Содержание к диссертации
Введение
1 Ортогональные разложения алгебр Ли типа Ап \ и алгебры Гекке . 14
1.1 Определения ортогональных разложений, пар и алгебр Гекке 14
1.2 Связь с представлениями алгебр Гекке 17
1.3 Соответствие между алгебрами Гекке, графами и ортогональными разложениями 19
2 Представления псевдоотражениями алгебры Гекке произвольного графа и связь с представлениями алгебры путей . 23
2.1 Алгебры Темперли - Либа и В(Т) 23
2.2 Представления алгебры Гекке псевдоотражениями и модули над В(Т) 26
2.3 Гомоморфизм алгебры В(Т) в квантовый группоид Пуанкаре и модули над ним 31
2.4 Определение алгебры В{0) для любого графа Г2 и применение накрытий 37
2.5 Регулярные графы и свойства оператора 6 41
3 Применение некоммутативной геометрии к ортогональным разложениям . 47
3.1 Некоммутативные и коммутативные дифференциальные формы 47
3.2 Формально гладкие алгебры, универсальный гомоморфизм, пространства представлений и алгебры со следом . 53
3.3 Дифференциально - геометрические структуры на многообразиях герп(А) и facn(A) 59
3.4 Примеры 62
3.5 Следы и пространства представлений 67
3.6 Применение некоммутативной геометрии к алгебре путей графа Г 69
3.7 L - функции Ихары - Зельберга 72
3.8 Алгебра колчана и суперпотенциал 74
4 Применение к ортогональным парам для sl(n),n < 5. 80
4.1 Общая конструкция 80
4.2 Ортогональные пары в sl(n),n < 5 81
Заключение
- Соответствие между алгебрами Гекке, графами и ортогональными разложениями
- Гомоморфизм алгебры В(Т) в квантовый группоид Пуанкаре и модули над ним
- Формально гладкие алгебры, универсальный гомоморфизм, пространства представлений и алгебры со следом
- Применение некоммутативной геометрии к алгебре путей графа Г
Введение к работе
Понятие ортогонального разложения простой конечномерной алгебры Ли над алгебраически замкнутым полем к нулевой характеристики было введено в [1]. Напомним, что ортогональным разложением называется представление пространства алгебры Ли в виде прямой сумме попарно - ортогональных подалгебр Картана: = ".t/lK,-, причем К(!К{, !Н,) = 0 при і ф j, где К - форма Киллинга. Ортогональные разложения изучаются с точности до действия автоморфизмов из Aut(Cj). В работах [1], [2], [3], [4], [5] Кострикиных и Уфнаровского были построены ортогональные разложения для всех классических алгебр за исключением типов Ап-\ и Ст, где п - не является степенью простого числа, am- степенью двойки. На сегодняшний день известны только так называемые J - разложения, построенные в уже упомянутых работах.
Далее, вместе с ортогональным разложением Ъ изучались группы автоморфизмов Aut^D) - автоморфизмы алгебры Ли, сохраняющие ортогональные разложение Ъ. Далее, вместо понятия ортогонального разложения вводились более слабые формулировки:
Неприводимое ортогональное разложение - ортогональное разложение, группа автоморфизмов которого действует на пространстве алгебры Ли Я неприводимо.
Транзитивное ортогональное разложение - ортогональное разложение, группа автоморфизмов которого действует на множестве картановских подалгебр, входящих в него, транзитивно.
Кострикин А.И. и Фам Хуу Тьеп в [6], [7] с помощью классификации конечных простых групп классифицировали все неприводимые ортогональные разложения. В более поздней работе Иванов в [8] существенно ослабил требования о неприводимости.
В данной работе изучается связь между ортогональными разложениями алгебры Ли типа А, представлениями алгебр Гекке некоторого графа, оператором Лапласа на графе.
Первая глава является вводной, целью которой является сформулировать основные определения и известные результаты. Так в частности, вводятся основные определения: ортогональных разложений, ортогональных пар, алгебр Гекке произвольного графа.
Определение. Алгеброй Гекке назовем алгебру над Z[q] следующими порождающими и соотношениями: множество порождающих Я(Г) - Т{, соответствующие каждой вершины графа Г и соотношениями: для каждого Т{
№-1)(^-9)=0,
для каждой пары вершин i,j, соединенных га,-у — 2 ребрами: T/TjTi... = TjTiTj...rriij элементов с каждой стороны.
Формулируются основные предложения о связи ортогональных пар, разложений и так называемых "подходящих" матрицах. Далее формулируется предложение Иванова об ортогональных разложениях для конечномерной ассоциативной простой алгебры Мп(к), описанное в [9]. С помощью которой А.И. Бондалом была показана связь ортогональных пар, разложений и представлений псевдоотражениями алгебры Гекке фиксированного графа, описанная в монографии Кострикина и Тьепа [10].
Далее, чтобы уточнить эту связь, рассмотрим каким морфизмам графов соответствуют гомоморфизмы алгебр Гекке. А именно, разобьем множество вершин графа Г на подмножества Vi,..., V*, так чтобы для всех вершин из разных подмножеств выполнялось условие:
либо они все соединяются ребрами,
либо ни одна пара вершин не соединяются ребром.
Построим по подмножествам граф: подмножествам будут соответствовать вершины в этом графе. Если выполнено первое условие, то соединим их ребром, если второе, то ребро - отсутствует. Такие графы, построенные по Г назовем Г - редуцированными графами. Доказывается, что если существует сюрьективный гомоморфизм алгебр Гекке: р : Н(Г) —» #(П), то П - Г - редуцированный граф . Назовем
представления над Н(Т) - редуцированными, если они получаются из алгебр Гекке Г - редуцированных графов. Остальные представления назовем нередуцированными. На представлениях алгебры Гекке естественно определяется действие группы Aut(T) автоморфизмов графа.
Далее, доказывается предложение о взаимооднозначном соответствии между ортогональными разложениями Мп(к) и Aut(T) - орбит п - мерных нередуцированных представлений алгебры Гекке псевдоотражениями.
Во второй главе изучаются нередуцированные представления псевдоотражениями алгебры Гекке для произвольного графа и их связь с группоидом Пуанкаре графа.
Условие, что порождающие действуют псевдоотражениями, накладывают дополнительные соотношения. Профакторизовав по некоторым из них, получаем обобщенные алгебры Темперли - Либа ( в работе и далее будем обозначать их В (Г)).
Определение. Обобщенной алгеброй Темперли - Либа В (Г) для графа без кратных ребер и петель, как алгебру над кольцом целочисленных многочленов Z[r, г-1] с порождающими ,-, соответствующие вершинам графа Г и удовлетворяющими соотношениям:
ТЫ.а;- = Х{, для любой вершины і .
TL2.XjXj = 0, если нет ребра, соединяющего г и j.
TL3.X{XjXi = rxi,XjX(Xj = rxj, если существует ребро ij.
Таким образом, вместо алгебры Гекке надо изучать представления минимальными проекторами алгебры В(Г). Далее, изучаются соотношения между порождающими в представлении минимальными проекторами, соответствующие факторалгебры и их свойства. А именно, если рассмотреть элементы xaXb...XfXa, соответствующие циклу ab...fa в графе Г, то этому циклу однозначно сопоставляется скаляр Л. Далее, доказывается, что это соответствие гомотопически инвариантно. Следовательно, получаем что фиксированному представлению алгебры В(Г) минимальными проекторами соответствует характер первых гомологии графа Г.
Далее, для фиксированного характера х первых гомологии графа Г записываются соотношения в алгебре ВГ(Г). Профакторизовав по
этим соотношениям получим алгебру ВХ(Т). Размерность этой алгебры равна {фвершины(Т))2 4- 1. При общем характере первых гомологии, алгебра ВХ(Г) - полупростая, изоморфная /; 0 Мп(к) . Каждой вершине і соответствуют изоморфные проективные ВХ(Г) - модули
- Вх(Г)хі. Показывается, что подмодулями этих модулей могут быть
только тривиальные. Этот тривиальный подмодуль совпадает с ядром
оператора ^я; в пространстве модуля Вх(Г)х{.
Определим для графа алгебру путей Z[F(r)] как алгебру с порождающими Є,', СООТВеТСТВуЮЩИе ТрИВИаЛЬНЫМ Путем В ВерШИНе І И l{j
- ребрами, соединяющими вершины і и j и умножением, индуцирован
ным композицией путей и нулем, когда эта композиция неопределена.
Будем использовать для ребра, обратного к Uj обозначение Ijj.
Опишем конструкцию, предложенную Бондалом, кольца QP(T) квантового группоида Пуанкаре, являющееся однопараметрической тривиальной деформацией алгебры путей графа.
Приводится геометрическая реализация QP(T). Для этого надо вместо топологического пространства графа взять Г х S1. Выберем ориентацию в Г и базисную точку zq. Определим три типа ориентированных путей на этом пространстве: первый тип: г,- - простые петли 51 х і. Второй тип путей - стрелки zqX(стрелки в Г). Третий тип определим так: для каждой стрелки j = (zq х i,ZQ х j) из второго типа, определим ориентированный путь 7 из zq х j в zq х г, лежащий на цилиндре 51 х 7 и со свойством: 77 " гомотопна г,- в цилиндре.
Определяется структура QP(T) - бимодуля на идеале аугментации В+(Г) следующим образом: UjXk = 6jkXjXk,X{ljk = SijXiXk- Рассмотрим следующие элементы Qi = еі + Y2hj из кольца QP(T). Тогда соответствие ф : Х{ —> Qi определяет гомоморфизм В (Г) —У QP(F). Несложно показывается, что QP(T) как В(Т) - модуль является проективным, что позволяет судить о модулях над обобщенной алгеброй Темперли
- Либа по модулям над Р(Г). Для неприводимого В (Г) - модуля Vx
имеем изоморфизм В(Г) - модулей:
HomB(Y)(QP(T),Vx) й Вх(Г)х{.
Рассмотрим проективный модуль Pt = Z[P(T)]et, тогда он опреде-
ляет эквивалентность по Морите между модулями над группоидом и модулями над фундаментальной группой графа.
Введем элемент 6 = 3/у (этот элемент и называется оператором Лапласа на графе), здесь сумма берется по всем ребрам в графе. Далее, предлагается новое определение алгебры В (Г), введенное Бонда-лом, для произвольного графа как алгебра QPsP(T) , элементами которой будут элементами группоида QP(T) с измененным умножением: х * у = ху + хду. Элемент 5 определяет гомоморфизм В (Г) —> QP(T) соответствием: Х{ н-> е,-. Изучается применение конечных накрытий графов к гомоморфизмам обобщенных алгебр Темперли - Либа. При помощи накрытий определен гомоморфизм алгебр путей графов следующим образом: элементы одного группоида соответствуют сумме прообразов при накрытии в алгебре путей другого графа. Разбирается случай букета окружностей.
В заключении второй главы изучаются свойства оператора Лапласа на автоморфных функциях вершин регулярного графа. Используя описание тривиальных подмодулей в Вх(Г)хі, получаем что тривиальный подмодуль - ядро оператора 8 + 4^1 в Z[P(r)] - модуле автоморфных функций - Pt <8>2[тг(г,<)] кх. Изучается вопрос о нахождении характера х фундаментальной группы графа, при котором оператор 5 + 4р1 имеет максимальную размерность. Введем параметр графа s(r) как максимальное количество вершин в связной компоненте дуального графа. Доказывается оценка на размерность пространства собственных векторов, отвечающих одному собственному значению. А именно, эта размерность не более чем #вершинГ — s(T). В случае, когда дуальный граф - объединение к полных графов и оценка на размерность пространства собственных векторов достигается, то (6 — Х)(6 + (к — 1)А) = 0. При этом собственное значение А равно ±-y/s(r). Таким образом, ортогональные разложения алгебры Ли типа Л и ортогональные пары картановских подалгебр параметризуются характерами фундаментальных групп, соответствующих графов, при которых выполнено условие, что степень минимального многочлена элемента 5 при этом характере, равна 2.
В третьей главе вводятся основные определения Концевича, Розен-берга [11], Ле Брюйна [12], Прочезе [13], Крафта [14], Кунца, Квиллена [15] некоммутативной геометрии. Рассмотрим ассоциативную алгебру А. Определим некоммутативные 1 - дифференциальные формы ^А, как ядро А - бимодульного гомоморфизма: т : A a2 —> а\й2. Далее, изучается связь между некоммутативными дифференциальными формами и келеровыми дифференциалами для коммутативной алгебры. Результат можно сформулировать так: келе-ровы дифференциалы - факторпространство некоммутативных форм по пространству суперкоммутаторов [QlA, А]. Определяя универсальный след А - бимодуля М как отображение пространств: Tr : М —> М/[М, А], получаем что келеровы дифференциалы - это следы некоммутативных форм.
После дифференциальных форм введем понятие квазисвободной алгебры. В уже упомянутых работах одно из эквивалентных определений сформулировано так: Г2!Д - проективный бимодуль. Для эквивалентного определения нужно определить когомологии Хохшильда, тогда эквивалентны следующие утверждения: А - квазисвободная алгебра, А имеет гомологическую размерность 1.
Сформулируем определение герп(А) пространств п - мерных представлений алгебры А, как многообразие, параметризующее гомоморфизмы алгебры А в алгебру Мп(к). Свойство квазисвободности - инвариантно по Морите. Прочезе [13] показал, что пространство герп(А) - гладкое для любого п, тогда и только тогда, когда алгебра А - квазисвободная. На многообразии герп(А) естественно действует группа GLn(k). Фактормногообразие будем называть многообразием модулей.
Далее, следуя Концевичу и Розенбергу [11], определяем различные дифференциально - геометрические структуры. Функции на многообразии герп(А) - это симметрическая алгебра пространства следов элементов алгебры А. Некоммутативные дифференцирования алгебры А определяют дифференцирования уже введенной алгебры функций на пространстве представлений алгебры А. Доказывается, что касательное пространство в точке р к многообразию представлений
- пространство некоммутативных дифференцирований алгебры А с коэффициентами в бимодуле Мп(к), бимодульная структура определяется посредством гомоморфизма р. Аналогично, Крафтом [14] доказан результат о касательном пространстве к многообразию модулей - ко-гомологии Хохшильда Н1(A, Endk{M)). Определены векторные поля на многообразии герп(А).
Далее, разобраны тривиальные примеры пространств представлений алгебр к[х] и к к. А именно, герпк[х] - аффинное пространство кп , многообразие модулей - кп. Определим интеграл некоммутативных дифференциальных форм, посредством формулы:
Ju = Jtt(u).
Зафиксируем элемент Р(х) алгебры к[х], будем рассматривать пространство представлений Vp = герп(к[х]/Р(х)). факторалгебры к[х] по идеалу, порожденному Р{х). Определим дерамовскую форму up = TrP{x)dx на герпк[х], тогда форма шр равна 0 на Vp. Далее, используя соотношение:
получаем, что Vp - подмногообразие в особенностях функции
f = Tr(fp(x)dx).
Верно, и обратное, то есть Vp совпадает с особенностями функции /. Рассмотрим многочлен Р(х) второй степени, не имеющий кратных корней. Тогда имеем изоморфизм алгебр: к[х\/Р{х) = к к. Порождающие алгебры можно выбрать таким образом, что к ф к = к[е\/ < е2 — е >. Доказывается, что многообразие герп(к($к) - несвязное объединение векторных расслоений грассманианов Gr(k,n), к = 1, ...,п—1. Действительно, порождающий алгебры к (В к является проектором, который определяется подпространством на которое элемент проектирует все пространство и подпространством вдоль которого оно проектируется.
Зафиксируем базис в п - мерном пространстве, будем рассматривать многообразия представлений гп(А) с выбранным базисом. Введем понятие характеристического элемента алгебры А следующим образом:
Определение. Элемент а Є А назовем характеристическим, если для гомоморфизма \i : k[x] -> А, определенного как ц : х —> а выполнено условие: морфизм схем
repn(^) : rn(A) -> repn(k[x])
является вложением (замкнутым или открытым).
Для характеристического элемента 5 алгебры А, рассмотрим двусторонний идеал Is, порожденный элементом P{S). Тогда для фактор-алгебры А по этому идеалу имеем следующее:
Предложение 1 Многообразие представлений rn(A/Ij) является пересечением в аффинном пространстве кп многообразий гп(А) и Vp.
В качестве следствия получаем, что rn(A/I^) - подмногообразие многообразия особенностей функций Tr(f(SkP(5)dS)),k = 1,...,5.
Многообразие представлений алгебры путей графа Г размерности, равной числу вершин в графе Г - тор {к*)#реберТ. Многообразие модулей - (&*)ГШ*Яі(г)# Несложно показать, что элемент S = Ylkj является характеристическим элементом алгебры путей графа без кратных путей и петель. Тогда для ортогональных разложений алгебры Ли, используя предыдущее изложение, получаем следующее утверждение:
Теорема 1 Многообразие ортогональных разложений алгебры sl(n) - пересечение в аффинном пространстве к^п +п) тора и векторного расслоения грассманиана Gr{n,n2 + п).
Рассмотрим граф Г, в котором минимальная длина цикла равна т. Зафиксируем многочлен Р степени, меньшей т. Введем для ребра / дифференцирования D\ алгебры путей Г следующим образом:
Di(l) = І7ІҐУ,
здесь І7І/ - число вхождений ребра / минус число вхождений І в путь 7-Эти дифференцирования в связи определяют инвариантные относительно действия тора векторные поля на многообразии (к*уапкНЛг). Эти векторные поля в каждой точке порождают касательное пространство. Тогда имеем для многообразия Yp модулей алгебры &[Р(Г)], на которых выполнено соотношение P(S) = 0, следующее утверждение:
Теорема 2 Многообразие представлений Yp - подмногообразие Singx(Tr(5'),j = m,...,n).
Показано, что свободные петли в графе Г - в точности, классы сопряженных элементов фундаментальной группы. Назовем класс {7} - примитивным, если элемент 7 порождает свой централизатор. Соответствующие элементы назовем примитивными. Тогда для любого элемента фундаментальной группы и имеем: существует примитивный элемент 7 и ш, такие что ш = 7т. Введем функцию Л на элементах фундаментальной группы:
ЛИ = /(7).
Зафиксируем представление р группы 7г(Г, ). Далее, введем L - функцию графа Г:
Lr(u,g) = l[det(In-ulMQ(
u—logLr(u, g) = Y2 tre(Sk)uk.
*=i
±1одЬГ(щд) = 5>(7)*г(е(7))«'(7Ь1,
{7}
Получаем переформулировку: многообразие ортогональных разложений содержится в особенностях коэффициентов L - функции графа, соответствующего ортогональным разложениям алгебры Ли типа А.
Далее, рассматривается переформулировка результатов в терминах алгебры колчана и суперпотенциала на нем. Колчан - ориентированный граф с конечным числом вершин. Рассмотрим алгебру функций As на множестве вершин S. Бондалом А.И. предложено следующее описание: алгебра путей полного колчана k[Q^ul1] - алгебра некоммутативных дифференциальных операторов на алгебре As- Алгебра путей колчана - факторалгебра k[Q^ul1] по отсутствующим в Q стрелкам. Введем на петлях в колчане отношение эквивалентности
- петли а и (3 - эквивалентны, если одну можно получить из другой
циклической перестановкой вершин. Такие классы будем называть
ожерелием. Приводится доказательство Брокланда и Ле Брюйна тех
фактов, что в пространстве kQ/[kQ, kQ] можно выбрать базис из три
виальных путей и ожерелий и в пространстве дерамовских 1 - форм
на колчане базис: 'yda, для пути 7 и стрелки а, образующих петлю
7#. Далее, вводятся "частные" дифференцирования алгебры функ
ций на колчане. Суперпотенциал W - линейная комбинация ожерелий.
Под факторалгеброй по суперпотенциалу будем понимать фактор по
соотношениям dW/да = 0.
Сопоставляя графу Г соответствующий двойной колчан r, получаем описание факторалгебры к[Р(Т)]/ < P(S) >. А именно, рассмотрим алгебру k[Qfutl], элемент 5 — ^2 а - сумма по всем стрелкам из колчана Qr и определим суперпотенциал Wp = Tr(f Р(5)). Рассмотрим фактор В алгебры A;[Q^u//] по суперпотенциалу Wp. Фактор по отсутствующим стрелкам можно тоже описать в терминах суперпотенциала W = ^2 аа, здесь сумма берется по стрелкам, невходящим в двойной колчан Q^u//, но не входящим в Qr- Факторы сначала по Wp, а потом и по W надо профакторизовать по соотношениям (XijOtij = е,-.
В последней части предлагается новое доказательство старого результата Кострикина А.И., Кострикина И.А., Уфнаровского В.А. об ортогональных пар в алгебрах sl(n),n < 5 с помощью оператора Лапласа.
Основные результаты были опубликованы в [18], [19], [20] и докладывались автором на семинарах "Избранные главы алгебры", научно
- исследовательском семинаре кафедры высшей алгебры МГУ и Бон-
далом А.И. в физическом центре во Франции.
Автор посвящает работу светлой памяти своего учителя Костри-кина А. И. и выражает глубочайшую признательность Бондалу А. И. за многочисленные обсуждения и внимание к работе, Зайцеву М. В. за поддержку и внимание.
1 Ортогональные разложения алгебр Ли типа Ап-\ и алгебры Гекке.
Соответствие между алгебрами Гекке, графами и ортогональными разложениями
Определим для графа алгебру путей Z[F(r)] как алгебру с порождающими Є, , соответствующие тривиальным путем в вершине І И l{j - ребрами, соединяющими вершины і и j и умножением, индуцирован ным композицией путей и нулем, когда эта композиция неопределена. Будем использовать для ребра, обратного к Uj обозначение Ijj. Опишем конструкцию, предложенную Бондалом, кольца QP(T) квантового группоида Пуанкаре, являющееся однопараметрической тривиальной деформацией алгебры путей графа. Приводится геометрическая реализация QP(T). Для этого надо вместо топологического пространства графа взять Г х S1. Выберем ориентацию в Г и базисную точку ZQ. Определим три типа ориентированных путей на этом пространстве: первый тип: г,- - простые петли 51 х і. Второй тип путей - стрелки ZQX(стрелки в Г). Третий тип определим так: для каждой стрелки j = (ZQ Х i,ZQ х j) из второго типа, определим ориентированный путь 7 из ZQ Х j в ZQ Х г, лежащий на цилиндре 51 х 7 и со свойством: 77 " гомотопна г,- в цилиндре. Определяется структура QP(T) - бимодуля на идеале аугментации В+(Г) следующим образом: UjXk = 6jkXjXk,X{ljk = SijXiXk- Рассмотрим следующие элементы Qi = еі + Y2hj из кольца QP(T). Тогда соответствие ф : Х{ — Qi определяет гомоморфизм В (Г) —У QP(F). Несложно показывается, что QP(T) как В(Т) - модуль является проективным, что позволяет судить о модулях над обобщенной алгеброй Темперли - Либа по модулям над Р(Г). Для неприводимого В (Г) - модуля Vx имеем изоморфизм В(Г) - модулей: HomB(Y)(QP(T),Vx) й Вх(Г)х{. Рассмотрим проективный модуль Pt = Z[P(T)]et, тогда он определяет эквивалентность по Морите между модулями над группоидом и модулями над фундаментальной группой графа.
Введем элемент 6 = 3/у (этот элемент и называется оператором Лапласа на графе), здесь сумма берется по всем ребрам в графе. Далее, предлагается новое определение алгебры В (Г), введенное Бонда-лом, для произвольного графа как алгебра QPsP(T) , элементами которой будут элементами группоида QP(T) с измененным умножением: х у = ху + хду. Элемент 5 определяет гомоморфизм В (Г) — QP(T) соответствием: Х{ н- е,-. Изучается применение конечных накрытий графов к гомоморфизмам обобщенных алгебр Темперли - Либа. При помощи накрытий определен гомоморфизм алгебр путей графов следующим образом: элементы одного группоида соответствуют сумме прообразов при накрытии в алгебре путей другого графа. Разбирается случай букета окружностей.
В заключении второй главы изучаются свойства оператора Лапласа на автоморфных функциях вершин регулярного графа. Используя описание тривиальных подмодулей в ВХ(Г)ХІ, получаем что тривиальный подмодуль - ядро оператора 8 + 4 1 в Z[P(r)] - модуле автоморфных функций - Pt 8 2[тг(г, )] кх. Изучается вопрос о нахождении характера х фундаментальной группы графа, при котором оператор 5 + 4р1 имеет максимальную размерность. Введем параметр графа s(r) как максимальное количество вершин в связной компоненте дуального графа. Доказывается оценка на размерность пространства собственных векторов, отвечающих одному собственному значению. А именно, эта размерность не более чем #вершинГ — s(T). В случае, когда дуальный граф - объединение к полных графов и оценка на размерность пространства собственных векторов достигается, то (6 — Х)(6 + (к — 1)А) = 0. При этом собственное значение А равно ±-y/s(r). Таким образом, ортогональные разложения алгебры Ли типа Л и ортогональные пары картановских подалгебр параметризуются характерами фундаментальных групп, соответствующих графов, при которых выполнено условие, что степень минимального многочлена элемента 5 при этом характере, равна 2. В третьей главе вводятся основные определения Концевича, Розен-берга [11], Ле Брюйна [12], Прочезе [13], Крафта [14], Кунца, Квиллена [15] некоммутативной геометрии. Рассмотрим ассоциативную алгебру А. Определим некоммутативные 1 - дифференциальные формы А, как ядро А - бимодульного гомоморфизма: т : A g А — А, т : ai S a2 — а\й2. Далее, изучается связь между некоммутативными дифференциальными формами и келеровыми дифференциалами для коммутативной алгебры. Результат можно сформулировать так: келе-ровы дифференциалы - факторпространство некоммутативных форм по пространству суперкоммутаторов [QlA, А]. Определяя универсальный след А - бимодуля М как отображение пространств: Tr : М — М/[М, А], получаем что келеровы дифференциалы - это следы некоммутативных форм.
После дифференциальных форм введем понятие квазисвободной алгебры. В уже упомянутых работах одно из эквивалентных определений сформулировано так: Г2!Д - проективный бимодуль. Для эквивалентного определения нужно определить когомологии Хохшильда, тогда эквивалентны следующие утверждения: А - квазисвободная алгебра, А имеет гомологическую размерность 1.
Сформулируем определение герп(А) пространств п - мерных представлений алгебры А, как многообразие, параметризующее гомоморфизмы алгебры А в алгебру Мп(к). Свойство квазисвободности - инвариантно по Морите. Прочезе [13] показал, что пространство герп(А) - гладкое для любого п, тогда и только тогда, когда алгебра А - квазисвободная. На многообразии герп(А) естественно действует группа GLn(k). Фактормногообразие будем называть многообразием модулей.
Далее, следуя Концевичу и Розенбергу [11], определяем различные дифференциально - геометрические структуры. Функции на многообразии герп(А) - это симметрическая алгебра пространства следов элементов алгебры А. Некоммутативные дифференцирования алгебры А определяют дифференцирования уже введенной алгебры функций на пространстве представлений алгебры А. Доказывается, что касательное пространство в точке р к многообразию представлений - пространство некоммутативных дифференцирований алгебры А с коэффициентами в бимодуле Мп(к), бимодульная структура определяется посредством гомоморфизма р. Аналогично, Крафтом [14] доказан результат о касательном пространстве к многообразию модулей - ко-гомологии Хохшильда Н1(A, Endk{M)). Определены векторные поля на многообразии герп(А).
Далее, разобраны тривиальные примеры пространств представлений алгебр к[х] и к к. А именно, герпк[х] - аффинное пространство кп , многообразие модулей - кп. Определим интеграл некоммутативных дифференциальных форм, посредством формулы:
Гомоморфизм алгебры В(Т) в квантовый группоид Пуанкаре и модули над ним
Рассмотрим представления алгебры В\(П) минимальными проекторами, тогда определен соответствующий ему характер Лп первых гомологии графа П. Гомоморфизм р определяет представление алгебры Ві(Г) минимальными проекторами, соответствующий характер первых гомологии графа Г определяется из гомоморфизма фундаментальных групп графов Г и П.
Далее, опишем конструкцию неприводимого В(Г) - модуля, соответствующего характеру гомологии графа Г. Для этого будем изучать алгебру ВХ(Г). Предложение 10 Размерность алгебры В(Т) равна У(Г)2 + 1 Доказательство. Учитывая соотношения (25), получаем, что в алгебре ВХ(Г) можно выбрать базис, состоящий из 1 и элементов вида Xi„.Xj по одному для каждой пары вершин i,j. При общем значении характера ВХ(Г) является полупростой алгеброй, изоморфной к Мп(к), где n = V(r). Алгебра ВХ(Г) имеет для каждой вершины і проективные модули вида ВХ(Г)ХІ, размерности V(r) изоморфные между собой. Изоморфизм между ВХ(Г)ХІ и Bx{T)xj достигается умножением справа на любой ненулевой элемент вида Xi...Xj. Предложение 11 Подмодули Вх(Т)х{ могут быть только тривиальными В (Г) - модулями. Доказательство. Действительно, Вх(Г)х{ - совпадает с линейной оболочкой собственных векторов минимальных проекторов Х{ в этом модуле, которые линейно независимы. Рассмотрим подмодуль в модуле Вх(Т)х{. Если подмодуль не совпадает с ВХ(Г)ХІ, тогда какой -то порождающий не может действовать нетривиально. Далее, допустим, какой - то порождающий действует на подмодуле тривиально, тогда используя соотношения алгебры ВХ(Т), получаем, что все порождающие действуют тривиально. Тривиальный ВХ(Т) - модуль размерности п является прямой суммой п копий фактормодулей ВХ(Г) по идеалу аугментации В (Т). Модули ВХ(Г)ХІ играют важную роль в построении неприводимых В(Т) - модулей. Для неприводимого модуля Vx, соответствующего характеру х имеет место: Предложение 12 Для любого неприводимого модуля Vx существует точная последовательность: где модуль Vtriviai - тривиальный подмодуль Bx(T)xt. Доказательство. Рассмотрим пространство модуля V ., пусть собственный вектор элемента Xt будет е . Тогда определим гомоморфизм / ВХ(Г) - модулей Bx(T)xt и Vx следующим образом: / : xt н- е . Это эпиморфизм, так как все собственные вектора элементов xi имеют прообразы. Ядро гомоморфизма /, как уже было показано, тривиальный подмодуль. Если Vx, как ВХ(Т) - модуль, не изоморфен проективному, то он имеет гомологическую размерность 2. Действительно, существует точная последовательность, являющуюся проективной резольвентой модуля Vx: Сформулируем очевидные следствия предложения. Следствие 2 Существует 1 — 1 соответствие между характерами гомологии Ні(Г) и неприводимыми представлениями минимальными проекторами алгебры В(Т). Следствие 3 Тривиальный подмодуль Vtrivid совпадает с ядром оператора Ylxi па пространстве модуля Bx(T)xt. Далее, для изучения представлений В (Г) мы построим гомоморфизм В(Г) в кольцо группоида Пуанкаре -Р(Г) графа Г. Под кольцом "Z[G] группоида G будет пониматься, по аналогии с групповым кольцом, свободная абелева группа с базисом из морфиз-мов и умножением, индуцированным композицией морфизмов и нулем когда эта композиция неопределена. Если в группоиде конечное число объектов, то Z[G] содержит единицу, а именно, сумму тождественных морфизмов всех объектов. Итак, Р(Г) - группоид Пуанкаре графа Г, т.е. категория с вершинами в качестве объектов и гомотопных классов путей, их соединяющих, как морфизмов. Любое ориентированное ребро ij в Г может быть рассмотренно как морфизм в Р, следовательно, как элемент /у кольца группоида Z[P(r)]. С каждой вершине г Є Г будем ассоциировать элемент е,- в Z[P(r)], отвечающий тождественному морфизму idi в Р(Г). Для вершины г Є Г определим элементы Qi кольца Z[P(r)] по формуле здесь сумма берется по всем ребрам в Г, начинающихся в вершине і. Соответствие индуцирует гомоморфизм Можно определить сходный гомоморфизм и для всей алгебры В (Г). Для этого опишем конструкцию Бондала квантового группоида Пуанкаре. Зафиксируем граф Г без кратных ребер и петель. Рассмотрим ориентированный цикл 51. Выберем базисную точку 2о в 51. Далее, будем рассматривать граф Гг в Sl х Г. Чтобы построить Гг, выберем ориентацию в Г. Вершинами Гг назовем базисную точку ZQ, умноженную на вершины графа Г. Существует три типа ориентированных путей в Гг. Первый тип - простые петли S1 х і, которые будем обозначать г,-. Второй тип путей - стрелки ZQX(стрелки в Г). Третий тип определим так: для каждой стрелки 7 = ( о х г\ zo х І) из второго типа, определим ориентированный путь 7 из ZQ X j в ZQ х і, лежащий на цилиндре 51 х 7 и со свойством: 77 " гомотопна Г{ в цилиндре. Алгебра путей 5[Р(Г)] графа Гг назовем квантованным группоидом Пуанкаре графа Г. Его базис состоит из ориентированных путей в Гг, гомотопных в S1 х Г. Положим:
Формально гладкие алгебры, универсальный гомоморфизм, пространства представлений и алгебры со следом
Доказательство. Допустим противное: граф нерегулярный и для оператора 5\ выполнено равенство: Р(5) = S2 + а\5 -\-Ъ = 0. Умножим слева и справа Р(5) на один и тот же тождественный морфизм ег . Получим равенство: ег 52ег-+ бе,- = 0, для каждой вершины графа Г. Но тогда получаем, что граф - регулярный. Противоречие. D
Далее, будем изучать когда S имеет максимальное собственное пространство, отвечающее ненулевому собственному значению. Пусть Л - собственное значение 6 в пространстве Vx = Pt k[n(r,t)] кх, V(X) пространство собственных векторов, отвечающих собственному зна чению А. Введем следующий параметр s(T) графа Г: рассмотрим дуальный граф Tdual и как в 1.3 точные подграфы в этом графе, порожденные подмножеством вершин V: Гра1. Далее, среди графов Tdvual встретятся полные графы: Tdual. Тогда s(T) = maxj\V{Tfal)\. Предложение 21 Для ненулевого собственного значения Л выполнено неравенство: dimV(X) \V(T)\-s(r). Доказательство. Допустим противное. Тогда оператор 6-Х имеет ранг, меньший чем s(T). Рассмотрим граф Г иа/, порожденный множеством вершин 5, реализующий s(T). Точный подграф Г$ графа Г, порожденный множеством S представляет собой несвязное объединение вершин. Рассмотрим подпространство Ms порожденное путями, соответствующими вершинам из множества S. Тогда 5 действует на это подпространство нулевым образом. Обозначим через Is проектор на подпространство Ms. Тогда имеем неравенство: Но ранг оператора —ЛІ5 при ненулевом значении Л равен з(Г). Противоречие. Рассмотрим регулярный граф Г, для которого Tdual представляет собой несвязное обьединение к полных графов. Поскольку граф - регулярный, то количество вершин в каждом из полных графов одинаковое. Допустим собственное значение Л удовлетворяет условию: dimV(X) = (Г)-5(Г). Далее, рассмотрим точные односвязные подграфы графа Г. Обозначим максимальный односвязный подграф графа Г как Dp. Предложение 22 В графе Г, для которого Tdual является несвязным объединением полных графов, максимальный точный односвязный подграф DY может иметь s(T) + l вершин и представляет собой s(T) вершин кратности 1 и вершину кратности s(T). Собственные значения элемента 8(Dr) - О, y/sT) и — y/s(T) кратностей соответственно, s(T) — \, 1 и 1. Доказательство. Заметим, что граф Ddual является точным подграфом графа Ydual. Вершины графа Ddual не может лежать в более чем двух связных компонентах Tdual, так как в этом случае существует цикл длины 3. Таким образом, граф Dpal лежит не более чем в двух связных компонентах. Более того, сразу в обеих компонентах не может быть более чем одной вершины. Иначе существует цикл длины 4. Следовательно, дуальный к максимальному односвязному подграфу представляет собой объединение полного графа и одной вершины. Прямая проверка показывает, что собственные числа могут быть только 0 и ±y/ s(r) кратностей s(T) — 1 и 1. Предложение 23 Пусть для регулярного графа Г выполнено условие: rdual - несвязное объединение т полных графов. Пусть А - ненулевое собственное значение, удовлетворяющее условию dimV(X) = V(r) — s(F), тогда A = ±ys(r) и на пространстве Vx выполнено тождество: Доказательство. Рассмотрим оператор J—Л, тогда имеем гапк{5—А) = Й(Г). Следовательно, получаем что собственное значение Л - является собственным значением оператора S(Dr) и по предложению 22 получаем, что Л = ±А/З(Г). Вершины графа Г можно представить в виде обьединения т множеств V{, соответствующих связным компонентам дуального графа. Рассмотрим вместе с этими множествами элементы кольца группоида &[Р(Г] - Е{ = 2vey. ev. Тогда оператор S можно представить в следующим виде: Ассоциируем с каждым множеством V - подпространство в модуле, порожденное путями, конечные вершины которых из данного множества. Тогда для каждой пары (i,j) оператор S(i,j) переводит пространство V{ в пространство Vj. Рассмотрим элемент S(i,j)+8(j, i)—X(Ei+Ej), тогда ранг этого элемента не больше чем dimkVi. Умножая слева на &{h 0 — А(Д- + Щ) и Учитывая что при этом ранг не изменится, получаем:
Применение некоммутативной геометрии к алгебре путей графа Г
Тогда интеграл f удовлетворяет тождеству: d#fTr(cu) = Тг(си). Заметим, что Tr(f и) = fTr(u). Таким образом, для дифференциальной формы ш верно равенство: Ядро отображения f представляют собой в точности элементы из [ПЧгІхЩх]].
Зафиксируем произвольный многочлен Р(х) Є к[х]. Рассмотрим на многообразии specR некоммутативную дифференциальную форму P(x)dx, определим дерамовскую дифференциальную форму TrP{x)dx. Обозначим через Vp подсхему аффинной схемы repnk[x], определяемую идеалом, порожденным элементом Р{х). Тогда на схеме Vp дифференциальная форма TrP{x)dx равна нулю. Используя формулу (109) получаем, что форма TrP(x)dx совпадает с дифференциалом функции Tr(f P(x)dx), где интеграл от формы P(x)dx совпадает с обычным неопределенным интегралом от многочлена. Таким образом, для любого векторного поля на многообразии Vp верно равенство: Далее, выберем векторные поля s,s = 1,...,пг порождающие в каждой точке касательное пространство, и введем подсхему Wp аффинной схемы к , определяемую уравнениями:
В частности, координатные частные дифференцирования - d/daij, г, j = 1,..., п могут быть выбраны в качестве таких векторных полей. Предложение 32 Векторные поля Мп(г-) в каждой точке многообразия repnk[x] порождают касательное пространство. Доказательство. Допустим это не так, тогда для некоторой точки р на этом многообразии существует нетривиальный набор элементов а» Є к,і = 1,...,п2, такой что: Тогда, поскольку а{Мп{) = Мп{а) и Мп{ ) + Mn(2) = Mn(& + &) формула перепишется в следующем виде: Откуда в силу изоморфизма векторных полей на repnk[x] и дифференцирований алгебры к[х] с коэффициентами в Mn(R) получаем, что в точке М имеет место равенство: Х Г=1 a»"& = 0- то противоречит начальному выбору векторных полей. Предложение 33 Подсхемы Vp и Wp совпадают. Доказательство. Очевидно, что имеет место вложение Vp С Wp. Докажем, что имеет место и обратное вложение. Действительно, зафиксируем точку М Є Wp. Тогда для векторных полей , в точке М имеем: i(Tr{f P(x)dx)) = (fTr{P(x)dx)) = tr(P(x)Mn( )(x)) = 0. Далее, получаем что в каждой точке многообразия представлений repnk[x] для многочлена Р(х) выполнено тождество: Р{х) = 0. Что и требовалось доказать. Рассмотрим факторалгебру алгебры к[х] по идеалу, порожденному элементом Р(х). Имеем сюрьективный гомоморфизм к - алгебр р : к[х] - к[х]/Р(х). Применим к этому гомоморфизму функтор герп, тогда получим морфизм схем, являющийся замкнутым вложением: repn(p) : repn(k[x]/P(x)) - repnk[x]. (Ill) Морфизм repn(p) устанавливает изоморфизм схем repn(k[x]/P(x)) и Vp. Далее, будем рассматривать алгебру к 0 к и пространства ее представлений. Заметим, что заменяя переменные можно получить изоморфизм алгебр: к[х]1 х2 + ах + Ь = к к = к[е\/ е2 - е . для многочлена х2 + ах -Ь Ь, неимеющего кратных корней. Представление алгебры к к определяется образом е. Любой гомоморфизм р : к к —У Мп(к) переводит элемент е в проектор на какое - либо подпространство п - мерного пространства. Предложение 34 Многообразие представлений repn(k0k) - множество пар подпространств п - мерного пространства (V, W),VnW = {0} дополнительной размерности. Доказательство. Действительно, проектор полностью определяется подпространствами V, на которое он проектирует и подпространством W, вдоль которого он проектирует. Далее, подпространства размерности к в п - мерном пространстве параметризуются грассманианом Gr(k, п). При фиксированном подпространстве V подпространства W дополнительной размерности и условием, что V П W = {0} параметризуются аффинным пространством, являющимся клеткой в грассманиане Gr{n — к,п). Таким образом, множество пар подпространств (V, W), П W = {0} дополнительной размерности определяют векторное расслоение ранга к(п — к) грассманиана Gr(k,n). Таким образом получаем: Предложение 35 Многообразие герп(кфк) является несвязным объединением неприводимых компонент Us, s = 1,..., п — 1, где Uk - является векторным расслоением Gr(k,n) при к = 1,...,п — 1. Размерность компоненты Uk равна 2к(п — к). На многообразии герп(к ф к) определена симплектическая структура, посредством дифференциальной формы Trede A de.
