О бесконечных итерациях ковариантных функторов и некоторых свойствах гиперотображений Огородникова, Ирина Егоровна

Введение к работе

Диссертация посвящена изучению некоторых геометрических свойств ковариантных функторов, действующих в категории Сотр бикомпактов и непрерывных отображений и в ее подкатегории МСошр компактов (т.е. метризуемых бикомпактов) и сюръективных отображений.

Актуальность темы. Задача исследования поведения свойств пространств и отображений при воздействии на них различными ковариантными функторами стоит перед топологами давно. Первые работы в этой области были написаны в 20-е - 30^-е - 50-е годы такими известными авторами, как Воидыславский, Важевский, Вьеторис, и другими топологами. Начиная с 70-х годов исследования ковариантных функторов приобрели систематический характер. С одной стороны, внимание топологов к ковариантным функторам было привлечено решением знаменитой проблемы гиперпространства в работах американских математиков Вэста, Кертиса и Шори [1 , 2 , 3 ]. С другой стороны, Е.В.ІДепин в своих работах [А , 5 ] получил весьма об-

1. J.E.West, R.M.Shori. 2 is homeomorfic to the Hilbert cube//Bull. Amer. Math. Soc, 1972, 78, p. 402-406.

2. J.E.West, R.M.Shori. Hyperspaces of graphs are Hilbert cubes// Pacific J. Math., 1974, 53, p. 239-251.

3. D.W.Curtis, R.M.Shori. Hyperspaces of Peano continua are Hilbert cubes //Fund. Math., 1978, 101, p. 19-38.

щие и содержательные теоремы >о функторах в категории Сотр, а также выделил понятие нормального функтора. Все это существенно повысило интерес к обсуждаемой тематике. Список ковариантных функторов, находящихся в поле зрения топологов, пополнился функторами суперрасширения Л, полных сцепленных систем N, замкнутых гиперпространстз роста Gr и включения G, функтором вероятностных мер Р и многими другими.

Упорядочиванию исследований в этой области послужило изобретение удобной техники, используемой и в данной диссертации: это понятие Z-множества, введенное Р.Д.Андерсоном, аппарат Г-К-скелетоидов Бессаги и Пел-чинского, техника миксеров, предложенная ван Миллом и другие конструкции. Большую роль сыграли харгктериза-ционная теорема для гильбертова куба 0_, доказанная Х.Торунчиком в [6 ]и ее послойная версия из [7].

В работе [8 ]Х.Торунчик и Дж.Вэст впервые рассмотрели функтор итерированного гиперпространства. Позже В.В.федорчуком [9 ]была описана общая схема построения бесконечных итераций функторов и было введено понятие совершенно метризуемых монад. Там же были предложены достаточные условия на функтор F и компакт X, при которых тройка (F⁰⁰, F⁺⁺, F⁺) бесконечных итераций функ-

4. Е.ВЛЦепин. Топология предельных пространств несчетных обратных спектров//У МН, 1976,т. 31, вып. 5, с. 191-226.

5. Е.В.Щепин. Функторы и несчетные степени компактов //УМН, 1981, т. 36. вып. 3.

6. H.Torunszyk. On CE-images of Hilbert cube and caracterization of Q-manifolds //Fund. Math. 1980, 106, p. 31-40.

7. H.Torunszyk, J.E.West. Fibrations and bundles with Hilbert cube manifold fibers //Preprint. 1980.

8. H.Torunszyk, J.E.West. A Hilbert space limit for the iterated hyperspace funktor //Proc. Amer. Math. Soc, 1983, 89, p. 329-335.

9. В.В.Федорчук. Тройки бесконечных итераций метризуемых функторов//Известия АН СССР, Сер.Матем, 1990, т. 54, № 2, с. 396-418.

тора F переводит компакт Х-в тройку (Q, s, rint 0.), где

0_ = П [-1, 1] ,S = n (-1; 1) .rint Q= U П -і4И"-У
n=1 ⁿ n=1 ⁿ n=1 m=1 ^{L n nJ}m

Естестзенно возникает вопрос о параметрической версии этого результата.

Еще один круг вопросов, рассматриваемых в работе, касается исследований в области равномерных топологических пространств. В [10] были исследованы некоторые свойства пространств отображений из бикомпакта X в равномерное пространство Z, рассматриваемые как подпространства экспоненты exp (XxZ) в равномерности Хаусдорфа. Выявились связи между пополнениями пространств функций по равномерности Хаусдорфа и пространствами многозначных отображений.

Цель работы. 1. Изучение геометрических свойств слоев гиперотображений.

2. Получение параметрических версий известных результатов об итерациях функторов Р, N, GnGr.

3. Изучение геометрической структуры подпространств гиперпространства exp (XxZ). Исследование некоторых геометрических свойств подфункторов USC и USCC функтора exp ({-}xZ).

Методы исследования. В диссертации используются методы таких разделов топологии, как теория ретрактов, топология бесконечномерных многообразий, теория кэвариантных функторов, теория топологических равномерных пространств, теория меры. Применяются конкретные методы исследования функторов Р, N, G, Gr и экспоненты.

10. В.В.Федорчук. О некоторых топологических свойствах пополнений функциональных пространств по равномерности Хаусдорфа //Вестник МГУ, Сер. 1: Матем. Мех., 1991, № 4, с. 77-80.

Научная новизна. Все основные результаты работы являются новыми и получены автором самостоятельно.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут найти применение в теории бесконечномерных многообразий, теории ковариантных функторов, теории равномерных пространств, теории меры.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Всесоюзной студенческой конференции в г. Новосибирске (1986), на международной топологической конференции в г. Баку (1987), на Александровских чтениях, на научно-исследовательских семинарах кафедры общей топологии и геометрии (под руководством проф. В.В.федорчука).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы и списка цитированной литературы. Объем диссертации - 78 страниц. Библиография содержит 57 названий работ.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора, список которых представлен в конце автореферата.