Геометрия эквиаффинных отображений Дмитриева Татьяна Владимировна

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Дифференцируемые многообразия и их отображения 27

1. Многообразия и линейные связности 27

2. Гладкие отображения многообразий 37

3. Некоторые G-структуры на дифференцируемых многообразиях и их изоморфизмы 45

4. Представление линейных групп. Теорема Вейля 52

Глава 2. Эквиаффинные отображения 57

1. Эквиаффинные структуры на дифференцируемых многообразиях 57

2. Отображения многообразий с эквиаффинными структурами 60

3. Эквиаффинные отображения псевдоримановых многообразий 64

Глава 3. Геометрия эквиаффинных отображений псевдори мановых многообразий 69

1. Классификация эквиаффинных отображений псевдори мановых многообразий 69

2. Геометрия эквиаффинных отображений классов 3, 32; 32Ф33; 3,Ф33 , 73

3. Геометрия эквиаффинных отображений классов Зь 32 и 33 83

Литература 99

Публикации автора по теме диссертации 108

• Некоторые G-структуры на дифференцируемых многообразиях и их изоморфизмы
• Представление линейных групп. Теорема Вейля
• Отображения многообразий с эквиаффинными структурами
• Эквиаффинные отображения псевдоримановых многообразий

Введение к работе

Актуальность темы исследования. Аффинная дифференциальная геометрия является одним из важных разделов геометрии. Начиная с первых работ Бляшке (W. Blashke) первой четверти прошлого века, она постоянно привлекала к себе внимание геометров. В 1923 году в Германии, в 1959, 1960 и 1977 годах в Советском Союзе, в 1991 году в Японии, в 1993 году в Германии и в 1994 году в США были изданы монографии [1], [31], [38], [40], [43] и [56], специально посвященные аффинной дифференциальной геометрии. Начиная с 1986 года (конференция в Обервольфахе, см. [42]) стали проводиться международные конференции по аффинной дифференциальной геометрии.

Следует констатировать, что если для отечественных геометров аффинная дифференциальная геометрия была традиционным объектом изучения, интерес к которой к концу прошлого века постепенно сошёл на нет, то у зарубежных геометров, наоборот, с конца прошлого века активность исследований в этой области резко возросла.

Толчком для возрождения их интереса послужила лекция [61], прочитанная одним из классиков геометрии Номидзу (К. Nomizu) в Мюнстерском университете в 1982 году с «грандиозным», как об этом пишет Клингенберг (W. Klingenberg) в [51], названием «Что такое аффинная дифференциальная геометрия?».

В лекции Номидзу выдвинул новую структурную точку зрения, согласно которой под аффинной дифференциальной геометрией следует понимать геометрию «-мерного гладкого многообразия Мсэкви-

аффинной структурой (б), V), где ю - элемент объема на М, а V -

аффинная связность без кручения такая, что Vco = 0.

За лекцией последовал цикл статей Номидзу (см., например, [55], [57-60]), который завершила его монография [56]. В пропаганде нового направления исследований приняли участие такие известные геометры, как Яу (Ch.-T. Yau), Калаби (Е. Calabi), Саймон (U. Simon) и др. Первые итоги проведённых исследований были подведены уже в 1988 году в лекции Саймона [65], а спустя два года в 1990 году это сделал уже сам Номидзу (см. [55]). К настоящему времени число работ «новой волны» по аффинной дифференциальной геометрии исчисляется уже десятками.

Нельзя сказать, что эти события не нашли отклика у нас в стране. В качестве подтверждения этого факта приведем цикл работ [23], [27], [29], [31], [69], в которых изучался аффинный аналог техники Бохнера для многообразий с эквиаффинными структурами и описывалась локальная геометрия тензорных полей на таких многообразиях.

В этих работах эквиаффинная структура рассматривалась в рамках теории G-структур, а именно, как SL(«, R) -структура, которая согласно общей теории является интегрируемой (см. [12], стр. 13), допускающей сводимую к ней аффинную связность без кручения, т.е. эквиаффинную связность.

При построении дифференциальной геометрии многообразий наряду с объектами этой теории, которыми являются многообразия, снабженные той или иной структурой, равноправную роль играют отображения, сохраняющие эти структуры. Так, в римановой геометрии многообразий это изометрии, а в аффинной дифференциальной геометрии многообразий это будут изучаемые в данной диссертации эквиаффиппые отображения. Точнее, такие диффеоморфизмы п-

мерных многообразий с эквиаффипными SL(n, R) -структурами, которые индуцируют изоморфизмы данных структур этих многообразий.

Несмотря на то, что теория G-структур и их изоморфизмов (в частности, автоморфизмов) хорошо разработана, теория изоморфизмов SL(rt,R) -структур бедна геометрически содержательными теоремами (см. [12]), если не включать сюда факты теории, связанные с симплектическими структурами. Присоединение к SL(«,R)-структуре эквиаффинной связности V позволило в диссертационном исследовании построить геометрически содержательную теорию изоморфизмов этих структур (теорию эквиаффинных отображений) при том, что работ в данном направлении еще не было.

Цель диссертационной работы состояла в изучении геометрии эквиаффинных отображений.

Основные задачи диссертационной работы:

1. дать определение эквиаффинных отображений многообразий с эк-виаффинными структурами и (псевдо)римановых многообразий; установить их основные свойства;

2. сформулировать и доказать ряд необходимых и достаточных условий эквиаффинности отображений многообразий с эквиаффинны-ми структурами и (псевдо)римановых многообразий;

3. провести классификацию эквиаффинных (в частности, эквиобъем-ных) отображений (псевдо)римановых многообразий;

4. изучить как локальную, так и глобальную геометрии выделенных классов.

Методы исследования. Изучение геометрии диффеоморфизмов я-мерных многообразий с эквиаффипными SL(n,R) -структурами, а также геометрии выделенных классов эквиаффинных отображений

(псевдо)римановых многообразий проведено классическими методами дифференциальной геометрии, используя теорию, изложенную в монографиях [3], [4], [12] и [13], как основной источник. Классификация эквиаффинных отображений (псевдо)римановых многообразий проведена с использованием теории представлений групп, изложенной в классической монографии Г. Вейля (см. [6]), а также с помощью некоторых модификаций этой теории, содержащихся в статьях сборника

[5].

Глобальный аспект геометрической теории эквиаффинных отображений будет изучен с помощью техники Бохнера - аналитического метода, основанного на применении интегральных формул Вейценбо-ка (см., напр., [3], стр. 77-83; [70]).

Научная новизна работы. В диссертационной работе дано определение эквиаффишюго отображения и-мерных многообразий с эк-виаффинными SL(«,R)-структурами и (псевдо)римановых многообразий, установлены их основные свойства; проведена классификация эквиаффинных (в частности, эквиобъемных) отображений (псев-до)римановых многообразий; изучена как локальная, так и глобальная геометрии выделенных классов.

Практическая значимость работы. Диссертационная работа носит теоретический характер; ее результаты могут найти применение в исследованиях в аффинной и римановой геометриях.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 4 статьях и 5 тезисах (см. [73]-[81]).

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на XII Международной конференции «Математика в высшем образова-

ний» (г. Чебоксары, 2004 г.), XVI Международной летней школе-семинаре по современным проблемам теоретической и математической физики (г. Казань, 2004 г.), Международной научной конференции "Актуальные проблемы математики и механики" посвященной 200-летию Казанского университета и 70-летию НИИ математики и механики им. Н.Г. Чеботарева (г. Казань, 2005 г.), Четвертой молодежной научной школе-конференции (г. Казань, 2005 г.)-

Основные результаты диссертации обсуждались на научных семинарах кафедры геометрии КГУ (рук. проф. Б.Н. Шапуков) и кафедры геометрии ВГПУ (рук. проф. СЕ. Степанов).

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, 3 глав, списка литературы, содержащего 81 наименований и занимающего 11 страниц печатного текста. Общий объем диссертационной работы 109 страниц печатного текста.

Краткое содержание диссертационной работы.

Во введении дается небольшой обзор работ, непосредственно относящихся к теме исследования, обосновывается актуальность темы, формулируются цели и задачи диссертационного исследования, излагаются основные полученные результаты.

В первой главе рассматривается «-мерное С^ж - многообразие М с линейной связностью V без кручения и, в частности, риманово многообразие Мсо связностью Леви-Чивита V. Тензорное расслоение

типа (p,q) над М обозначается символом Т^{Р,Ч)М . В частности,

С^да-сечениями расслоений ТМ-Т^'^Х)М и Т'М-Т^{*'⁰⁾М являются, соответственно, векторные и ковекторные поля на многообразии А/. Расслоения ковариантных симметрических и кососимметрических

тензоров над М обозначаются через S^PM:=S^P(TM) и Л^РМ:=А^Р(Т'М).

Линейная связность V представляется отображением X—>V_X, сопоставляющим каждому векторному полю X є СТМ оператор V^ в пространстве СТМ векторных полей, который СА/-линейно зависит от I и удовлетворяет "правилу Лейбница" V_x{fY) = {X{fW + fV_xY для feC"M и X, Y є С*ТМ . Задание связности V на М сводится к выбору символов Кристоффеля Г^ є С"U в каждой карте [U, Ф), которые преобразуются при замене локальной системы координат по известному закону (см., напр., [21], стр. 13; [34], стр. 28). Если тензор Риччи Ric связности V удовлетворяет условию симметрии Ric(X,Y) = Ric(Y,X) для любых

X,Y єТ_хМ в каждой точке хєМ, то линейная связность V без

кручения называется эквиаффипной. В этом случае необходимо и достаточно существования на М нигде не обращающейся в нуль и-формы

G) такой, что V#> - 0 и ее скалярной плотности ц/ є СМ такой, что

а, іп^ = г:;.

Во втором параграфе рассматривается С⁰⁰ - отображение

/ :М -> М гладких С -многообразий М и М размерности п и п

соответственно. Оно называется диффеоморфизмом А/на М , если/-взаимно однозначное отображение многообразий М на М, причем

/" - отображение класса С^ж. Для каждого такого отображения в произвольной точке х є М существует дифференциал отображения \f*h'T_xM ->Т_/(х)М. Если на многообразиях М и М заданы аффинные связности V и V соответственно, то диффеоморфизм

f: M -> M будет аффинным при условии, что его дифференциал каждое параллельное вдоль любой кривой у в М векторное поле X переводит в параллельное вдоль соответствующей в М кривой У - ї(ї) векторное поле X = f, (X).

Далее приведены и указаны свойства проективного, субпроективного, конформного и гармонического отображений. Так, в частности, необходимым и достаточным условием проективности отображения/служит равенство Т_1} =Г^ -Т_ц =iff_iS_J +Ц/^, для некоторого

ковектора y/j. Субпроективное отображение возможно тогда и только тогда (см. [72]), когда в общей по отображению/системе локальных координат х\...,х" выполняются равенства 7^=1^-1^.=

= <5?0,+Я#. + #'<г, для некоторых 0єСТ^ітМ и aeC"S²M с локальными компонентами 0, и <у_ц соответственно. В случае конформного отображения вытекает следующая зависимость между коэффициентами связности Леви-Чивита римановых многообразий

(M₉g) и (A7,jf) (см. [22], стр. 67) 7^=^-^=(7,.^+^-

~S ^asS,j, где T_i} -тензор деформации конформного отображения,

с>₍ - символ Кронекера, а а\ =д.а. Для гармоничности отображения

f: М ~> М необходимо и достаточно выполнения уравнений Эйлера-Лагранжа (см. [7]), которому в общей по отображению/системе локальных координат х ,...,х" можно придать вид g'^JT;j =0, где

Ту =Yjj -Г^ - локальные компоненты тензора деформации

_r=v-v.

В третьем параграфе рассматриваются некоторые G-структуры на дифференцируемых многообразиях и их изоморфизмы. Главное

расслоение линейных реперов над многообразием М обозначается через L(M) = (LM,M,x,GL(n,R)). Согласно Чжэня (см. [45]), под G-структурой на гладком многообразии М понимается сведение структурной группы GL(w, R) расслоения линейных реперов L(M) над М к некоторой подгруппе Ли G cGL(/i,R). Тогда G{M) = {LM,M,x,G) для G-структуры на М. Касательное отображение /, индуцирует изоморфизм расслоений линейных реперов f,: 1{М) —> L(M). Если при

этом /. отображает G(M) на G(M), диффеоморфизм/называется (см. [12], стр. 9) изоморфизмом G-структуры многообразия М на G-структуру многообразия М . Если G-структура G{M) на многообразии М интегрируема, то G(M) допускает связность без кручения.

При G = GL⁺(«,R) многообразие М обладает атласом, в котором переходы от одних локальных координат к другим в областях пересечений карт имеют положительные якобианы, что совпадает с классическим определением ориентированного многообразия. Справедливо

Предложение 3.2. Если М - связное многообразие размерности

п, то каждая GL (ff,R) -структура на М определяет однозначно нигде не равную нулю п-форму с точностью до скалярной функции в качестве множителя. И, обратно, каждой нигде не обращающейся в нуль п-форме на М соответствует однозначно определенная

GV (п, R) -структура.

В случае если для каждой ориентированной системы локальных координат х ,...,*" карты (ДФ) форма со на Мудовлетворяет условию ^(5,,...,5,,) > 0, «-форму о называют элементом объема многообразия М (см. [13], стр. 259).

Приведены необходимые и достаточные условия изоморфизмов GL⁺(n,R) -структур и SL(w, R) -структур. Так, в частности, установлено, что для изоморфизма SL(/7, R) -структур {с), V) и [Ш, V) многообразий М и М необходимым и достаточным условием является выполнение равенства /'ф = СШ. В диссертации доказывается классификационная

Теорема 3.1. Существуют только три класса изоморфизмов SL(w, R) -структур. Они порождаются диффеоморфизмами

f'.M-їМ связных многообразий с SL(w, R) -структурами, которые уменьшают (для С < 1), увеличивают (для С > 1) и сохраняют (для С = 1) элемент объема (о многообразия М. Также доказано

Следствие. Пусть М- дифференцируемое класса С^ж п-мерное многообразие с SL(«,R)-структурой, тогда /:М->М - диффеоморфизм многообразия М на себя есть автоморфизм этой структуры, сохраняющий элемент объема (о, если й) имеет компактный носитель в М, который, в частности, может совпадать со всем многообразием М.

В четвертом параграфе приведены необходимые факты из теории представлений групп. В частности, рассматривается тензорное расслоение Т^{р,)М над С⁰⁰-многообразием М размерности п со стандартным слоем Т^{р' Е, где Е-Т_ХМ для произвольной точки х є А/. Оно является поточечно приводимым, поскольку допускает GL(n, R) -инвариантные подрасслоения. В случае (псевдо)риманова М каждое такое подрасслоение может содержать 0(л, k, R) -инвариантные подрасслоения.

Здесь со ссылкой на монографию Г. Вейля (см. [6]) показано,

что каждое тензорное поле Т є СТ М можно представить в виде ортогональной суммы двух тензорных полей - его "следовой" 'Т и "бесследовой" Т компонент. В качестве примера рассмотрено разложение тензорного пространства Т^{р,0) Е = S² Е А Е. Для определения максимального числа неприводимых относительно действия

0(n,k,R) подпространств пространства Tⁱ²'⁰⁾E приводится теорема Вейля об инвариантах (см. [5], стр. 156-157; [6], ІІ.9,11.17) и дополняющие ее утверждения (см., например, [5]). Эффективность этих утверждений иллюстрируется на примере поточечного 0(n,k,R)-

инвариантного разложения тензорного расслоения Т ' М .

Во второй главе дано определение эквиаффинных отображений многообразий с эквиаффиниыми структурами и (псевдо)римановых многообразий и установлены их основные свойства.

В первом параграфе рассмотрена аффинная дифференциальная геометрия многообразия Ыс эквиаффинной структурой (<$,). В соответствии с инвариантным относительно действия группы GL(/7,R) разложением тензора кривизны R эквиаффинной связности V на следовую и бесследовую части R = 'R + R, выделяются два класса эквиаффинных структур: Риччи-плоские, для которых Ric = 0 и эквипро-ектквпые, для которых тензор проективной кривизны Вейля W = 0.

В случае эквипроективной связности символы Кристоффеля

связности V имеют вид Г^ = y/jS'_k +iy_k3'j. При этом произвол в выборе карт определяется формулами замены локальных координат А{ для произвольных постоянных А[ и А.Справедливо

Предложение 1.1. Для заданной на n-мерном связном многообразии SL(«, R) -структуры из всего множества эквиаффинных связ-ностей эквипроективная является однозначно определенной с точностью до выбора системы локальных координат.

Так как на п араком пактн ом многообразии А/ всегда существует плотность (см. [10], стр. 126-127), а, следовательно, и SL(w,R)-структура, сформулированное предложение может служить дополнением двух других известных утверждений, согласно которым на пара-компактном многообразии существуют аффинная (см. [20], стр. 231) и риманова (см. [10], стр. 197; 201) связности.

Справедливо обратное

Предложение 1.2. По заданной на n-мерном многообразии М эквиаффинной связности SL(/z, R) -структура определяется однозначно.

Во втором параграфе рассмотрены два С⁰⁰ -многообразия Ми М с эквиаффинными SL(«,R)-структурами {о),У) и {(0,У) соответственно. Сформулировано

Определение 2.1. Диффеоморфизм f:M->M n-мерных связных многообразий с эквиаффинными SL(«, R) -структурами (

(ft),V) соответственно называется эквиаффииным отображением,

если /*:ТМ —>ТМ будет гшдуг^ировать изоморфизм SL(«,R)-структур этих многообразий.

Доказана

Теорема 2.1. Диффеоморфизм f'.M-^M n-мерных связных многообразий с эквиаффинными SL(h,R) -структурами (#>,V) и (й>, V) соответственно будет эквиаффииным отобраоісением тогда

и только тогда, когда traceT = О для Т = V - V - тензора деформации связности V в связность V.

Характеристику эквиаффинным отображениям дает

Следствие 1. Диффеоморфизм f :М -> М многообразий с эк-виаффинными SL(«,R) -структурами будет эквиаффинным отображением тогда и только тогда, когда divX = div(f.X) для любого ХєТМ.

Также доказано утверждение, которое указывает на особую роль эквиаффшшых отображений.

Следствие 2. Произвольный диффеоморфизм f'. М -> М многообразий с эквиаффинными SL(n,R) -структурами (ey,V) и (<у, V) соответственно представим в виде композиции f = ff' эквиаф-

финного f':M -> М* и проективного f ' М'-~> М отображений для диффеоморфного М многообразия М' с эквиаффинной SL(rc,R)-структурой (tf>,V"J.

В третьем параграфе дано определение и доказан ряд необходимых и достаточных условий эквиаффинпости отображений (псев-до)римановых многообразий.

На основании критерия эквиаффинности отображения

/;М~>М многообразий с эквиаффинными структурами дано следующее

Определение 3.1. Диффеоморфизм f: М -> М {псев-

до)римаповых многообразий \M,g) и \M,g) называется эквиаффинным отображением, если для любого X є ТМ выполняется равенство divX = div(f*X).

На основании необходимого и достаточного условия traceT = Q эквиаффшпюсти отображения /, справедливого и для случая (псев-до)римановых многообразий, доказывается

Теорема 3.1. Для того чтобы диффеоморфнос отображение f

{псевдо)риманова многообразия \M,g) со связностью Леви-Чивита V на (псевдо)риманово многообразие \M,g) со связностью Леви-Чивита V было эквиаффинпым, необходимо, чтобы выполнялись дифференциальные уравнения traceyg~ Vg)=0 или равносильные им

уравнения traceyg' Vgj-0.

В качестве примеров эквиаффинного отображения (псев-до)римановых многообразий доказаны следующие теоремы:

Теорема 3.2. Эквиобъемное отображение (псевдо)римановых многообразий является эквиаффинньш.

Теорема 3.3. Композиция f = ff конформного f:M^M и проективного f:M->M диффеоморфизмов является эквиаффинньш отображением f' М —> М {псевдо)риманова многообразия \M,g) на {псевд6)риманово многообразие \M,g), если метрика мііо-гообразия \M,g) определяется равенством g=e^ag для

^а_=і^

det#

+ const.

В третьей главе проведена классификация эквиаффинных (в частности, эквиобъемных) отображений (псевдо)римановых многообразий на основе теории представлений ортогональных групп, а также изучена как локальная, так и глобальная геометрии выделенных семи классов и найдены условия препятствующие существованию этих отображений.

В первом параграфе на основе теории представлений ортогональных групп доказывается классификационная теорема для эквиаф-финных отображений (псевдо)римановых многообразий.

Как было установлено в 3 параграфе второй главы, для того,

чтобы диффеоморфизм /:М~>М (псевдо)риманова многообразия \M,g) на (псевдо)риманово многообразие \M,g) был эквиаффинным необходимым и достаточным является условие g^tJT^ = 0 для тензора

деформации связности Леви-Чивита V многообразия (A/,g) в связность Леви-Чивита V многообразия \M,g). Следствием этого будет разложение Т в поточечно ортогональную сумму трех тензорных полей, соответствующих неприводимым компонентам действия ортогональной группы 0(п,к, R). Справедлива

Теорема 1.1. Инвариантным образом выделяются семь классов эквиаффиппых отображений f:M->M (псеедо)римановых многообразий \M,g) и [M,gj, для каждого из которых поле T = V-V, рассматриваемое как сечение расслоения T'MS М =

является сечением соответствующего

поточечно инвариантного подрасслоения 3, \ГМ), 3₂ \ТМ) и

одной из их прямых сумм или же подрасслоения

ъ₁(тм)п%₂{тм)пз₃{тм).

Справедливость этой теоремы следует из доказываемой в этом параграфе леммы из теории представления групп. Лемма. Тензорное пространство

(()=

Т eE'S²E

Т(а, Ь, с) = Т (а, с, b); ]Г f(e,, e_i, с) = О

i=]

для ортонормировапного относительно q базиса {e_t,...,е„} и произвольного сеЕ разлагается в ортогональную сумму трех неприводимых относительно действия ортогональной группы 0(п,к, R) подпространств

3_L()= {Т є 3()| Т(а,Ь,с)= Т(Ъ,а,с)\-

3₂() = (ГєЗ() т(а,Ь,с)+т(Ь,с,а)+Т(с,а,Ь)=0\_;

3,(е)={т єЗ(Е)\Т{аЛс)=(п² +п-2У х х[(п + \)7{а)д{Ь,с)-7(ьЫа,сУ7(с)д{а,Ь)]},

где7(а) = ^Т(а,е,^)-

i=i

Во втором параграфе сформулированы условия, характеризующие эквиаффинные отображения классов 3[ 3₂; 3₂ 3₃;

З, 3₃ и описана геометрия каждого.

Так для эквиаффинного отображения f: М -> М класса З, Ф 3₂ доказана следующая

Теорема 2.1. Эквиаффинные отображения /:М—>М класса

3, Ф 3₂ псевдоримановых многообразий исчерпываются эквиаффин-ньши гармоническими отображениями.

Для эквиаффинного отображения f :М —>М класса 3₂ Ф3₃ доказана, характеризующая его

Теорема 2.2. Эквиаффинное отображение f '.М —> М (псев-до)римановых многообразий \M,g) и [M,gJ будет отображением класса 3₂ 3₃ тогда и только тогда, когда g будет для мпогообра-

зия М конформно киллинговьш тензорным полем в связности Леви-Чивита V.

Зададим в касательном пространстве Т%М в произвольной точке

хеМ (псевдо)риманова многообразия \M,g) конус уравнением g(X^,X^) = 0 для Х^ є Т^М, тогда из Теоремы 2.2. выводится

Следствие. Пусть f 'М —> А/ - эквиаффинное отображение

класса 3₂S3₃ (псевдо)ршшнова многообразия \M,g) на (псев-

до)риманово многообразие \M,g}, тогда g будет задавать в ТЫ

геодезическое поле конусов, ана М - первый квадратичный интеграч уравнений изотропных относительно g геодезических. Если при этом

trace J^ -V)=grad а для некоторой функции стєС'М, то g-e"-¹'' g

будет тензором Киплинга, задающим на многообразии \M_bg) первый квадратичный интеграл уравнений геодезических.

Если рассмотреть открытое связное в топологии М множество

/_g, состоящее из точек, в которых число различных собственных

значений оператора G постоянно, то собственные значения оператора G определяют попарно различные гладкие собственные функции и каждая такая функция Л задает гладкое распределение

этом случае справедлива Теорема 2.3. Пусть f:M->M - эквиаффинное отображение класса 3₃ 3₃ (псевдо)ршіаиова многообразия \M,g) на (псев-до)риманово многообразие \M,g) и Л - собственная функция тензора g на множестве f/^cM, Тогда собственное распределение D_A будет омбилическим, а в случае его неизотропности 2g(trace_f,(V-v),x)+{n+2)x(ln^\)=0 для всех полей X^C^a'D_k

В случае если тензор g имеет на (Л/, ^только две собственные функции Ли// постоянных кратностей т и п-т доказано

Следствие. Пусть J '.М -> М - экеиаффынное отображение класса 3₂ 3₃ (псевдо)риманова многообразия (M,g) на компактное ориентированноершшново многообразие \M,g).

5. Если на М всюду секционная кривизна К < 0 и тензор g имеет только две различные собственные функции постоянных кратностей, то М локально изометрично прямому произведению М_х х M_/t ;

6. Если М - многообразие неположительной секционной кривизны, обладающее, по меньшей мере, одной точкой, в которой секционная кривизна по всем двумерным направлениям строго отрицательна, то тензор g на М не может иметь только две различные собственные функции постоянных кратностей.

Для эквиаффинного отображения /: М -> М класса 3,Ф3₃ справедлива, характеризующая его

Теорема 2.4. Эквиаффинное отображение f: М —> М (псев-до)ргшановых многообразий \M,g) и \M,g) будет отображением класса 3₍ 3₃ тогда и только тогда, когда g будет для многообразия М конформно кодагщиевьш тензорным полем в связности Леви-Чивита V.

Если же (О = grad а для некоторой функции и є С^ХМ, то справедливо

Следствие. Пусть /:М-^М - эквиаффинное отображение класса 3,Ф3₃ {псевдо)римапова многообразия (M,g) на (псев-до)римановомногообразие \M,g). Если trace (V-V)=gradf для не-

которой фунщии а еС М, то g=e"² g будет тензором Кодацци для многообразия \M,g).

Для собственной функции Л, которая задает гладкое распределение Ці :xeU_g ->D^fixjcTfU_g доказана теорема 2.5., аналогичная теореме 2.3. и сформулировано соответствующее следствие.

В третьем параграфе сформулированы условия, характеризующие эквиаффиппые отображения классов 3,; 3₂; 3₃ и описана геометрия каждого из этих классов.

Для эквиаффишюго отображения /: М -> М класса 3, справедлива

Теорема 3.1.Для того чтобы отображение /:М~>М (псев-до)риманова многообразия \M,g) па (псевдо)риманово многообразие \M,g) было эквиаффинным отобрюїсснием класса 3, необходимо и достаточно, чтобы f было гармоническим отображением и g —

тензором Кодацци в связности Леви-Чиеита V.

Опираясь на известные факты о геометрии римановых многообразий, несущих тензорные поля Кодацци (см. обзор в [4], стр. 590-598) доказана

Теорема 3.2. Пусть f :М -* М - эквиаффинное отображение

класса 3| риманова многообразия \M,g) на римапово многообразие

\М, gj постоянной кривизны К, тогда тензор g имеет вид

g = V(dF)+ К Fg, где функция F находится как решение уравнения

Пуассона AF + K[trace_sg)F = n для лаппасисана Ходжа-де Рама Д

многообразия \M,g).

Здесь же отмечено, что на компактном римановом многообразии (M,g) в силу леммы Хопфа (см. гл. I, п. 1.4.) выполняется равенство F = const, которое означает, что g = C g для С > 0, а потому отображение / - гомотетия (см. [14], стр. 264), при этом F и К

должны быть одного знака, поскольку С = К F.

Для определяемых в [18], [64] сопряженных связностей доказаны

Предложение 3.1. Диффеоморфизм f'.M^-M псевдоримано-вых многообразий со связностями Леви-Чивита V и V соответственно будет эквиаффшшьш класса З, отобраэсением тогда и только тогда, когда на многообразии \M,g) существует линейная связность V без кручения такая, что связность Леви- Чивита V является средней связностью сопряженной чебышевской пары (V, g, V).

Предложение 3.2. Если /:М->М эквиаффинное класса 3₍ отображение {псевдо)римановых многообразий, то

Seal - trace_R Ric

Здесь J - инвариант Пика (см. [38], стр. 164), который в случае римановых многообразий J = [n(«-l)f |С| >0, что равносильно неравенству trace Ric й Seal. Это позволяет доказать

Следствие. Пусть /:М-*М - диффеоморфное отображение римановых многообразий. Если

7. trace_g Ric > Seal и /єЗ,, то либо {M,g) - локально приводимое многообразие, либо/- гомотетия;

8. trace Ric > Seal, mo / ( 3,.

Для эквиаффшшого отображения /:М->М класса 3₂ справедлива, характеризующая его

Теорема 3.3. Для того чтобы отображение /:М^М (псев-до)ршшнова многообразия (M,g) на (псевдо)ргшаново многообразие \M,g) было оквиаффинпым отображением класса 3₂ необходимо и достаточно, чтобы данное отображение было гармонически,^, a g —

тензором Киллинга в связности Леви-Чивита V.

Используя факты из геометрии многообразий, допускающих тензоры Киллинга или, что равносильно, первые квадратичные интегралы уравнений геодезических, сформулированы и доказаны следующие два утверждения

Следствие. Если (псевдо)риманово многообразие \M,g) допускает эквиаффинное отобраоїсение f: М ~> М класса 3₂ на некоторое {псевдо)риманово многообразие \M,g) постоянной кривизны, то его метрический тензор g в общей по отображению f системе координат X^і, ... ,х" имеет компоненты

для симметричных по первым двум индексам постоянных A_{ljkl t} A_ljk, Ay таких, что

Ал, + *_}ы + А,л = 0; Л* ^{+ A}Ai ^{+ А}ц ⁼ Теорема 3.4. Эквиаффинное отображение f'.M-^M класса 3₂ (псевдо)риманова многообразия \M-,g) на компактное ориентированное риманово многообразие [M,g) неположительной секционной кривизны, которое имеет, по меньшей мере, одну точку, в кото-

рой секционная кривизна по всем двумерным направлениям строго отрицательная, является гомотетией.

Используя теорию сопряженных связностей нами была доказана

Теорема 3.5. Пусть диффеоморфизм f: Л/ —> М ршшновых многообразий со связностями Леви-Чивита V и V соотеетстветю будет эквиаффинным класса 3₂ отображением, тогда на многообразии [М, g) существует линейная связность V с кручением S такая, что

1) связность V является средней связностью взаимной пары

связностей V и V + S;

2. V и V образуют сопряженную относительно поляритета g пару (V, g, V);

3. пара сопряженных связностей \V, g, V) является чебышев-

ской.

В случае римановых многообразий получено равенство

trace Ric = Seal+ 1/2Щ , на основе которого доказано утверждение, аналогичное следствию предложения 3.2.

Для эквиаффинного отображения / :М -> Л/ класса 3₃ справедлива, характеризующая его

Теорема 3.6. Эквиаффинное класса 3₃ отображение

f;M-*M {псевдо)риманова многообразия \M,g) на некоторое {псевдо)римапово многообразие \M,g) является субгеодезическим отображением, переводящим изотропные геодезические многообразия \M,g) в геодезические многообразия \M,g).

Используя результаты статьи [53], для случая, когда Ту = Г_? -Ту = 6_ів_}+6_]9_і + і; g_y, указаны канонические виды, к ко-

торым можно привести метрические формы ds =gijdx' dx^J и ds² -gjjdx' dx^j римановых многообразий {M,g) и \M,g) при условии, что среди корней уравнения delygy-r gyj=0 имеются различные. Так, в частности, если на открытом связном в топологии М множестве Ug число различных собственных значений оператора G постоянно и равно п, то будет справедливым

Следствие. Пусть f: М —» М - эквиаффгшиое отображение класса 3₃ риманова многообразия \M,g) на риманово многообразие \M,g) и тензор g на множестве U- обладает п различными собственными функциями. Тогда метрические формы ds = g_ijdx' dx^J и ds = gjjdx' dx-* данных многообразий в общей по отношению отображению f:M->M системе локальных координат х ,...,х" приводятся к виду

ds² = e²^ ^{^(^^)(^7 + - + ^)^)^^^

для d_im^[2{n + 2)]~^ld_i(\n{detg/dctg))uz{x) = [x~x^l)...(x-x").

В заключении показано, что эквиаффинное отображение

/: М -> М класса 3, г» 3₂ п 3₃ характеризуется условием Т = 0 и,

следовательно, носит название аффинного. Наличие подобного экви-аффинного отображения приводит к двум взаимоисключающим случаям:

1) риманово многообразие [М, g) является приводимым, т.е. локально изометричным произведению римановых многообразий

А/jX...xA^ для 2<т<п, если тензорное поле g имеет на Мразличные собственные функции /(^,...,Л_т постоянных кратностей; 2) g = С g для С > 0 и, следовательно,/- гомотетия.

Основные результаты, выносимые на защиту. В диссертационном исследовании нами

1. дано определение эквиаффинных отображений многообразий с эквиаффинными структурами и (псевдо)римановых многообразий; установлены их основные свойства;

2. сформулирован и доказан ряд необходимых и достаточных условий эквиаффинпости отображений многообразий с эквиаффинными структурами и (псевдо)римановых многообразий;

3. проведена классификация эквиаффинных (в частности, эк-виобъемных) отображений (псевдо)римановых многообразий на основе теории представлений ортогональных групп;

4. изучена как локальная, так и глобальная геометрии выделенных семи классов эквиаффинных отображений, найдены условия, препятствующие существованию этих отображений.

Некоторые G-структуры на дифференцируемых многообразиях и их изоморфизмы

Обозначим через L(M)-{LM,MtK,GL{r},4)) - главное расслоение линейных реперов над многообразием М (см. [11], стр. 58-60). Здесь LM = \j{x,e{,...,en) для произвольного базиса {ех,...,еп} касательно- го пространства ТХМ , я: LM -» Ы - естественная проекция, сопоставляющая каждому реперу (х,с,...,еп)его начало хеМ, п (х) -слой над точкой х, как множество базисов касательного пространства ТХМ , имеющий естественную структуру гладкого многообразия, на котором свободно и транзитивно действует справа полная линейная группа GL(K, R).

Согласно Чжэня (см. [45]), под G-структурой на гладком многообразии М понимается сведение структурной группы GL(w,R) расслоения линейных реперов L{M) над М к некоторой подгруппе Ли GcGL(«,R). Примем обозначение G{M) = {LM,M,x,G) для G-структуры на М. Рассмотрим два л-мерных С -многообразия Ми М с заданными на них G-структурами G{M) и G(M). Пусть f :М - М - диффеоморфизм, тогда касательное отображение f индуцирует изоморфизм расслоений линейных реперов / : L(M) -» ЦМ), Если при этом /, отображает G(M) на G(M), диффеоморфизм/называется (см. [12], стр. 9) изоморфизмом G-структуры многообразия М на G-структуру многообразия М . Если М = М, то L(M) = L(M) и тогда изоморфизмы G-структур называется их автоморфизмами (см. там же). Известно (см. [12], стр. 8), что G-структура G(M) на многообразии М интегрируема, если каждая точка х из М имеет координатную окрестность U с локальными координатами х ,...,х" такую, что сече- ( д д ) ние 7Tv4 расслоения ЦМ) над U есть сечение расслоения ,_ их ох ) G(M) над U. Такая локальная координатная система называется до- dxj пустшюй относительно данной G-структуры G(M). Если х ,...,х" и х ,...,х" - две допустимые локальные координатные системы на открытых множествах U и V соответственно, то матрица Якоби принадлежит группе G в каждой точке из Uf\U (см. там же). При этом справедливо Предложение 3.1 (см. [12], стр. 9). Если G-структура G(M) на многообразии М интегрируема, то G(M) допускает связность без кручения. Пусть G = GL+(«, R) - группа матриц с положительными определителями. Задание GL+ (л, R) -структуры на М равносильно ориентации его касательного расслоения ТМ . Поскольку GL+(л, R)-структура на М интегрируема (см. [12], стр. 13), то многообразие М обладает атласом, в котором переходы от одних локальных координат к другим в областях пересечений карт имеют положительные якобианы, что совпадает с классическим определением ориентированного многообразия. Обратное очевидно. Для доказательства достаточно рассмотреть естественные карты расслоения ТМ (см., напр., [10], стр. 30-31). На ориентированном С -многообразии М существует С форма со, нигде не равная нулю (см. [ 17], стр. 94-95). Если М -связное и о) другая «-форма, нигде не равная нулю, то, поскольку пространство «-форм на М одномерно, на М существует такая функция h, что со =hco и h либо всюду положительная, либо всюду отрицательная. При h 0 формы со и со называются эквивалентными. А наличие на М класса эквивалентных нигде не равных нулю л-форм равносильно требованию его ориентированности (см. [17], стр. 94). С другой стороны, задание на многообразии М нигде не равной нулю «-формы (О приводит к ориентации многообразия (см. [10], стр. 196). Сформулируем вывод. Предложение 3.2. Если М- связное многообразие размерности п, то каждая GL («, R) -структура на М определяет однозначно нигде неравную нулю п-форму с точностью до скалярной функции в качестве множителя. И, обратно, каждой нигде не обращающейся в нуль п-форме па М соответствует однозначно определенная GL+ (и, R) -структура.

Для примера укажем, что «-мерное связное односвязное многообразие ориентируемо (см. [17], стр. 96), следовательно, на таком многообразии всегда существует GL+ («, R) -структура, а с ней и класс эквивалентных и-форм. Замечание. На связном ориентируемом многообразии возможны только две ориентации (см. [10], стр. 30). В дальнейшем будем выбирать такую, что для каждой ориентированной системы локальных координат х1,...,хп карты [U,Ф) форма а на Мудовлетворяет условию й)(3],...,5л) 0. В этом случае «-форму 6) называют элементом объема многообразия М (см. [13], стр. 259). Пусть / :М - М - диффеоморфизм «-мерных многообразий с GL+(«,R)-структурами. Тогда для «-формы (О , принадлежащей GL+(«,R)-структуре многообразия Л/, «-форма / со будет принадлежать GL+(«,R)-структуре многообразия М в том и только в том случае, если f т -ho для «-формы Ш и скалярной функции h 0 на М. Это равенство является необходимым и достаточным условием изоморфизма GL+(«,R)-структур.

Представление линейных групп. Теорема Вейля

Расслоение Т РА М является поточечно приводимым, поскольку допускает GL(w, R) -инвариантные подрасслоения. Стандартный слой каждого такого подрасслоения является инвариантным относительно преобразований A&GL(n,H) подпространством из ТІРА)Е; при этом в слое порождается своё представление группы GL(«,R), возможно и неприводимое. С точки зрения приложений нас будут интересовать тензорные расслоения Т(р ]М для р -\. Хорошо известно (см. об этом в [6] и [15]), что стандартный слой Т Р,І))Е = р Е тензорного расслоения TlPl0)M приводим относительно действия группы GL(«,R). Действительно, симметрическая группа Sp всех подстановок из р элементов (и её групповая алгебра R(5P)) определяет естественные GL(«, R) -морфизмы пространства Tipfi)E .

При этом GL(«, R)-неприводимые компоненты Tlpfi)E оказываются образами некоторых так называемых симметрюаторов Юнга из R(SP), каждый из которых соответствует своей правильно заполненной схеме Юнга. Так, например, для тензорного пространства ТІ2 0)Е 2Е список всех правильно заполненных схем Юнга имеет вид:1112 Первой из схем соответствует оператор S , второй - оператор Л2 на пространстве Т{2 0)Е такие, что Im Л2 = ker S2. В соответствии с этим существуют два GL(«,R) неприводимых подпространства х є М метрика g задаёт невырожденную квадратичную форму q = gx на касательном пространстве ТХМ, превращая его в (псев- до)евклидовое пространство Е с ортогональной группой 0{п,к,R) преобразований А таких, что модули ТХМ и ТХМ изоморфны, что позволяет (пренебрегая вариантностью) рассматривать над (псевдо)римановым многообразием М только тензорные расслоения TipMM . Стандартный слой ТІР,0)Е тензорного расслоения Т{Р 0)М над (псевдо)римановым многообразием М является (псевдо)евклидовым пространством со скалярным произведением, определяемым по формуле для произвольных Т,Те.Тр,)Е, ортонормировашгого базиса {е,,...,еп} из Е и группой преобразований 0(tf,,R), естественным образом действующей в Т р Е . Как уже отмечалось, расслоение Т Е является поточечно приводимым, поскольку допускает GL(«, R) -инвариантные подрасс-лоения.

В случае (псевдо)риманова М каждое такое подрасслоение может содержать 0{п, к, R) -инвариантные подрасслоения. Выделение 0(w, к, R) -инвариантных подрасслоений тензорного расслоения Т Е производится поточечно с помощью симметриза-торов Юнга и 0(иД )-эквивариантных отображений свёртки trace: Т р ]Е — Т{р )Е для р j i \, определяемых При этом каждое тензорное поле Т є СТ р М единственным образом можно представить (см. [6], стр. 206) в виде ортогональной суммы двух тензорных полей его "следовой" Т и "бесследовой" Т компонент, таких, что для любых Xl ...,XpeCtDTM и соответственно trace Г = 0. Разложение Т= Т+ Т поточечно ортогонально и 0(n,k,R)- инвариантно. Оно определяет разложение расслоения Г(р ]М (или какого-либо его подрасслоения) в ортогональную сумму двух - "следового" и "бесследового" 0(и, к, R) -инвариантных подрасслоений. В качестве примера рассмотрим разложение тензорного пространства Т Р 0)Е -S2EA2E. Обозначим через S0E подпространство в S Е, состоящее из тензоров с нулевым следом. Тогда справедливо следующее разложение в ортогональную сумму T{mE = R-qS2EA2E, (4.2) поскольку для Т єТ{2 0 Е в ортонормированием базисе {е ...,еп} векторного евклидового пространства Е таком, что q(enej) = djj имеем где Ttj = T(eiyej).

Очевидно, что три компоненты разложения в правой части ортогональны. Для определения максимального числа неприводимых относительно действия 0(п,к,R) подпространств ТІ2 0)Е надо воспользоваться теоремой Вейля об инвариантах. Теорема 4.1. (см. [5], стр. 156-157; [6], П.9,11.17) Инвариантные относительно 0(n,k,R) нулевые линейные формы на р Е существуют только при четных р. В этом случае они порождаются следующими элементарными формами: При р = 2 единственная такая форма-след. Еще нам понадобится следующий результат. Предложение 4.1. (см.[5], стр. 156) Пусть W- такое векторное подпространство тензорной алгебры пространства Е, что пространство 0(я, k, R) -инвариантных квадратичных форм на W одномерно. Тогда W неприводимо относительно действия группы 0(n,k,R). В нашем случае 0(п, к, R) -инвариантными квадратичными формами будут следующие: к.і=\ Таким образом, имеется не более трех неприводимых подпространств пространства Т{2 0)Е. А потому разложение (4.2) является неприводимым относительно действия группы 0(«Д, R). подрасслоение расслоения L(M). В соответствии с общей теорией (см. гл. I, п. З.1.), если G-структура на многообразии М интегрируема, то на М существует связность без кручения, сводимая к G(M). При этом известна проблема (см. [46], стр. 213) сопоставления с каждой G-структурой на многообразии М однозначно определенной сводимой к G линейной связности V. Так, в случае (псевдо)риманова многообразия (M,g) произвольной сигнатуры, на расслоении ЦМ) существует единственная линейная связность V с нулевым кручением, сводимая к 0(п,к, R) (см. [10], стр. 201). Такая связность называется связностью Леви-Чивита и характеризуется условием У# = 0,где g - фундаментальная форма, соответствующая 0(п, к, R) -структуре.

Отображения многообразий с эквиаффинными структурами

Рассмотрим эквиаффинное отображение / . М — М (псев-до)риманова многообразия \M,g) со связностью Леви-Чивита V на (псевдо)риманово многообразие \M,g) со связностью Леви-Чивита V. Заменим в дальнейших рассуждениях тензор деформации T = V-V тензорным полем Г, определяемым равенством T(XJ,Z) = g(X,T(Y,Z)) для всех XJ.ZeC TM . Тензорное поле Т в силу Теоремы 2.2. главы II удовлетворяет, кроме условия Т{Х, Ї, Z)=T{X, Z, У), еще и дополнительному условию базис векторных полей на многообразии \M,g). Полагаем Е ТХМ для произвольной точки хєМ и введем в рассмотрение ему сопряженное пространство Е =Т М. Обозначим через S Е вторую симметрическую степень Е . Тогда тензор Тх поля Т будет элементом подпространства 3() тензорного пространства Е S2E такого, что для произвольных векторов а, 6, с, и ортонормиро ванного базиса {е ,...,еп} (псевдо)евклидова векторного пространстваЕ. Тензорное пространство Ё S Е является пространством представления ортогональной группы 0{п,к,R), При этом (см, гл. I, 4), его подпространство 3() допускает разложение в сумму 3()= 3() ЩЕ) ортогональных подпространств, которая соответствует разложению тензоров Т є 3() на следовую и бесследовую части относительно оператора свертки trace23:E S Е Е , дейст- вующего по правилу для ортонормиро- і=і ванного базиса {ev...,en} пространства Е. При этом каждый тензор В свою очередь, подпространство 3() относительно действия оператора симметризации 3 допускает следующее ортогональное разложение для ортонормироеанного относительно q базиса {ei,...,en} и произвольного с є Е разлагается в ортогональную сулшу трех неприводимых относительно действия ортогональной группы 0(/7,&,R) подпространств Доказательство.

Перечисленные в теореме подпространства З. МХ 32(фкег53Пкег(;гасе 23) и 33(я) = 3() ЯВЛЯЮТСЯ ортогональными подпространствами пространства 3(). Более того, они неприводимы относительно действия группы 0(и,,К), т.е. раз- ложение в сумму 3()=3,()32()33() не содержит других слагаемых. Этот факт следует из теории инвариантов; достаточно проверить, что пространство 0(я, К)-инвариантных квадратичных форм на 3() трехмерно (см. [5], доклад IX; [6], II.9 и 11.17; [25]). Точнее, это пространство порождается формами Обозначим через Т М S2M ассоциированное с L(M) тензорное расслоение на А/со структурной группой 0(п,к,Щ и стандарт- ным слоем Е SE. Согласно теореме 2.2. главы II, условие trace! = 0 на тензор деформации Т= V - V является необходимым и достаточным для того, чтобы диффеоморфизм /; М - М многообразия \M,g) на многообразие \М, gj был эквиаффинным. В окрестности U а М с системой локальных координат х\...,х" этому условию можно придать вид g T =0 для ковариантиых компонент 7U тензора деформации Г, рассматриваемого здесь как сечение расслоения 71 М S М. Следствием этого будет разложение Т в поточечно ортогональную сумму трех тензорных полей, соответствующих неприводимым компонентам действия ортогональной группы 0(n,k,R). Этому разложению Т отвечает «грубая» классификация эквиаффинных отображений, когда к одному классу мы отнесем отображения, для которых Т-сечение одного из инвариантных подрасслоений ЗДГЛ/), 32(7JW) И 33(ГЛ/) или одной из их прямых сумм. Пополним список классов еще одним, для которого T = V-V является сечением подрасслоения 3,(Ш)п32(ГА/)п33(ГД/), т.е. когда 7-0. Такое отображение носит название аффинного (см. [13], стр. 212-216). Справедлива Теорема І.І. Инвариантным образом выделяются семь классов эквиаффинных отображений f .M-їМ {псевдо)римановых много образий \M,g) и (M,g), для каждого из которых поле F=V-V, рассматриваемое как сечение расслоения является сечением соответствующего поточечно инвариантного подрасслоения ЗДГМ), 32(ш) и 33(Ш) , одной из их прямых сумм или же подрасслоения ЗДш)п 32(ш)п 33(Ш).

Эквиаффинные отображения псевдоримановых многообразий

В свою очередь, метрический тензор g, удовлетворяющий уравнениям (2.2) назовем конформно кгтлинговьш в связности Леви-Чивита V, поскольку уравнения (2.2) инвариантны относительно поточечного конформного преобразования метрики g. Действительно, при конформном преобразовании метрики g вида g=eag для о є С1М уравнения (2.2) сохраняют свой вид, а именно (vxg){Y,Z)4%g)(Z,X)+(vzg)(X,Y) = Доказана следующая Теорема 2.2. Эквиаффинное отображение f :М - Л/ (псев-до)римановых многообразий \M,g) и \M,g) будет отображением класса 32 Ф33 тогда и только тогда, когда g будет для многообразия М конформно киллинговым тензорным полем в связности Леви-Чивита V. В касательном пространстве Т М в произвольной точке хеМ (псевдо)риманова многообразия [M,gj зададим конус уравнением g{Xj,Х )= О для Х% є Т М.

Тогда уравнения (2.2) будут необходимым и достаточным условием того (см. [36]; [37]), что параллельный перенос в связности V вдоль геодезической у : (о,Ь) с R — М , проходящей через точку х є М, переводит конус метрики g в конус метрики g. Это свойство является характеристическим признаком геодезического поля конусов (см. там же). Рассмотрим теперь произвольную в связности V геодезическую у, отнесенную к каноническому пара- dy метру s и ее касательное векторное поле X, т.е. X - . Пусть у яв- ds ляется изотропной относительно g, тогда g(X,X) = 0 и, как нетрудно проверить, для конформно киллингова тензорного поля g имеем (yxg)(X,X) 3(u(x)g(X,X) = 0. Последнее означает, что конформно киллинговое тензорное поле g задает первый квадратичный интеграл уравнений изотропных геодезических в связности V. Если же 6) = grader для некоторой aeC]M,jo поле g-eug удовлетворяет в общей по отображению / системе локальных координат х ,...,х" уравнению которое означает, что g = a ag - тензор Киплинга на многообразии \M,g). Последний, как известно, задает на многообразии [M,gJ первый квадратичный интеграл уравнений геодезических (см. [33], стр. 339-340; [41], стр. 157-161). Доказано Следствие. Пусть f :М М - эквиаффинное отображение класса 3233 (псевдо)риманова многообразия (M,g) на (псев- до)римапово многообразие [М ,g), тогда g будет задавать в ТМ геодезическое поле конусов, ana М — первый квадратичный интеграл уравнений изотропных относительно g геодезических. Если при этом trace gy7 -V)=grad а для некоторой функции аєСуМ ,то g = elr2"g будет тензором Киллипга, задающий па многообразии [M g) первый квадратичный интеграл уравнений геодезических. Для произвольной точки хєМ обозначим через D (x) T M собственное подпространство соответствующего gj линейного оператора Gs с собственным значением Л(х). Обозначим через Ug открытое связное в топологии М множество, состоящее из точек, в которых число различных собственных значений оператора G постоянно.

Тогда собственные значения оператора G определяют попарно различные гладкие собственные функции и каждая такая функция Я задаст гладкое распределение Пусть Я, }i - две такие собственные функции, тогда для любых векторных полей X, Y є C D и W є C D выполняется соотношение полученное из уравнения которое, в свою очередь, является дифференциальным следствием равенства GX-XX. С учетом (2.4) уравнение (2.2) предстанет в следующем виде: где g \yXY + VyX,W)=2g(Qi(X,Y\W) для второй фундаментальной формы Qx распределения Dx (см. гл.Г; п. 1.5.). Равенство (2.6) означает, что распределение /_)я - омбилическое (см. гл.1; п. 1.5.). Положим далее в (2.2), что X = Y = Z, тогда получим согласно (1.5), Следовательно, [A(y(Aj- (AjJg X, ) = 0. Если распределение DA нсизотропное, т.е. g{X,X) Q для всех ХєСда)д, тогда из последнего равенства выводим, что Jf(ln/l)= Й;(А") для всех X Теорема 2.3. Пусть /:М- М - эквиаффипное отображение класса 3233 (псевдо)риманова многообразия \M,g) на (псев-до)римаиово многообразие \М, gj и Л - собственная функция тензора g на множестве UgaM. Тогда собственное распределение Оя будет омбилическим, а в случае его неизотропности 2g(tracef,(V-V\x}+(n+2)x(\n\A\)=0 для всех полей XeC Dx. Рассмотрим случай эквиаффинного отображения f:M- M на компактное ориентированное риманово многообразие \M,g), где тензор g имеет только две собственные функции Лир постоянных кратностей ти п-т. Известна (см. [24] и [66]) интегральная формула для компактного ориентированного риманова многообразия, несущего два ортогональных омбилических распределения дополнительных размерностей ти п-т, которая будучи адаптированной к нашему где К\еа,еа) -секционная кривизна многообразия М в направлении подпространства л = $рст(ёа,ёа) оЦМ в произвольной точке х є М; х и , - векторы средних кривизн распределений Dx и „ такие,что QA{XJ) = g(X и № ) = s(x,Y%\ Fx и F, -тензоры

Похожие диссертации на Геометрия эквиаффинных отображений

Геометрия отображений в евклидово пространствоБогатый Семеон Антонович

Геометрия частичных отображений евклидова пространства, порождаемых заданной циклической сетьюФренеПапиева, Толкун Маматаевна

Дифференциальная геометрия обобщенно-геодезических отображений многообразия и их касательных расслоенийЛейко, Святослав Григорьевич

Некоторые задачи геометрии в целом для замкнутых невыпуклых поверхностей с биективным сферическим отображениемМендель, Виктор Васильевич