Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Разработка методов и алгоритмов решения отдельных прикладных задач, входящих в программный комплекс <даск-геомеханика» 15
1.1. Расчет НДС грунтовых массивов при статических нагрузках 15
1.1.1. Математическая постановка задачи 15
1.1.2. Модель упругопластического деформирования 17
1.1.3. Метод численного решения 21
1.2. Расчет НДС грунтовых массивов при сейсмических нагрузках 23
1.2.1. Математическая постановка задачи 25
1.2.2. Метод численного решения 26
ГЛАВА 2. Моделирование сейсмических воздействий 29
2.1. Определение ускорения условной нижней границы основания 29
2.2. Корректирование акселерограмм при моделировании сейсмических воздействий 33
ГЛАВА 3. Программный комплекс циск-геомеханика» 41
3.1. Общая программная архитектура и интерактивная среда комплекса «диск-геомеханика» 41
3.2. Краткая характеристика основных прикладных программ комплекса 46
3.2.1. Пакет программ "Статика" 46
3.2.2. Пакет программ "Динамика" 47
3.3. Примеры тестовых расчетов 47
3.3.1. Плоская деформация 47
3.3.2. Упругопластическая плоская деформация 53
3.3.3. Консолидация слоя 59
3.3.4. Распространение волны ускорения 63
3.3.5. Расчет ускорений нижней границы 67
3.3.6. Корректирование акселерограмм 71
ГЛАВА 4. Практическое применение программного комплекса Щск-геомеханика» 74
4.1. Анализ сейсмической устойчивости шельфовои нефтяной платформы гравитационного типа 75
4.1.1. Общая характеристика объекта исследования 75
4.1.2. Статическое напряженное состояние 78
4.1.3. Критерии возможности разжижения и нарушения недренированной прочности 81
4.1.4. Расчеты динамической реакции 82
4.2. Оценка состояния системы «основные сооружения - основание» АЭС 97
4.2.1. Общая характеристика объекта исследования 97
4.2.2. Моделирование статического напряженного состояния 99
4.2.3. Анализ сейсмостойкости основных сооружений 104
4.3. Оценка сейсмостойкости плотины ирганайского гидроузла 113
4.3.1. Общая характеристика объекта исследования 113
4.3.1. Анализ сейсмостойкости плотины 115
Заключение 123
Литература
- Модель упругопластического деформирования
- Корректирование акселерограмм при моделировании сейсмических воздействий
- Упругопластическая плоская деформация
- Критерии возможности разжижения и нарушения недренированной прочности
Введение к работе
Диссертационная работа посвящена разработке методов, алгоритмов и программ для численного моделирования статического и динамического напряженно-деформированных состояний (НДС) оснований энергетических сооружений и грунтовых сооружений.
. Актуальность темы. Статические и динамические расчеты являются необходимым элементом проектирования энергетических сооружений и последующего их мониторинга в эксплутационный период. Такие расчеты позволяют находить экономически эффективные и, в тоже время, надежные инженерные решения, своевременно проводить диагностику, планировать мероприятия направленные на предупреждение или устранение последствий аварийных ситуаций.
Наличие большого числа эксплуатируемых объектов энергетики, а также проектирование и строительство новых, в том числе в районах со сложными природно-климатическими условиями, таких как шельфы северных морей, зоны высокой сейсмической активности, северная климатическая зона, в сочетании с высокой потенциальной опасностью этих объектов для природы и человека, требует постоянного совершенствования методов расчета, более полного учета природных и техногенных факторов, действующих на сооружения, конструктивных особенностей самих сооружений, свойств водонасыщенных грунтовых оснований и т.п.
На протяжении нескольких последних десятилетий происходит активное развитие методов и программного обеспечения для расчета совместной работы оснований и сооружений. Постоянное обновление и развитие методической и программной базы стимулируется развитием компьютерной техники. Появляется возможность переходить к более общим и детализированным постановкам задач, учитывающим совокупное действие различных факторов и процессов, строить более адекватные расчетные модели и на их основе получать более точные и достоверные результаты. Все это в конечном итоге ведет к улучшению качества принимаемых проектных решений, повышению эффективности и надежности возводимых сооружений, уменьшению объемов капиталовложений, необходимых для их строительства и эксплуатации.
Это делает актуальным, наряду с применением доступных методов и программного обеспечения, разработку методов, алгоритмов и программ для решения задач, связанных с расчетом совместной работы оснований и энергетических сооружений, позволяющих учитывать сложные инженерно-геологические условия, особенности прщжШЯ.|ЧШ$МШщ?иных грун-
БИБЛИОТЕКА СЛтрб: 09 Ж ЦЫП,
товых массивов при статических и динамических нагрузках, эффекты, связанные со взаимодействием грунта и сооружения и т.п.
Целью настоящей работы является разработка методов, алгоритмов и программ для численного моделирования статического и динамического НДС оснований и грунтовых сооружений. Для ее достижения решены следующие задачи:
разработаны численные алгоритмы решения задач статики и динамики оснований и грунтовых сооружений с учетом нелинейных свойств грунтов, последовательности возведения сооружений, изменения во времени нагрузок, механических характеристик и порового давления;
разработаны методы и программы для получения расчетных сейсмических воздействий по заданным ускорениям поверхности, позволяющие проводить пересчет ускорений с поверхности в толщу грунта, компенсацию ошибок акселерограмм и коррекцию граничных условий;
разработан программный комплекс "ДИСК-Геомеханика" предназначенный для расчета совместной работы оснований и сооружений, выполнено тестирование комплекса сопоставлением получаемых решений отдельных задач с аналитическими решениями и решениями, полученными с помощью других программ;
решены практические задачи: оценка сейсмической устойчивости шельфовой платформы для добычи нефти и газа; оценка несущей способности основания энергоблока АЭС при действии статических и сейсмических нагрузок; оценка сейсмостойкости грунтовой плотины.
Научная новизна работы состоит в:
разработке метода пересчета ускорений со свободной поверхности в толщу горизонтально слоистого основания с фойгтовской вязкостью;
разработке метода обработки акселерограмм для компенсации влияния низкочастотных помех и неопределенности начальных условий;
решении практических задач по оценке сейсмостойкости гидротехнических и энергетических объектов.
Практическая ценность работы состоит во внедрении разработанных методов и программного обеспечения в расчетную практику ОАО "ВНИИГ им. Б.Е.Веденеева" и в решении с его помощью целого ряда практических задач. Среди объектов, при проектном обосновании которых использовался комплекс "ДИСК-Геомеханика" такие как комплекс защиты Санкт-Петербурга от наводнений, платформы на нефтяных месторождениях "Приразломная", "Сахалин-1" и "Сахалин-П", Ирганайская и Вилюйская плотины, фундаменты реакторных отделений АЭС и др.
На защиту выносятся:
метод пересчета ускорений со свободной поверхности в толщу горизонтально-слоистого грунтового основания с фойгтовской вязкостью;
метод обработки акселерограмм для компенсации влияния низкочастотных помех и неопределенности начальных условий;
результаты решения практических задач по оценке сейсмостойкости гидротехнических и энергетических объектов.
Апробация работы. Основные полученные результаты обсуждались на: Савиновские чтения, Санкт-Петербург, 2000 г., 2004 г.; Международная конференция: Геотехника. Оценка состояния оснований и сооружений, Санкт-Петербург, 2001 г.; XXIII Международная молодежная научно-техническая конференция: Гидроэнергетика в XXI веке, Москва, 2004 г.; Международная геотехническая конференция: Геотехнические проблемы строительства крупномасштабных и уникальных объектов. Оценка состояния оснований и сооружений, Алматы, 2004 г.
Достоверность результатов работы основана на:
сопоставлении полученных результатов тестовых задач с точными аналитическими решениями и численными решениями, полученными другими методами;
тестировании программного комплекса "ДИСК-Геомеханика", выполненном путем сопоставления результатов решения отдельных задач с решениями, полученными с использованием других, достаточно апробированных программных средств.
Публикации. По материалам диссертации опубликовано 5 статей.
Объем работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения, списка литературы из 53 наименований, изложена на 130 страницах и содержит 69 рисунков.
Модель упругопластического деформирования
Согласно общему подходу, принятому в теории пластичности [31], приращение деформаций складываются из приращения упругих деформаций dze, связанных с приращением напряжений законом Гука, и приращения пластических деформаций dzp, направление которых опреде ляется вектором градиента пластического потенциала дЧ/до, а величина - условием нагружения. de = dee + de" = Z)"1 da + dX , (1.7) do где dX - некоторый скаляр. Поверхность нагружения, ограничивающая в пространстве напряжений зону упругой работы материала, представляется в виде Ф(О,ЄР)=0, (1.8) где єр = єр 8 - объемная пластическая деформация, принятая здесь в качестве параметра упрочнения.
Напряженное состояние определяется точкой в пространстве напряжений, которая может находиться либо внутри поверхности нагружения Ф(О,ЄР) 0 для упругой стадии, либо на поверхности ф(о,ер)=0 для стадии нагружения.
Т.к. выход за поверхность невозможен, то для стадии нагружения имеем условие стационарности d b = — dcr + dep -— dcr+ SdA = 0 (1.9) до be9 do др do Отсюда dX = do 8 (ЫО) до І де" до v Однако эта формула непригодна для непосредственного использования т.к. становится некорректной в случае идеальной пластичности (дФ/дер = 0). Поэтому, домножив (1.7) слева на вектор — D, полу dX до чим Dd = 1 ЭФ dX да _ 1 ЭФТ ,_ дФт п& dX да да да (1.11) Откуда Л = ЭФ да Dde 1 ЭФ dX да г da дФ1+ —да да (1.12) или с учетом (1.10) окончательно имеем dX = Dds дФ да дє" до ? ЭФ Э S+— D до до (1.13)
Согласно принятой модели [39] условие нагружения имеет вид Ф = г + а( р)сг-г( )=0, (1.14) где т = (ах-оу[/ +т - интенсивность напряжений сдвига, a = oTS/2 - среднее нормальное напряжение, а{ер) - коэффициент трения, Y(CP) -параметр сцепления. Градиент функции нагружения будет ЭФ 1 а? — = —R+—S, да 2т R = к- Ф v 2г (1.15)
В процессе нагружения выполняется дилатансионное условие, устанавливающее связь между скоростями пластического изменения формы (ур) и объема {є"). єр=Ау", (1.16) где Л - скорость дилатансии, интенсивность скоростей сдвиговых деформаций.
При а = 0 и Л = 0 модель (1.14,1.16) сводится к известной модели ассоциированной пластичности Мизеса. В случае ассоциированного течения градиенты функции нагружения и пластического потенциала пропорциональны, поэтому в общем случае с точностью до несущественного скалярного множителя можно принять & — J= = R+fs (1.18) где /- некоторый скаляр, определяемый из условия (1.16) и обращающийся в 0 при Л = 0. Тогда приращение пластической деформации объема, учитывая что RrS=Q, de"=2fdA (1.19) Далее, подставив (1.17) и (1.19) в (1.16), получим / = х- + /-А-, (1.20) где Rx1Ry ,Л - компоненты вектора Ж. Или после подстановок /.Аг/ (1.21) Параметры модели определяются эмпирическими зависимостями g = g0+v . v sf (1.22) Л = sjl - a,2 - yi + 2 /l - a\ (a, - a)- aax , где a0 - начальный коэффициент трения, a, - коэффициент трения в критическом состоянии, el - критическое значение пластической деформации объема, при которой прекращается дилатансия.
Для решения упругопластической задачи здесь применен метод упругих решений, в соответствии с которым решение получается в процессе итераций, причем на каждой итерации решается задача упругости, а влияние пластических деформаций на напряжения учитывается введением эквивалентных объемных сил.
В ходе итераций происходит определение поправки к напряжениям, вызванной пластическими деформациями, Acrp = dXD—=. Для упругой дет стадии /Л = 0, а для стадии нагружения dk определяется формулой (1.13). Начальная точка стадии нагружения определяется как точка пересечения упругого пути нагружения с поверхностью нагружения. Поиск точки пересечения проводится методом секущих. Участок пластического деформирования разбивается на некоторое количество шагов, на каждом из которых направления градиентов функции нагружения и пластического потенциала предполагаются неизменными, а после шага выполняется коррекция напряжений для точного удовлетворения условию (1.8).
Итерации проводятся до тех пор, пока итерационное приращение не станет меньше заданной доли приращения на шаге по времени для каждой из фаз.
Расчет динамической реакции проводится в предположении о плоско деформированном состоянии системы "сооружение-основание". Система "сооружение-основание" схематизируется в рамках единой расчетной модели, как показано на рис. 1.1. Из основания выделяется прямоугольный блок ABCD, на котором располагается сооружение или комплекс сооружений. Такой подход позволяет учесть эффекты, связанные со взаимодействием сооружения и его грунтового основания при сейсмическом движении, которые весьма существенны как для оценки несущей способности оснований, так и для определения параметров движения частей сооружения.
Корректирование акселерограмм при моделировании сейсмических воздействий
Определение сейсмических смещений, необходимое при расчетах сейсмоизолированных сооружений, упругопластических систем, сооружений, линейные размеры которых соизмеримы с длинами сейсмических волн и проч. [4,6,34,46], наталкивается на известные трудности. Получение сейсмограммы посредством интегрирования акселерограммы, как правило, оказывается невозможным вследствие наличия незначительных низкочастотных искажений в акселерограмме, которые приводят к появлению выраженных медленных трендов в ее втором интеграле, существенно искажающих картину [34,46]. Неопределенность начальных условий при интегрировании и особенно начальной скорости еще более осложняет ситуацию.
Сказанное можно проиллюстрировать на примере фрагмента стационарного гармонического процесса частоты ю с линейным искажением средней линии и гармоническим возмущением низкой частоты. Так, если возмущенная акселерограмма задана функцией a(t)=sin6Dt+at + 0 + ysinaft, {а,р,у,ю/а «1) (2.9) и vo "о начальные скорость и смещение, то смещение, полученное интегрированием a(t), будет u(t)=- Lsina + t3 +2 +\v0+—+ЛЛ + и -JLsina t (2.10) со 6 2 у а й) J со v/
Этот пример показывает, что даже при незначительных искажениях исходной акселерограммы и ошибке в начальной скорости имеет место подавление полезного сигнала паразитным.
Обычно при интегрировании акселерограммы начальные условия принимаются нулевыми (v0 =0, и0 = 0), т.е. смещения и скорости при заданной акселерограмме a(t) определяются формулами I х I "( )= \\a{y)dydx, v( )= \a(x)dx. (2.11) 0 0 о
Таким образом, можно выделить два типа искажений, возникающих при получении сейсмограммы по акселерограмме. Источником искажений первого типа служат погрешности, содержащиеся в самой акселерограмме. Среди них смещение и наклон средней линии акселерограммы, которые могут быть следствием дрейфа средней точки измерительной аппаратуры, накопления аддитивной погрешности при генерации и обработке акселерограмм и других причин; искажения в длиннопериодной части спектра, являющиеся следствием ухудшения передаточной характеристики измерительной аппаратуры в этом диапазоне. Искажения второго типа обусловлены неопределенностью начальных условий при интегрировании, которая, в свою очередь, может быть следствием фрагментарности записи, переходных процессов при включении измерительной аппаратуры.
Погрешности первого типа, содержащиеся в записи, обычно имеют незначительную относительную величину и не влияют на значения ускорений. Однако при двойном интегрировании их вклад усиливается, в то время как влияние средне- и высокочастотных составляющих падает. Погрешности второго типа проявляются в виде линейного тренда сейсмограммы.
Чтобы преодолеть эти трудности при моделировании сейсмического воздействия акселерограммой можно попытаться построить акселерограмму близкую к заданной, второй интеграл которой свободен от указанных недостатков.
Пособием к СНиП II-7-81 [49] рекомендован метод, предложенный Ломбардо [27,34]. Метод состоит в построении функции /(f), аппроксимирующей сейсмограмму s(t), вторая производная, которой близка к акселерограмме a(t). Решение отыскивается как минимум функционала / = со )(f(t)-4)fdt + )іГ $)-а№ , (2.12) о о которому соответствует уравнение Эйлера fn,+a 4f = a + a s. (2.13) Последнее решается методом конечных разностей при граничных условиях /(о)=0, /(г)=0, /"(о)=0, / (т)=0. Т - длительность сейсмического воздействия, со - характерная частота сейсмограммы.
Метод работает при наличии обеих записей акселерограммы и сейсмограммы и становится непригоден при наличии только акселерограммы. В этом случае, рекомендуется использовать непарную сейсмограмму [34] или даже s(t)=0 при малых значениях со [27]. Какие значения следует считать малыми, и как решение зависит от выбора со остается неясным. По мнению автора [27], сейсмограмма "весьма мало кор-релирована" с акселерограммой.
Упругопластическая плоская деформация
Оболочка имеет развитую подсистему отображения, обработки и экспорта данных. Под данными здесь понимаются как исходные данные, так и результаты расчетов. Данные могут быть заданы на узлах или элементах и иметь скалярный, векторный или тензорный типы. От типа данных зависит набор возможностей, доступных для их обработки и отображения. Так, скалярные типы допускают построение цветовых полей, изолиний, установку числовых меток, линейное преобразование. Векторные - построение векторных полей, деформирование сетки. Тензорные - построение тензорных полей. От сложных типов данных (векторных и тензорных) может быть взята скалярная функция с возможностями отображения, соответствующими скалярному полю. Для векторных полей это: одна из компонент, норма или проекция на направление (скалярное умножение на заданный вектор). Для тензорных - одна из компонент, минимальное или максимальное из главных значений, первый инвариант, второй инвариант девиатора, квадратичная форма от заданного вектора. Отображение векторных и тензорных полей может сочетаться с отображением скалярной функции. Например, можно построить векторное поле смещений на фоне нормы смещений и т.п. Кроме отображения данных на расчетном поле, имеется возможность построения графиков скалярных данных по координате или по времени. Для всех типов данных и во всех режимах отображения доступен режим анимации, т.е. автоматического покадрового воспроизведения.
Обмен данными может осуществляться в двоичном (внутреннем формате комплекса), текстовом и графическом форматах.
Экспорт данных в двоичном формате применяется, главным образом, для обмена данными между задачами, хотя это не ограничивает возможности его применения. Такой обмен особенно полезен в тех слу-чаях, когда полный расчетный цикл предусматривает последовательное решение нескольких задач или нескольких групп задач и результаты расчета одних из них служат входными данными для других. Система позволяет автоматически экспортировать данные из одной задачи в другую. Идентичность сеток, при этом, не является обязательной.
Экспорт в текстовом формате применяется для обмена данными с внешней средой, например, Microsoft Office или другими расчетными программами. Текстовый экспорт может осуществляться через Clipboard или текстовые файлы. При обмене через Clipboard возможен экспорт, как полей данных, так и графиков. В обоих случаях данные будут совместимы с таблицами MsExcel. Экспорт через текстовые файлы реализован для обмена с расчетными программами ранее разработанными во ВНИИГ.
Графический экспорт также доступен во всех режимах отображения. Может быть экспортирована отдельная картинка или серия кадров, составляющая видеоролик. В первом случае получателем информации может быть любая программа, работающая с графикой, например, графический редактор или Ms Word. Во втором - специальная программа демонстрации презентаций, являющаяся частью комплекса. В процессе подготовки графических данных пользователь может в широких пределах настраивать параметры отображения (цвета, типы линий, шрифтов, глубину цвета, цветовую схему, и пр.), использовать возможности маскирования, масштабирования, отображения эпюр, координатных осей и границ, текстовые вставки. Все это позволяет получать достаточно качественные изображения, пригодные как для оформления документов, так и для подготовки презентаций.
Оболочка организует множество задач в таблицу (базу данных). Это обеспечивает оперативный доступ к ним непосредственно из оболочки. Кроме того, в комплексе предусмотрена возможность сохранения различных расчетных вариантов одной задачи. На практике нередко приходится рассчитывать много вариантов, что может быть связано, например, с недостаточной определенностью исходной информации, разнообразием внешних воздействий или другими факторами. Во всех случаях мы имеем дело с вариантами одной и той же задачи. В функции оболочки входит управление базой данных, т.е. создание, загрузка и удаление задач и их вариантов.
Исходная информация, кроме общей для задачи, задается в виде таблиц, строки которых ассоциированы с группами элементов. Задание граничных условий интерпретируется как задание параметров групп элементов с размерностью меньшей, чем размерность расчетной области. Состав таблиц параметров и граничных условий определяется файлом настроек прикладного пакета. Тем самым достигается общность стиля в задании исходных данных различных задач при достаточной гибкости их состава. Вместе с тем, разработчик прикладного пакета имеет возможность разрабатывать дополнительные средства ввода данных, если это потребуется.
Модули первичной подготовки данных предназначены для генерации файлов задачи, описывающих сетку, в формате комплекса и выполнения некоторых других служебных действий. Так, на этом этапе происходят дробление сетки и сортировка узлов. Дробление позволяет снизить трудоемкость построения сетки, упрощает исследование внутренней сходимости и создание подзадач. Сортировка производится с целью оптимизации процедуры решения системы уравнений. Для этого может быть применена одна из трех стратегий [19,42]: обратный алгоритм Кат-хилла-Макки, алгоритм Кинга или метод вложенных сечений.
Комплекс ориентирован на решение достаточно больших задач методом конечных элементов. Поэтому при разработке комплекса учтены специфические особенности метода и возникающих при его применении алгебраических систем. Модули поддержки вычислений, реализованные в виде динамических библиотек, предназначены для работы с сильно разреженными матрицами.
Критерии возможности разжижения и нарушения недренированной прочности
Рассматривается несколько вариантов распространения продольной волны ускорения в однородном упруго-вязком слое мощностью 100 м со свободным или "прозрачным" правым краем. На рис.3.20 представлена дискретизация расчетной области сеткой МКЭ. Сама расчетная область представляет собой полосу единичной ширины, выделенную из рассматриваемого слоя. Разбиение однородной полосы сетью конечных элементов
К левой по рисунку 3.20 границе приложено воздействие в виде ускорения. Правая граница либо свободна от напряжений, либо подчинена условиям стандартной вязкой границы. Для механических параметров использованы следующие значения: модуль Юнга =1000т/м2, коэффициент Пуассона v = 0, плотность /э=1т/м3. Скорость продольной волны составляет Ср=Ъ 1.62м/с.
На рис.3.21 представлены результаты решения задачи о воздействии мгновенно приложенного постоянного ускорения. В момент време-ни t=0 на левой границе было установлено ускорение 0.01м/с , которое в дальнейшем не изменялось. Задача решалась в отсутствие диссипации, т.е. для чисто упругой среды. Правый край свободен от напряжений. 0,025 Распространение волны постоянного ускорения в упругом слое со свободной поверхностью.
На рисунке представлены эпюры распределения ускорений вдоль полосы для двух моментов времени 1с и 4с. На момент t—\c фронт волны находится около отметки 31.62м. При ґ=3.16с прямая волна достигает свободного края и отражается от него удвоив размах. К моменту ґ=4с фронт отраженной волны достигает отметки 73.5м. Теоретическое решение изображено серой линией.
Следующий пример - распространение плоской монохроматической волны в полубесконечной вязкоупругой среде. В этом случае ускорение левого края представляло собой синусоиду с частотой 5Гц и ам-плитудой 0.01м/с . Коэффициент демпфирования в долях от критического на частоте воздействия составлял = 0.03. На правом краю были поставлены условия стандартной вязкой границы.
После прохождения фронта волны через правую границу полосы во всей области устанавливается периодическое движение. Так что распределения ускорений в разные моменты времени отличаются только фаза ми. Амплитуда колебаний экспоненциально убывает по мере удаления от источника возбуждения. Соответствующее аналитическое решение имеет вид и и зто -Рх), (3.13) где и- смещение, х— расстояние до источника возбуждения, о- круговая частота воздействия, U0— амплитуда смещения при = 0, параметры аир определяются формулами (2.41). Ускорение, определяемое дифференцированием (3.13) по времени, отличается на множитель -о 2.
На рис.3.22 показано мгновенное распределение ускорений вдоль оси полосы при t=5c. Колечки соответствуют сетке с шагом 0.5м, точки - сетке с шагом 0.25м. Теоретическое решение изображено сплошной серой линией.
Последний пример иллюстрирует дисперсию волн в вязкоупругой среде. Так же как и в предыдущем случае рассматривается установившееся периодическое движение. Воздействие представляет собой сумму двух гармоник с частотами 5Гц и 2.5Гц. Их амплитуды - 0.01м/с2 и 0.005м/с соответственно. Коэффициент демпфирования в долях от критического на частоте 5Гц был равен 0.05 и вдвое меньше для частоты 2.5Гц. Решение для этого случая представлено суммой решений вида (3.13) от двух гармоник.
На рис.3.23 представлено распределение ускорения. Колечки соответствуют сетке с шагом 0.5м, кружки — сетке с шагом 0.25м. Теоретическое решение изображено серой линией. В целом картина подобна той, что имеет место при монохроматическом воздействии. Однако, вследствие частотной зависимости коэффициента демпфирования, по мере прохождения волны высшая гармоника ослабляется сильнее и на последних двух периодах практически не проявляется.
