Введение к работе
Актуальность темы. Гомологии с внутренними симметриями - од-) из наиболее активно развивающихся направлений алгебраической їпологии, имеющее непосредственные применения к различным облас-ш математики и математической физики. Это направление возникло начале восьмидесятых годов, когда А. Конн1 и Б. Л. Цыган независимо >ели так называемые циклические гомологии и когомологии ассоциа-івньіх алгебр, оказавшиеся очень полезным инструментом в различ-IX зсідачах алгебр, геометрии, топологии и анализа. Достаточно ;азать, что циклические гомологии и когомологии успешно применя-'ся в теории эллиптических'операторов на слоениях, при описании імотопического типа пространств псевдоизотопий, в теории харак-ристических классов алгебраических многообразий и алгебраичес-ій К-теории. Они используются также в некоммутативной дифферен-;алыюй геометрии и в когомологиях алгебр Ли - в двух областях .тематики, которые, в первую очередь, и вызвали к жизни цикличес-е гомологии. В 1985 г. Ю..П. Соловьев с учениками разработал зр-товы варианты .циклических гомологии и гомологии Хохшильда - так зываемые диэдральные и рефлексивные гомологии .
Connes A. Cohomologie cycligue et foncteurs Ext II C.R.Acad.
Sci. Paris. 19S3. T. 296. P. 953-958.
Цыган Б. Л. Гомологии матричных алгебр Ли над кольцами и гомологии Хохшильда // УЖ 1983. Т. 38. N 2. С. 217-218. Красаускас Р. л. , Лапин С. В. , Соловьев Ю. IL Диэдральные гомологии и когомологии // Вестник МГУ. Сер. матем. мех. 1987. Н 4.0.1:8-32. Красаускас Р. Л. , Лапин С. В. , Соловьев Ю. II. Диэдральные гомологии и когомологии. Основные понятия и конструкции // Матом, со. 1987. Т. 133(.175). N5. С. 25-4«.
Это позволило Р. Л. Красаускасу создать обшую концепцию гомо-логии с внутренними симметриями. В работе Р. Л. Красаускас и К). П. Соловьев получили изоморфизм между диэдральными гомологиями дифференциальной градуированной алгеброй коцепей пространства петель односвязного топологического пространства и унитарной алгебраической К-теорией этого пространства. Это позволило им создать эффективную вычислительную схему для описания рационального гомотопического типа групп гомеоморфизмов односвязного многообразия, которая развивается по настоящее время в работах европейских и американских математиков (Тралле, Лоддер, Дунн и др.).
В 1989 г. А. Я. Хелемский рассмотрел топологические аналоги циклических гомологии и когомологий . Это позволило ему получить ряд новых результатов о гомологическом строении операторных алгебр, в частности, характеризацию К-аменабельности в смысле Конна.
Настоящая диссертация посвящена построению гомологии и когомологий с внутренними симметриями для 6 -алгебр. Цель диссертации:
1. . Разработать конструкции топологических гомологии и когомологий с внутренними симметриями для С -алгебр.
-
Красаускас Р. Л. Кососимплициальные группы // Литовский матем. сб. 1987. Т. 27. N 1. С. 89-99.
-
Красаускас Р. Л. , Соловьев Ю. П. Рациональная эрмитова К-теория и диэдральные гомологии // Изв. АН СССР. Серия матем. 1988. Т. 52. N 5. С. 935-969.
-
Хелемский А. Я. Банаховы циклические когомологий как банаховы производные функторы. // Ленинград, матем. журнал. В печати.
2. Вычислить диздральные когомологии для ядерных 6 -алгебр и для С -алгебр, не имеющих непрерывных следов.
В работе используются:
-
Гомологическая алгебра.
-
Алгебраическая топология.
-
Структурная теория о -алгебр.
-
Гомологическая теория операторных алгебр.
В диссертации получены следующие новые результаты:
-
Создана конструкция банаховых индексирующих категорий, обобщающая понятие регулярных индексирующих категорий Красаускаса - Соловьева. Определены объекты с внутренними симметриями как непрерывные контравариантные функторы из банаховой индексирующей категории в произвольную банахову категорию. Определен непрерывный аналог циклической,рефлексивной и диэдральной бар-конструкций для банаховых алгебр. Введены гомологии и когомологии объекта с внутренними симметриями и описаны их основные свойства.
-
Получено описание рефлексивных и диэдральных гомологии и когомологии банаховых алгебр в терминах функторов Ext и Тог. Получена теорема о расщеплении топологизированных циклических гомологии С-алгебры в прямую сумму положительных и отрицательных ди-здральных гомологии. Получен когомологический аналог ТейреМЫ о раещеплении.ч.
-
Построен топологический вариант относительных циклических когомологии банаховых алгебр и получены точные последовательное-
- г, -ти, связывающие эти когомологии с абсолютными циклическими когомо логиями алгебры и подалгебры.
4. Основываясь на теореме о расщеплении циклических когомологии в прямую сумму положительных и отрицательных диэдральных когомо.погии, получено полное вычисление диэдральных когомологии для ядерных С -алгебр и для С- -апгебр. не имеювдх непрерывных следов.
Габота носит теоретический характер. Результаты, полученные в ней, могут найти применение в теории операторных алгебр, а также в приложениях этой теории и теории индекса в квантовой теории поля. Результаты диссертации могут был., полезны специалистам, работающим в гомологической алгнбре, алгебраической топологии и теории операторных апгебр (МГУ, .ЛГУ. МИГАН, СОРАН).
Результаты диссертации докладывались на семинаре "Современные геометрические методы" кафедры дифференциальной геометрии \ приложений МТУ под руководством профессора А. Т. Фоменко.
ПУБЛИКАЦИИ По теме диссертации опубликована одна работа Ш.
СТРУКТУРА РАБОТЫ Диссертация состоит из введения и четырех глав. Текст изложен на 86 страницах, список литературы содержит 48 наименований.
