяет неравенствам где величина & вычисляется по формуле (2.1.12). Доказательство теоремы 2.1.3. В силу условий теоремы и теоремы 2.1.2 ряд (2.1.I) абсолютно сходится в топологии 4L к целой функции Рс г ) порядка роста н? а На основании леммы I V , \/R- Ro 0 , , имеем Минимизируя правую часть неравенства по Я- (R-m - IHVHM) , причем R-r rv" при - — ) получим при больших h Поскольку гд± - любое, большее О , ТО 0 -л) Покажем, что 0 і . Для этого рассмотрим ряд В условиях теоремы этот ряд сходится абсолютно и представляет собой, с учетом леммы 3, целую функцию порядка роста0:1±& 9. Теорема 2.1.3 доказана полностью. Следствие. В условиях теоремы 2.1.3 ряд сходится абсолютно "в топологии 0 и представляет собой целую функцию, порядок роста которой вычисляется по формуле (2.1.12). Доказательство теоремы 2.1.4 мы опускаем так как оно проводится аналогично доказательству теоремы 2.1.3. Отличие будет лишь в том, что вместо леммы I следует использовать лемму 2. является необходшлым и достаточным для того, чтобы порядок роста п суммы ряда (2.I.I) вычислялся по формуле Доказательство. Достаточность. Если -4. » то теорема очевидна. Пусть -о . Воспользуемся оценкой (2.1.13) с учетом (2.1.14) для -S? -?4 Так как ± - любое, большее n? , но достаточно близкое к , то \ . Отсюда и на основании теоремы 2.I.I следует, что ск=л) . Это и означает, что порядок роста суммы ряда (2.I.I) вычисляется по формуле (2.I.I5). Необходимость условия (2.1.14) следует из того, что для последовательности {х,Л- v \, -,)J , не удовлетворяющей условию (2.1.14), всегда можно построить сходящийся ряд (2.I.I), порядок роста которого не вычисляется по формуле (2.1.15). Пример такого ряда построен В.П.Громовым в работе [71. Теорема 2.1.5 полностью доказана. Следует отметить, что одномерные аналоги теорем 2.I.I и 2.1.3 - 2.1.5 получены в работе 171. Теорема 2.1.2 является новой и для одномерного случая.
Кратные ряды экспонент с комплексными показателями
Полученное неравенство, с учетом теоремы 2.3.3, говорит об абсолютной сходимости ряда (3.1.2) в топологии ct-ж. . Возможность вычисления А-порядка функции Fczj по формуле (З.Г.І6) следует из теоремы 2.3.5. Необходимость условия (3.1.15) вытекает из примера, построенного при доказательстве теоремы 3.1.5. Теорема доказана. В заключение отметим, что теорема 3.I..I обобщает известный для одномерного случая результат А.Ф.Леонтьева [281 и Ю.Ф.Коробейника [21], доказанный другими методами. Теоремы 3.1.2 и 3.1.4 содержат в себе одномерный аналог полученный в работе [28], при этом они указывают формулы для вычисления классических характеристик роста. Одномерный аналог теоремы 3.1.3 был анонсирован И.С.Галимовым на семинаре по теории функций в МГУ (руководитель - доктор физико-математических наук, профессор Ю.А. Казьмин). Результаты теорем 3.1.5 и 3.1.6 являются новыми и для одномерного случая. - 99 3.2. Условия представления функций замкнутой линейной оболочки многомерным рядом экспонент с показателями, сумма координат которых имеет показатель сходимости больше единицы. В данном параграфе изучаются свойства замыкания линейной оболочки системы I«зср к5г 1 в топологии пространства (7"- » " ] » что связано с условиями накладываемыми на и показатели { ,} А именно, пусть последовательность {X J с единственной предельной точкой в бесконечности такова, что последовательность различных чисел (х + ... -+ } имеет конечный показатель СХОДИМОСТИ Р 4. . Пусть Hi rv] - замыкание линейной оболочки системы е.эйр 1 гх 2 } в топологии пространства [у/, л. - e?Q ] .Из определения Н \ V) имеем \/ Р є И \Х.) . ( сходимость в топологии (4 4 , « 1 ). ТЕОРЕМА 3.2.1. Пусть последовательность { &. .г)} сходится в топологии пространства ( р Сл. , тогда существуют пределы коэффициентов и они однозначным образом определяют предельную функцию. Локазательство этой теоремы проводится по методу доказательства теоремы 2 работы [14], поэтому мы его опускаем. При этом следует использовать свойства оператора LIT] вида (I.I.5), доказанные в теореме I.I.I. Нетрудно заметить, что функции из НІХ ] являются решениями уравнения И, кроме того, и, если этот ряд сходится, то он сходится к F z . Этот факт порождает задачу о нахождении условий сходимости ряда (3.2.2). ТЕОРЕМ 3.2.2. Для того, чтобы любая функция ГєНіхЛ (т 1 представлялась абсолютно сходящимся в топологии (у э ] рядом (3.2.2), необходимо и достаточно, чтобы Отсюда на основании теоремы 2.1.2 следует абсолютная сходимость ряда в топологии fo-o , i -э i_± , и, следовательно, в топологии ( тт 5 ] . По теореме 2.1.5 при условии (3.2.3) справедлива формула (3.2.4).
Условия представления функций замкнутой линейной оболочки многомерным рядом экспонент с показателями, сумма координат которых имеет показатель сходимости больше единицы
Пусть последовательность { -VII j , НМ+ 1 Л И , ит, t имеет усредненную верхнюю плотность f и 5(іси)=1ге(СЛ \tj -LVa-jj .-.p 5 - слой в пространстве С Порядком роста в слое S(.ta) целой функции Риз , представимой рядом (I), назовем величину В теореме 1.2.6 показано, что условие (4) является необходимым и достаточным для того, чтобы =-9 . Результаты 1.2 являются новыми и для одномерного случая, кроме теоремы I.2.I, которая уточняет известный одномерный аналог. В 1.3 изучается рост целых функций, представимых абсолютно сходящимся рядом (I) и имеющих бесконечный порядок роста по вертикалям. В этом случае принято вводить R. -характеристики роста. Понятие Я -характеристик роста для целых функций, представимых кратным рядом экспонент, вводилось в работах[18],[40]. В 1.3 указаны (теоремы I.3.I и 1.3.2) формулы для вычисления R.-характеристик роста суммы ряда (I) через коэффициенты и показатели ряда, установлена связь (теоремы 1.3.3 - 1.3.6) между R.-харак - II теристиками роста суммы ряда (I) во всем пространстве С- и в слое (У ) , Л 5ПЭ # Вторая глава посвящена исследованию многомерного ряда экспонент (I) с комплексными показателями 1 Л є 4L В 2.1 изучены свойства ряда (I), связанные с порядком роста (классическим) его суммы. Условия сходимости ряда (І) в топологии пространства Л о и рост его суммы описывает теорема. ТЕОРЕМ 2.І.І. Пусть последовательность{ .} с единственной 1+ ...+1- 1 . Если коэффициенты ряда (I) удовлетворяют равенству то ряд (I) сходится абсолютно в топологии пространства и представляет собой целую функцию порядка роста - % Следующий результат тесно связан с условием (5) (он является новым и для одномерного случая). ТЕОРЕМА 2.1.2. Пусть последовательность {Х1г. удовлетворяет условию I ч C-L) . (Р) \ Для того, чтобы ряд (I) абсолютно сходился в топологии пространства ь , i , и не сходился в топологии пространства у при i v-ca , необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие (5).
В связи с этим результатом возникает вопрос: можно ли и как вычислять порядок роста суммы ряда (I) через его коэффициенты и показатели. Если последовательность различных чисел lV+--+ v J имеет конечный показатель сходимости Р , то можно лишь определить (теоремы 2,1,3 и 2.1.4) границы интервала, в котором лежит порядок роста его суммы. Если же дополнительно потребовать выполнения условия
Если условие (7) не выполняется, то можно (теорема 2.2.2) указать только границы интервала, содержащего тип роста суммы ряда (I). В случае бесконечного порядка роста целой функции вводятся новые характеристики роста. Одна из них - А-порядок - введена В.П.Громовым [6] для целых функций одной переменной, представи-мых рядом экспонент. Им получены достаточные условия ( А.Ф.Леонтьев [26]показал, что эти условия и необходимые ), в которых А-порядок роста можно вычислять через коэффициенты и показатели ряда экспонент. Понятие А-типа роста для тех же функций введено в работе [20]. Понятие А-порядка роста для целых функций многих комплексных переменных, представимых кратным рядом экспонент, вводилось в работе Г.И.Ибрагимова [18] при исчерпывании пространства полицилиндрами. Однако, как оказалось, А-характеристики роста целых функций многих переменных зависят от области исчерпывания пространства и, следовательно, введенное в [18] определение носит частный характер. Оставался открытым и вопрос о связи А-характеристик роста целой функции с ее тейлоровскими коэффициентами. Поэтому в 2.3 дается общее определение А-характеристик роста целых функций многих комплексных переменных и устанавливается их связь с тейлоровскими коэффициентами, при этом доказывается зависимость А-характеристик роста от области исчерпывания пространства С ; описываются свойства пространства 91« ), пороаденного целыми функциями конечного А-порядка роста зе_ и изучается поведение ряда (І) в пространстве GL C).
