Введение к работе
Актуальность темы исследования. Пусть Я —односвяз-ная область в С; Н — Н(1) — пространство функций, аналитических в 1, наделенное топологией равномерной сходимости на компактах; D : Н —* II \ f —* f — оператор дифференцирования.
Подпространство W С Н называется инвариантным относительно оператора D, если DW С W. Корневым подпространством оператора D, отвечающим собственному значению А Є С, называется непустое подпространство {/ Є Н : {D — А)п/ = 0, п Є N}. Элементы корневых подпространств принято называть корневыми элементами оператора. Говорят, что замкнутое инвариантное относительно оператора D подпространство W Q Н допускает спектральный синтез, если замыкание линейной оболочки корневых элементов, лежащих в W, совпадает с W. Задача спектрального синтеза для оператора D состоит в нахождении условий, при которых замкнутое инвариантное подпространство W С Н допускает спектральный синтез.
Инвариантные подпространства №СЯ оператора дифференцирования возникают естественным образом в той части комплексного анализа, которая имеет дело с задачами аппроксимации аналитических функций линейными комбинациями экспонент и которая возникла в классической теории рядов Дирихле. Задача спектрального синтеза для оператора D в комплексной области представляет собой перенос на аналитические функции известной задачи Берлин-га о гармоническом синтезе на вещественной прямой. Впервые задача спектрального синтеза для оператора D была сформулирована в 1947г. Л. Шварцем в его известной монографии1 о периодических в среднем функциях.
Центральная тема спектрального синтеза для оператора дифференцирования — задача аппроксимации для однородного свер-точного уравнения: можно ли каждое решение такого уравнения
"Schwartz L. // Ann. Math. 1947. V. 48. P. 857 - 929.
аппроксимировать линейными комбинациями элементарных решений. Уравнения; свертки и, в частности, уравнения бесконечного порядка, дифференциально-разностные уравнения с постоянными коэффициентами были предметом изучения многих математиков: Дж. Рит, Полна, Валирон, Р. Боас, Л. Эренпрайс, Д. Диксон, А. Мартино, А.О. Гельфонд, А.Ф. Леонтьев, Ю.Ф. Коробейник, И.Ф. Красичков-Терновский, В.В. Напалков, О.В. Епифанов, СВ. Знаменский и др. Это объясняется, с одной стороны, прикладными задачами и, с другой стороны, тем, что многие чисто теоретические вопросы сводятся к изучению уравнений свертки.
Систематические исследования по спектральному синтезу для оператора дифференцирования инициированы в 1971 г. И.Ф. Кра-сичковым-Терновским2. Первое исследование задачи спектрального синтеза для оператора кратного дифференцирования Dq проведено С. Г. Мерзляковым. Более полное исследование ^-инвариантные подпространства получили в работах А.В. Шишкина и И.Ф. Красичкова-Терновского. В работах И.Ф. Красичкова-Тернов-ского исследована более общая задача — задача спектрального синтеза для дифференциального оператора
tt(D) = >* + aiD"-1 + ... + aqD
с постоянными коэффициентами.
Все известные результаты получены для дифференциальных операторов конечного порядка. Настоящее исследование посвящено спектральному синтезу для дифференциального оператора бесконечного порядка.
Цель работы. Исследовать с позиций спектрального синтеза замкнутые подпространства в Н инвариантные относительно диф-
'Красичков-Терновсхий И.Ф. // Магеы. сб. 1972. Т. 87(129), 1С 4. С. 459 - 489.
ферснциального оператора
*(>) = >*
fc=0
бесконечного порядка с постоянными коэффициентами. Здесь
— целая функция минимального типа при порядке/) = 1. Привести, по возможности, общие примеры положительного решения задачи спектрального синтеза для этого оператора.
Используемый метод. Основной метод решения задач спектрального синтеза в комплексной области — метод аннуляторных подмодулей, развитый в работах И.Ф. Красичкова-Терновского в 70-х годах XX века. Этот метод предполагает переход от задачи спектрального синтеза к эквивалентной двойственной задаче — задаче локального описания подмодулей целых функций.
Подобно тому, как при исследовании решений однородныхдиф-ференциальных уравнений конечного или бесконечного порядка основным инструментом являются характеристические функции, так и при исследовании инвариантных подпространств роль инструмента выполняют аннуляторные подмодули инвариантных подпространств — специальные классы целых функций, связанные с рассматриваемыми инвариантными подпространствами и обладающими алгебраической структурой подмодулей в модуле целых функций экспоненциального типа над кольцом многочленов. Каждому инвариантному подпространству определенным образом ставится в соответствие его аннуляторный подмодуль. Аннуляторные подмодули подпространств, допускающих спектральный синтез, обладают специальными аналитико-алгебраическими свойствами и называются обильными.
Содержание основных результатов и их новизна. Глава 1 содержит изложение схемы двойственного перехода и основанное
на этой схеме доказательство теоремы двойственности, утверждающей эквивалентность задачи спектрального синтеза для дифференциального оператора ir(D) и задачи локального описания замкнутых подмодулей в специальном топологическом модуле целых функций (Гл. 1,п. 1.4.3).
В параграфе 1.1 осуществлены постановка задачи спектрального синтеза для оператора 7r(JD), постановка задачи локального описания, а также изложена общая схема, лежащая в основе перехода от одной задачи к другой. Параграфы 1.2 и 1.3 посвящены реализации схемы двойственности в рассматриваемых условиях. Параграф 1.4 содержит доказательство теоремы двойственности.
Основное содержание второй главы посвящено доказательству теоремы о секвенциальной плотности многочленов в специальном весовом пространстве целых функций. В конце второй главы приведена интерпретация основного результата по локальному описанию в терминах задачи спектрального синтеза. Возможность такой интерпретации предоставляет теорема двойственности, доказанная в первой главе.
Параграфы 1.1-1.2 посвящены доказательству теоремы о секвенциальной плотности многочленов в специальном весовом пространстве целых функций. Основное содержание параграфа 2.3 посвящено доказательству обильности главных подмодулей в специальном модуле целых функций. В этом же параграфе приведена интерпретация основного результата по локальному описанию в терминах задачи спектрального синтеза.
Диссертация содержит следующие результаты, представленные к защите.
1. Связь задачи спектрального синтеза и задачи локального
описания замкнутых подмодулей в специальном топологическом мо
дуле целых функций — теорема двойственности.
2. Теорема о секвенциальной плотности многочленов в специ-
альном весовом пространстве целых функций (теорема 2.2.1).
-
Обильность главных подмодулей (теорема 2.3.1).
-
Положительное решение задачи спектрального синтеза по отношению к подпространствам вида
{/Є Я :
где S — фиксированный линейный непрерывный функционал на Н.
Полученные в диссертации результаты являются новыми.
Апробация работы. Основные результаты диссертации излагались на семинаре по теории функций в Армавирском государственном педагогическом университете (руководитель А.Б. Шишкин) в 1998 - 2003гг., в ходе региональной школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых в Башкирском государственном университете (Уфа, 2003 г.) и на научном семинаре кафедры математического анализа (руководитель Ю.Ф. Коробейник) в апреле 2004 г. Отдельные результаты докладывались на научно-практической конференции "Развитие непрерывного педагогического образования в новых социально-экономических условиях на Кубани" (Армавир, АГПИ, 2000г.), на научно-практической конференции "Неделя науки" (Славянск-на-Кубани, Славянский-на-Кубани гос. пед. институт, 2000 - 2002гг.), на первой Международной научной конференции "Функционально - дифференциальные уравнения и их приложения" (сентябрь 2003 г., Дагестанский государственный университет), на межрегиональном семинаре "Современные проблемы математики и информатики" (октябрь 2003, Армавирский гос. пед. университет).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[7].
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы, содержащего 62 наименования. Общий объем диссертации — 103 страницы.
