Содержание к диссертации
Введение
1 Функционал скалярной кривизны 19
1.1 Функционал скалярной кривизны и вариационный принцип для метрик Эйнштейна 20
1.2 О характеризации критических точек функционала скалярной кривизны 25
1.3 Об однородных метриках положительной кривизны Риччи на компактных однородных пространствах 35
2 Применение вариационного принципа 42
2.1 Эйнштейновы левоинвариантные метрики на группах Ли 42
2.2 Инвариантные эйнштейновы метрики на пространствах Леджера-Обаты 49
2.3 Об одном классе однородных-компактных многообразий Эйнштейна 63
2.4 Новые серии эйнштейновых инвариантных метрик 79
2.5 О кривизне Риччи инвариантных метрик на некомпактных однородных пространствах с полупростой группой движений 93
2.6 Об одном классе однородных эйнштейновых многообразий с унимодулярной группой движений 107
3 Компактные однородные многообразия Эйнштейна малой размерности 113
3.1 Компактные шестимерные однородные многообразия Эйнштейна 113
3.2 Компактные семимерные однородные многообразия Эйнштейна 123
4 Стандартные однородные эйнштейновы многообразия 155
4.1 Стандартные однородные эйнштейновы многообразия и диофантовы уравнения 156
4.2 Алгебраическая структура стандартных однородных эйнштейновых многообразий 174
Список литературы 201
- О характеризации критических точек функционала скалярной кривизны
- Инвариантные эйнштейновы метрики на пространствах Леджера-Обаты
- О кривизне Риччи инвариантных метрик на некомпактных однородных пространствах с полупростой группой движений
- Компактные семимерные однородные многообразия Эйнштейна
Введение к работе
Данная диссертация посвящена исследованию однородных римановых многообразий (М,р), риманова метрика которых является эйнштейновой, то есть удовлетворяет уравнению Ric(p) = С р для некоторой константы С.
Рассматриваемая задача является логичным продолжением задачи исследования римановых многообразий постоянной секционной кривизны, полностью решенной Дж. Вольфом [10]. К настоящему времени известны частичные классификации однородных эйнштейновых многообразий. Достаточно давно Э. Кар-таном найдена классификация симметрических пространств [G3], О.В. Манту-ровым [17, 18, 19] и Дж. Вольфом [106] независимо получена классификация строго изотропно неприводимых пространств, М. Ваном и В. Циллсром классифицированы стандартные однородные эйнштейновы многообразия с простой группой движений [102], Е.Д. Родионовым получена классификация стандартных однородных эйнштейновых многообразий с простой группой изотропии [57]. Кроме того большие успехи достигнуты в классификации однородных эйнштейновых многообразий с различными ограничениями на алгебраическую структуру соответствующих однородных пространств. Подробное изложение этих вопросов можно найти в энциклопедическом издании по эйнштейновым многообразиям [9]. Здесь мы отметим некоторые из работ, авторам которых мы обязаны разработкой методов исследования инвариантных эйнштейновых метрик, это работы Дж. Вольфа [10G, 107], Э. Калаби [72], СТ. Яу [108, 109, ПО], Г. Иенссна [82, 83, 84, 85], М. Громова [79], М. Вана и В. Циллера [101, 102, 103, 104, 111, 112, 100], Н. Хитчииа [81], Д.В. Алексеевского и Б.Н. Ки-мельфельда [1,2, 3, 4, 5, G, 7], О.В. Мантурова [17, 18, 19], Е.Д. Родионова [49]-[50] и многих других математиков.
Отмстим, что в последнее время появилось много новых работ по вопросам, близким к обсуждаемому. В частности, была получена классификация пптимер-ных однородных эйнштейновых многообразий [66] и достигнут существенный прогресс в изучении эйнштейновых солпмногообразий [86].
Методика исследований во многом ориентирована на использование анали-
тичсских средств. Основы такого подхода заложены в работах Г. Йенсена [83], М. Вана и В. Циллера [103].
Первая глава диссертации посвящена обоснованию вариационного принципа для инвариантных метрик Эйнштейна. В первом параграфе рассматривается унимодулярная группа Ли G и две ее подгруппы Н, К, Н С К С G, где Н — компактная группа Ли. Объектом исследования являются adk -инвариантные эйнштейновы метрики на однородном пространстве М = G/H. Пусть р — некоторое adk -инвариантное дополнение к h в д и пусть М — множество adit -инвариантных скалярных произведений объема 1 на р относительно некоторого выделенного скалярного произведения. Рассмотрим также М* — множество adk -инвариантных метрик объема 1 на р относительно того же выделенного скалярного произведения. Основным результатом первого параграфа является
Теорема 1.1.1 Пусть (, ) Є Мк, тогда следующие условия эквивалентны:
(, ) является критической точкой функционала скалярной кривизны S на множестве М;
(, ) является критической точкой функционала скалярной кривизны S на множестве Мк;
(', -) является инвариантной эйнштейновой метрикой.
Отметим, что утверждение данной теоремы в случае унимодулпрных групп было получено Г. Йенсеном [83]. В случае однородных пространств с компактноП группой движений это утверждение также хорошо известно [9].
Второй параграф посвящен изучению аналитических характеристик эйнштейновых метрик (как критических точек функционала скалярной кривизны). В частности, доказана
Теорема 1.2.2 Пусть (, ) — стандартная однородная эйнштейнова метрика, причем константа Казимира удовлетворяет условию с > 3/10, тогда метрика, как критическая точка функционала скалярной кривизны, является точкой локального минимума функционала S на множестве М.
Во третьем параграфе первой главы исследуется устойчивость положительной определенности нормальной метрики на компактных однородных простран-
ствах. В частности, доказывается
Теорема 1.3.2 Пусть G/H — односвязное компактное однородное пространство, {,) — некоторая нормальная, а (,) — некоторая adh-инвари-антная метрики на р. Пусть к тому же все adh-инвариантные неприводимые подмодули в р попарно неизоморфны. Тогда, если минимальное и максимальное собственные числа квадратичной формы (,) относительно (,-) связаны соотношением 2хтіп > хтах, то кривизна Риччи метрики (, ) положительна.
Вторая глава посвящена применению доказанного в первой главе вариационного принципа к нахождению инвариантных эйнштейновых метрик на некоторых специальных однородных пространствах. Также в пятом параграфе затронуты вопросы существования инвариантных эйнштейновых метрик на некомпактных однородных пространствах с полупростой группой движений.
В первом параграфе исследуются левоинвариантныс метрики специального вида на группах Ли на предмет обнаружения среди них метрик Эйнштейна. Пусть F — простая компактная группа Ли. Рассмотрим G = FxF с подгруппой А", являющейся образом диагонального вложения F в G и Н — {с}. Рассмотрим все ac/jt-пнвариаитныс метрики на G. Отметим, что среди таких метрик известны две эйнштейновы метрики: стандартная метрика на G и метрика, найденная Г. Йенсеном [83]. Мы доказываем следующую теорему.
Теорема 2.1.1 Для любой компактной простой группы F группа G = F х F допускает ровно две пеизометричные и негомотетичные ad'*-инвариантные метрики Эйнштейна.
Во втором параграфе объектом нашего исследования являются G-инвариант-ные эйнштейновы метрики на пространстве Леджера-Обаты G/II = F х F... х F/diag(F), где F - простая компактная группа Ли, G = F х F х ... х F (п множителей в произведении, п > 2), Я = diag(F). Основными результатами являются следующие.
Теорема 2.2.1 На пространстве Леджера-Обаты G/H = FxFxF/diag(F) существует ровно две с точностью до изометрии и гомотетии G-инвариант-ные эйнштейновы метрики.
Теорема 2.2.2 При п > 3 на пространстве Леджера-Обаты G/H = F x F... x F/diag(F) существует no крайней мере две с точностью до изометрий и подобия G-инвариантные эйнштейновы метрики.
В третьем параграфе второй главы рассматривается однородное компактное пространство G/H с полупростой группой движений G. Рассмотрим р — ортогональное дополнение к h в g относительно стандартной метрики. Допустим, что пространство G/H таково, что модуль р представим в виде прямой суммы трех попарно ортогональных относительно {,) ас/^-инвариантных и неприводимых модулей, т.е.
Р = Р1Р2РЗ,
удовлетворяющих соотношениям \j)i,Pi] С h для г Є {1,2,3}. Примерами таких однородных пространств могут служить группа 5С/(2), пространства Уоллача, пространства SO(a + b + c)/(SO(a) х 50(6) х SO(c)) или Sp(a + b + c)/(Sp{a) х Sp(b) х Sp(c)). Справедлива следующая
Теорема 2.3.1 Все пространства G/H, удовлетворяющие вышеприведенному условию, допускают инвариантную метрику Эйнштейна.
В этом же параграфе более подробно рассмотрены пространства SO(n)/SO(n— 2). Ш Кобалси [9, 90] показал существование инвариантной метрики Эйнштейна Рк на таком пространстве. Доказывается
Теорема 2.3.2 При п = 3 и п > 5 пространство М = SO{n)/SO(n — 2) допускает ровно одну, с точностью до изометрий и пропорциональности, инвариантную метрику Эйнштейна. При п = 4 на пространстве М существует ровно две, с точностью до изометрий и пропорциональности, инвариантные эйнштейновы метрики.
Целью четвертого параграфа второй главы является построение новых примеров инвариантных эйнштейновых метрик с использованием хорошо известного факта из анализа — устойчивостью невырожденной точки гладкой функции на некотором многообразии.
Пусть G\, Gz,..., Gn — п (п > 2) экземпляров компактной вещественной полупростой группы Ли G, Т С G — фиксированный максимальный тор в G,
д и t являются соответственно алгебрами групп G и Т, р — ортогональное дополнение к t в д относительно В = #(, ) — минус формы Киллинга, через gi мы обозначим алгебры Ли групп (7,-. Рассмотрим группу
G = Gi х G2 х ... х Gn
и ее алгебру Ли
9 = 9i 92- 9п, которая снабжена скалярным произведением
(;.)=В\д1+В\д2+... + В\дп.
Рассмотрим также Ті - максимальный тор в G,-, который идентифицируется с Т посредством естественного изоморфизма между Gi и G, t{ — соответствующие подалгебры Ли алгебр
f = Ті х Т2 х ... х Т„
— максимальный тор в группе G и
t = U t2...@tn
— максимальная коммутативная подалгебра.
Фиксируем вектор A = (Ai,A2,...,An) Є Rn, ||А|| = 1 с рациональными координатами и подгруппу S С Т, алгебра Ли которой s состоит из элементов вида {\\х, Х2х,..., А„х}, где х Є t, \х Є U (мы используем изоморфизм между ti и t).
Обозначим через h\ (, ^-ортогональное дополнение к s в t и через Яд — соответствующую подгруппу Ли в G. Объектом нашего исследования являются инвариантные эйнштейновы метрики на однородном пространстве
Л?д = С/ЯА.
Доказывается следующая
Теорема 2.4.1 Пусть G — компактная полупростая группа Ли иТ — максимальная коммутативная подгруппа в G, g и t являются соответствующими
алгебрами Ли, р — ортогональное дополнение к t в g относительно формы Миллима, М — множество adt-инвариантных метрик объема 1 на р, Л/і — множество adt-инвариантных метрик объема 1 на д. Если функционал скалярной кривизны S имеет невырожденные критические точки на М и Мі, то существует бесконечно много попарно неизометричных и негомотетичных эйнштейновых инвариантных метрик на однородных пространствах М\ = G/H\.
Пятый параграф второй главы посвящен исследованию кривизны Риччи инвариантных метрик специального вида на некомпактных однородных пространствах с полупростой группой движения.
Рассмотрим полупростую некомпактную группу Ли G, ее компактную подгруппу Н такую, что Н С К С G, где К — максимальная компактная подгруппа группы G, Н -ф К. Пусть [,] — скобка Ли, а /?(-,-) — форма Киллиига алгебры g и пусть
g = k@p' = /і р" р\
где первое равенство есть разложение Картава алгебры g группы G, и к — Ііфр", р" ортогонален h относительно В.
Рассмотрим класс Ыд-инвариантных метрик М на р = р" ;/ ( adh-пиварнантном дополнении к h) такой, что для любой метрики (,) Є М р" ортогонален // относительно (,) Пусть (,) = Б\р> — В]р», метрики (,) и {,) одновременно приводятся к диагональному виду, т.е. имеют место следующие разложения:
р' = рх 0 ... ри, р" = ри+1 .- pv,
где pi — попарно ортогональные относительно обеих метрик аг/д-инвариаитные неприводимые модули, и (, -)\Pi = Xi (-,-)|Рі для некоторых Хі > 0. Можно считать, что х\ < хг < ... < хи и xu+i < ... < xv.
Форма кривизны Риччи Шс(-,-) для метрики (,) является также adh-инвариантной нар, поэтому Ric(',-)\Pi = »v(-, -)|Рі для некоторых вещественных г,. Основным результатом рассматриваемого параграфа является следующая
Теорема 2.5.1 Если г\ > ги, то rv > 0.
В частности, из этой теоремы выводится утверждение об отсутствии среди метрик класса М эйнштейновых. Учитывая, что для ряда однородных пространств метриками класса М исчерпываются все ас/л-инвариантные метрики на р, доказывается отсутствие метрик Эйнштейна на соответствующих однородных пространствах. Приводятся конкретные примеры некомпактных однородных пространств с полупростой группой движений, не допускающих инвариантных метрик Эйнштейна. Такими пространствами являются G/H, где (G,H) = (SO(a + b,c + d),SO(a) x SO(b) x SO(c) x SO(d)), (G,H) = (Sp(a + b,c + d),Sp{a) x Sp(b) x Sp(c) x Sp(d)), {G,H) = (SL(n + l),50(n)). Вложения подгрупп во всех рассматриваемых примерах стандартные.
В шестом параграфе второй главы описаны инвариантные эйнштейновы метрики на однородных пространствах Мг = G/Hr, где
G = SU(mi) х SU(m2) х ... х SU(mk),
Нг = SU(mi - 1) х SU(m2 - 1) х ... х SU(mk - 1) х Т*"1,
к > 2, іщ > 2 (1 < I < к), г = (и,Г2,...,*"*)> ri — целые числа с наибольшим общим делителем 1, а к — 1-ный тор Т*-1 описай ниже.
Рассмотрим вложения & : SU{mi — 1) xSl -» SU(mi), определяющие симметрические пары (SU(mt),i(SU(mt — 1) х U{\))). Пусть окружность Sj: пложена в тор Т = (Sl)m матрицами вида
c/mr;(c2'rriie,...,e2'rrii<,,e-2(m,-1)'rr,,e) х ...х
xrfm/;(e27rr*-1^,...,e2,rr*-li0,e-2(m*-1-1)'rrt-,ie)x xdiag(c2*Tki0,..., е2"г"Л е-2{тк-ї)жГків).
Пусть М = mi + ni2 + ... + гпк, тогда размерность пространств Мг равна 2Л/ - 2к + 1.
Представим алгебру Ли su(rrii) как алгебру косоэрмитовых матриц с нулевым следом. Зафиксируем биинвариантнос скалярное произведение (X,Y)i =
— ^Retr(XY) на этой алгебре. Скалярное произведение на алгебре Ли д группы G определим по формуле
(,) = (-»-)i+ + (. 0*-1+ (»)*
В алгебре Ли su(mi) (1 < / < к) рассмотрим векторы Ер Fj (1 < j < ті — 1) и Zi, определяемые ниже. Пусть Elj — матрица, у которой на пересечении j-oi\ строки и ш/-го столбца (на пересечении пц-ой строки и j-ro столбца) находится 1 (—1), а остальные элементы равны 0; Fj — матрица, у которой на пересечении j'-ой строки и mj-ro столбца, а также на пересечении тщ-он строки и j-ro столбца находится і (мнимая единица), а остальные элементы равны 0;
Z' = \ —1 rtdia9(h і, -, і, -(ті - 1)г).
V 7П/(7П, - 1)
Рассмотрим также вектор
1 к
і=\
г КГ
ГДЄ||Г|| = ^ЕГ2.
Определим тор Т*-"1 как группу Ли, соответствующую подалгебре t — ортогональному дополнению к Z в Lin(Zy, Z-i,..., Zk) (алгебре Ли группы Ли Т = (S1)*) относительно (, ). Тогда Trfc_1 удовлетворяет условию Т = Trfc_1 х SJL Таким образом определяется класс однородных пространств Mr = G/Hr, где
G = SU(m{) х SU(m2) х ... х SU(mk),
Яг = SU(mi - 1) х SU(m2 - 1) х ... х SU{mk - 1) х Т*"1,
Основным результатом параграфа б является следующая Теорема 2.6.1. Каждое пространство Мг при М = mi + ...+тПк > 4 и г/ ф 0 (I < I < к) допускает ровно одну, с точностью до изометрии и гомотетии, инвариантную метрику Эйнштейна.
Отметим, что существование инвариантной эйнштейновой метрики на каждом из описанных пространств доказано ранее М. Ваном и В. Циллером в работе [101].
Третья глава диссертации посвящена классификации компактных однородных эйнштейновых многообразий размерностей б и 7. Хорошо известно, что любое однородное многообразие Эйнштейна Мп размерности 2 или 3 изомет-рично пространству постоянной секционной кривизны. Для размерности п = А Г. Йенсен доказал, что односвязнос Мп (в компактном и некомпактном случаях) является симметрическим пространством [82]. Для некомпактных пространств большего числа измерений проблема классификации осложняется из-за отсутствия классификации некомпактных однородных пространств (и даже алгебр Ли). В размерности п = 5 полная классификация компактных однородных многообразий Эйнштейна была получена Д.В. Алексеевским, И.-Д. Миа-телло, С. Феррарисом [66]. Раисе часть инвариантных метрик Эйнштейна на компактных пятимерных однородных пространствах была найдена М. Ваном и В. Цпллсром [101], а также Е.Д. Родионовым [49]. Д.В. Алексеевским получена также классификация некомпактных однородных эйнштейновых многообразий отрицательной секционной кривизны для размерности п < 5 [5].
Основные результаты первого параграфа основаны на совместной работе автора с Е.Д. Родионовым [48], в частности, доказывается следующая классификационная
Теорема 3.1.1 Пусть G - компактная связная полупростая группа Ли, действующая почти эффективно на шестимерном односвязном однородном пространстве Л/6 = G/H, Н - замкнутая подгруппа G. Если (G/II,p) - однородное эйнштейново многообразие, то оно изометричпо, с точностью до умножения метрики р на константу, одному из следующих многообразий, указанных в таблице 1.
Некоторые из этих многообразий были ранее найдены Г. Йенссном [83], Й.Д' Атри и X. Никерсоном [7G], В. Циллером [112].
Во втором параграфе доказывается
Теорема 3.2.1 Пусть G - компактная связная полупростая группа Ли, действующая почти эффективно на семимерном односвязном однородном пространстве М7 = G/H, Н - замкнутая подгруппа G. Если (G/H,p) - однородное эйн-
штейново многообразие, то оно изометрично, с точностью до умножения метрики р на константу, одному из многообразий, перечисленных в таблице 2.
Многие из перечисленных в таблице 2 эйнштейновых многообразий были найдены Ш. Кобаяси [90], Г. Йенссном [84], М. Ваном [100], Л. Кастсллапи и Л. Романсом [73], Д. Псйджсм и К. Поупом [97], Л. Кастсллапи, Р. Д'Аурия и П. Фрс [74], Р. Д'Аурия, П. Фрс и П. ваи Ньювенхьюзеном [78], М. Ваном и В. Циллсром [104]. В процессе классификации нам удалось найти новую метрику Эйнштейна на одном из пространств Алоффа-Уоллача.
Четвертая глава посвящена изучению стандартных однородных эйнштейновых многообразий. Известно множество примеров стандартных эйнштейновых метрик на компактных однородных пространствах G/II как для простых групп G и II, так и для групп, не являющихся простыми. Классификация стандартных однородных эйнштейновых пространств в случае простой группы G проведена в статье [102], и случае простой группы II в работе [55]. В свете сказанного естественно ставится вопрос о классификации стандартных однородных эйнштейновых многообразий с полупростыми группами движения и изотропии.
В работах [102, G0, 45] исследованы семейства однородных пространств, условия эйнштейновости стандартной метрики на которых сводятся к решению систем диофантовых уравнений. В первом параграфе четвертой главы мы исследуем достаточно подробно подобные семейства однородных пространств и решения соответствующих диофантовых систем. Таким образом строятся примеры стандартных однородных эйнштейновых многообразий (G/H,pat) с полупростыми группами движений G и изотропии II. В частности, рассматриваются вложения вида
Я = SO(k) х SO(n) х SO(m) С SO(k) х [SO(n) х ... х SO(n)] х SO{m) С
С SO{k + п)х [SO(n) х ... х SO(n)] х SO(n + m)=G ,
где первое вложение имеет вид Id х diag х Id (SO(n) берется t раз), и второе вложение имеет вид 7Гі х Id х ... х 7Г2 (SO(n) берется (t — 2) раз); вложения 7Гі : SO{k)xSO{n) С SO{k+n),7T2 SO(n)xSO(m) С SO{n+m) предполагаются стандартными.
Таблица 2
Таблица 7
Рассматриваются также аналогичные конструкции для унитарного и сим-плсктического случаев:
Н = SU(k)xSU{n)xSU(7ii) cSU{k+n)x[SU(n)x...xSU(n)]xSU(n+m) =G ,
Я = Sp(k) х 5р(п) х Sp(m) С Sp(& + га) х [SP(n) х ... х Sp(n)] х Sp(n + т) =G .
Справедлива следующая
Теорема 4.1.2 Пусть (g,h) является одной из пар (so(k + п) ф (t - 2) so(n) so(n + m), so(fc) so(n) so(m)), (su(k + n) (t — 2) su(n) su(n + m), su(k) su(n) su(m)), (sp(k + n)(t — 2)-sp(n)(Bsp(n + m), sp(k)@sp(n)(Bsp(m)). Тогда пространство (G/H,pd) будет эйнштейновым многообразием, если и только если тройка (n,jn,t) содержится в списке таблицы 7. .
Значительная часть первого параграфа посвящена нахождению натуральных решений, диофантовых уравнений, подобных тем, что приведены в таблице 7. В
частности, находятся бесконечные серии таких решений для ортогонального и симплектического случаев из вышеприведенной таблицы.
Второй параграф четвертой главы посвящен получению некоторых алгебраических ограничений для стандартного однородного эйнштейнового многообразия и классификации некоторых эйнштейновых многообразий специального вида. Отметим, что удалось найти примеры стандартных однородных эйнштейновых многообразий с тремя попарно неэквивалентными неприводимыми модулями, что дает контрпример к гипотезе Д.В. Алексесвского о существовании не более двух неэквивалентных модулей для стандартных однородных эйнштейновых многообразий.
Рассматривается компактное односвязноо однородное пространство М = G/H, где G — связная компактная полупростая группа Ли, а Я — се замкнутая подгруппа.
Как принято, через р мы обозначаем ортогональное дополнение к подалгебре h в алгебре Ли д относительно формы Киллинга В алгебры д.
Пусть алгебра д разложена в сумму простых алгебр gj, 1 < j < п,
g = gi~.gn, а алгебра h — в сумму центра h0 и простых алгебр /t,-, 1 < і < т,
h = h0 0 hi ... hm.
Пусть TXj : h -» gj — ортогональная относительно В проекция h на gj.
В частности, в рассматриваемом параграфе доказывается
Теорема 4.2.3 Пусть (G/II,pn) — стандартное однородное эйнштейново многообразие с полупростой группой изотропии Н, h = hi ... hm. Обозначим через к количество слагаемых gj в разложении g = ф"=1^- таких, что 7ij(/i) ф gj. Тогда пг > к. Если к тому же (неприводимо как риманово многообразие и к > 1, то т> к.
Доказывается также следующая классификационная
Таблица 11
Теорема 4.2.7 Пусть (G/H,pb) — связное неприводимое стандартное однородное эйнштейново многообразие, задающееся вложениями
II = К х L\... х Ln С /f х ... х KxLi х ... х LnC
С /Г х ... х 7f х(?і х ... xGn = G,
т—п
где К, L{, и Gi — простые группы Ли, первое вложение имеет вид
diag(K) х Id... х Id,
второе —
Id X ... X Id Х7Гі X ... X 7ГП,
гдекі: KxLi —> С» — некоторые вложения такие, что пары (щ(к@1()) являются либо неприводимыми симметрическими, либо несимметрическими строго изотропно неприводимыми. Тогда для (G/H,pe) выполняется одно из следующих условий:
1) (G/II,po) — симметрическое неприводимое с простой группой G;
(G/H, pa) — несимметрическое строго изотропно неприводимое с простой группой G;
(G/H, рв) определяется вложениями
Н = Sp{\) х Sp{3) х Sp(3) С (Sp[l) х Sp(l)) x Sp(3) x Sp{3) С
С Sp(4) x 50(12) = G,
где первое вложение имеет вид diag(K) xldx Id, второе — 7Гі x 7Г2, причем вложение тгі : Sp(l) x Sp(3) —> Sp(4) определяет симметрическую пару, а вложение яг : Sp(l) x Sp(3) -> 50(12) — строго изотропно неприводимую;
4) (G/II,po) — одно из пространств, перечисленных в таблице 11.
Через A d таблице 11 обозначена величина с-1, где с — константа Казимира для соответствующего стандартного эйнштейнового многообразия.
Нумерация каждого утверждения в диссертации состоит из трех цифр, первая цифра обозначает номер главы, вторая - номер параграфа, третья - номер утверждения данного типа. Используется также сплошная нумерация формул и таблиц.
Автор считает своим долгом отметить огромное влияние, которое оказали на него идеи и методы, разработанные Д.В. Алсксеевским, В.Н. Бсрестовским, В.А. Топоноговым, Е.Д. Родионовым, М. Ваном и В. Циллером, Г. Йснссном, О. Ковальским и многими другими математиками.
О характеризации критических точек функционала скалярной кривизны
Рассмотрим уиимодулпрную группу Ли G и се компактную подгруппу Н. Нас будут интересовать С-инвариантныс эйнштейновы метрики на однородном пространстве М = G/H. Как и прежде, длп получения информации о кривизне инвариантных метрик на М мы будем использовать аппарат алгебр Ли. Пусть р — некоторое ас/ь-инвариантное дополнение к h в д. Рассмотрим М — множество аб//,-инвариантиых скалярных произведений объема 1 относительно выделенной метрики на р. Легко показать, что множество М может быть снабжено структурой гладкого многообразия. В предыдущем параграфе установлена связь между критическими точками функционала скалярной кривизны S на М и эйнштейновыми инвариантными метриками. Л именно, в случае унимодулярной группы движений критические точки функционала S на М являются в точности метриками Эйнштейна и наоборот. Интересной проблемой является исследование характера критических точек функционала S. В частности, иногда требуется установить невырожденность критической точки, проверить точку на свойство быть точкой локального максимума (минимума) исследуемого функционала. В этом параграфе мы приведем теоремы, дающие частичный ответ на сформулированные вопросы. Рассмотрим некоторую метрику ( ) Є Л/, являющуюся критической точкой функционала скалярной кривизны, через г = г(-, ) будем обозначать кривизну Риччи этой метрики. Рассмотрим теперь двухмерную вариацию дайной метрики в классе ас/д-инвариантных: полученную с помощью симметрических операторов U и V с нулевым следом относительно (,). Проблема изучения второй вариации функционала скалярной кривизны осложняется тем обстоятельством, что a priori невозможно одновременно привести к диагональной форме сразу три симметричные квадратичные формы. Предположим в дальнейшем, что формы (,), (V , ), (/ ) (они выбираются ас/д-инвариантными) одновременно приводятся к диагональному виду. Рассмотрим ортонормированный базис для (,), в котором операторы U, V имеют диагональный вид. При этом модуль р окажется разложенным в сумму неприводимых под действием h модулей Pi,P2,—,Pq- Мьі выбираем в каждом модуле pi ортобазис относительно (,): c],c],...,cf, где di = dimpi. В силу неприводимости модулей на каждом из них формы (,), (/,) и (V-,-) пропорциональны. Для любых трех модулей pi, pj, рк мы рассмотрим величину Пусть ГІ и bi — значения тензора Риччи и формы Киллинга соответственно на некотором единичном векторе изр,. Очевидно, в силу неприводимости модуля, эти значения не зависят от выбора вектора. Согласно формуле (1) из предыдущего параграфа, мы получаем следующее выражение для кривизны Риччи: Очевидно, что для метрики
Эйнштейна существует константа г такая, что для всех к выполняется равенство Гк = г. Заметим, что векторы {е 1 2 1 е }, где Ui, у, — диагональные элементы операторов U и V в выбранном базисе, образуют ортонормированный базис для метрики (, -)t s. Пользуясь формулой 7.29 из [9], нетрудно получить выражения для скалярной кривизны этой метрики. ЕСЛИ метрика (, ) — вырожденная критическая точка, то должен существовать такой симметрический с нулевым следом оператор U, что для любого другого симметрического оператора V выполняется равенство 5((-,-) ) (0,0) = 0. В частности, для всех V со свойством t ; ij = 0 выполняется равенство kj В силу произвольности V последнее равенство эквивалентно утверждению о существовании такого числа //, что для всех г выполняются уравнения Теперь для метрики (, ) и ее фиксированной декомпозиции (разложения на неприводимые модули) определим квадратную матрицу F размерности q, элементы которой выражаются следующим образом: Теорема 1.2.1 Пусть (,) — вырожденная критическая точка функционала скалярной кривизны S на множестве М, тогда необходимо, а в случае отсутствия среди неприводимых модулей разложения изоморфных и достаточно, чтобы для некоторой декомпозиции матрица F была вырожденной. Доказательство. Рассмотрим вектор d = (di,...,dq). Если рассматриваемая метрика является вырожденной критической точкой, то, как показывают предыдущие рассуждения, должны существовать такая декомпозиция, такое число (і и и такой вектор и = (ui,...tuq) с условием 52diUi = 0, для которых І выполняется равенство Fu = pd. Нетрудно проверить, что Fa = rd, где вектор a = (1,...,1) единичен, а г -константа Риччи. Если г = 0, то F вырождена. Допустим, что г ф 0. Понятно, что F( a) = (id. Поскольку векторы а и и не коллинеарны, и F( a — и) = 0, то матрица F вырождена. Покажем теперь достаточность условия теоремы в случае попарно неэквивалентных aJ/j-инвариантных неприводимых модулей в р. В этом случае любые три квадратичные ac/л-инвариантные формы на р, одна из которых положительно определена, одновременно диагонализуютсп. Матрица F при этом определена однозначно. Нам достаточно показать существование вектора и = (ui,...,uq), удовлетворяющего условиям Y.diUi = 0 и Fu = fid. Поскольку матрица F вы i рождена, то существует нетривиальный вектор 6 с условием Fb = 0. Кроме того Fa = rd, где вектор а = (1,..., 1). Рассмотрим линейное подпространство L\ в Rq, натянутое на векторы а и Ь, очевидно dim(Li) = 2. Рассмотрим теперь ги д перплоскость L 2 в Rq, задаваемую условием Х) : : = 0. Так как dim(L,2) =q—\ і и dim(Li) + rfi m(L2) = q + 1 dim(Rq), то существует нетривиальный вектор и Є L\ П Z/2. Очевидно, он и является нужным. Теорема доказана. Теперь перейдем к изучению достаточных условий того, что эйнштейнова метрика (как критическая точка функционала скалярной кривизны) была бы точкой локального минимума или максимума. г ij то вопрос о том, доставляет ли рассматриваемая критическая точка локальный максимум или минимум функционалу скалярной кривизны, по существу сводится к вопросу о положительной (отрицательной) определенности квадратичной формы, порождаемой матрицей F на множестве векторов и с ограничением і Далее мы будем исследовать лишь критические точки, соответствующие стандартным однородным эйнштейновым метрикам на компактных однородных пространствах G/H. Напомним, что стандартной называется метрика, скалярное произведение которой на р получается как ограничение формы Киллинга алгебры д, взятой со знаком минус. Имеется много примеров стандартных однородных эйнштейновых метрик [9]. Заметим, что для стандартной метрики выражения к являются симметричными по всем трем индексам в силу ij биинвариантиости формы Киллинга. Таким образом, существенно упрощаются выражения для элементов матрицы F. А именно,
Инвариантные эйнштейновы метрики на пространствах Леджера-Обаты
Пусть F- простая компактная связная группа Ли, G = FxFx...xF (п множителей в произведении, п 2), Н = diag(F). Объектом нашего исследования являются G-инвариантныс эйнштейновы метрики на пространстве Леджера-Обаты [94, 62] G/II = Fx F... x F/diag(F). Хорошо известно, что стандартная метрика на таком пространстве всегда эйнштейнова ([103], предложение 5.5). Отметим, что пространство Леджсра-Обаты Fn/diag(F) диффеоморфно группе Ли Fn_1. Действительно, действие Fn на Fn x можно описать следующим образом: где (хі,...,хп) Є Fn, (уі,...уп-і) Є Fn l. Понятно, что Fn действует транзитивно на Fn_1, а группа изотропии точки (с,..., є) Є Fn_1 (є — единица группы F) равна diag(F) С Fn, откуда и получается соответствующий диффеоморфизм. В частности, исследование инвариантных эйнштейновых метрик на пространстве Леджера-Обаты Fn эквивалентно исследованию Лй(с?га ;(Р))-инвариантных метрик на группе Ли F"-1. При п = 2 мы по существу получаем неприводимые симметрические пространства, то есть единственной инвариантной метрикой на таком пространстве с точностью до подобия является стандартная. При большем количестве множителей это уже не так. Основными результатами этого параграфа являются две теоремы. Теорема 2.2.1 На пространстве Леджера-Обаты G/H — F х F х F/diag(F) существует ровно две с точностью до изометрии и гомотетии G-инвариантные эйнштейновы метрики. Теорема 2.2.2 При п 3 на пространстве Леджера-Обаты G/H = F х F... х F/diag(F) существует по крайней мере две с точностью до изометрии и подобия G-инвариантные эйнштейновы метрики. Замечание 2.2.1 Согласно вышесказанному, утверждение теоремы 2.2.1 эквивалентно утверждению теоремы 2.1.1. Но при таком подходе существование ровно двух, с точностью до изометрии и пропорциональности, инвариантных метрик Эйнштейна доказывается проще. Доказательство теорем будет проведено на языке алгебр Ли с учетом следующего обстоятельства. Если р — некоторое adh. -инвариантное дополнение к h в д, то ([9], 7.24) каждое adh -инвариантное скалярное произведение (,) на р однозначно определяет риманову метрику у в G/H, и наоборот. Пусть М — множество adh -инвариантных скалярных произведений объема 1 на р относительно некоторого выделенного скалярного произведения. В нашем случае удобно в качестве выделенного скалярного произведения выбрать ограничение на р формы Киллинга алгебры д, взятой со знаком минус (соответствующая метрика на пространстве G/H является стандартной). Как уже отмечалось, множество Л/ может быть снабжено структурой С-гладкого многообразия.
Пусть [, ] — скобка Ли, а ?(, ) — форма Киллинга алгебры д группы G, через s обозначим размерность алгебры /. Пусть также {,) = — (,), р — ортогональное дополнение к h в д относительно (, ). Под присоединенным действием алгебры h модуль р разлагается в сумму неприводимых и попарно ортогональных относительно формы Киллинга подмодулей р — р\Р2.-.@Рт- Это разложение не является единственным в случае, когда среди указанных подмодулей существуют изоморфные. Для пространств Леджера-Обаты все подмодули попарно изоморфны, чем и осложняется описание инвариантных метрик на рассматриваемых пространствах. Рассмотрим произвольное эйнштейново ас//,-инвариантное скалярное произведение (, ) на р. Без ограничения общности можно считать, что, задаваемая этим скалярным произведением метрика принадлежит классу Л/, то есть имеет тот же объем, что и стандартная метрика. Приведем одновременно формы (,) и (, ) на модуле р к диагональному виду. Поскольку модуль р содержит at/д-инвариантные неприводимые подмодули вида {(0,0,...,О,х, 0,...,0,—х, 0,...0)}, то из леммы Шура мы получаем, что любой ас/д-инвариантный неприводимый подмодуль р С р имеет размерность s. Опишем структуру р, а именно покажем существование вектора а = (аі,а2, ...,а„) такого, что а = \Ja\ + а\ + ... + а = l,ai+a2+...+cin = 0, п р= {(aix,a2x,...,а„х)}, где х Є /. Пусть Р{ — ортогональная относительно (, ) проекция р на г -е слагаемое / в д = / / ... /. Поскольку dimp = dimf = s, то образ одного из Р должен совпадать с /. Не ограничивая общности, можно считать, что і = 1. Определим при j ф 1 отображения Qj : / -» / по формуле Qj = Р, о Pf1. Покажем, что Qj коммутируют со всеми операторами присоединенного действия ady : / — / (ady(x) = [у,х]). Действительно, р = {(x,Q2(2;),Q3(a:),...,Q„(x))}, где х Є /. Поскольку модуль р ad/j-инвариантсн и (у,у,.-,у) Є /г, то то єсть [у, Qj{x)] = Qj([y, х]) при 2 j п. Таким образом, Qj и ady коммутируют. Согласно лемме 2.1.1, оператор Q : / — / на простой алгебре /, коммутирующий со всеми операторами присоединенного действия, пропорционален тождественному. Поэтомур = {(сіх,С2Х,...,спх)} для некоторых констант п СІ {с\ = 1) и х Є /. Поскольку р ортогонален h относительно (,), то X) с, = 0. 1=1 Следовательно, в качестве а можно взять вектор с координатами Отмстим, что ортогональность двух модулей вида pi = (а\Х,ос2Х, ...,апх) и р2 — (0iX,P2X,...,pnx) равносильна равенству Q\P\ +0:2/ + --ctnPn = 0. Перейдем теперь к доказательствам сформулированных выше теорем. Доказательство теоремы 2.2.1. Рассмотрим одновременную диагонали-зацию (, ) и (, ) на модуле р. Нетрудно понять, что инвариантными неприводимыми модулями, а; Є /, a = /3 = 1, cx\Pi + a2/?2 + a3/?3 = 0, ca + a2 + a3 = 0, / + / + / = 0. Пусть {e,} (1 г s) — ортонормированный базис в f относительно —В/, тогда векторы Xt = (0 ,-,0- ,0:36,), Y{ = (/?іЄ,-,/?2е,-,/?3Єі), Z{ = (е ,е,-,е ) образуют ортонормированные базисы относительно (,) врі, р2, h соответственно.
О кривизне Риччи инвариантных метрик на некомпактных однородных пространствах с полупростой группой движений
Исследование некомпактных однородных эйнштейновых многообразий затруднено из-за отсутствия классификации соответствующих однородных пространств. Более того, в настоящее время не существует классификации разрешимых алгебр Ли. Тем не менее известно много примеров однородных эйнштейновых метрик на некомпактных однородных пространствах. Среди них встречаются как симметрические, так и несимметрические [9]. Изучению однородных римановы пространств отрицательной секционной кривизны посвящена работа Д.В. Ллекссевского [5]. В силу теоремы Адамара и Картана о существовании неподвижной точки у любой компактной группы движения такого пространства [G3] исследование сводится к исследованию метрических разрешимых алгебр Ли. В частности, в [5] классифицированы все однородные одноевпзиые многообразия Эйнштейна отрицательной секционной кривизны для размерности п 5. Известно также [G], что любое Риччи-плоскос однородное эйнштейново многообразие является плоским. Хорошо известна гипотеза Д.В. Алексеевского [9] о том, что любое однородное некомпактное, пеплоское эйнштейново многообразие имеет максимальную компактную группу изотропии. Эта гипотеза по сей день не доказана и не опровергнута. Заметим, что справедливость этой гипотезы дает возможность при исследовании некомпактных эйнштейновых многообразий по существу ограничиться разрешимыми метрическими алгебрами (солвмногообразиямм). Отметим также, что в работе [93] построены левоинва-рпантные метрики отрицательной кривизны на группах SL(n,R) при п 3. По-видимому, до сих пор не классифицированы некомпактные однородные пространства, допускающие инвариантную метрику отрицательной кривизны Риччи. Соответствующий результат для компактных однородных пространств получен В.Н. Бсрестовским [8]. Существенный прогресс в изучении эйнштейновых солвмногообразий получен Й. Хебером в [86]. В настоящем параграфе мы исследуем некоторый класс инвариантных метрик на некомпактных однородных пространствах с полупростой группой движений. Полученные результаты позволяют привести множество некомпактных однородных пространств, не допускающих инвариантных метрик Эйнштейна. Рассмотрим полупростую некомпактную группу Ли G, ее компактную подгруппу Я, Н С К С G, где
К — максимальная компактная подгруппа, // ф К. Пусть [,] — скобка Ли, а (, ) — форма Ниллинга алгебры д и пусть где первое равенство есть разложение Картава алгебры д группы G,u к = h(Bp", р" ортогонален h относительно В. Объектом нашего исследования будет некоторый класс инвариантных метрик на однородном пространстве G/H. Как и прежде, мы отождествляем инвариантные метрики с ar/д-инвариантными скалярными произведениями на р. Рассмотрим класс ас/д-инвариантных метрик М на р = р" @р ( аг/д-инвари-антном дополнении к h) такой, что для любой метрики (, ) Є М р" ортогонален р относительно (,). Пусть (,) = B\pf — В\р», метрики (,) и (,) одновременно приводятся к диагональному виду, т.е. имеют место следующие разложения: где pi — попарно ортогональные относительно обеих метрик ас/д-иниарнантные неприводимые модули, и (, )U = х ( »")U для некоторых Х{ 0. Можно считать, что хх хг ... хи и xu+i ... xv. Форма кривизны Риччи Шс(-,-) для метрики (,) является также аб/д-инва-риантной на р, поэтому Ric(-,-)\Pi = г{ - (, -)\Рі для некоторых вещественных г,-. Основным результатом является следующая В частности, из этой теоремы выводится утверждение об отсутствии среди метрик класса М эйнштейновых. Учитывая, что для ряда однородных пространств метриками класса М исчерпываются все ас/д-инвариантные метрики на р, доказывается отсутствие инвариантных метрик Эйнштейна на соответствующих однородных пространствах. Для доказательства теоремы нам потребуется несколько вспомогательных утверждений. Пусть векторы ef образуют ортонормированный базис в р относительно (, ), согласованный с разложением р на неприводимые модули pi, а именно е- Є Pi при 1 j di = dimpi. Рассмотрим также ортонормированный относительно — В (минус формы Киллинга) базис {CQ} В алгебре h, где 1 j rf0 = dim(h). Очевидно, что базис {с»}» 0 і v является ортонормированным относительно метрики В\р — B\k в алгебре д. Известно, что в таком базисе операторы присоединенного действия adx : д (-» д являются кососимметричными для всех х к и симметричными для всех 3 і к , Действительно, если pi С р", то операторы adea : д - д кососиммет ричны относительно выбранного базиса, поэтому ([е- ,е ],е2) = -(е ,[е",е2]), где суммирование распространяется на все j, к от 1 до v. Равенство достигается тогда и только тогда, когда [h,Pi] = 0. Доказательство. 0 j и Здесь мы воспользовались тем, что операторы ade : gt-ь g симметричны (косо-симметричны) при pi С р {pi С р"). Нетрудно убедиться в том, что неравенство в этой цепочке обращается в равенство тогда и только тогда, когда \pi,h] = 0. Определим числа Ь,- так, что 6; = — 1 при pi С р1 и bi = 1 при р; С // . Доказательство. Векторы -т е?, где l i v, l a d{ образуют ортобазис в р относительно метрики (, ). Воспользуемся утверждением 7.38 из [9], согласно которому кривизна Риччи вычисляется по формуле для унимодуллрной группы G, метрики (, ) на р и ортонормированного относительно (,) базиса {А І}. Для выбранного нами базиса получаем
Компактные семимерные однородные многообразия Эйнштейна
Настоящий параграф посвящен классификации компактных односвязных ссми-мерных однородных эйнштейновых многообразий. Примеры таких многообразий были найдены Г. Йенсеном [84], М. Ваном [100], Л. Кастеллани и Л. Романсом [73], Д. Пейджем и К. Поупом [97], Л. Кастеллани, Р. Д Аурия и П. Фре [74], Р. Д Аурия, П. Фрс и П. ван Ныовенхьюзеном [78], М. Ваном и В. Циллером [104], Ш. Кобаяси [90], К. Бойером, К. Галицким и Б. Манном [70] О. Ковальским и 3. Влашском [91], В. Циллером [112] и Е.Д. Родионовым [53]. Семимерные многообразия Эйнштейна представляют определенный интерес длп исследований по теоретической физике в рамках 11-мсрной теории супергравитации [73, 74, 75, 97]. Основным результатом настоящего параграфа является следующая Теорема 3.2.1 Пусть G - компактная связная полупростая группа Ли, действующая почти эффективно на семимерном односвязном однородном пространстве М7 = G/II, Н - замкнутая подгруппа G. Если (G/H, р) - однородное эйнштейново многообразие, то оно изометрично, с точностью до умножения метрики р на константу, одному из многообразий, перечисленных в таблице 2. Замечание 3.2.1 Отметим, что требование полупростоты G обусловлено тем, что на компактном однородном многообразии Эйнштейна полупростая часть группы движений действует транзитивно [9]. Поскольку пространство G/H предполагается односвязным, то подгруппа II обязана быть связной, и однородное пространство определяется парой алгебр Ли (g,h). Замечание 3.2.2 В таблице 2 через p3t мы обозначаем стандартную метрику семимерной сферы S7; через pj эйнштейнову метрику на сфере S7, найденную Г.Йенсеном [84] с помощью расслоения Хопфа при п = 1; а через рк инвариантную эйнштейнову метрику на 50(5)/50(3) (многообразие Штифеля), найденную Ш. Кобаяси [9, 90] при помощи расслоения единичных касательных векторов на сфере 5"""1 со слоем 51 = 50(2). Замечание 3.2.3 В двух последних случаях, указанных в таблице, представляют интерес как особые, так и неособые вложения. Подробнее это мы обсудим позднее.
Доказательство будет проведено с использованием аппарата алгебр Ли. Если р — некоторое adh -инвариантное дополнение к h в д, то ([9], 7.24) каждое adh -инвариантное скалярное произведение (, ) на р однозначно определяет рима-нову метрику р в G/H, и наоборот. Пусть М — множество adh -инвариантных скалярных произведений объема 1 на р относительно некоторого выделенного скалярного произведения. В нашем случае удобно в качестве выделенного скалярного произведения выбрать ограничение на р формы Киллинга алгебры д, взятой со знаком минус (соответствующая метрика на пространстве G/H является стандартной). Нетрудно показать, что множество М может быть снабжено структурой гладкого многообразия. Пусть (, ) — некоторая зафиксированная биинвариантная метрика на р (т.е. получаемая путем ограничения пар некоторой биинвариантной метрики на д). Рассмотрим произвольное эйнштейново ас/д-иивариантное скалярное произведение (,) на р. Без ограничения общности можно считать, что, задаваемая этим скалярным произведением метрика принадлежит классу Л/, то есть имеет тот же объем, что и стандартная метрика. Если привести одновременно формы (,) и (,) на модуле р к диагональному виду, то, согласно лемме Шура, мы получим, что для некоторых положительных ХІ и неприводимых модулей pi, причем модули Pi upj взаимно ортогональны относительно обеих рассматриваемых метрик при различных индексах, а р = pi р2 ... р3 о.Р.7 где е , Єр, е обозначают векторы ортонормированного базиса в модулях pi, Pj, рк соответственно. Из биинвариантности скалярного произведения следует симметричность введенных символов относительно всех трех индексов. Пусть для 1 і s di = dim(pi), а числа frj определяются равенством —B(X,Y)\Pi = bi (X,Y), где через В обозначена форма Киллинга алгебры д. В работе [103] выведена формула для вычисления скалярной кривизны S метрики вида (,), а именно Выписанная формула в сочетании с вариационным принципом для однородных метрик Эйнштейна дает возможность произвести классификацию семимерных однородных компактных эйнштейновых многообразий. Как и прежде, мы будем использовать утверждение о том, что эйнштейновы G-инвариантные метрики на однородном пространстве G/H являются в точности критическими точками функционала скалярной кривизны S, ограниченного на множество метрик объема 1 относительно некоторой выделенной метрики. Нам будет удобно использовать стандартные матричные реализации алгебр Ли. В частности, элементы алгебры $и(п) мы будем представлять как косоэр-митовы матрицы с нулевым следом. Первым делом мы опишем возможную алгебраическую структуру ссмимер-ного эйнштейнового многообразия (G/H,p). Рассуждая как в [G9], мы видим, что группа изотропии Я действует ортогональными преобразованиями на acfo-инвариантном модуле р (д = h р, dim(p) = 7) и поэтому изоморфна одной из компактных подгрупп группы 50(7). В частности, алгебра изотропии h С so(7) = В3. Далее, используя работы [12], [13], мы можем найти все возможные пары (д, h). Чтобы избежать описания изоморфных алгебр, будем использовать стандартные обозначения Ап (п 1), Вп (п 3), Сп (п 2), Dn (п 4). Отметим, что случай h = so(7) = В3 соответствует неприводимому симметрическому пространству 50(8)/50(7). Следующая схема описывает вложения подалгебр алгебры Ли so(7) = Б3. Как и в предыдущем параграфе, на каждом уровне приведены подалгебры, не встречающиеся ранее и являющиеся максимальными подалгебрами некоторых алгебр из предыдущего уровня. Вг Л3, C2Ai, AiAi@Aug2 Аг R, C2, Ax Лі R, Ai Ль Лі Я Л Л2, Лі Л, Лі, RRR R, R@R Далее мы выпишем все компактные собственные подалгебры h алгебры В$ в таблице 3 вместе с информацией о размерности и ранге. Учитывая, что dim(G/H) = 7, а максимальная размерность алгебры h равна 15, для нахождения полупростых алгебр д мы должны перебрать все простые алгебры е с условием dim(e) 22. Необходимые данные приводятся в таблице 4. Теперь, перебирал возможные значения h, найдем возможные значения д. 1. Если h = Л3, то полупростая алгебра Ли д должна удовлетворять условиям dim(g) = 22, гапд(д) 3, таким образом, д Є {0 2 Ф 4Лі,2Л2 2Ах,д2 Ф Л2}. 2. Если h — С2 ф Лі, тогда dim(g) = 20, гапд(д) 3. Согласно выписанным условиям д Є {С2С2,Л2 4Лі, 7г 2Лі}; 3. Если h = ЗЛі, то dim(g) = 16, rang(g) 3. Значит, д Є {02 Ф 2Лі,2Л2}. 4. Если h = 2Лі R, то полупростая алгебра Ли д должна удовлетворять условиям dim(g) = 14, гапд(д) 3, то есть д = Л2 Ф 2Лі.
