Введение к работе
Актуальность темы. Настоящая диссертация посвящена исследованию спектра стохастического оператора высокотемпературного гиббсовско-го поля.
Гиббсовские случайные поля являются общепринятой моделью большого числа стационарных решетчатых систем статистической физики и квантовой теории поля. Одним из важнейших изучаемых объектов, характеризующих это поле является его трансфер-матрица (стохастический оператор). Классические результаты, связанные с этим объектом, восходят к Г. Онзагеру, Б. Кауфману, А.Бете, М. Солпитеру, В. Рюэлю, Р. Добрушину, В. А. Малышеву, Р. А. Минлосу, Я. Г. Синаю,и другим исследователям математической статистической физики.
Изучению спектра связанных состояний операторов многочастичных систем посвящены работы, выполненные как в России, так и за рубежом. Новым результатам, связанным с этими вопросами уделено внимание в монографиях В. Малышева, Р. Минлоса1,2, Дж. Глимма и А. Джафф?, Б. Саймона4 и других.
В настоящей диссертации получено полное описание дискретного спектра трансфер-матрицы высокотемпературного гиббсовского поля с компактным спиновым пространством в ее двухчастичном подпространстве. Ранее проводились исследования более простых случаев, а именно: случая двухточечного спинового пространства и взаимодействия ближайших соседей (модель Изинга) Г. Онзагером и Б. Кауфманом5, случая компактного спинового пространства и взаимодействия ближайших соседей Р. А. Минлосом, Е. АЖижиной6, Р. С. Шором, М. О'Кэроллом (случай некомпактного пространства спинов)7, а также в случае произвольного взаимодействия «общего положения» проведенного в случае двухточечного спинового пространства Р. А. Минлосом и Ш. С. Маматовым*.
'Малышев В. А, Минлос Р.АЛ Линейные операторы в бесконечно-частичных системах // Наука, 1992.
2Малышев В. А, Минлос Р. А., Гиббсовские случайные поля // Наука, Москва, 1985.
3Глим Док, Докаффе А., Математические методы квантовой физики // Меркурий Пресс, Москва, 2000.
* Саймон Б., Модель Р{<р)ч евклидовой квантовой теории поля // Мир, Москва, 1976.
*Отиадег L., Kaufman В., Crystal statistics, // Phys. Rev., v.76, p.232, 1949.
eMinlos R. A, Zhizhina E, Leading branches of the transfer-matrix spectrum for lattice spin systems.,// Journal of Stat. Phys.,v-108, p.885-904, 2002.
7Schor U.S., O'Carrol M., Transfer matrix spectrum and bound states for the lattice classical ferromagnetic spin systems at high temperature, // Journal of Stat. Phys., 99(6/6): 1265-1279, 2000.
Маматов HI. С, Минлос P. А, Связанные состояния двухчастичного кластерного оператора, //
)
>'l,L. НАЦИОНАЛЬНА**
БИБЛИОТЕКА I
Цель работы. Описать дискретный спектр трансфер-матрицы случайного гиббсовского поля в ее двухчастичном подпространстве.
Научная новизна. Полученные результаты являются новыми. Результаты второй главы получены автором самостоятельно. В первой главе теорема о существовании «уединенного» уровня получена совместно с Р. А. Мин-лосом.
Доказано существование изолированного «уединенного уровня», находящегося на расстоянии порядка 1/Т2 от края непрерьшного спектра, при каждом значении полного «квазиимпульса» системы.
Доказано отсутствие двухчастичных связанных состояний в модели «общего положения» и физической размерности пространства (г/ = 3), что является полным описанием двухчастичной области этой модели. В случаях пространств размерности v = 1 или 2 показано, что двухчастичные связанные состояния могут возникать лишь вблизи особых значений полного квазиимпульса Л Є Т". При v = 1 также приведены условия того, что эти собственные значения на самом деле возникают.
— Описан спектр связанных состояний при v — 1,2,3 в случае взаи
модействия ближайших соседей, причем рассмотрен также, не рассматри
вавшийся в литературе случай < сг4 >= 3 < а'1 >. При v = 1 описание
двухчастичной области является полным.
Методы исследования. В работе используются методы функционального анализа, теории функций комплексного переменного, теории интегральных уравнений, случайных процессов и теории особенностей.
Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты заключаются в описании дискретного спектра действия трансфер-матрицы гиббсовского случайного поля в ее двухчастичном пространстве, однако развитые методы могут быть использованы в других многочастичных системах, а также в теории евклидовых квантовых полей.
Апробация диссертации. Результаты автором докладывались в 2001-2004 годах на научно-исследовательском семинаре «теория рассеяния и статистическая механика» под руководством РАМинлоса. Результаты автора
Теор. и Мат. Физика, т.79(2): 163-1,1989.
были представлены на международных конференциях: по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2004г.), по математической физике (Беловеже, Польша, 2004г.)
Структура и объем работы. Диссертация изложена на 81 странице и состоит из введения, двух глав и списка литературы, включающего 21 наименование.
