Введение к работе
АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕШ.Изучение ковариантных функторов в ватегориях топологических пространств является в настоящее время интенсивно развивающейся областью общей топологии / сы. обзорные статьи В.В.Фадорчука [1-3] /.
В І98Г г. Х.Торунчик и Де. Вэст [4І рассмотрели конструкцию / пополненного / итерированного гиперпрост-ранства.
Пусть Є.&р X - гипёрпространотво / депонента / метрического компакта X /т.е. пространство непустых замкнутых в X подмножеств / , наделённое метрикой Хаусдорфа:
d(A,B) = tnfi-{>0:J* OjB)) b
I] В.В.Федорчук. Ковариантные функторы в категории
компактов, абсолютные ретракты и Q - многообразия.-УМН,
1981,36:3,с.177-195.
2] В.В.Федорчук.О некоторых геометрических свойствах
ковариантных функторов.-УМН,1984,т.39,вып.5 / 239 /,
с.169-208.
3] В.В.Федорчук.Мягкие отображения, многозначные ретракты
и функторы,- УМН,1986, т.41, с. I2I-I59.
41 ^Гоьсспс^уА H.t Will J. О. ttct&l.t tytx&L -timst
Pu>c Q.rru4. ftUUA. Jbc. /&J, V. J9 MJt n. JJ. 9-33 5-.
Бесконечным итерированным гиперпространством есп-р + X метрического компакта называется метрический прямой предел последовательности
X <^ ех/о Л с^ ... аар4' X <, есср^^Ке^,.,.
где вложение еоир с X в еау>с*' X ведается формулой А -~{А].
Пусть еда» + * X - пополнение метрического пространства езср * X .В [4] доказана следующая
Теорема [4] .Если X - ивановский континуум, то пара ( есер + * X < едуэ * Л ) гомеоморфна паре (-ix , 2Z ) t где через "2Z обозначается линейная оболочка стандартно вложенного гильбертова куба С? в гильбертовом пространстве tt
Заметим, что пара ( t , 2Z ) гомеоморфна паре (4 . ьсп-і а) .где 6 _ П~ 4 ("I» *i)c псевдовнутренность, а пространство tCni
= <Л~* (пГ*< t-1 + П, <-Ъи.) -
радиальная псевдовнутренность гильбертова куба
f'J<:.
В [5] построена компактификация есер"* функтора
[5І Т.О.Банах, М.М.Заричішй. О компактификациях функтора итерированного гиперпространства.- Известия вузов. Математика, I9S7, & 10, с. 3-6.
елУ1 и доказано, что не существует функтори-
альной кошактификации F функтора &зиз' 4 + для которой пара ( F X , ехр + + X) была бы гомеоморфна nape (Q , -і J .
Общая схема построения бесконечных итераций функторов
в категории яошшктов принадлежит В.З.Федорчуку. Им дано
определение совершенно метризуемого функтора F , его
бесконечной итерации F + , а также компактификацяи F ф
функторов F і f* /си. [6-8І /.
Для ряда совершенно метризуеывх функторов, в частности,, функторов вероятностных мер Р и континуальной экспоненте ея>е . В.В.Федорчук докаваї гомеоморфность троек ( Г^.к , - F *: * Л , F * X) 'ж (Q ,4 ,Ш0).
Бесконечные итерации функтора оуперрасширения Д
<ТороЄер'са Єоп/ш.гьее. Шіїигеї (рсШ JFJ, ftef, р. -ПО-
И В.В.Федорчук. Расслоения пространств вероятностных мер и геометрия бесконечных итераций некоторых монадичных функторов -ДАН CCCP,I938,r.30I,JH,c. 41-45. [8J В.В.Федорчук. Тройки бесконечных итераций метгизуемых функторов.- Известия АН СССР,серия математическая, 1990, т. 54, * 2, с. 396- 417.
рассмотрены М.М.Заричныы в [9J , а Эберхартоы, Надлероы и Новеллой в [10] введены функторы Г и Гс пшерпроотранств порядковых дуг .
Через Г X обозначается подпространство в ваузJ X
элеиентами которого являются порядковые дуги. Еслк же дуга
о « ело с / , то получим определение простран-
ства Г с X .
В [II] доказано, что пространство ГХ гомео-морфно гильбертову пространству <^i , если и только если X - польское, связное и локально связное, нигде не локально компактное пространство.
В [I] В.В.Федорчук поставил вопрос о гомеоморфности гиперпространства порядковых дуг Г X гильбертову пространству г , на который автором диссертации дав положительный ответ.
Результаты диссертации связаны с исследованием
геометрических свойств бесконечных итераций ковариантных
функторов ехр + ( Г *. и А * «С
ГІ0І ЕвгьАльи в., Tlcuiui. Л 8, ПоиШ W.O.
of oU^i- ыи І'л fyf»*-*?*-'**- -
&iuu/, ПЫ1А. С xu (49**) . p. H-f-^zo.
[IIJ В.И.Голов. Гильбертово пространство как гиперпространство упорядоченных дуг.- Функциональнвй анализ и приложения в механике и теории вероятностей, 1984,13,с.13-18.
- 5 -причём бесконечные ьтерации функтора -^ берутся о модифицированными изометрическими вложениями, что даёт возможность охватить целый класс новых функторов.
Если А - функтор суперрасширвния и у : id. — А -каноническое естественное преобразование, то модифицированные изометрические вложения
для последовательности Л={ ^t'i^^, натуральных чисел таких, что / « ІСі *S і и для п: id. — А, что *1х (л) ~ А е. еяр К : я . А}{ Л X, задаются формулой
Тогда Х\-& - ** <*С* > *AXJ-
ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Исследовать топологию / пополненных / бесконечных итераций функтора экспоненты в категории польских пространств, функтора гиперпространств порядковых дуг, а также модифицированных бесконечных итераций функтора суперрасширения.
МЕТОДІ ИССЛЕДОВАНИЯ. В диссертации широко используются методы теории ретрактов и топологии бесконечномерных многообразий, развитые в работах В.В.Федорчука.М.М.Заричного, Т.О.Банаха, Х.Торунчика, Дж.Вэста, М.Бвствины.Е.Могильского, Д.Кёртиса и М.Войдыславского.
НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Все результаты диссертации являются новыми и получены автором самостоятельно.
Они заключаются в следующем / подробнее- при изложении содержания работы / :
I/ Дан положительный ответ на вопрос до (I] о гомеоморфности пшерпространотва порядковых дуг контину-ачьной экспоненты гильбертову пространству t ;
2/ Для некомпактных польских пространств установлена гомеоморфность бесконечного итерированного гипврпростран-ства порядковых дуг Г К произведению SZ *6 ;
3/ Для некомпактных польских проотранств установлена гомеоморфность пар ( eaf * * X , e*f * X )
и [6 *4, (ъс** Q) * *J;
4/ Для компактных пространств установ-
лена гомеоморфность троек ( CL, 4 t 'Urd #) и ( Л" х, 9Х(А+* X), 9,и*лХ$.
ПРАКТИЧЕСКАЯ И ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Диссертационная работа носит теоретический характер. Её результаты могут найти применение в творив рвтрактов, бесконечномерной топологии и теории ковариантных функторов.
АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты диссертации докладывались на VI Тираспольском симпозиуме по общей топологии и её приложениям / Тирасполь , 1991 /. на заседании топологического семинара им. П.САлександрова, на научно- исследовательском семинаре под руководством профессора В.В.Фадорчуи в МТУ, на Александровских чтениях в МТУ.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликовав в пяти работах, список которых представлен в конце автореферата.
СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ. Работа состоит из введения, трёх глав / вторая глава- из двух параграфов / , и списка цитированной литературы. Объём диссертации- 75 страниц машинописного текста. Библиография содержит 27 названий работ. .