Структурные и геометрические характеристики множеств сходимости и расходимости кратных разложений Фурье Лифанцева Ольга Валерьевна

Введение к работе

Актуальность темы. Работа относится к важной и активно развивающейся области гармонического анализа - к теории кратных разложений Фурье. Бурное развитие теории кратных разложений Фурье, имеющей широкое применение в различных отраслях современной науки и техники, началось с середины 60-х годов прошлого столетия. Если до этого (20-е годы XX века) был обнаружен ряд закономерностей, резко отличающих однократные разложения Фурье от кратных (N > 2), и исследования были в основном направлены на получение ответа на вопрос: переносятся или нет "одномерные результаты" на кратный случай, - то во второй половине XX века появились результаты, показывающие некоторую особенность двумерного случая, и принципиально новые результаты, показывающие "специфику кратного случая" при N > 2 (т.е. результаты, практически "не проявляющиеся" в одномерном и достаточно тривиальные в двумерном случае).

Так, несправедливость даже в классе Н^ш (где со(5) — некоторый модуль непрерывности) принципа локализации в его классическом понимании для прямоугольных частичных сумм кратных рядов Фурье (Л. В. Жижиашвили) заставила ввести другое понятие локализации — понятие "обобщенной локализации почти всюду" для кратных рядов Фурье, т.е. фактически перейти от понятия "локализация в точке" к понятию "локализация на множестве". Обобщенная локализация почти всюду в классах L_p, р > 1 , оказалась справедлива только на произвольных открытых (с точностью до множества меры нуль) множествах и только для двойных тригонометрических рядов Фурье (рядов Фурье-Уолша), суммируемых по прямоугольникам, и не справедлива даже на столь простых множествах, как открытые кубы, в случае большей размерности пространства (N > 2) даже в классах Н^ш (И. Л. Блошанский).

В таком случае, оставаясь в рамках классов L_p, р > 1, возникла необходимость перейти к более тонкому аппарату исследования ряда Фурье функции / на множествах, где / равна нулю, а именно к понятию "слабая обобщенная локализация почти всюду" (введенному в работах И. Л. Блошанского). Исследованию в этой области и посвящена настоящая диссертация.

1. Рассмотрим Л^-мерное евклидово пространство Ж^м, элементы которого будем обозначать х = (х\,... ,Xn), и положим (пх) = П\Х\ + + npjXpj, \х\ = {х\ + + x²_N)¹/².

Введем множество Z , Z CR , — множество всех векторов с целочисленными координатами, определим множество Z,i = {(пі,..., пм) Є ^^N ' Kj > 1, j = 1,... , N}.

Пусть 2"7г-периодическая (по каждому аргументу) функция / Є Li(T^N), где T^N = {х Є

: — 7Г < Xj < 7Г, j = 1,..., iV}, разложена в кратный тригонометрический ряд Фурье:

f(x) ~ ^ c_fce^.

fcGZ^

Рассмотрим прямоугольную частичную сумму этого ряда

Sn(x;f)= Y, Е ^Cfcet(M' (¹)

|fcl|

где n = (ni,..., un) Є Zf\

Пусть 21 — произвольное измеримое множество, 21 С T^w, /iQi > 0 (// = //^ — iV-мерная мера Лебега), и пусть /(ж) = 0 на 21.

В диссертации изучается поведение на 21 частичной суммы (1) при п —> оо (т.е. min rij —> оо) в зависимости от гладкости функции f(x), от структурных и геометри-

ческих характеристик множества 21, а также от ограничений, накладываемых на компоненты п\,... ,riN вектора п — "номера" частичной суммы S_n(x;f). Точнее, нас будет интересовать поведение частичной суммы (1) в случае, когда некоторые из компонент вектора п Є Z,^ являются элементами (однократных) лакунарных * последовательностей.

2. Как известно, в одномерном случае А. Н. Колмогоровым еще в 1922 г. в работе [1] было установлено: для любой функции / Є Z>2 (ТГ¹) последовательность частичных сумм S_n(k)(x; /), где {п,(^к>}, п,(^к> Є Ъ\, к = 1, 2,... , — лакунарная последовательность, сходится почти всюду (п.в.) на Т¹. Указанный результат А.Н.Колмогорова был распространен в 1931 г. Дж. Литтлвудом и Р. Пэли [2] на классы L_p(T^l),p > I.² Позже Р. Госселином [5] и В. Тотиком [6] было установлено, что в Li(T^:) этот результат неверен.

В свою очередь, первый результат для кратных рядов (т.е. для Л^ > 2), касающийся "лакунарных последовательностей частичных сумм" был получен П. Шёлиным в 1971 г. в работе [7], где было доказано, что если / Є L_P(T²), р > 1, {щ }, щ Є Zj, v\ = 1, 2,... , — лакунарная последовательность, то

lim Sj_vi) (х- f) = f{x) п.в. на T².

В 1977 г. M. Кожима в работе [8] обобщил результат П. Шёлина, доказав, что если функция / Є L_P(T^N), р > 1, N > 2, и {п^{р^]}, п^{р^] Є Z\, v, = 1, 2,... , j = 1,... , N - 1, -лакунарные последовательности, то

lim S _(vi) („_JV_₁) (x; f) = f(x) п.в. на T^N.

V\, ..., VN — ltⁿN—*0 ⁿl >--->ⁿN—l >^nN

¹ Последовательность {w^s'}, w^s' Є Z}, называется лакунарной, если " _(s) > q > l,s = 1,2,... .

² Здесь, естественно, надо отметить результаты 1966 г. Л.Карлесона [3] и 1967 г. Р. Ханта [4] о том,

что одномерный ряд Фурье любой функции из класса ^(Т¹),^ > 1, сходится п.в. на Т¹.

В той же работе М. Кожима доказал (используя результат Ч. Феффермана [9]), что сформулированный выше результат не может быть усилен в следующем смысле: для любой последовательности п = (щ, щ,..., п^) Є Z₁ ~ ³ существует непрерывная функция, / Є C(T^W), такая, что

lim \S_ni,n2,n(^x'i f)\ = + ^п-^в- ^на ^^N-

Пі,П2,П—>00

3. Далее, перейдем к вопросам слабой обобщенной локализации п.в. для (суммируемых по прямоугольникам) рядов Фурье функций из L_p, р > 1. В работе [10] И. Л. Блошанским было дано следующее определение.

Определение 1. Пусть 21, 21 С T^N, — произвольное множество положительной меры. Будем говорить, что для кратных рядов Фурье функций из класса L_P(T^N), р > 1, справедлива на множестве 21 слабая обобщенная локализация почти всюду (СОЛ), если для любой функции / Є L_P(T^N), f{x) = 0 на 21, существует такое подмножество 211 С 21, //211 > 0, что

lim S_n(x; /) = 0 почти всюду на 2li.

п—>оо

Для формулировки результатов по СОЛ (в классах L_P(T^N), р > 1, N > 2), а также для формулировки полученнных в настоящей работе результатов, введем следующие обозначения.

Пусть М — множество чисел {1,... , N} ж к Є М. Обозначим: J_k = {j\, ...,jk}, j_s < ji при s < l, и (в случае к < N) М \ J_k = {гаї,... ,ra,jv-fc}, m_s < mi при s < I, — непустые подмножества множества M. Будем считать также, что Jo = 0 и М \ Jn = 0- Разложим пространство Ж^м на сумму двух подпространств K[Jfc] и Ш,[М \ Jk], где №.[J_S] = {х = (х_ъ ... ,x_N) Є R^N : Xj = 0 при j Є М \ J_fc}, а Е[М \ J_k] = {х Є R^N : Xj = 0 при j Є J_k}. Обозначим также T[J^] = {х Є IR[Jfc] : —7Г < Xj < n при j Є J^} и T[M \ J^] = {x Є R[M \ J_fc] : -7Г < ж, < 7Г при j Є M\ J_k). Очевидно, что R[J_N] = R^N, a T[M] = T^w.

Пусть П, П С T , N > 2, — произвольное (непустое) открытое множество, и пусть Q[J2] ⁼P^r(J2){^} — ортогональная проекция множества П на плоскость №[/2], J2 С М.

Положим

W[J₂] = Q[J₂] х Т[М \ J₂], J₂ С М. ⁴ (2)

³ В частности, каждая компонента rij вектора п может быть элементом лакунарной последовательно
сти.

⁴ При этом любой вектор z = (zi,..., Z2n) Є Ах В , где А С К [/&], а В С R[M\ Jj.], мы отож;дествляем

с вектором х = (жі,. .., ждг) Є M^w по формуле: x_s = z_s при s 4, i_s = zw+s при s Є M \ Jj~.

Множества VKf^] будем называть "А-мерными брусками". Далее для любого J_k, 0 < к < А — 2, рассмотрим следующие множества: множество

W = W(J_k) = W(Q,J_k) = (J W[J₂] (3)

J2CM\J_k

(которое будем называть "полным iV-мерным крестом", если J_k = 0, и "неполным N-мерным крестом", если J_k ф 0) и множество

W = W⁰(J_k) = W(n,J_k)= f| W[J₂] (4)

J₂CM\J_fc

(которое будем называть "центром" соответствующего "iV-мерного креста").⁵

В работе [10] (см. также [11,12]) И. Л. Блошанским была доказана следующая теорема. Теорема А. Для любой функции / є L_P(T^N), р > I, N > 2, f(x) = 0 на W = W{Jq),

lim S_n(x; /) = 0 почти всюду на W = W(Jo).

п—>оо

Как следует из теоремы А, СОЛ для кратных рядов Фурье, суммируемых по прямоугольникам, в классах L_P(T^N), р > 1, справедлива на "полном кресте" W = W(Jq) вида (3) с числом брусков VKf^] (2), равным С^. В той же работе была доказана неусиляемость этого результата в следующих смыслах: во-первых, были приведены примеры множества W = W(Jo) вида (3) и функции / Є Loo(T^N), равной нулю на W, таких, что

Плі \S_n(x; /)| = +оо п.в. на T^N \ W⁰;

п—>оо

во-вторых, было показано, что на кресте с меньшим, чем С^, числом брусков или на кресте с другой геометрией брусков СОЛ, вообще говоря, не справедлива даже в классе непрерывных функций.

Таким образом, "полные А-мерные кресты" W = W(Jo) представляют собой "самые простые" множества, на которых справедлива СОЛ для суммируемых по прямоугольникам кратных рядов Фурье функций из класса L_P(T^N), р > 1.

Приведенные выше результаты поставили вопрос о поиске критерия справедливости СОЛ на произвольных измеримых подмножествах T^N положительной меры (для суммируемых по прямоугольникам кратных рядов Фурье функций из класса L_P(T^N), р > 1). В [12] И. Л. Блошанским такой критерий был сформулирован и доказан для широкого класса измеримых множеств {21}, 21 С T^N, А > 2, /iQi > 0 (с некоторыми ограничениями на

⁵ Очевидно, что для каждого к, 0 < к < N — 2, мы можем построить С^ различных " N-мерных крестов".

границу множества 21), в терминах структурно-геометрических характеристик множества 21, описываемых свойством В₂. Чтобы сформулировать этот критерий, дадим следующие определения.

Определение 2. Будем говорить, что множество Л вписывается почти всюду [вписывается с точностью до множества меры нуль) в множество В, если /i(A\B) = 0.

Определение 3. 1. Будем говорить, что множество 21, 21 С T^N, N > 2, обладает свойством В_2; если существует множество W = W(Jo) вида (3), которое вписывается п.в. в 21, причем, свойство В₂ есть свойство B^W⁰), если W = W(W⁰).⁶

2. СвойствоШ>2(\) множества 21 будем называть максимальным свойством^ множества 21, если для любого множества W = W(Jo) вида (4) такого, что /i(W\W) > 0, множество 21 не обладает свойством В₂(И^/0).

Обозначим через intP множество внутренних точек Р, через Р — замыкание множества Р и через FrP — границу множества Р.

Пусть 21 — произвольное измеримое множество, 21 С T^N, N > 2, 0 < /iQi < (2n)^N, 03 = Т \ 21. Рассмотрим следующие условия на границу множества 21:

/j(S\rni)=0,⁷ (5)

jU₂Frpr₍j₂){mi«8} = 0, J₂ С М, (6)

^гД^е 1^2 — мера на плоскости.

И. Л. Блошанский доказал (см., в частности, [12]), что на произвольном измеримом множестве 21, 21 С T^N, N > 2, 0 < /iQi < (2n)^N, удовлетворяющем условиям (5), (6), в классах L_p(T^N),p > 1, СОЛ для суммируемых по прямоугольникам кратных рядов Фурье справедлива тогда и только тогда, когда множество 21 обладает свойством В₂. Заметим, что в части достаточности данное утверждение справедливо без ограничений (5), (6).

Подчеркнем, что критерий справедливости СОЛ был доказан в расширенной формулировке с указанием подмножества 2li множества 21, на котором существует предел последовательности частичных сумм S_n(x; /), а именно

Теорема В. Пусть 21 — произвольное измеримое множество, 21 С T^N, N > 2, 0 < lM< (2тг)^м.

⁶ Множество ЯсТ², обладающее свойством Ш>2, — это множество, для которого существует (непустое)

открытое множество 1, 1 С Т², такое, что /л(1 \ 21) = 0 (см. [10,12]).

⁷ В частности, этому условию удовлетворяют множества 25 такие, что ^(int^B) = /л%$; в свою очередь

последнее условие справедливо, например, для множеств 25 таких, что 55 = T^N \ 21, где 21 — произвольное замкнутое множество.

1. Если для некоторого W = W(Jo) вида (4) множество 21 обладает свойством
2(W^/0)₇ ^то для любой функции / Є L_P(T^N), р > 1, такой, что f{x) = 0 на 21,

lim S_n(x; /) = 0 почти всюду на W⁰.

га—>оо

Пусть дополнительно множество 21 удовлетворяет условиям (5), (6), тогда

2. і^о/га свойство В₂(И^/0) множества 21 является максимальным свойством В₂, то
существует функция f\ Є ^^(Т^) такая, что f\{x) = 0 на 21, ио

lim ^„(ж; /i)| = +оо почти всюду на Т \ 14⁷.

га—>оо

3. 5 частности, если множество 21 вообще не обладает свойством^, то существу
ет функция /₂ Є L₀₀(T^iV) такая, что /г (я) = 0 на 21, ио

lim [^(ж; /₂)| = +оо почти всюду на T^N.

га—>оо

Полученные результаты о справедливости СОЛ для суммируемых по прямоугольникам кратных рядов Фурье поставили новый вопрос: пусть 21 — произвольное измеримое множество, 21 С T^N] каким (с точки зрения геометрии и структуры) должно быть "максимальное" множество, на котором сходится п.в. тригонометрический ряд Фурье функции / Є L_P(T^N), р > 1, равной нулю на 21?

В [13] (см. также [14]) И. Л. Блошанским были введены понятия максимального множества неограниченной расходимости п.в. и максимального множества сходимости п.в. для указанных рядов.

Определение 4. Максимальным множеством неограниченной расходимости (ММНР) почти всюду кратных рядов Фурье функций из класса L_P(T^N), р > 1, f{x) = 0 на 21, будем называть множество Е\, Е\ С T^N, \iE\ > 0, которое

во-первых, является множеством неограниченной расходимости (МНР) почти всюду указанных рядов, т.е. существует функция f\ Є L_P(T^N), f\{x) = 0 на 21, такая, что

lim \S_n(x; /i)| = +СЮ почти всюду на E\;

га—>oo

во-вторых, множество Е\ является максимальным, т.е. для любой функции / Є L_P(T^N), f(x) = 0 на 21,

lim \S_n(x; f)\ < +oo почти всюду на СЕ\ = T^N \ Е\.

га—>оо

Определение 5. Максимальным множеством сходимости (ММС) почти всюду кратных рядов Фурье функций из класса L_P(T^N), р > 1, f{x) = 0 на 21, будем называть множество Е₂, Е₂ С T^N, /iE₂ > 0, которое

во-первых, является множеством сходимости (МС) почти всюду указанных рядов, т.е. для любой функции f Є L_P(T^N), fix) = 0 на 21, существует предел

lim S_n(x; /) = /(ж) почти всюду на Е₂;

п—>оо

во-вторых, множество Е₂ является максимальным, т.е. существует функция /₂ Є Ь_Р(Т^М)_; /г(х) = О на 21, такая, что S_n(x; f₂) расходится при п —> сю почти всюду на CE₂ = T^N\E₂.

В работе [14] для iV > 2 и р > 1 было доказано следующее утверждение о структуре и геометрии ММНР и ММС.

ПуСТЬ П, П С T^N, — ПрОИЗВОЛЬНОе (непустое) Открытое МНОЖеСТВО. ДЛЯ Любого Jfc,

О < к < N — 2, обозначим

V = V(J_fc) = V(n,J_fc)= (J V[J₂}= (J (n[J₂]xT[M\J₂]), (7)

J₂CM\J_fc J₂CM\J_fc

где f2[J₂] = pr(j₂){H} — ортогональная проекция множества П на плоскость К^]-

Справедлива следующая теорема.

Теорема С. Пусть 21 — произвольное измеримое множество, 21 С T^N, N > 2, 0 < lM < /iT^N, <В = T^N \ 21. Гог^а

1. Еа/ш (j,V(int?B, Jo) = /хТ^м_; mo

1. множество V(int*B, Jo) (7) является максимальным множеством неограниченной расходимости почти всюду для кратных рядов Фурье функций f Є L_p(T^N), р > 1, fix) = 0 на 21, при суммировании по прямоугольникам;

2. множеств сходимости указанных рядов нет.

2. Если /iV(int*B, Jo) < /iT^N и множество 03 удовлетворяет условиям (5), (6), то

3. множество Viintfb, Jo) — максимальное множество неограниченной расходимости почти всюду кратных рядов Фурье функций f Є Ь^і^ї¹^), fix) = 0 на 21, при суммировании по прямоугольникам;

4. множество 211 = T^w \ У(ті23, Jo) — максимальное множество сходимости почти всюду указанных рядов, при этом

а) 21₁₌ П ( х Т[М \ J₂])_; где Qj₂ = Т² \рг_ш{гпЖ};

J₂CM

б) существует множество

W(2l_bJ₀)= (J (Qj₂xT[M\J₂])

J₂CM

такое, что /i(W(Qli, Jo) \2l) = 0, т.е. множество 21 обладает максимальным свойством B₂(2li).

4. В связи с приведенными выше результатами возникают следующие вопросы.

5. Какова должна быть структура и геометрия "самого простого" множества 21 С T^N, на котором в классах L_P(T^N), р > 1, была бы справедлива СОЛ для кратных рядов Фурье в случае, когда (прямоугольные) частичные суммы этих рядов S_n(x; /) имеют "номер" п = (пі, , тім) Є Z₁ , в котором некоторые компоненты пі,... , пм являются элементами лакунарных последовательностей?

6. Какими должны быть структурно-геометрические характеристики произвольного измеримого множества 21 С Т (на котором разлагаемая в ряд Фурье функция fix) равна нулю), чтобы на этом множестве в классах L_P(T^N), р > 1, была справедлива СОЛ для кратных рядов Фурье с "лакунарной последовательностью частичных сумм" ?

7. Какими (с точки зрения геометрии и структуры) для произвольного измеримого множества 21 С T^N должны быть ММНР и ММС п.в. указанных выше рядов функций из класса L_p(T^N), р > 1, равных нулю на 21?

Цель работы. Основной целью работы является изучение вопросов справедливости слабой обобщенной локализации почти всюду для кратных тригонометрических рядов Фурье функций из классов L_P(T^N), р > 1, в случае, когда прямоугольные частичные суммы S_n(x; /) рассматриваемых рядов имеют "номер" п = (п\,... , пм) Є Z^, в котором некоторые компоненты являются элементами (однократных) лакунарных последовательностей.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Найдены структурно-геометрические характеристики "самых простых" подмножеств T^N (положительной меры), на которых в классах L_p(T^N),p > 1, при N > 3 справедлива слабая обобщенная локализация почти всюду для кратных тригонометрических рядов Фурье в случае, когда прямоугольные частичные суммы S_n(x; /) этих рядов имеют "номер" п = (п\,... , пм) Є Z,i , в котором некоторые компоненты rij являются элементами лакунарных последовательностей.

2. Для широкого класса измеримых множеств (положительной меры) {21}, 21 С Т , N > 3, получен критерий справедливости (в терминах структуры и геометрии множества 21) слабой обобщенной локализации почти всюду в классах L_p(T^N),p > 1, для кратных тригонометрических рядов Фурье с "лакунарной последовательностью частичных сумм".

3. Для широкого класса измеримых множеств (положительной меры) {21}, 21 С T^N, N > 3, описаны структурно-геометрические характеристики максимальных множеств схо-

димости почти всюду и максимальных множеств неограниченной расходимости почти всюду кратных рядов Фурье с "лакунарной последовательностью частичных сумм" функций из классов L_p(T^N), р > 1, равных нулю на 21.

Методы исследования. В диссертации используются методы теории функций и функционального анализа.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученный в диссертации результаты могут быть использованы для дальнейшего изучения поведения частичных сумм тригонометрических рядов Фурье, а также рядов Фурье по другим ортогональным системам.

Апробация диссертации. Полученные в диссертации результаты докладывались автором на научно-исследовательском семинаре под руководством член-корр. РАН Б. С. Кашина, проф. Б. И. Голубова, проф. М. И. Дьяченко, проф. С. В. Конягина (МГУ им. Ломоносова, 2008); на научно-исследовательском семинаре под руководством проф. М.К.Потапова, проф. В. А. Скворцова, проф. Т.П.Лукашенко, проф. М.И.Дьяченко (МГУ им. Ломоносова, 2009); неоднократно на научно-исследовательском семинаре под руководством проф. И. Л. Блошанского (МГОУ, 2006-2009); на Саратовской зимней школе "Современные проблемы теории функций и их приложения" (Саратов, 2008); на V международном симпозиуме "Ряды Фурье и их приложения" (Ростов-на-Дону, 2008); на международной научной конференции "Моделирование нелинейных процессов и систем" (Москва, МГТУ "Станкин" , 2008); на Воронежской зимней школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (Воронеж;, 2009); на III международной научной конференции "Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования" (Воронеж, 2009); на XXIII Воронежской весенней школе "Современные методы теории краевых задач" (Воронеж;, 2009); на девятой международной Казанской летней школе-конференции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы" (Казань, 2009).

Тематика работы поддержана грантом РФФИ №08-01-00669.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 10 работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Общий объем работы составляет 112 страниц, список литературы содержит 47 наименований.

Похожие диссертации на Структурные и геометрические характеристики множеств сходимости и расходимости кратных разложений Фурье

Сходимость и расходимость почти всюду рядов Фурье по переставленным системам Уолша и ВиленкинаПоляков, Игорь Викторович

Спектральные характеристики семейств и множеств элементов банаховой алгебры и инвариантные подпространства Туровский Юрий Владимирович

Интегралы Меллина-Барнса, представляющие решения алгебраических уравнений, и их множества сходимостиЗыкова, Татьяна Викторовна

Выпуклые множества в пространстве интегрируемых операторов, замкнутые в топологии локальной сходимости по мереСкворцова Галия Шакировна

Анализ динамики ионных ансамблей для определения аналитических характеристик Фурье масс-анализаторовВладимиров, Глеб Николаевич

Использование статистических характеристик синтезов Фурье электронной плотности для решения фазовой проблемы в кристаллографии белкаЛунин, Владимир Юрьевич

Оценка характеристик, определяющих аппроксимативные свойства тригонометрических операторов Баскакова и некоторых других методов суммирования рядов ФурьеДубровина Татьяна Владимировна

Особые множества уравнений второго порядка с неотрицательной характеристикой формойТуваев, Михаил Васильевич