Введение к работе
Цель работы — развитие общего метода исследования проблемы существования безусловного базиса и изоморфизма пространствам Кёте весовых счетно-гильбертовых пространств целых функций вида:
H(W)=limprH2(Ck,wnl (1)
чде H2{Ck,wn) — гильбертово пространство целых функций, в котором юрма вводится по формуле:
ll/lln = / I/WP -и&ООД, n<=N,
С*
\ — мера Лебега на С*, w„ = ехр(—u„(z)), v„ — некоторые измеримые 'рункцни, удовлетворяющие тем или иным дополнительным условиям.
Актуальность темы
Гсследование пространства Фреше Е сильно упрощается, если в про-гранстве Е существует базис и оно изоморфно пространству Кёте чиповых последовательностей. Поэтому задача о существовании базиса в азличных пространствах аналитических или С'-функций давно подергается интенсивному изучению. Для многих пространств аналити-еских функций одного и нескольких комплексных переменных важ-ые результаты получены в работах М. М. Драгилева, Ю. Ф. Коробейника, . П. Захарюты, В. П. Кондакова, С. Ролевича. B.C. Митягина, Л.А. Айзен-фга, Ф. Хаслингсра, X. Трибеля и других математиков. В приложениях 'ории обобщенных функций к исследованию задачи Коши, которым по-іящена известная монография И. М.Гельфанда и Е. Г. Шилова (1958 г.), в современной теории псевдодифференциальных операторов возникает іобходимость введения различных классов ненормируемых пространств адких функций, приспособленных к различным классам задач. Сопря-энные к ним пространства реализуются с помощью подходящих инте-альных преобразований типа преобразования Фурье в виде пространств tacca H{W). Изучение базисов в пространствах H{W) было начато впер-іе, по-видимому, в работах Ф.Хаслингера (1986 г.). В этих работах во-ос был исследован для случая весовой последовательности вида:
W„(z) = ЄХр(-Г„ V(z)), Г„ і Ге, Гоо > О,
? функция v выпукла и удовлетворяет определенным условиям роста бесконечности. С помощью известной характеризации пространств стенных рядов конечного типа, данной Д. Фогтом (1982 г.), было показа-, что такие пространства изоморфны пространствам степенных рядов
конечного типа. Однако для исследования строения пространств H(W задаваемых относительно произвольной системы весов, требуется друго: более общий подход.
Методика исследования
Используются методы теории интерполяции линейных операторов, ТЄІ рии двойственности, комплексного анализа, а также результаты обще теории пространств Кёте.
Научная новизна результатов исследования
В диссертации получены следующие основные результаты:
-
получены новые достаточные условия существования безусловної базиса в пространствах типа H(W) в терминах весовых функций {го„}„є и условия изоморфизма этих пространств пространствам Кёте числовы последовательностей, описаны соответствующие матрицы Кёте;
-
получены реализации пространств H(W) в виде пространств степеї ных рядов или обобщенных пространств степенных рядов Lj для многи конкретных классов весов {w„}neN, важных в приложениях;
-
найдена реализация сильного сопряженного пространства к прс странству H(W) в виде индуктивного предела весовых гильбертовых прс странств целых функций для весов w„ — ехр(—vn), убывающих на бескс нечности не медленнее, чем ехр(—а \z\p) для некоторых аьр > 0 и пр некоторых естественных ограничениях на функции vn; ,,
-
исследованы вопросы об условиях шварцевости пространства H(W] условиях непрерывности оператора дифференцирования, действующег в H(W), получены оценки последовательных производных функции и пространства H(W) в терминах керн-функций Бергмана.
Кроме того, в диссертации исследован ряд свойств ассоциированны банаховых пространств Яг(С*,и;„), например, необходимое условие вло жения таких пространств и оценки их ядер Бергмана/
Перечисленные результаты новы и могут быть использованы в задача: теории пространств Фреше и в приложениях, связанных с дифференци альными уравнениями и некоторыми интегральными уравнениями тип; свертки.
Научно-практическая ценность работы
В диссертации выделен достаточно широкий класс пространств H(W), до пускающих эффективное исследование за счет наличия удобной реализа ции в виде пространства Кёте. Эти результаты представляют интерес каї
точки зрения общей геометрической теории пространств Фреше, так и ля приложений, использующих функциональные пространства для ис-ледования ряда задач анализа.
Апробация работы
'езультаты исследований докладывались на семинаре кафедры функцио-ального анализа Ростовского университета (рук. проф. М. М. Драгилев), а семинаре кафедры математического анализа Ростовского университета эук. проф. Ю. Ф. Коробейник), на семинаре кафедры высшей математи-и Ростовского государственного строительного университета (рук. доц. . М. Гробер). Кроме того, сообщение по материалам исследований было їлючено в программу работы IV Международного симпозиума по мате-атическому анализу и его приложениям (Arandelovac, Yugoslavia, May, 3-30, 1997).
Публикации
гзультаты диссертации опубликованы в работах [1]-[6]. Результаты совестных работ [1]-[4] принадлежат авторам в равной мере. В этихрабо-IX В.П.Кондакову принадлежит постановка задачи и идея применения етода «тупикового» пространства. Диссертанту принадлежит реализа-ія этой идеи.
Структура и объем диссертации
