Введение к работе
Актуальность темы. Объектом исследования в диссертационной работе являются дискретные группы сохраняющих ориентацию изометрий трехмерного гиперболического пространства Є3. Теория дискретных групп преобразований восходит к мемуарам А. Пуанкаре и Ф. Клейна конца XIX века. С самых истоков эта тематика элегантно сочетает в себе идеи анализа, теории групп, топологии и геометрии. В последние сорок лет интерес к ней во многом связан с программой геометризации У. Терстона, в которой гиперболические многообразия и орбифолды играют ключевую роль.
Хорошо известно, что группа всех сохраняющих ориентацию изометрий пространства Є3 изоморфна группе PSL(2,C). Элемент д Є PSL(2,C), где д = {±М} и М Є SL(2,C), называется эллиптическим, параболическим или локсодромическим, если tr2(M) Є [0;4), tr2(M) = 4 или tr2(M) Є С \ [0; 4] соответственно. Нетривиальный непараболический элемент оставляет инвариантной единственную геодезическую в Н3, которая называется его осью. Для такого элемента определены величина сдвига вдоль оси и угол поворота вокруг оси.
Дискретные подгруппы PSL(2, С) действуют собственно разрывно в Є3. Этим объясняется интерес к ним с точки зрения теории униформизации. Основные сведения по теории дискретных групп изложены в [, , , ].
Существует несколько подходов к исследованию свойства дискретности подгрупп PSL(2, С). Один из них состоит в оценке расстояний между неподвижными точками или осями элементов группы. Напомним, что если стабилизатор точки р Є Є3 в дискретной группе G < PSL(2,C) не тривиален, то он изоморфен одной из точечных групп: циклической, диэдральной, тетраэдральной, октаэдральной или икосаэдральной. В [5] Д. А. Деревнин, А. Д. Медных и в [] Ф. Геринг, Т. Маршалл, Г. Мартин установили нижние оценки на расстояния между точками в Є3, стабилизаторы которых в дискретной группе изоморфны группе тетраэдра, октаэдра или икосаэдра. Оценки на расстояния между осями эллиптических элементов в дискретной группе были найдены в [, ]. Все эти результаты приводят к необходимым условиям дискретности.
Достаточные условия дискретности даются теоремой комбинирования Клейна - Маскита (см. [, , ]) и теоремой Пуанкаре о фундаментальном многограннике (см. [, , ]). Эти теоремы позволяют выписать копредстав-ления групп.
Группа G < PSL(2,C) называется элементарной, если существует конечная G-орбита в Н3 U С, где С = сШ3. В противном случае группа G называется неэлементарной. Все элементарные дискретные группы классифицированы
(см., например, []). В 1977 году Т. Йоргенсен [] показал, что неэлементарная
группа G < PSL(2,C) дискретна тогда и только тогда, когда любая ее двупо-рожденная подгруппа дискретна. Для некоторых классов двупорожденных групп известны критерии дискретности. В [] описаны все дискретные подгруппы PSL(2,R) с двумя порождающими. Критерии дискретности для большинства ПГ-групп приведены в [, ]. Тем не менее, классификация всех двупорожденных дискретных групп до сих пор остается открытой и весьма сложной проблемой. Поэтому задача о нахождении для них необходимых и достаточных условий дискретности является актуальной.
Среди необходимых условий дискретности для двупоржденных групп отметим теоремы Т. Йоргенсена [19] и Д. Тана []. Эти условия имеют вид нестрогих неравенств, связывающих квадрат следа одного из порождающих и след коммутатора порождающих. Именно неравенство такого сорта позволило Йоргенсену свести вопрос о дискретности произвольной группы к рассмотрению ее двупорожденных подгрупп.
Цель работы. Целью работы является развитие теории дискретных групп изометрий гиперболического пространства Є3. При этом основное внимание уделено получению достаточных условий дискретности для групп с двумя непараболическими порождающими, а также применению этих и других условий дискретности для исследования групп специального вида.
Основные результаты.
-
Разработан новый метод исследования дискретности двупорожденных групп изометрий Є3.
-
Установлены достаточные условия дискретности для групп изометрий Н3, порожденных двумя непараболическими элементами.
-
Дан ответ на вопрос Б. Маскита о дискретности групп изометрий Н3 специального вида.
Методы исследований. Для доказательства основных результатов диссертационной работы были использованы методы теории клейновых групп и гиперболической геометрии.
Научная новизна. Все основные результаты, полученные в диссертации, являются новыми и снабжены строгими доказательствами.
Теоретическая и практическая ценность. Результаты работы имеют теоретический характер. Разработанные методы и полученные результаты могут быть применены в теории дискретных групп преобразований.
Апробация работы. Результаты диссертации были представлены на Международных конференциях «Дни геометрии в Новосибирске» (Новосибирск, 2011, 2012, 2013); 4-ой Международной геометрической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения академика Александра Даниловича Александрова (Санкт-Петербург, 2012); 20-ой Международной кон-
ференции студентов, аспирантов и молодых ученых Ломоносов (Москва, 2013); Международной конференции Геометрия и анализ на метрических структурах (Новосибирск, 2013); Международной конференции Квантовая и
классическая топология трехмерных многообразий (Челябинск, 2014); Меж-
дународных школах-семинарах Ломоносовские чтения на Алтае (Барнаул,
2011, 2012); Международных научных студенческих конференциях Студент и
научно-технический прогресс (Новосибирск, 2011, 2012, 2013); 44-ой Международной молодежной школе-конференции Современные проблемы математики (Екатеринбург, 2013).
Результаты диссертации докладывались семинаре Геометрия, топология
и их приложения под руководством академика РАН И.А. Тайманова (ИМ СО
РАН, Новосибирск, 2013, 2014); семинаре Дифференциальная геометрия и при-
ложения под руководством академика РАН А.Т. Фоменко (МГУ, Москва, 2013); семинаре отдела анализа и геометрии ИМ СО РАН под руководством академика РАН Ю.Г. Решетняка (ИМ СО РАН, Новосибирск, 2014); на семинаре Инварианты трехмерных многообразий под руководством члена-корреспондента РАН
А.Ю. Веснина (ИМ СО РАН, Новосибирск, 2012, 2013, 2014).
За результаты, вошедшие в диссертационную работу, автору были присуждены стипендия имени профессора Л.В. Сабинина (НГУ, Новосибирск, 2012, 2014) и грамота за лучший доклад на 20-ой Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых Ломоносов (МГУ, Москва, 2013).
Исследования автора выполнены при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 13–01–00513), Лаборатории квантовой топологии Челябинского государственного университета (грант правительства РФ №14.Z50.31.0020), а также Совета по грантам президента РФ и государственной поддержке ведущих научных школ (код проекта НШ– 1015.2014.1).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в шестнадцати печатных и электронных изданиях [] –[], три из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК [, , ], тринадцать — в трудах конференций и тезисах докладов [] – []. Статья [] написана в соавторстве с Н.А. Исаченко. Ее результаты получены авторами совместно, при равном вкладе, и являются неделимыми. Эти результаты составляют часть параграфа 3.2 главы 3. Остальные результаты диссертации получены автором самостоятельно.
Структура диссертации. Диссертация изложена на 77 страницах и состоит из введения, трех глав и списка литературы. Работа содержит 9 рисунков. Список литературы насчитывает 46 наименований.
Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, члену-корреспонденту РАН Андрею Юрьевичу Веснину за постановки задач, их обсуждения и всестороннюю поддержку; а также кандидату физико-математических наук Николаю Андреевичу Исаченко за интерес к работе и полезные замечания.
