Спектральные свойства гомоморфизмов банаховых модулей над кольцом измеримых функций Подорожный Михаил Васильевич

Содержание к диссертации

Введение

ГЛАВА I. Пространства с S-значной метрикой и измеримые поля метрических пространств

1. Измеримые поля метрических пространств. 15

2. Измеримые поля замкнутых множеств 25

3. S-компактность 32

ГЛАВА II. Линейные операторы в пространствах с S-значной нормой. измеримые поля ограниченных операторов

1. Измеримые поля нормированных пространств . 38

2. S-ограниченные линейные операторы в пространствах с S-значной нормой 52

ГЛАВА III. Спектральная теория эндоморфизмов банаховых S-модулей .

1. S-аналитические функции 72

2. Спектр и резольвента 81

3. Голоморфное исчисление 89

Литература 99

• Измеримые поля замкнутых множеств
• Измеримые поля нормированных пространств
• S-ограниченные линейные операторы в пространствах с S-значной нормой
• Голоморфное исчисление

Введение к работе

В настоящей диссертации исследуются спектральные свойства гомоморфизмов банаховых модулей над кольцом 5=5 Е°. ІІ измеримых по Лебегу функции и измеримые поля линейных ограниченных операторов на основе систематического изучения обших пространств с 5-значной метрикой и их разложении в измеримые поля метрических пространств.

Построение спектральной теории эндоморфизмов банаховых модулей над кольцом J3 -измеримых по Лебегу функций естественным образом возникает в связи с необходимостью изучения спектральных свойств измеримых семейств ограниченных линейных операторов.

Систематическое изучение измеримых полей гильбертовых пространств и линейных ограниченных операторов в гильбертовом пространстве, а также измеримых полей операторных алгебр было начато в 30-40-х годах в серии основополагающих работ Дж. фон Неймана и Ф.Дж.Мюррея [бо] , [5l] . Построенная ими теория полу «V, чила дальнейшее развитие и нашла важные приложения в теории С и W -алгебр, а также в теории локально компактных групп при рассмотрении вопросов, связанных с разложением их представлений в прямые интегралы неприводимых представлений.

Одно из направлений, использующих теорию измеримых полей ограниченных и неограниченных операторов, составляют разработанные Ю.М.Березанским и его сотрудниками метода исследования совместного спектра измеримых семейств таких операторов в гильбертовом пространстве \_5J — [10 J . Эти исследования связаны с общей теорией случайных операторов в гильбертовом пространстве и теорией случайных матриц, построенной в работах А.В.Скорохода и других авторов [l5J , [зі] , [39] , [49 ] , [55] , имеющих интересные и важные приложения в ряде разделов математической физики, а также с теорией стохастических дифференциальных уравнений [16] , [38] .

Изучение обших измеримых полей метрических и нормированных пространств тесно переплетается с теорией случайных метрических и нормированных пространств, получившей существенное развитие в работах А.Вальда [бб] , Б.Швайцера [52] - [54] , А.Н.Шерстне-ва [42] - [44] и других математиков [27J , [28] , [40] .

Близким к этому направлению исследованием является также теория случайных замкнутых множеств в метрических пространствах и ее приложения к задачам интегральной геометрии, распознаванию образов и ко многим другим задачам прикладного характера [її] , [19] , [21] , [33] , [47] , [48] .

Наиболее естественным методом изучения измеримых полей метрических и банаховых пространств является, на наш взгляд, рассмотрение определенных ими пространств с S -значной метрикой и S-значной нормой, в частности, банаховых S-модулей. При таком подходе изучение этих объектов непосредственно примыкает к общей теории метрических и нормированных пространств над полуполями и модулей над полуполями, развитой в работах М.Я.Антоновского , Б.Г.Болтянского, Т.А.Сарымсакова [і] , [2] , [з] , [34] , Дж.Хаджиева, А.В.Миронова, Я.Х.Кучкарова [20] , [23] , [зб] , [Зб] , [38] и Других математиков [4] , [24] - [27] , поскольку рассматриваемое нами пространство $ -измеримых функций является одним из наиболее важных и содержательных примеров по-луполей.

Б связи с этим следует также отметить, что исследование широкого класса векторных пространств нормированных над -пространствами проводились в серии работ Л.В.Канторовича Й его учеников [із] , [l4] , [l8] .

Исследования в диссертации группируются в следующих

основных направлениях:

- изучение пространств с 5 -значной метрикой и их разложение в измеримые поля метрических пространств;

- описание класса 5-ограниченных линейных операторов в пространствах с 5-значной нормой, в частности, S -ограниченных эндоморфизмов банаховых 5 -модулей, опирающееся на их представление в виде измеримых полей ограниченных линейных операторов в банахрвых пространствах;

- описание спектра, резольвенты и других характеристик 5 -ограниченных эндоморфизмов банаховых 5 -модулей и построение для этих эндоморфизмов голоморфного функционального исчисления.

Перейдем к краткому обзору ОСНОЕНЫХ результатов диссертации.

Работа состоит из введения, нулевого параграфа и трех глав. Нулевой параграф содержит ряд известных, используемых в дальнейшем, определений и результатов: свойства пространстваЗ,опРеда-ления пространства с S-значной метрикой и s-значной нормой, банахова 5 -модуля.

Б первой главе изучаются полные и сепарабельные пространства с S -значной метрикой, а также измеримые поля метрических пространств. В первом параграфе этой главы вводится понятие измеримого поля X абычных метрических пространств X . "Ье11 /ЙПЖІ/ и описывается класс насыщенных измеримых полей /определение I.I.I , предложение I.I.2/. Основными результатами этого параграфа являются теоремы I.I.4 и I.I.5 , описывающие связь между ИПШ и пространствами с s-значной метрикой. Показано,что каждое ИПМП /\ каноническим образом определяет некоторое полное сепарабельное пространство с S-значной метрикой и, обратно, каждое произвольное полное сепарабельное пространство с 5-значн°й метрикой X допускает представления в виде 00 X для некоторого ИПМП X /теорема I.I.4/, причем это представление единственно /теорема I.I.5/. Во втором параграфе рассматриваются замкнутые подмножества пространств с 5 -значной метрикой. Вводится понятие измеримого поля замкнутых подмножеств /ИПЗП/ /определение I.2.I/ и доказывается теорема о представлении произвольного замкнутого подмножества Jk Х в виде Л = А , где А - множество классов эквивалентных YMLO измеримых полей из некоторого ИПЗП А X /теорема 1.2.2/. Выделяется класс насыщенных ИПЗП и соответствующих им насыщенных замкнутых подмножеств в /определения: 1.2.3, 1.2.5, 1.2.6/. Показано также, что каждое сепарабельное пространство Х- с 5 -значной метрикой допускает каноническое вложение в некоторое насыщенное пространство Х-с с S -значной метрикой, называемое насыщением ОС /предложение 1.2.7, предложение 1.2.8/.

В последнем параграфе первой главы вводится класс s -компактных подмножеств пространств с s -значной метрикой /определения: 1.3.5, 1.3.6/ и изучаются его свойства. Эти подмножества характеризуются тем, что для соответствующих им измеримых полей А замкнутых подмножеств А-ь X , подмножества А- . компактны в X в обычном смысле /предложение 1.3.7/.

Вторая глава посвящена изучению пространств с S -значной нормой и класса 5 -ограниченных линейных операторов в них, измеримых полей банаховых пространств и измеримых полей линейных ограниченных операторов /ИПОО/.

В § I этой главы вводится понятие измеримого поля банаховых пространств /ИПБП/ /определение 2.I.I/ и приводится простой критерий насыщенности ИПБП /предложение 2.1.2/. Определение 2.I.I согласовано с более общим определением I.I.I ИПМП из главы I и, в свою очередь, является непосредственным обобщением известного определения измеримого поля гильбертовых пространств [4б] . Основными результатами этого параграфа являются теорема 2.1.3 , описывающая разложение произвольного сепарабельного полного пространства с 5 -значной нормой в ИПВЇЇ, и теорема 2.1.4 о разложении сепарабельного банахова S -модуля в насыщенное ИПБП. Отметим, что из последней теоремы следует, в частности, что пространство с 5 -значной нормой изометрически изоморфно некоторому банахову 5 -модулю тогда и только тогда, когда оно насыщенно. Более того, каждое пространство с s -значной нормой допускает каноническое линейное изометрическое вложение в банахов S-модуль 0Со t являющийся насышением 00 /теорема 2.1.3/.Описывается также разложение замкнутых подпространств с S -значной нормой в измеримые поля замкнутых подпространств /теорема 2.1.7/.

Кроме того, в этом параграфе описаны три важных класса измеримых полей банаховых пространств и соответствующих им банаховых 5 -модулей. Это измеримые поля гильбертовых пространств и гильбертова S -модуля, измеримые поля пространств и измеримые поля пространств непрерывных функций.

Второй параграф главы П посвящен изучению класса 5 -ограниченных линейных операторов в пространствах с S -значной нормой. Приводятся определения 2.2.1 и 2.2.2 S -ограниченного оператора и измеримого поля ограниченных операторов /ИПОО/. Показано, что всякий линейный 5 -ограниченный оператор допускает естественное представление в виде ИПОО /теорема 2.2.3/.

Важным результатом этого параграфа является предложение 2.2.6, утверждающее, что каждый 5 -ограниченный оператор Т -СС У пространств с s -значной нормой однозначно продолжается до гомоморфизма 7 : Х0— лбс банаховых s -модулей ОС и с , являющихся насыщениями пространств X и"У соответственно. Это утверждение позволяет сводить многие вопросы, связанные с изучением обших линейных 5 -ограниченных операторов в пространствах с s -значной нормой, к исследованию соответст гомоморфизмов банаховых 5 -модулей. Кроме того, всякий 5 -ограниченный линейный оператор банахова s -модуля X, в У обязательно является гомоморфизмом /предложение 2.2.5/.Непосредственно из определения следует, что любое 5 -ограниченное отображение непрерывно. Однако, существуют непрерывные отображения пространств с 5 -значной нормой, не являющиеся S -ограниченными. В то же время, как показывает предложение 2.2.10, всякий непрерывный гомоморфизм банахова S -модуля 04 в банахов S -модуль "У S -ограничен. В этом же параграфе получены теоремы о разложении в измеримые поля подмодулей и фактор-модулей /теоремы: 2.2.7, 2.2.8, 2.2.9/, а также ряд результатов, касающихся обратимости S-ограниченных гомоморфизмов банаховых S -модулей /теоремы: 2.2.II, 2.2.13/.

В качестве примеров рассмотрены измеримые поля бистохасти-ческих операторов и ЙПОО, определенное измеримыми семействами интегральных операторов.

В главе Ш получены основные результаты спектральной теории эндоморфизмов банаховых модулей. На протяжении этой главы всюду под 5 понимается множество классов комплекснозначных измеримых функций на 1 = [° 0 и рассматриваются линейные пространства над полем комплексных чисел. Предварительно, в первом параграфе, вводится класс 5-аналитических функций и описывается их представление в виде измеримых полей обычных аналитических функций /ИПАФ/ /Определения: 3.1.6, 3.1.7,и теорема 3.1.8/.

Во втором параграфе этой главы рассматривается спектр и резольвента S -ограниченных эндоморфизмов банаховых S -модулей. Введенные в работе определения спектра с(Т) с jj и резольвенты R(w 5-ограниченного эндоморфизма Т позволяют получить для них многие свойства, аналогичные свойствам спектров и резольвент ограниченных линейных операторов в банаховых пространствах. В частности, показывается, что спектр У(Т) является не пустым, s -компактным, насыщенным подмножеством в /теорема 3.2.2/, а резольвента R(j) является S -аналитической функцией на своей области определения р(Т) /теорема 3.2.4/.

Центральными результатами § 2 главы Ш являются теоремы 3.2.2, 3.2.4 о разложении спектра и резольвенты. Спектр э(Т) допускает представление в виде измеримого поля спектров 6 СТ ) а резольвента R(T) - в виде измеримого поля резольвент ROt) где "t — fc,"fceZ есть ЙПОО, соответствующее эндоморфизму На основе этих результатов в последнем параграфе главы Ш строится голоморфное функциональное исчисление для S -ограниченных эндоморфизмов. По каждому s -ограниченному эндоморфизму Г и каждой S -значной, 5 -аналитической функции, определенной в окрестности спектра 5""СТ) , строится S -ограниченный эндоморфизм (Т) . обладающий тем свойством, что его представление в виде измеримого поля совпадает с ИПОО -Ь — -Ц-СПё) , где t Tt ИПОО, соответствующее Т "Ь + - ШАФ, соответствующее функции •

Построенное таким образом функциональное исчисление — -(Т) обладает многими свойствами обычного голоморфного функционального исчисления для операторов в банаховых пространствах. В частности, для него справедливы теорема 3.3.6 о суперпозиции и теорема 3.3.5 об отображении спектра. В последней части § 3 главы Ш вводится точечный спектр 5 1 (т) 3 5 - ограниченного эндоморфизма и описываются его основные свойства /теорема 3.3.10/.

Измеримые поля замкнутых множеств

Вводится понятие измеримого поля замкнутых подмножеств /ИПЗП/ /определение I.2.I/ и доказывается теорема о представлении произвольного замкнутого подмножества Jk Х в виде Л = А , где А - множество классов эквивалентных YMLO измеримых полей из некоторого ИПЗП А X /теорема 1.2.2/. Выделяется класс насыщенных ИПЗП и соответствующих им насыщенных замкнутых подмножеств в /определения: 1.2.3, 1.2.5, 1.2.6/. Показано также, что каждое сепарабельное пространство Х- с 5 -значной метрикой допускает каноническое вложение в некоторое насыщенное пространство Х-с с S -значной метрикой, называемое насыщением ОС /предложение 1.2.7, предложение 1.2.8/.

В последнем параграфе первой главы вводится класс s -компактных подмножеств пространств с s -значной метрикой /определения: 1.3.5, 1.3.6/ и изучаются его свойства. Эти подмножества характеризуются тем, что для соответствующих им измеримых полей А замкнутых подмножеств А-ь X , подмножества А- . компактны в X в обычном смысле /предложение 1.3.7/.

Вторая глава посвящена изучению пространств с S -значной нормой и класса 5 -ограниченных линейных операторов в них, измеримых полей банаховых пространств и измеримых полей линейных ограниченных операторов /ИПОО/.

В I этой главы вводится понятие измеримого поля банаховых пространств /ИПБП/ /определение 2.I.I/ и приводится простой критерий насыщенности ИПБП /предложение 2.1.2/. Определение 2.I.I согласовано с более общим определением I.I.I ИПМП из главы I и, в свою очередь, является непосредственным обобщением известного определения измеримого поля гильбертовых пространств [4б] . Основными результатами этого параграфа являются теорема 2.1.3 , описывающая разложение произвольного сепарабельного полного пространства с 5 -значной нормой в ИПВЇЇ, и теорема 2.1.4 о разложении сепарабельного банахова S -модуля в насыщенное ИПБП. Отметим, что из последней теоремы следует, в частности, что пространство с 5 -значной нормой изометрически изоморфно некоторому банахову 5 -модулю тогда и только тогда, когда оно насыщенно. Более того, каждое пространство с s -значной нормой допускает каноническое линейное изометрическое вложение в банахов S-модуль 0Со t являющийся насышением 00 /теорема 2.1.3/.Описывается также разложение замкнутых подпространств с S -значной нормой в измеримые поля замкнутых подпространств /теорема 2.1.7/.

Кроме того, в этом параграфе описаны три важных класса измеримых полей банаховых пространств и соответствующих им банаховых 5 -модулей. Это измеримые поля гильбертовых пространств и гильбертова S -модуля, измеримые поля пространств и измеримые поля пространств непрерывных функций.

Второй параграф главы П посвящен изучению класса 5 -ограниченных линейных операторов в пространствах с S -значной нормой. Приводятся определения 2.2.1 и 2.2.2 S -ограниченного оператора и измеримого поля ограниченных операторов /ИПОО/. Показано, что всякий линейный 5 -ограниченный оператор допускает естественное представление в виде ИПОО /теорема 2.2.3/.

Важным результатом этого параграфа является предложение 2.2.6, утверждающее, что каждый 5 -ограниченный оператор Т -СС У пространств с s -значной нормой однозначно продолжается до гомоморфизма 7 : Х0— лбс банаховых s -модулей ОС и с , являющихся насыщениями пространств X и"У соответственно. Это утверждение позволяет сводить многие вопросы, связанные с изучением обших линейных 5 -ограниченных операторов в пространствах с s -значной нормой, к исследованию соответствуюпшх свойств гомоморфизмов банаховых 5 -модулей. Кроме того, всякий 5 -ограниченный линейный оператор банахова s -модуля X, в У обязательно является гомоморфизмом /предложение 2.2.5/.Непосредственно из определения следует, что любое 5 -ограниченное отображение непрерывно. Однако, существуют непрерывные отображения пространств с 5 -значной нормой, не являющиеся S -ограниченными. В то же время, как показывает предложение 2.2.10, всякий непрерывный гомоморфизм банахова S -модуля 04 в банахов S -модуль "У S -ограничен. В этом же параграфе получены теоремы о разложении в измеримые поля подмодулей и фактор-модулей /теоремы: 2.2.7, 2.2.8, 2.2.9/, а также ряд результатов, касающихся обратимости S-ограниченных гомоморфизмов банаховых S -модулей /теоремы: 2.2.II, 2.2.13/.

В качестве примеров рассмотрены измеримые поля бистохасти-ческих операторов и ЙПОО, определенное измеримыми семействами интегральных операторов.

В главе Ш получены основные результаты спектральной теории эндоморфизмов банаховых модулей. На протяжении этой главы всюду под 5 понимается множество классов комплекснозначных измеримых функций на 1 = [ 0 и рассматриваются линейные пространства над полем комплексных чисел. Предварительно, в первом параграфе, вводится класс 5-аналитических функций и описывается их представление в виде измеримых полей обычных аналитических функций /ИПАФ/ /Определения: 3.1.6, 3.1.7,и теорема 3.1.8/.

Измеримые поля нормированных пространств

В этом параграфе вводится определение измеримого поля банаховых пространств /ШБП/ и указывается необходимое и достаточное условие насышенности ИПЕП. Приведенное определение ШБП согласовано с более общим определением ИПМП из главы I и, в свою очередь, является непосредственным обобщением известного определения измеримого поля гильбертовых пространств Далее описывается разложение произвольного сепарабелъного полного пространства с S-значной нормой в И11БП и доказывается теорема о разложении сепарабельного банахова & -модуля в насыщенное ИПЕП- Описано также разложение замкнутых подпространств с S -значной нормой в измеримые поля замкнутых подпространств- Кроме того, приведены три важных класса измеримых полей банаховых пространств и соответствующих им банаховых 5 -модулей.

Рассмотрим теперь непосредственно вопрос о представлении пространств с S-значной нормой Б виде измеримого поля банаховых пространств. Определение 2.1Л Измеримым ПОЛЕМ X банаховых пространств назовем совокупность функций х "k х W Х определенных почти воюду на X , удовлетворяюшую условиям: - измерима для любых вХ - Поэтому в силу условия А4 , функция -Ь c tft)xft) - принадлежит X . В силу условия Cj это же верно для любой простой /измеримой ступенчатой/ функции {у) . Для произвольной измеримой функции сЦ-fc) существует последовательность простых функций [c w(t)lMf:i сходящаяся к4) почти всюду. Тогда для почти всех "t єТ c (+)x(i)- (Oxft)t O и по аксиоме А3 функция і- .()хСЬ) принадлежит X , Обратно, пусть для любого х из X и t из 3 функция -k- Cfc)xOfc) принадлежит X . Тогда для любого разбиения _L на измериіше попарно непересекающиеся множества J- ,4=1.,2,..- , функции fc —- д_(,-Ь)х СЬ) » а значит и функция - Ct") = 21т6_№)Х С"Ь) , содержатся вХ -В силу следствия к Проділ -L- v ложенпю 1,1.2 А - насыщенно. Для любого ЙІГБП X обозначим X - множество всех классов х равных ил,- почти всюду функций х: "Ь — xCt) из X Поточечные операции Х+ - t — xCfc)+y-(t;) , \Х : ± _Дх(і) , Х.а еХ , Хе R, и функция И : і — Hx(fc)U , хе X определяют в X структуру линейного пространства с s -значной нормовых пространств Х пространство X является банаховым сепара-больным пространством с S -значной нормой. ( ) Всякое банахово сепарабельное пространство ОС- с S-значной нормой линейно и изометрически изоморфно пространст-ву X гДе X - некоторое измеримое поле банаховых пространств. Первая часть (л) теоремы 2.1-3 следует из теоремы ІЛ.4. Доказательство пункта (И) дословно повторяет доказательство теоремы 1.1 5 с той лишь разницей, что в качестве счетного подмножества Г берется некоторое счетное, линейное над полем рациональных чисел подпространство плотное в ОСУ . Пусть теперь X насыщенное ИПБП. Тогда в силу предложения 2.1-2 поточечные операции Х+ tf d,x-- "fc - ot(-b)x(t) и функция 1- : Ь — llxOt)L , где x. eX.AeS , определяют в X структуру s -модуля с S-значной S-однородной нормой. Теорема 2,1 4 (L) Для каздого насыщенного ИПБП X про-странотво X является банаховым сепарабелышм s -модулем. (л"0 Всякий банахов сеяарабельный 5-модуль изометричес-кй изоморфен как S-модуль банахову s-модулю X , где X -насыщенное ИПБП. Доказательство. Теорема 2.1.4 следует из теоремы 2.1.3 и предложения 2.1.2 . Представление пространства Х Х в теоремах 2.1.3 и 2 1.4 единственно в следующем смысле. Теорема 2,1 5. Пусть X , X - измеримые поля банаховых пространств XtrXt соответственно, і:є_!_ . X, X - соответствующие банаховы пространства с S-значной нормой. Если R" X —- X - линейный изометрический изоморфизм, то существует единственное wwxC 0 семейство -be.

S-ограниченные линейные операторы в пространствах с S-значной нормой

Доказательство. Пусть СС- X и tJ = Y , где X иї насыщенные ЙПБП Х+ и V соответственно /теорема 2.1.5/. Тог да по теореме 2.2.3 Ссс) Т определяется некоторым ИПОО T с B(Xt,Yt) . Для - бого de5 и х е X функция і - o((t)x(t)cX f так как X - насыщенно /см. предложение 2.1-2/ и Tt C t xCi))- oiftDT xCt) почти всюду. И функ ция "fc " (Ю"Г хСЬ} принадлежит Y так как V - наышенио /предложение 2,1.2/. Следовательно, 7"(5)-"ЗТх для любых eS и ХбХ . Т.е. отображение ( S-однород-но и, значит, является гомоморфизмом модуля X в Т . Предложение и2,2 6 . Пусть Х,М - банаховы пространства с s -значной нормой и З с , - банаховы s -модули, являющиеся насыщениями ОС- и У соответственно. Тогда любой оператор Тє &(Х,У) однозначно продолжается до Те Б(ЗСС Ус) t ПРИ этом отображение Т— -7с " линейно и изометрично. Доказательство. В силу теорем 2.1 3 (и,) и 2Л.4 и теорем 2Л. В Git) можно счктать, что СС Х » Y ,ХВХС -"у , где X и Y некоторые ИШІ Xt,Yt соответственно. По теореме 2 2,3 (U) оператор "Г из В Х/й) определяется некоторым ИПОО "Ь T fe BCX Vt) . Пусть хеХс еет вид х - д х , где Х - разбиение Т на попарно непересекающиеся измеримые множества J. и Х єХ Тогда функция принадлежит у . Для всякого произвольного ХЛ существует последовательность элементов 2 представимых в виде ( ) такая, что 2. (— х(і) почти всюду в Xt /см. предложение I.I.2/, Тогда последовательность функций Ь — Ц-їиД Ь) сходится к функции "t xCt) почти всюду, и, значит, -fc — Ц.х(і) принадлежит с . Таким образом, Ь— 1Z является ШОО из СС в с и по теореме 2.2.3(0 определяет оператор Т _сБ(Хс \с) Если Т некоторый оператор из В(ХсЛс,) , сужение которого на X совпадает с Т и -Ь — - TZ соответствующее ему ИПООт то 71. -Т+- Лля почти всех Ь еТ и, значит, Т =Т . Соответствие T- -"TL ,очевидно, линейно Е, Б силу теоремы 2Ф2.3 СО , изошетрично. Рассмотрим категорию К. , объектам которой являются банаховы пространства с s-значной нормой, а орфизмами - линейные S-ограниченные операторы, и категорию К , объектами которой являются банаховы S -модули, а морфизмами их 5 -ограниченные гомоморфизмы. Из приведенных выше результатов следует, что соответствие Х- ХС и Т" Т . определяет ковариантный функтор из категории К в категорию К Таким образом, изучение s-ограниченных операторов в банаховых пространствах с ь-значной нормой в значительной мере сводится к рассмотрению -ограниченных эндоморфизмов банаховых S-модулей. Пусть Х/У - два банаховых s -модуля, через ЗіСХ/У) обозначим множество всех S-ограниченных гомоморфизмов из X в У , Поскольку, в силу теоремы 2.2.5 всякое линейное 5 -ограниченное отображение з-модулей является гомоморфизмом, то это обозначение согласовано с обозначением введенным в начале этого параграфа. Очевидно, пространство ;В(СС/У) само является s -модулем относительно естественных операций сложения и умножения на элементы из S . Причем введенная выше норма в 5Ь(ХД() наделяет ЗМО У) структурой банахова 5-модуля. Следует отметить, что норму гомоморфизма Т из 5Ь(Х/У) определенную равенством 1Т Л ХСТ , где JA, = jceS: 1ТЪЛ у — с R Hoc ш Бсех :XLeX1[ можно, в данном случае, определить как lTl = VjsfT , где Г -1 Г Ц : х є X , Ісс І ] . Это непосредственно следует из определения 5-однородности нормы Б Рассмотрим теперь фактор-модули банаховых S -модулей. Пусть ЛЬ - подмодуль X . Фактор-модуль (Р Х/Ж определяется обычным образом, как совокупность классов вычетов Положим ЦФ + ЛХ, -д{ +Я I 7 еМ \ Предложение 2.2,7 Для любого замкнутого подмодуля JUL фактор-модуль iP- OC/j является банаховым 5_мДУлем относительно естественных операций над классами и введенной выше нормы. Естественная проекция % , ставшая в соответствие элементу со класс его содержащий, является s -ограниченным гомоморфизмом X лаР с нормой не превосходящей t Доказательство, Сложение и умножение на элементы из S в ЇР вводятся равенствами: 2. \(OL+M) = Хо +уі , Хе. По теореме 2.1.4 Х- является насыщенным и Ms - на сыщенное подмножество СС . Нетрудно проверить, что отображение x- -JtL в норму х+ Ц 5-однородно и удовлетворяет неравенству треугольника. Кроме того, если Цсс+ЛсЦ = 0 , т е, Ъ «значное расстояние от Сс до М/ равно пулю, то в силу насыщенности М элемент х принадлежит ЛА/ , и , значит Х+Л = Ж - нулевой элемент в Ж - Таким образом р превращается в нормированный S -модуль.

Голоморфное исчисление

В этой главе изучаются спектральные свойства 5 -ограниченных эндоморфизмов банаховых s-модулей. При этом в отличие от предьщуших глав, всюду в настоящей главе, пространство предполагается комплексным, то есть 5 - Sc (Х З С) , где С - поле комплексных чисел. Понятно, что на случай комплексного пространства 5 без труда переносятся все предыдущие результаты.

Описание спектров и резольвент s -ограниченных эндоморфизмов банаховых S -модулей, приведенное в 2 и построение голоморфного функционального исчисления для них / 3/ опирается на понятие s-аналитической функции. Класс s -аналитических функций изучается в I.

Для определения 5 -аналитических функций нам понадобится понятие S -открытого множества в S - Такие мнокества являются естественными областями определения для S -аналитических функций. Пусть {CCtf) - пространство с s -злачной метрикой, -непустое замкнутое его подмножество. Определение 5.1.1« Множество Jb называется s -дополняемым, если множество zft = х еХ : (,А)&5 - не пусто, при этом it называется 5 -дополнением к $z Поскольку S -насыщение Jt0 замкнутого множества А Х-совпадает с множеством {CCGX- І С,Л)-6 , то множество Л- s-дополняемо в том и только Е том случае, когда s -дополняемо Л и их s-дополнение совпадают. Определение 3.1 2 Множество $Ъ СС называется s -открытым, если 5Ь =-Л для некоторого замкнутого -дополняемого множества А Определение 5.1 3 Пусть X - ИІШІ X . Подмножество Ё»сХ называется измеримым полем открытых подмножеств /КПОП/ В. Х если В-А и 6t-At почти всюду для некоторого измеримого поля А замкнутых подмножеств А такого, что Д ъ Ф- Хіт для почти всех teT . /Здесь А Х хД-ь и А состоит из всех функций X : -Ь — - xCt) Xt из X таких, что х(і)бА{. , -ЬеТ /. Непосредственно из определений вытекает следующий очевидный факт. Если А замкнутое подмножество в "X и А - ИПЗП A такое, что А = А , то г s-дополняемо тогда и только тогда, когда множество А = Х \ A не пусто для почти всех -ЬеТ , при этом его s -дополнение имеет вид $/ = [хеХ : x(b)e At почти всюду . Отметим, что S-открытые подмножества в X не являются открытыми в смысле топологии в СС/ . Предложение 3,1.4 Пусть 5 -открытое подмножество и 4Ъ = Е , где Вс Х ИПОП В 0 Xt f тогда C.L") для любого ? е 3 существует элемент съе Ь такой, что множество \Д () с 5 ; CU") существует последовательность і х ctfi и последовательность элементов {сц с Ь такие, что Ь y L (t) ) для почти всех 1 Напомним, что через \/ х) обозначается замкнутый с -шар в X с центром в хеХ , Семейство замкнутых шаров определяет разложение Х/ СЯ) в ИПЗП /ом,пример с/ ZniI/. Доказательство. С9 Положим со — р( Ф/) , где Сії) Так как X сепарабельно, то - сепарабельно и поэтов сушествует счетное множество { } плотное в 3 . Для любого хе 5 положим с С$) — РСХ,ЙУ) Выберем последовательность {ct fxOb S » так что lWuC )t сС иО прим.- я с- -сіи С Оеаї Далее, пусть с представитель из с() и С - представитель из c(Xv ) . Так как множество элементов Хк, плотно в Jib , то существует множество X K1J представителей из {хи \ такое, что a CxttO, wKG0) — 0 при к- оо для почти всех Ь бТ Очевидно» что с-ОЬ")-С-ИкСЬ)Ц cJ-bCxC n C)) почти всюду Для почти всех ЬеТ существует номер ик , зависящий ОТ "Ь такой, что Отсюда сЦДхОЬ), Х С-Ь)) CnltC"t) Лля почти всех і еТ существует такое число w Ct) , что -75 Тогда x(t) fe \Г (уИк c-b)) с: B . Итак, для почти всех -ЬеТ получаем, что