Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Структура и спектр трансфер-штриц решетчатых моделей с компактным спиновым пространством ... 31
1.1. Общая схема исследования структуры и спектра трансфер-матриц 31
1.2. Модели с компактным спиновым пространством в высокотемпературной области 42
1.3. Модель Изинга с большим внешним полем 63
Глава II. Структура и спектр трансфер-штриц калибровочно-инвариантных решетчатых полей 69
2.1. Калибровочно-инвариантная модель Изинга 69
2.2. Решетчатые поля Янга-Миллса 74
Глава III. Старшие ветви спектра некоторых спиновых моделей при низких температурах 85
3.1. Выбор параметров модели 94
3.2. Теорема о кластерном разложении базиса
3.3. Оценка матричных элементов трансфер-матрицы и исследование ее спектра 113
3.4. Оценки семиинвариантов для модели прямоугольных внешних контуров 118
Глава ІV. Протекание в конечной полосе для дискретных и непрерывных систем 131
4.1. Дискретные системы 131
4.2. Непрерывные системы 139
Приложение к главе ІV 145
Литература 160
- Модели с компактным спиновым пространством в высокотемпературной области
- Калибровочно-инвариантная модель Изинга
- Оценка матричных элементов трансфер-матрицы и исследование ее спектра
- Непрерывные системы
Введение к работе
Диссертация посвящена главным образом изучению структуры трансфер-матриц решетчатых моделей статистической физики и квантовой теории поля, а также старших ветвей их спектра. В четвертой главе диссертации рассматривается задача о протекании в конечной полосе для гиббсовских полей.
В последнее время большой интерес вызывает изучение гиббсовских полей, которые возникли при формулировке задач квантовой механики на теоретико-вероятностном языке. Для многих квантовых физических систем можно построить гиббсовское поле (в пространстве большей размерности) так, что трансфер-матрица этого
~н поля совпадает с оператором Є (точнее, подобна ему), где
Н - гамильтониан физической системы. При этом исследование спектра трансфер-матрицы часто оказывается проще, чем непосредственное исследование спектра Н .
Трансфер-матрица (ненормированная) впервые появилась в работе Л.Онзагера [551 при исследовании двумерной модели Изинга в отсутствии магнитного поля. С общей точки зрения спектральный анализ трансфер-матрицы начат Р.А.Минлосом и Я.Г.Синаем в [25]. В этой работе введена важная конструкция специального ортогонального базиса в "физическом пространстве" и общая схема нахождения спектра трансфер-матрицы, проходящая красной нитью практически через все работы по этой тематике.
Определение мультипликативной кластерной структуры трансфер-матрицы и доказательство такой структуры для случая двумерной модели Изинга впервые было дано в [з].
Существенный вклад в исследование кластерной структуры и спектра трансфер-матриц сделан в работах В.А.Малышева Г15-17],
В.А.Малышева и Р.А.Минлоса [18-19, 52-53 ], а также в работах С.Лакаева и Р.А.Минлоса [н], Р.А.Минлоса и А.И.Могильнера [2з], Ш.С.Маматова и Р.А.Минлоса [2l], И.А.Кашагова и В.А.Малышева [l2, 5о], Ф.Г.Абдулла-Заде [і-2І. В этих статьях изучаются в основном модели в высокотемпературной области. Х.Жолондеком ([ю], гл. I, 3) показана кластерная структура трансфер-матриц моделей в низкотемпературной области для определенного типа гамильтониана. Изучение спектра трансфер-матриц для моделей квантовой теории поля содержится в работах Дж.Глимма, А.Джаффе [47-481 и Т.Спенсера [б], Р.Бальяна, Д.М.Друффе и С.Ициксона j^44J, Д.Когу-та и Д.К.Синклера [5IJ, Рикардо Шора Гб7], Т.Спенсера и Ф.Цирил-ли Г58J.
В большинстве этих работ изучение кластерной структуры трансфер-матрицы было сведено к так называемым равномерно сильным кластерным оценкам семиинвариантов гиббсовского поля, что в свою очередь связано с кластерными разложениями. Формальные ряды кластерных разложений используются в физике уже полстолетия. Первое доказательство их сходимости получено Н.Н.Боголюбовым и Б.И.Хацетом в 1947 году в [4І. Примерно двадцать лет спустя началось бурное развитие техники кластерных разложений. Многие новые идеи здесь принадлежали Д.Рюэлю [34І, К.Груберу и Н.Кунпу Г 49], Дж.Глимму, А.Джаффе, Т.Спенсеру [ б], Р.А.Минлосу и Я.Г.Синаю [25-27], М.Дюно, Л.Яголницеру, Б.Суайру[8, 9, 45], В.А.Малышеву и Р.А.Минлосу [ 18-19, 52-53J, Я.Г.Синаю [ 35].
Отметим, что операторы с кластерной структурой являются обобщением (на бесконечночастичный случай) таких важных классов операторов, как, например, многомерных теплицевых операторов или конечночастичных операторов Шредингера.
Наиболее существенные продвижения в диссертации по сравнению
с предшествующими работами следующие:
в диссертации достаточно полно изучены трансфер-матрицы для случая гиббсовских полей с бесконечным (но компактным) пространством спинов (гл. I). Здесь получается и используется более тонкая оценка семиинвариантов от функционалов гиббсов-ского поля, чем та, что применяется в случае полей с нонечным пространством спинов;
для случая калибровочных гиббсовских полей изучена не только вся трансфер-матрица в полном физическом пространстве, но и ее калибровочно-инвариантная часть, что требует уже более изощренных приемов (гл. П);
изучена трансфер-матрица гиббсовских полей в низкотемпературной области (гл. Ш). Найдено инвариантное подпространство
трансфер-матрицы, разбивающееся либо в счетное число инвари-
антных подпространств со спектром порядка , либо содержащее конечное число таких подпространств, а в ортогональном дополнении к ним совпадающее с умножением на константу поряд-
2,
ка . Здесь также для построения и исследования трансфер-матрицы сделаны существенные технические усовершенствования предыдущих методов. В четвертой главе рассматривается задача о так называемом "протекании" для случайного поля в конечном объеме. А именно, изучается "протекание", т.е. вероятность связного пути из дефектов случайной формы, центры которых образуют случайное гиббсов-ское поле. Эта задача рассмотрена как для дискретных, так и для непрерывных систем. Она решается с помощью кластерных разложений, и этим связана с предыдущими главами. Эта задача возникает в теории старения полимеров (см. [ 5 J ) и интересна также с общей точки зрения, поскольку тесно связана с задачей о протекании слу-
чайного поля во всем пространстве (см. Гзо,31 ] ,[4б] и библиографию в [її], 9.10).
Перейдем теперь к последовательному краткому описанию основных понятий и результатов диссертации.
0.1. Гиббсовское поле. Пусть Е0 - некоторое счетное множество с метрикой з0 , на котором транзитивно действует группа преобразований V (например, группа jL ). Рассмотрим множество Е = Е0 * ZL > OGh Z_ назовем вертикалью. Введем пространство Л = X , где X - измеримое пространство с вероятностной мерой 0 , называемое пространством значений спина. Элементами пространства Л являются наборы функций х = { х(^.); CLE}0c(^)eX} В Л естественно определяется б" -алгебра 2Zp=ZT» как наименьшая б" -алгебра, относительно которой измеримы все отображения Л —*~Х .' х —* эс($), ft. б Е Всякое распределение вероятностей /Ц на (Л, 21) назовем случайным полем на Е со значениями в X .
На Е действует группа преобразований V х 2 = VI/ ,
тлг - (тгД) W и S ; S( гД ) = ( г, - і) . Определим
оператор сдвига в Л :
и оператор "обращения времени"
(sx)(^=x(s^)), feE ,
Преобразования Т^ при 1лг = ( о, h ) или таг = (Яг, о ) обозначим соответственно через Ту, и Г^. .
Поле называется стационарным, если оно инвариантно относительно сдвигов Т^., Ялте W , т.е. А (А) - /л- [т<ьг А) , где А - измеримое множество Б Л .
_ 7 -
Пусть
Е+=[ {(г,*)}, Ц>о, г,Е0}, Е- ={ l(r,l)}, 1<0, г*Е„Ь Е, ={{(г>0)} , /-.„}
А.
Поле yU называется марковским, если условные распределения вероятностей на Л и Л , порожденные распределением /К- при условии, что его значения на Е0 фиксированы, независимы.
Поле лл называется инвариантным относительно обращения времени, если оно инвариантно относительно оператора s , т.е.
/a fA) = /t (SA), Ас Л
Зададим на Л меру fo = і I v^. , где n)_ - экземпляр меры \) . Пусть для каждого /\а задана функция Фд -= фЛ |;х, і є А ] на JZ. , измеримая относительно б -алгебры ^ д. Набор Ф=[Фд] назовем потенциалом. Множество А такое, что Фд^ 0 , назовем носителем потенциала, а совокупность всех носителей обозначим через *М . Предположим, что efc^m Д^ А є U , равномерно ограничены (в метрике f ?f (r-f> ^f),
KJJ} = fe(r0^) + |l,-lt| )
Стандартным образом по потенциалу {Фд } строится предельное гиббсовское поле (см., например, Гі5 J или [32] ), т.е. распределение вероятностей Ал в пространстве Л . В дальнейшем будут рассмотрены такие потенциалы, для которых:
I) гиббсовское поле единственно (главы І-П);
а Ф^д (Г^х) = Фл(х);
3) *sA( Sx) = фА(х)
4) для любого носителя потенциала А < Ц его проекция
на ось _ состоит из одной точки или двух соседних точек.
Очевидно, что соответствующее этому потенциалу гиббсовское поле является стационарным, марковским и инвариантным относительно обращения времени. Ясно, что при этом операторы
(йЧ)М= f[tx)
являются унитарными операторами в пространстве Z.» (Л,21 М-)
0.2. Трансфер-матрица случайного поля. Пусть Л. - случайное поле. Физическим гильбертовым пространством назовем Ж - Lz ( X , 2Z0 } /О , /Z = А/21 »
"P~ -2_ p * Пусть ?ne - ортогональный проектор на X
в LL(J17I17/*) Введем операторы F? в Ж :
Из марковости и стационарности поля вытекает, что
Оператор 7^=.3- будем называть трансфер-матрицей. В силу инвариантности поля относительно "обращения времени" 9- - самосопряженный оператор. Для матричных элементов У выполнено равенство:
где ^ > - среднее по мере Цл. , 4f» Х2е X .
Константа является собственным вектором трансфер-матрицы с соб-
ственным значением, равным единице. Легко видеть, что трансфер-матрица коммутирует с оператором пространственного сдвига
И у- J~ = j- U ^-
Трансфер-матрица совпадает со стохастическим оператором J~ таким , что
(77)(5) = < М I а„ = х >,^с jff,
где эс0 = 3е/е , х е Л0 , *< | Л > - условное среднее при условии Л .
0.3. Кластерная структура трансфер-матрицы. Обозначим через 7 ортогональное дополнение в Ж к константам. Предположим, что в пространстве Т существует ортнормированный базис [У \~\ » помеченный всеми финитными наборами функ-ций I = { 1( г) , г є 0 <=- Е0 j f определенными на некотором подмножестве Е0 ^ Е0 и принимающими значения в некотором счетном метрическом пространстве Q. с выделенным элементом 0 и метрикой 5q (финитность функции I означает, что лишь конечное число значений I(г) , 1"б Е0 , отлично от 0 , ;Wf/) Г = { Г : I ( г) ^ 0 } .
Предположим, что оператор сдвига Ц^ действует в базисе { У j j по формуле
где Т^-- преобразование в пространстве финитных функций, порожденное действием преобразования От в Е0.
Пусть с/^ , R^ - мощность минимального связного набора {Af,»».,ApJ , Ai^U носителей потенциала ф , покрывающего множество R. І І/ /1; 5 Я.
Определение 0.1. Скажем, что трансфер-матрица J~ обладает кластерной структурой относительно базиса / Уг } , если ее матричные элементы
имеют вид
аи< =ZL *(71,?;)... и(}е,/е),
где суммирование по всем разбиениям пары множеств ( 1*уул J f i^ff Ґ )^
J. cz ілА^ур J? J{ тЬ ^ T- f)Tj =
при ІФ], UT( =i*pp J> a 2i= j/t; , 7/=l'/7>'
Функция ^ ( 77и Удовлетворяет условиям
wfr^^T^')" "(7>?')'>
^( 7? 7 ') ~ ^ (??это условие связано с самосопряженностью 3" )
3) кластерная оценка
Здесь
3f у и ЗЄ2 - константы, называемые параметрами кластерности, Замечание 0.1. В случае, когда пространство X - конечно,
- II -
а тем самым, как мы увидим, и пространство Q - конечно, параметр Xz обычно полагается равным единице.
0.4. К - частичное инвариантное подпространство. Будем далее считать, что группа преобразований V изоморфна группе 2І . Инвариантное подпространство М <л "% называется к - частичным подпространством оператора А , действующего в Ж и коммутирующего с группой преобразований сдвига Uj. , t 2L » если существует такое унитарное отображение
X: М—1г((Г)\ <П*),
где Т - "О - мерный тор, с\ А - лебегова мера на
(Т ) , при котором операторы U ^ , t Z. , переходят в операторы Ц j. :
а оператор А - в оператор А :
(Д/)(А)= я (А) Пх),
л«(т)д, f^((^)%M.
Здесь Д(А)- некоторая гладкая функция; очевидно, что множество ее значений совпадает со спектром оператора А в
R - частичном подпространстве. Поэтому иногда будем называть Я (А) спектром оператора А в к - частичном подпространстве, или еще И - частичной ветвью спектра.
Одночастичное подпространство описывает состояния "частиц" (или "элементарных возбуждений") физической системы, т.е. такие собственные состояния ее гамильтониана (или оператора
е^ио{ - Н ] )» которые однозначно характеризуются своим квазиимпульсом Де Т При этом функция &(Д) задает зависи-
мость энергии возбуждения от квазиимпульса Д . Векторы It -частичного подпространства описыеэют систему из Ц элементарных возбуждений.
0.5. Общий характер результатов трех первых глав диссертации. Мы рассматриваем здесь ряд моделей статистической физики с потенциалом, зависящим от одного или нескольких параметров (температура, внешнее магнитное поле, константа сильного взаимодействия и т.д.); обозначим этот параметр (или набор параметров) через S . Тогда для определенных областей изменения s (большие или, наоборот, малые температуры, большая константа связи, большое магнитное поле и т.п.):
1) Установлена кластерная структура трансфер-матрицы соот
ветствующего гиббсовского поля относительно специально подобран
ного базиса { Kl J , причем ее параметры кластерности
Sei - зе1 ( ) и эе2 = зе2( s) оказываются достаточно малыми (или, в случае конечного пространства X , малым оказывается параметр Xi , см. замечание 0.1).
2) С помощью оценок матричных элементов, вытекающих из оце
нок п.0.3 и, быть может, некоторых уточнений этих оценок для слу
чая "наименьших" векторов базиса { fj\ мы выделяем одно или
несколько "старших" одночастичных инвариантных подпространств
оператора У . "Старшими" они являются в том смысле, что спектр
оператора 7 в них больше спектра 7 в ортогональном дополнении.
В I.I дана общая схема исследования структуры и спектра транс
фер-матриц.
Опишем модели, рассмотренные в І-Ш главах диссертации. Модели с компактным спиновым пространством в высокотемпературной области.
0.6. В 1.2 рассматриваются модели с бесконечным компактным
- ІЗ -
спиновым пространством X на \) -мерной решетке 7 = Е . Гамильтониан модели в объеме Л , 1 ЛI < «*» , равен
А lt-t'| = f,M'eA ;
при этом потенциал ф допускает представление
Ф (*t, X*,) = ZH ^ ft (xf) ft (^,), (0.2)
где суммирование происходит по некоторому конечному множеству
индексов б , a f fi (х)\. - ортонормированная система
в Lz (X,/U0; , такая, что 0(х) = 1 , и
4>i(x)Yj(x) = ZZIIZL ti} М*). (0-3)
Величины ot- удовлетворяют оценке
І ІЛ
где Ci>f - некоторая константа.
Примеры. I. Модель ротаторов: X ~[ 0 27ї) і ^0" обычная мера Лебега на [ 0, 2 п) .
Нд - ~ { ^ с^и 0. ооі 9±, +1^ Э± &л\ В, t\ ,
4 lt-t'l=f
2. X = Г<*; 6* ] t ^о" нормированная на единицу мера на ["#,#] , с непрерывной плотностью (весовой функцией) cf^o/cfMf = fi(x) >о относительно обычной меры Лебега ft0 на [а, J . В качестве [ V^fe)} можно выбрать ортонормированную по этой мере систему полиномов.
Гамильтониан имеет вид (0.1 - 0.2). Разложение (0.3) и оценку (0.4) см. в[3б] , стр. 20.
Следующий пример хотя формально и не входит в класс моделей,
описанных в п.0.6, но имеет структуру, разумно обобщающую (0.2 -0.4). Ыы и опишем его в следующем пункте.
0.7. if - модель с группой S О (М) или > (Л (yV) . Пусть пространство X есть группа if - 0(Д/) (или SW.(A/) ). Известно, что в каждом пространстве R , где действует какое-нибудь неприводимое унитарное представление Q. —= Тл группы S О (Л/9 (или (Л (у\/) ), существует специальный базис, называемый базисом Гельфанда-Цетлина, в котором операторы Та записываются наиболее простым образом. Его элементы С0 помечаются таблицами 9 = { Уг\р X (полу) целых чисел (подробнее см. в [13J , гл. Ш, 3). Совокупность матричных элементов | 0, д 0 ( Q) X неприводимых унитарных представлений образуют ортогональный базис в пространстве Lz {^> X/ , X ~ нормированная мера Хаа-ра на группе if , Базис [ (Хд в (%)} также обладает свойством, аналогичным (0.3):
fl^^)flp;^^) = 2Z Т(Д^ (о.о)
где | ^ д1 ег\(^ q qo\ - некоторые коэффициенты, суммирование в (0.5) происходит по конечному множеству троек ( %} *fi, у2.)
зависящему от ( <*, 91 , 2 ), ( <*, 0/, 0/ ) (подробнее см. в [із] , гл. ІУ, I).
Для каждого неприводимого представления cL введем в множестве таблиц JBl, помечающих базис Гельфанда-Цетлина в R , метрику f(9, В') :
f(e,9')=ZZ \^t,P~K,f I (0-6)
и определим с ее помощью метрику ? [ (9-f762) (В/ 9/ И в множестве пар таких таблиц ;
В 1.2 рассматривается модель с гамильтонианом вида (0.1), потенциал которой имеет вид
ГДЄ % - Конечное МНОЖеСТВО ИНДекСОВ 7С = (o^,0f, $2.),% j. ,4^, 5^
При этом, если представление d. б Ь не эквивалентно контрагре-диентному к нему, то в % входят только либо матричные элементы представления cL , либо контрагредиентного к нему. Для моделей из пунктов 0.6 и 0.7 верна теорема Теорема I. При достаточно малых ft трансфер-матрица ZF I) обладает кластерной структурой (относительно специально выбранного базиса Yi ) с параметрами кластерности
ск, = -f (1-і) , <*z = t/io KW [і] 7
z ' 16
а С = C(o) - константа, - сколь угодно малое фиксированное положительное число;
2) существует |\ j одночастичных подпространств оператора 3- и спектры (\[(7і) в них имеют вид
MA) = Kt/* + ^tfa), < = Л-..J^b (0.9)
причем
В ортогональном дополнении # * [ #f ,,, ^/ g | ] H0P^a У допускает оценку
Замечание 0.2. Старшие одночастичные ветви спектра трансфер-матрицы моделей 1.2 были исследованы в [іб] , однако кластер-
ная структура трансфер-матрицы, доказанная в диссертации, позволяет получить и следующие одно-, двух- и т.д. - частичные ветви спектра, имеющие более высокий порядок малости по R .
0.8. Модель Изинга с большим внешним полем. В 1.3 рассматривается модель Изинга на ^ -мерной решетке
JZ - _ , Е 0 - 2 » гамильтониан которой в объеме Д <^ 2 »
| Л | < » имеет вид
H^-f^Zl^,^'^}, (0Д1)
Гамильтониан (0.11) перепишем в виде
где Xt = (/-^)/^ , /3 =*/*', ^2«'+^'.
Рассмотрим большие значения & > п0 = А0 (&) в этом случае доказана следующая теорема.
Теорема 2. Трансфер-матрица модели Изинга (с гамильтонианом (0.12) при больших п > п0(р) обладает кластерной структурой с параметрами кластерности
зе* = [с Є"*]'/б , *2 = /, где С = Сf 0} - абсолютная константа, не зависящая от К R ,
и у нее существует одночастичное инвариантное подпространство
2у со спектром Я ft), имеющим вид
а 00 = Є А(еР-г) + М), (0.13)
причем | tf(A)| < е-<У<й , fi>f .
В ортогональном дополнении Ж О Ж1 норма 5" допускает оценку
ітк ем , sz>f. (0Д4)
Калибровочно-инвариантные модели (Глава Щ.
Мы изучаем класс моделей, инвариантных относительно калибровочных преобразований. При этом пространство калибровочно-ин-вариантных функционалов от поля оказывается инвариантным подпространством трансфер-матрицы. Во всех моделях второй главы мы изучаем главным образом спектр калибровочно-инвариантной части трансфер-матрицы, интерес к ней оправдан общим физическим принципом калибровочной инвариантности (см. [43 J ).
0.9. Калибровочно-инвариантная модель Изинга. В 2.1 рассматривается трехмерная калибровочно-инвариантная модель Изинга (см. [54 1 ). Конфигурации поля задаются функциями B(^j и j(ft, ft') » принимающими значения из Zz~[ + /, -У?
и определенными соответственно на точках %- є Z-. и ребрах (ft, ft') ^- ZL Гамильтониан модели равен
HAf6,j) =-//8g^ 9(^))(^)9(^) + (0.15)
t
где Д - конечный объем, fit , fip - параметры взаимодействия,
у означает суммирование по множеству плиток (элементар-
?<= л ных двумерных граней решетки), a j(p)- произведение j (ft, ft')
вдоль граничных ребер плитки Р . Система инвариантна относительно локальных калибровочных преобразовании
Щ) -~*(\)Щ), J(hf)—~X(f)Kh%b(t') (0Л6)
где Х(%) G 2LZ } ft- <= 23 } " Финитная функция на
Z?
Объявим вертикальное направление на решетке zz осью в и выберем так называемую "радиальную калибровку" (см. [56 1 ), т.е. положим поле jCjvft/ на всех вертикальных ребрах равным
*,i 0.2- "^
единице. Тогда, если положить Е0 =j? (J / » гДе ^ " множество ребер \) -мерной решетки, и задать гиббсовское случайное поле /я на Е = Е0х/2 (со значениями в Л.^ ) с помощью гамильтониана (0.15), то оно будет стационарным, марковским и инвариантным относительно "обращения времени".
Пусть далее у - калибровочное преобразование вида (0.16), сохраняющее радиационную калибровку (т.е. ){(fy) постоянно вдоль любой вертикали в 2L ), и К - соответствующее ему преобразование в пространстве Lz{Jlyp),(\A *# )(х) = ^(у~іх) , * -~{9(fr),j(
и^^їи* (0.17)
Пусть 7L <^Ж подпространство всех калибровочно-инвариант-ных функционалов из Ц , т.е. таких, что (Л ^/ = т для всех % . Из (0.I5-0.I7) получим, что Ка' инвариантно относительно З7 , и мы можем рассматривать часть трансфер-матрицы Т , действующую в ~К{ (т.е. калибровочно-инвариантную часть трансфер-матрицы) .
Положим в формуле (0.15) уб = у , /Sp=Qry6) а Ф 0. Тогда верна
Теорема 3. При фиксированном (XtO и достаточно малых /? калибровочно-инвариантная часть трансфер-матрицы 5" с гамильтонианом (0.15) обладает кластерной структурой с параметрами
Я* = Суй,.зе2 = У, и у нее существует два одночастичных подпространства X, , "JC со спектрами
і л /% ч, л ;- _ (0.18)
І і(\)\< С(в', г->з, 1 = /,2.
В ортогональном дополнении
Теорема 4. При любом фиксированном flp и достаточно больших f*>i>s $\ (fip) кажбровочно-инвариантная часть трансфер-матрицы 97 модели с гамильтонианом (0.15) обладает кластерной структурой с параметрами
и у нее существует два старших одночастичных подпространства Ж і » Ж2. со спектрами
ага) = е8^(е^-/)ё2/8е+^Д (од9)
|«(А)|< С ezSfie , S>1, і*1,2.
В ортогональном дополнении ~Ж * Є) [ с^ ^ <^2 ]
Ц^|(<СЄ^ ,l>1. (0.20)
0.10. Калибровочные поля Янга-Миллса (на решетке). В 2.2 исследуются трансфер-матрицы и их калибровочно-инвари-антные части решетчатых калибровочных полей Янга-Миллса как в общем случае неабелевой группы калибровки, так и специально в случае абелевой группы калибровки (в последнем случае удается получить более сильные утверждения). Конфигурации поля в модели
задаются функциями на ориентированных ребрах решетки j_ : Гамильтониан модели в объеме Л , \ Л | < , равен
ha = -a2Z Ф(зр)> (0-22)
где р= J а1 ^ а о о I - плитка (двумерная грань 2. ),
заданная вместе с некоторым обходом ее границы,
2р ~ 2ьи Нль #ъ<ь Нч%і -
Потенциал ^(ftp) равен
6 - конечный набор неприводимых унитарных представлений группы / , Хл( j) - характер соответствующего представления,
^Л ф 0 . Легко видеть, что при таком выборе потенциала он не зависит от обхода Р .
Очевидно, что гамильтониан и, следовательно, гиббсовское поле, инвариантны отновительно локальных калибровочных преобразований
Ґ'—П ' f*> -~f*%*i fo, (0.24)
где ^ = 2^^-,^^2 j - некоторая финитная функция со значениями в J , т.е. УаФ Є лишь на конечном множестве точек
Определим, как и выше, вертикальное направление 2 осью 6^) и произведем радиальную калибровку (т.е. положим а„ д - Є ). Тогда гиббсовское поле на множестве = 4j*-i %-g1 со значениями в ^ будет стационарным, марковским и инвариантным относительно "обращения времени". При этом трансфер-матрица 9"* коммутирует с операторами Ы ^, порожденными в физическом пространстве 3 калибровочными преобразованиями v ( V выберем сохраняющим радиационную калибровку), и тем самым пространство "К с Ж калибровочно-инвари-антных функций инвариантно относительно 7 ; часть Э~ , действующую в Ж * назовем калибровочно-инвариантной частью трансфер-матрицы и обозначим по-прежнему через 5" '.
у* Обозначим через П0 число различных плиток в 2L » не
-,0 переходящих друг в друга сдвигом на вектор &. ^ ,
В 2.2. доказана следующая теорема.
Теорема 5. При достаточно малых 0 < f*> /ї0 калибровочно-инвариантная часть трансфер-матрицы TCi моделей с гамильтонианом (0.22-0.23):
І. В случае абелевых групп калибровок обладает кластерной структурой:
а) для группы калибровки jf\ элементы базиса индексируются
наборами ребер из -^ , в которых к каждой точке
"7_ подходит четное число ребер, и параметры клас-
терности равны ЭС^ = Cjl t X.z~ і ;
б) для группы калибровки U (1) Q~Z-, функции I -
= {Г(0?ге^ * ( j 1 » индексирующие базис в
УСа^ определены на совокупности ориентированных ребер
решетки _ , такие, что для любой точки Г6/
выполнено равенство
r(t;tte()+l(t,i-ei) = 0 (0.25)
^L
и параметры кластерности равны
^ = (С/0 1 ot1 = 1-і , Xz=p> г , d.zzzt/io m^xf Ml
2. В случае абелевых групп калибровки Z.z » W(/) и неабеле-вых 0(yV) , S>IA(N) существует Л^_г | % \ одночастичных инвариантных подпространств Т(1 ,.. . , Ж ^ і я і калибро-вочно-инвариантной части S-~(l' , спектр в которых имеет вид
|^(А)|< Сі/і*" , *>*, j =/,...,n9.YIS|.
В ортогональном дополнении % L Є)[ "Jt, . . . ^п igi
rrd) норма J- допускает оценку
|\ЇШН < С р*< , *,><, (0.27)
Замечания 0.3. В работе Ф.Г.Абдулла-Заде [і] были исследованы старшие одночастичные подпространства калибровочно-инвари-антной части трансфер-матрицы !f для полей Янга-Миллса с гамильтонианом (0.22-0,23), группой калибровки \А(1) при малых
Отметим попутно, что в ее работе имеется техническая ошибка в оценке семиинвариантов ( [l] , теорема 2, пункт 26), которая в работе Р.А.Минлоса и автора [29 J исправлена.
В статье Шора [57] изучается спектр калибровочно-инвариант-ной части трансфер-матрицы для 3-мерной решетчатой модели Янга-Миллса с компактной группой калибровки if и гамильтонианом (0.22-0,23) в случае, когда Ф(^р)-= t(p) » гДе X - вещественный характер неприводимого унитарного представления группы Ли j . Заметим, что результаты диссертации получены независимо от работы Г 57] и основаны на совершенно других методах исследования.
0.11. Гиббсовские поля при низких температурах. Существует ряд эвристических соображений о том, что в двумерных моделях в области малых температур и при наличии нескольких фаз спектр предельной трансфер-матрицы (построенной по какой-либо из фаз) не содержит одночастичной ветви и начинается сразу с двучастичной (или 3-х, 4-х и т.д. - частичной ветви).
В третьей главе исследуется гиббсовское поле для модели со значениями спина 6^ = -/ в точках решетки 2. » плюсовыми граничными условиями и гамильтонианом в объеме (\ , 11\\ *~
Н.= &*ZL Фл + rZl *Ж , (0.28)
где
если A = { Ь1, tz } , 1t, - i2 | = 1; ^a = » еоли
A ~ {tf "?. і г їй} и эти точки являются вершинами одной
плитки, причем в трех из этих точек поле б). - ~ і , а в
одной из них 6j.-+1 ; Фд = 0 в остальных случаях.
Для этого поля при достаточно больших /*> и специальных значениях К = й (^*) детально изучена структура трансфер-матрицы и установлено, что старшие ветви ее спектра "близки" к двучастичной ветви спектра.
Заметим, что при минусовых граничных условиях является допустимой только конфигурация из всех минусов.
Поле м можно редуцировать к следующей контурной модели.
0.12. Модель прямоугольников. Пусть 01е* - совокупность конфигураций всех прямоугольных внешних контуров, составленных из ребер двойственной решетки 2- ~ Z. + (0, і) и являющихся внешними по отношению друг к другу (т.е. прямоугольники не лежат один внутри другого и не имеют общих ребер). Очевидно, что граница конфигурации спинов в модели с гамильтонианом (0.28) (т.е.
л 2_
множество ребер из 2- у разделяющих разноименные спины) состоит из конфигурации прямоугольных контуров из 01е*. При этом вероятность каждой конфигурации спинов х = {б~^.?^еД| равна
П е-^"1Г{|-2А"^г,)
Р/х} = , (о-29'
где { Г[\ - набор внешних контуров, составляющих границу конфигурации X , произведение берется по всем Г/ , | Г[ [ - число ребер в PL , a V(f]) - число плиток, охватываемых контуром Г , - нормирующий множитель,
V - У П ~W*\n-2l*V(r)
^_Л - -Z і І в (0.30)
,2
Можно показать, что распределение (0.29) в пределе A tZ: сходится к мере ^и ^ на пространстве конечных или счетных кон-
А 2.
фигурации прямоугольных внешних контуров на г. Это распределение транслядионно-инвариантно и является марковским в следующем смысле; условные распределения на совокупностях всех конфигураций контуров (или полуконтуров) ниже и выше нулевой горизонталь-ной прямой решетки <_ при условии, что фиксирована конфигурация отрезков Д , высекаемых контурами конфигурации с^ в ОХ ^ на этой прямой, независимы.
Таким образом, если ввести гильбертово пространство
/__ (01 д.) , всех функционалов от конфигураций контуров ск ,
квадратично суммируемых по мере м , то можно обычным образом
определить трансфер-матрицу J- поля "контуров", действую-
щую в пространстве Ж ^^((Л0^ а) функционалов, зависящих от
конфигурации отрезков, высекаемых на нулевой прямой 2. . По
скольку конфигурации отрезков находятся во взаимно-однозначном
соответствии с конфигурациями спинов на нулевом слое, эта транс-
фер-матрица J- совпадает с трансфер-матрицей J- исходного
поля.
Основной результат третьей главы заключен в следующей теореме
Теорема 6. При достаточно малых ft и специальном выборе
трансфер-матрица обладает кластерной структурой с несколько измененными оценками по сравнению с общим определением 0.1;
существует инвариантное подпространство Т трансфер-матрицы 5" . Ограничение З7 па Ж унитарно эквивалентно операто-
*- [ ^(>/A;a/^^V^7^~aO* (0-31)
действующему в подпространстве Я. <^- U^ [Т , ал ) ,
таком, что для любого X є R
Здесь Jl{f)~ константа,
При этом норма интегрального оператора в (0.31) не превос-ходит В> .
В ортогональном дополнении Ті та Ж норма трансфер-матрицы У удовлетворяет оценке:
ЦЭП|3 (0.32)
Замечание 0.4. Если ядро интегрального оператора в (0.31) невырождено, то "Ж разбивается в счетную сумму одночастичных
подпространств порядка & ; если вырождено, то существует лишь
по U) конечное число одночастичных подпространств в Д , а в ортогональном дополнении к их сумме - оператор умножения на JZ(),
Рассмотренная модель является упрощенной по сравнению с моделью Изинга. Если рассмотреть модель с большим разнообразием контуров, то подпространство, построенное нами, будет настоящим двучастичным подпространством (а в нашем случае главный член вырождается в константу).
0.13. Задачи о протекании. В четвертой главе рассматривается задача о протекании случайного поля в конечной полосе, которая решается с помощью кластерных разложений, и этим тесно связана с предыдущими главами.
Пусть Л <. р Є- J7 - цилиндр,
ft - фиксированное число, S ~ конечное множество точек
решетки ^.
В А г р определим случайное поле со значениями в ^=/ + /-/2 и вероятностной мерой /U , Множество точек Г С- Д с я назовем I - связным, если для любых ' , t"< Г
существует последовательность точек t*LG I , таких, что
?(ti,tl+,) = lti-tl+,l=-/, ^/,...,^-/,-^=^ *ю=*".
Назовем дефектным контуром 1-связное множество Г такое, ЧТО Э^ = ~/ для t ^ Г и ^=/ для всех і є ~д Г ( ^ Г = {ЬЛ2 ^.'^Г и существует tf Г, удовлетворяющее неравенству
Скажем, что дефектный контур является контуром протекания конфигурации, если в нем есть точка t1 = [у1г /?) верхнего основания и tL- (ЧІ71) нижнего основания цилиндра Л5 * . Обозначим через Н ( S,$,/i) вероятность непротекания в Л^ о (т.е. вероятность того, что в конфигурации случайного поля нет контуров протекания), и назовем ее надежностью объема Л^ р.
В 4.1 сначала рассматривается независимое поле, для которого распределение является произведением независимых мер \) в точках t є Л } д >
В этом случае доказана следующая теорема
Теорема 7. При достаточно малых р < р0 , фиксированном f\ и любом S верно равенство
где р - p/(fr ,
от размерности 'О
Для случаііного гиббсовского поля, определяемого в Л ^ о \) - мерной моделью Изинга с гамильтонианом (0.11) в низкотемпературной области (большие fif ), л -О и плюсовыми граничными условиями доказана теорема.
Теорема 8. При достаточно больших /I > fi0
Н(5Л/0=«?{-1*1/»*"*+2"" (оз4)
где *= е s tf{Si>i\> л*) - аналитическая функция переменной А* при *< Л* , Qj>- константа, зависящая лишь от размерности 0 .
В формулах (0.33-0.34) легко вычислить следующие коэффици-
енты при р ,& и т.д., но они уже будут зависеть,
вообще говоря, от вида основания S .
Пусть например, Л = Z * к , L ^ Z- . Тогда
ь*нил,р) = -і?* -[4{L-m-iy (0.35)
в случае независимого поля, «
^н(М,/>) = -^*гА+г-^-'НМ/V36)
в случае модели Изинга.
Рассмотрим теперь ^ = 3 (для простоты) и последовательность объемов hy^-Ly^ * Н^п такую, что при П—* «» Дп заполняет бесконечную полоску 2 * я Определим в каждом объеме случайные поля: независимые с параметром Р^ и гиббсов-ские (Изинговские) с параметром j*>f , и через Z»^ обозначим число контуров протекания в конфигурации X . Предположим те-
перь, что предельный переход такой, что
U I г\ > \ (Б случае независимого
1h^h"h Л поля)
Пл Ли р> п * Л (в случае гиббсовского
поля)
Тогда верна следующая теорема
Теореыа 9. Распределение вероятностей Ph ( > к - с J
сходится к цуасооновскому распределению:
P*Uh=0 * ^f- (0.38)
Доказана также
Теорема 10. Пусть А - произвольное положительное число. Тогда для моделей этого пункта существует при фиксированном р < р0 (соответственно <0 ) последовательность объемов
Л = S * A =70 К 1 *- , й * «>
такая, что л *
В 4.2 рассматривается задача протекания для непрерывных точечных гиббсовских полей.
Обозначим через Сд совокупность конечных подмножеств
точек С = {*і}Д, ^ібЛ^^,!^;.-,^ Ь,о
области Л В пространстве Сд естественно вводится топология, борелевская б" - алгебра и стандартная мера уїл0 (пуаосоновская мера в конечном объеме), определяемая параметром Z . Пусть /л - гиббсовская мера в Сд , определяемая плотностью
^A/^0A-2A^f{-/? И (с)} (0.39)
где н(с) = р ~ w(*,o,
Z-.k~\ ^{-/^Н(С)} с/у^0Л (0#40)
л с
Рассмотрим далее в качестве пространства ох марок в точке
X пространство "дефектов" с центром в точке X , т.е. некоторое конечно-параметрическое семейство S0 ограниченных областей
{9(ч),У- 5)j 0& ^#)1 » где паРаметР J/ пробегает некоторую область 2)^ Ят , и 0&) "хорошо" (непрерывно, гладко) зависит от ч- (мы уточним смысл этого ниже). Пусть теперь
sx~{&(?) + *-> Xе*>}
Мы предположим, что на S0 , или, что одно и то же, на множестве параметров 2); задано распределение вероятностей u) .
Определим теперь маркированное точечное поле, т.е. вероятностную меру на совокупности маркированных подмножеств $с\-С*Р , где д = [ 0Х (у), X е С ? у бЗЯ - функция на С , отображающая каждую точку х с на соответствующую область 0 & эс . Распределение вероятностей на множестве {с J такое, что порождаемое им распределение на точечных конфигурациях С совпадает с гиббсовским распределением (0.39), а условные распределения для значений 9х(ч) f Х-с при условии, что С фиксировано, независимы и каждое имеет распределение <Л ,
Примеры. I. Q (%) - шар радиуса ч с центром в нуле,
# ^ а/2. :
а) Г 2/5" »если # ^2>/Z
L 0 ,если ^ >*^>/Z чч - обычная мера Лебега.
- зо -
Будем говорить, что подмножество а а С конфигурации С ,
= {(x1,eXl),...,(xn,BXtt)}^ (0.41)
является контуром, если набор дефектов { vxi у из 4 с центрами в точках xt' из ot является связным. Протекание означает, что в конфигурации С нашелся контур, соединяющий верхнее и нижнее основания цилиндра. Такие контуры назовем контурами протекания. Множество контуров протекания в Сд обозначим через , а число контуров протекания в конфигурации С через (с). В 4.2 для достаточно малых Z~2:(p>) исследуется вероятность Н0 (S, й,Н,д) того, что конфигурация не допускает протекания (кратко - вероятность непротекания), а также асимптотика вероятностей
H((Sj,Z,fi)=h.{e:i.(e) = t] (0.42)
при некоторых соотношениях между S и 2 .
Доказаны теоремы, аналогичные теоремам из 4.1. Случай, когда Н(с)вО и дефекты представляют собой шары фиксированного радиуса, подробно рассмотрен в работе Р.А.Ыинлоса и автора J^28j.
Теорема 5 главы П для абелевых групп калибровки получена совместно с Р.А.Минлосом, автору принадлежит конструкция базиса. Теорема 6 третьей главы получена совместно с В.А.Малышевым и Р.А.Минлосом, автором сделаны оценки семиинвариантов.
Все остальные результаты получены автором самостоятельно. Основные результаты диссертации опубликованы в [20, 29, 37-40І.
Автор глубоко благодарен Р.А.Минлосу за полезные обсуждения и внимание к работе.
Модели с компактным спиновым пространством в высокотемпературной области
Этот параграф предлагает читателю исследование структуры и старших ветвей спектра калибровочно инвариантной части трансфер-матрицы решетчатых калибровочных полей Янга-Миллса. В качестве калибровочных групп рассматриваются 2 2 » W » $0(//), $Ц(№)9 Однако нужно заметить, что предложенная здесь конструкция носит универсальный характер и годится для любой компактной группы Ли, у которой для каждого ее неприводимого представления найдется базис (в пространстве, где действует представление), такой, что для матричных элементов оператора представления в этом базисе выполняются соотношения типа (0.5), (1,2.33).
Напомним, что мы определили вертикальное направление осью 6 и выбрали радикальную калибровку. Пусть X - пространство всех функционалов, зависящих от значений поля на нулевом по вертикали слое Z. { } с= Z и квадратично суммируемых по предельной гиббсовской мере /л , ТС CZ. ТС - подпространство калибровочно-инвариантных функционалов.
Для моделей с абелевой группой калибровки & можно построить специальный базис в пространстве ТС , в котором исследуется калибровочно-инвариантная часть трансфер-матрицы. Для моделей с неабелевой группой калибровки такой базис построить не удается, но тем не менее удается изучить старшие ветви спектра калиб-ровочно-инвариантной части трансфер-матрицы. Рассмотрим сначала общий случай.
Введем подпространство заведомо содержащее 76 і и базис в % Затем с помощью оценок матричных элементов трансфер-матрицы Gfj j/ - г У - j/ выделяем старшие ветви спектра оператора где It - связные наборы плиток (не лежащих целиком в Лг ), называемые еще кортежами. Суммирование в (2.2.4) идет по всем связным наборам кортежей, удовле творящих условиям 1-3 в [15 J , стр. 12.
Заметим, что выражения ГУ - калибровочно инвариантны, поскольку Кр - калибровочно-инвариантная функция. Из (2.2.1) и (2.2.4) Далее стандартной методикой, описанной в І.І., п.4 получаем пункт 2 теоремы 5 о спектре калибровочно-инвариантной части тра нсфер-матрицы. Покажем способ построения калибровочно-инвэриантного ортогонального базиса в It на примерах абелевых калибровочных групп 2Z;U,(I). Используя этот базис, можно получать И -частичные калибровочно-инвариантные подпространства более высокого порядка по ft . Определим, как и прежде (см. (2.2.2)), У (0. Функционалы fr не являются калибровочно-инвариэнтными, но j = Ч//Г, где }-[ ги ..., г&\ - контур из ребер rL , t = 1, . .v % (т.е. к каждой точке 2L подходит четное число ребер т ), уже ка либровочно-инвариантная функция. Это легко видеть из леммы 2.2.1. Ортонормированный базис { fj} в Ж будет индексироваться набором непересекающихся (по ребрам) контуров !"{//, , где 2 і связный контур: характер (матричный элемент) неприводимого унитарного представления. Определим (см. (2.2.2)). Базис из функций (#) будем строить следующитл образом. Пусть Ж - множество финитных целочисленных функций Г- І 1(f), he- .Z xfDl/ на совокупности ориентированных ребер решетки 2 таких-, что для любой ТОЧКИ Г / . выполнено равенство (0.25). И пусть Пользуясь схемой из работы Г15 / можно доказать полноту ортоноршрованных базисов (2.2.II), (2.2.12) в Ж . Для моделей с абелевой группой калибровки из п.1-2 верна лемма, аналогичная лемме 2.2.2, но с более точными оценками, которые можно получить, пользуясь явным видом базисов (2.2.II), (2.2.12).
Калибровочно-инвариантная модель Изинга
Замечания 0.3. В работе Ф.Г.Абдулла-Заде [і] были исследованы старшие одночастичные подпространства калибровочно-инвари-антной части трансфер-матрицы !f для полей Янга-Миллса с гамильтонианом (0.22-0,23), группой калибровки \А(1) при малых
Отметим попутно, что в ее работе имеется техническая ошибка в оценке семиинвариантов ( [l] , теорема 2, пункт 26), которая в работе Р.А.Минлоса и автора [29 J исправлена.
В статье Шора [57] изучается спектр калибровочно-инвариант-ной части трансфер-матрицы для 3-мерной решетчатой модели Янга-Миллса с компактной группой калибровки if и гамильтонианом (0.22-0,23) в случае, когда Ф( р)-= t(p) » гДе X - вещественный характер неприводимого унитарного представления группы Ли J . Заметим, что результаты диссертации получены независимо от работы Г 57] и основаны на совершенно других методах исследования.
Гиббсовские поля при низких температурах. Существует ряд эвристических соображений о том, что в двумерных моделях в области малых температур и при наличии нескольких фаз спектр предельной трансфер-матрицы (построенной по какой-либо из фаз) не содержит одночастичной ветви и начинается сразу с двучастичной (или 3-х, 4-х и т.д. - частичной ветви).
В третьей главе исследуется гиббсовское поле для модели со значениями спина 6 = -/ в точках решетки 2. » плюсовыми граничными условиями и гамильтонианом в объеме и эти точки являются вершинами одной плитки, причем в трех из этих точек поле б). - і , а в одной из них 6j.-+1 ; Фд = 0 в остальных случаях.
Для этого поля при достаточно больших / и специальных значениях К = й ( ) детально изучена структура трансфер-матрицы и установлено, что старшие ветви ее спектра "близки" к двучастичной ветви спектра.
Заметим, что при минусовых граничных условиях является допустимой только конфигурация из всех минусов. Поле м можно редуцировать к следующей контурной модели.Модель прямоугольников. Пусть 01е - совокупность конфигураций всех прямоугольных внешних контуров, составленных из ребер двойственной решетки 2- Z. + (0, і) и являющихся внешними по отношению друг к другу (т.е. прямоугольники не лежат один внутри другого и не имеют общих ребер). Очевидно, что граница конфигурации спинов в модели с гамильтонианом (0.28) (т.е.множество ребер из 2- у разделяющих разноименные спины) состоит из конфигурации прямоугольных контуров из 01е . При этом вероятность каждой конфигурации спинов равна где набор внешних контуров, составляющих границу конфигурации X , произведение берется по всем Г/ , Г[ [ - число ребер в PL , a V(f]) - число плиток, охватываемых контуром Г , - нормирующий множитель,
Можно показать, что распределение (0.29) в пределе A tZ: сходится к мере и на пространстве конечных или счетных конфигурации прямоугольных внешних контуров на г. Это распределение транслядионно-инвариантно и является марковским в следующем смысле; условные распределения на совокупностях всех конфигураций контуров (или полуконтуров) ниже и выше нулевой горизонталь-ной прямой решетки _ при условии, что фиксирована конфигурация отрезков Д , высекаемых контурами конфигурации с в ОХ на этой прямой, независимы.
Таким образом, если ввести гильбертово пространство /__ (01 д.) , всех функционалов от конфигураций контуров ск , квадратично суммируемых по мере м , то можно обычным образом определить трансфер-матрицу J- поля "контуров", действую щую в пространстве Ж ((Л0 А) функционалов, зависящих от конфигурации отрезков, высекаемых на нулевой прямой 2. . По скольку конфигурации отрезков находятся во взаимно-однозначном соответствии с конфигурациями спинов на нулевом слое, эта транс фер-матрица J- совпадает с трансфер-матрицей J- исходного поля.
Оценка матричных элементов трансфер-матрицы и исследование ее спектра
Этот параграф предлагает читателю исследование структуры и старших ветвей спектра калибровочно инвариантной части трансфер-матрицы решетчатых калибровочных полей Янга-Миллса. В качестве калибровочных групп рассматриваются 2 2 » W » $0(//), $Ц(№)9 Однако нужно заметить, что предложенная здесь конструкция носит универсальный характер и годится для любой компактной группы Ли, у которой для каждого ее неприводимого представления найдется базис (в пространстве, где действует представление), такой, что для матричных элементов оператора представления в этом базисе выполняются соотношения типа (0.5), (1,2.33).
Напомним, что мы определили вертикальное направление осью 6 и выбрали радикальную калибровку. Пусть X - пространство всех функционалов, зависящих от значений поля на нулевом по вертикали слое Z. { } с= Z и квадратично суммируемых по предельной гиббсовской мере /л , ТС CZ. ТС - подпространство калибровочно-инвариантных функционалов.
Для моделей с абелевой группой калибровки & можно построить специальный базис в пространстве ТС , в котором исследуется калибровочно-инвариантная часть трансфер-матрицы. Для моделей с неабелевой группой калибровки такой базис построить не удается, но тем не менее удается изучить старшие ветви спектра калиб-ровочно-инвариантной части трансфер-матрицы. Рассмотрим сначала общий случай.
Введем подпространство заведомо содержащее и базис. Затем с помощью оценок матричных элементов трансфер-матрицы выделяем старшие ветви спектра оператора где It - связные наборы плиток (не лежащих целиком в Лг ), называемые еще кортежами. Суммирование в (2.2.4) идет по всем связным наборам кортежей, удовле творящих условиям 1-3 в [15 J , стр. 12.
Заметим, что выражения ГУ - калибровочно инвариантны, поскольку Кр - калибровочно-инвариантная функция. Из (2.2.1) и (2.2.4) Далее стандартной методикой, описанной в І.І., п.4 получаем пункт 2 теоремы 5 о спектре калибровочно-инвариантной части тра нсфер-матрицы. Покажем способ построения калибровочно-инвэриантного ортогонального базиса в It на примерах абелевых калибровочных групп 2Z;U,(I). Используя этот базис, можно получать И -частичные калибровочно-инвариантные подпространства более высокого порядка по ft . Определим, как и прежде (см. (2.2.2)), У (0. Функционалы fr не являются калибровочно-инвариэнтными, но j = Ч//Г, где }-[ ги ..., г&\ - контур из ребер rL , t = 1, . .v % (т.е. к каждой точке 2L подходит четное число ребер т ), уже ка либровочно-инвариантная функция. Это легко видеть из леммы 2.2.1. Ортонормированный базис { fj} в Ж будет индексироваться набором непересекающихся (по ребрам) контуров !"{//, , где 2 і связный контур: -характер (матричный элемент) неприводимого унитарного представления. Определим Базис из функций (#) будем строить следующитл образом. Пусть Ж - множество финитных целочисленных функций Г- І 1(f), he- .Z xfDl/ на совокупности ориентированных ребер решетки 2 таких-, что для любой ТОЧКИ Г / . выполнено равенство (0.25). И пусть Пользуясь схемой из работы Г15 / можно доказать полноту ортоноршрованных базисов (2.2.II), (2.2.12) в Ж . Для моделей с абелевой группой калибровки из п.1-2 верна лемма, аналогичная лемме 2.2.2, но с более точными оценками, которые можно получить, пользуясь явным видом базисов (2.2.II), (2.2.12).
Непрерывные системы
Здесь Д(А)- некоторая гладкая функция; очевидно, что множество ее значений совпадает со спектром оператора А в R - частичном подпространстве. Поэтому иногда будем называть Я (А) спектром оператора А в к - частичном подпространстве, или еще И - частичной ветвью спектра.
Одночастичное подпространство описывает состояния "частиц" (или "элементарных возбуждений") физической системы, т.е. такие собственные состояния ее гамильтониана (или оператора которые однозначно характеризуются своим квазиимпульсом Де Т При этом функция &(Д) задает зависимость энергии возбуждения от квазиимпульса Д . Векторы It -частичного подпространства описыеэют систему из Ц элементарных возбуждений. 0.5. Общий характер результатов трех первых глав диссертации. Мы рассматриваем здесь ряд моделей статистической физики с потенциалом, зависящим от одного или нескольких параметров (температура, внешнее магнитное поле, константа сильного взаимодействия и т.д.); обозначим этот параметр (или набор параметров) через S . Тогда для определенных областей изменения s (большие или, наоборот, малые температуры, большая константа связи, большое магнитное поле и т.п.): 1) Установлена кластерная структура трансфер-матрицы соот ветствующего гиббсовского поля относительно специально подобран ного базиса { Kl J , причем ее параметры кластерности Sei - зе1 ( ) и эе2 = зе2( s) оказываются достаточно малыми (или, в случае конечного пространства X , малым оказывается параметр Xi , см. замечание 0.1). 2) С помощью оценок матричных элементов, вытекающих из оце нок п.0.3 и, быть может, некоторых уточнений этих оценок для слу чая "наименьших" векторов базиса { fj\ мы выделяем одно или несколько "старших" одночастичных инвариантных подпространств оператора У . "Старшими" они являются в том смысле, что спектр оператора 7 в них больше спектра 7 в ортогональном дополнении. В I.I дана общая схема исследования структуры и спектра транс фер-матриц. Опишем модели, рассмотренные в І-Ш главах диссертации. Модели с компактным спиновым пространством в высокотемпературной области. 0.6. В 1.2 рассматриваются модели с бесконечным компактным спиновым пространством X на \) -мерной решетке. Гамильтониан модели в объеме Л , 1 ЛI « » , равен нормированная на единицу мера на ["#,#] , с непрерывной плотностью (весовой функцией) cf o/cfMf = fi(x) о относительно обычной меры Лебега ft0 на [А, J . В качестве [ V fe)} можно выбрать ортонормированную по этой мере систему полиномов. Гамильтониан имеет вид (0.1 - 0.2). Разложение (0.3) и оценку (0.4) см. в[3б] , стр. 20. Следующий пример хотя формально и не входит в класс моделей, описанных в п.0.6, но имеет структуру, разумно обобщающую (0.2 -0.4). Ыы и опишем его в следующем пункте. 0.7. if - модель с группой S О (М) или (Л (yV) . Пусть пространство X есть группа if - 0(Д/) (или SW.(A/) ). Известно, что в каждом пространстве R , где действует какое-нибудь неприводимое унитарное представление Q. Тл группы S О (Л/9 (или (Л (у\/) ), существует специальный базис, называемый базисом Гельфанда-Цетлина, в котором операторы Та записываются наиболее простым образом. Его элементы С0 помечаются таблицами 9 = { Уг\р X (полу) целых чисел (подробнее см. в [13J , гл. Ш, 3). Совокупность матричных элементов 0, д 0 ( Q) X неприводимых унитарных представлений образуют ортогональный базис в пространстве Lz { X/ , X нормированная мера Хаа-ра на группе if , Базис [ (Хд в (%)} также обладает свойством, аналогичным (0.3): где д1 ег\( Q QO\ - некоторые коэффициенты, суммирование в (0.5) происходит по конечному множеству троек ( %} fi, у2.) зависящему от ( , 91 , 2 ), ( , 0/, 0/ ) (подробнее см. в [із] , гл. ІУ, I).
Для каждого неприводимого представления cL введем в множестве таблиц JBl, помечающих базис Гельфанда-Цетлина в R , метрику f(9, В ) : и определим с ее помощью метрику [ (9-f762) (В/ 9/ И в множестве пар таких таблиц ; гдє % - Конечное МНОЖеСТВО ИНДекСОВ 7С = (o ,0f, $2.),% j. ,4 , 5 При этом, если представление d. б Ь не эквивалентно контрагре-диентному к нему, то в % входят только либо матричные элементы представления cL , либо контрагредиентного к нему. Для моделей из пунктов 0.6 и 0.7 верна теорема Теорема I. При достаточно малых ft трансфер-матрица ZF I) обладает кластерной структурой (относительно специально выбранного базиса Yi ) с параметрами кластерности
