Содержание к диссертации
Введение
2 Гиперкомплексные алгебры и полинормы 13
2.1 Классические гиперкомплексные алгебры 13
2.2 Гиперкомплексные алгебры над комплексными и двойными числами 17
2.3 2-норма и система сопряжений для бикватернионов 19
2.4 Обобщенно-ассоциативные свойства алгебр 21
2.5 Классические теоремы об исключительности 23
2.6 О применении гиперкомплексных алгебр в физике 24
2.7 Нормы выше квадратичных - за и против 25
2.8 Мультипликативные полинормы 26
2.9 Алгебры и полинормы в неассоциативном случае 28
3 Обобщенно-квадратичные алгебры и алгебры с центральным сопряжением 30
3.1 Основные определения и единственность моментов 30
3.2 Теоремы о почти-сопряжениях 38
3.3 Соотношение обобщенно-квадратичных алгебр и алгебр с центральным сопряжением 45
3.4 Свойства алгебр с центральным сопряжением и конструкции на них 49
3.5 О некоторых геометрических аспектах ассоциативности алгебр . 53
3.6 Полинорма 56
4 Квадранормы и иные конструкции для алгебр 4 порядка 58
4.1 Конструкции 2 порядка в явном виде для алгебр B,V,Af . 58
4.2 Квадранорма 60
4.3 Дуальная квадранорма 62
4.4 Четырехскалярное произведение 64
4.5 Четырехвекторное произведение 66
4.6 Норма и скалярное произведение алгебр В, Т> в изотропном базисе 67
4.7 Основные конструкции в матричном представлении 70
4.8 Ассоциативные, альтернативные и моноассоциативные алгебры 4 порядка 73
5 Некоторые возможности применения полинорм на алгебрах в физике 81
5.1 4-форма и элемент массы электромагнитного поля 81
5.2 4-форма и преобразование дуальности электромагнитного поля 85
5.3 Связь с электродинамикой Борна-Инфельда 85
5.4 О лагранжиане модели Скирма 87
Основные результаты и выводы 95
Список литературы 98
Приложение 102
- Гиперкомплексные алгебры над комплексными и двойными числами
- Соотношение обобщенно-квадратичных алгебр и алгебр с центральным сопряжением
- О некоторых геометрических аспектах ассоциативности алгебр
- Четырехскалярное произведение
Введение к работе
1.1 Постановка проблемы и ее актуальность
В последние два десятилетия фундаментальная теоретическая физика находится в состоянии идейного поиска. В этой ситуации приобретают смысл не только магистральные направления исследований, но и разного рода "окольные тропы" [71]. Одной из таких полузабытых программ была красивая идея алгебраизации физики, предложенная в середине XIX века Уильямом Гамильтоном и поддержанная, в частности, Уильямом Клиффордом. Они пытались понять устройство природы, предположив, что в основе физики лежит геометрия, а в основе геометрии - некоторая гиперкомплексная алгебра с исключительными свойствами. На этом пути был найден ряд замечательных наблюдений и неочевидных связей. Согласно гиперкомплексной программе они представляют собой осколки единой картины, которую со временем удастся собрать; напротив, большинство современных исследователей полагает, что здесь имеет место лишь набор совпадений, неизбежных в малых размерностях. Вне зависимости от того, насколько соответствует истине мечта Гамильтона, те или иные связи между гиперкомплексными алгебрами, геометрией и физикой представляются интересным объектом изучения.
В последнее время наблюдается рост интереса к вопросам применения гиперкомплексных алгебр, в частности неассоциативных, в квантовой теории поля. В публикациях все чаще используются алгебры, выходящие за пределы классических исключительных алгебр Кэли-Диксона. Однако, полученные на этом пути результаты носят разрозненный характер. Это может быть связано как со сложностью и разнородностью взаимоотношений между алгеброй и физикой, так и с ограниченностью используемых методик. Существенным пробелом представляется то, что в общепринятых на сегодня подходах не учитываются специфические алгебраические особенности некоторых гиперкомплексных систем, например, бикватернионов и биоктав. Прежде всего не учитывается тот факт, что многие из них не сводятся к квадратичным алгеб-
Гиперкомплексные алгебры над комплексными и двойными числами
Ключ к пониманию свойств гиперкомплексной алгебры - не столько таблица умножения, сколько система заданных на ней сопряжений. Учитывая, что бикватернионы и дикватернионы представляют собой прямо удвоенные кватернионы, аналогичное кватернионное сопряжение а для них можно ввести по очевидному правилу: a = aQ - aiqi - a2q2 - a3q3, (запись с комплексными коэффициентами), а = а0 - aiqi - a2q2 - a3q3 + k0i0 - кгц - /c2i2 - /c3i3, (2.21) (полная запись с вещественными коэффициентами), a = a + A;-io = a + -io (сокращенная запись). Это сопряжение вычислимо средствами алгебры. Для бикватернионов (верхний знак) и дикватернионов (нижний): а= -l/4(a + qiaqi + q2aq2 + q3aq3)±l/4(ioai0-iiaii-i2ai2-i3ai3), (2.22) (Учитываем, что отображение а —» — Цк Чк меняет все компоненты, кроме ао, d-k, 3LQ, a.k] отображение а —» — i ai ведет себя точно так же для дикватернионов и обратным образом для бикватернионов). С помощью данного сопряжения на алгебре бикватернионов можно определить квадратичную 2-норму, которая теперь будет не вещественным, а комплексным числом: В покомпонентном виде 2-норма бикватернионов равна: Комплексная 2-норма в алгебре бикватернионов, а равно и ее аналог в алгебре биоктав (комплексных октав), также обладает замечательным свойством мультипликативности (2.8). На ее основе можно ввести и вещественную псевдонорму 4 порядка, которая наследует свойство мультипликативности (см. ниже, а также [69]-[71]).
Для построения и изучения 4-нормы и 4-скалярного произведения в алгебрах бикватернионов и дикватерниопов этого сопряжения, как мы увидим ниже, недостаточно. Введем поэтому второе, дуальное кватернионное сопряжение по следующему правилу (записи в той же последовательности, что и в (2.21)): Преобразование а (2.25) также может считаться сопряжением, поскольку, как и а (2.21), является инволюционным антиавтоморфизмом. Однако, в отличие от базового сопряжения, вообще говоря, аа ф- аа. Кроме того, сопряжение а нсвычислимо средствами алгебры: из-за коммутативности орта io со всеми прочими ортами его невозможно подвергнуть отражению с помощью умножения и сложения. Теперь рассмотрим на алгебрах бикватернионов и дикватернионов комбинацию сопряжений а: Видно, что преобразование а есть комплексное сопряоїсение, внешнее для кватернионов а, к. Обозначим его а . Оно является инволюцией и автоморфизмом (а не антиавтоморфизмом): Как следствие, выражение аа , вообще говоря, изменяется при сопряжении своего рода (иначе говоря, не является инвариантным, реальным для него): В связи с этим, комбинированное преобразование (комплексное сопряжение) а , строго говоря, не является сопряжением. Кроме того, поскольку комплексное сопряжение а изменяет знак орта іо, коммутирующего со всеми остальными ортами би(ди)-кватернионов, оно невычислимо средствами алгебры. Важное преимущество базового сопряжения а (2.21) перед дуальным сопряжением а в том, что гиперкомплексные числа, инвариантные относительно основного сопряжения а (их можно назвать реальными относительно него), содержат в себе только орты 1 и io и поэтому, подобно вещественным числам, коммутируют с любыми числами алгебры.
Данное свойство базового кватериионного сопряжения а и является источником ряда хороших свойств алгебр кватернионов и бикватернионов, а также октав, биоктав и их гиперболических аналогов. Лишь немногие алгебры располагают таким "хорошим" сопряжением, которое называют скалярным или центральным. Во второй главе данной работы будут изучаться алгебры именно с таким сопряжением. Применение гиперкомплексных алгебр в геометрии и физике в первую очередь зависит от того, в какой степени в них сохраняются ассоциативные свойства. Для удобства дальнейшего изложения дадим здесь краткий обзор этих свойств (см. [32], [42], [56]). Для упрощения дальнейших выкладок введем, как принято, ассоциатор С очевидностью он линеен по каждому из элементов. В ассоциативных алгебрах ассоциатор тождественно равен нулю. В альтернативных он антисимметричен по всем переменным: (2.30) Как следствие, ассоциатор в альтернативных алгебрах цикличен: Альтернативные алгебры, с очевидностью, эластичны, т. е. Но обратное неверно: не всякая эластичная алгебра альтернативна. Отметим, что свойство эластичности с очевидностью эквивалентно
Соотношение обобщенно-квадратичных алгебр и алгебр с центральным сопряжением
Вернемся теперь к вопросу о соотношении обобщенно-квадратичных алгебр и алгебр с центральным сопряжением, или, что эквивалентно в силу доказанного, алгебр с центральным почти-сопряжением а и алгебр с центральным сопряжением а. В силу теоремы о свойствах дефекта почти-сопряжения (3.22), 46 Глава 3. Обобщенно-квадратичные алгебры и алгебры с центральным сопряжением Лемма 3. Квадрат мнимого элемента, и более общо, антикоммутатор произвольных мнимых элементов, является реальной величиной, т. е. принадлежит центру алгебры: Поскольку благодаря моноассоциативности и квадратичности высшие степени х сводятся к низшим, из (3.38) вытекает Как следствие, выполняется Теорема 7. Любая обобщенно-квадратичная алгебра монокомпозиционна, т. е. 2-норма квадрата элемента равна квадрату 2-нормы этого элемента: В самом деле, используя степенную ассоциативность обобщенно-квадратичных алгебр: В общем случае и так далее, вплоть до получения ІУ(а). Впрочем, эту же теорему можно получить в более общем виде на основе теоремы Шафера (см. ниже, раздел (4.8)). Для дальнейшего будет полезны формулы, связывающие коммутаторы и ассоциаторы алгебры с дефектом ее антиавтоморфизма. Они основываются на основополагающих тождествах, выполняющихся во всех алгебрах: Лемма 4. В любой алгебре выполняются тоэюдества, связывающие ассоциаторы и коммутаторы (легко проверяются прямыми вычислениями): 3.3. Соотношение обобщенно-квадратичных алгебр и алгебр с центральным сопряжением47 Лемма 5. В любой обобщенно-квадратичной алгебре выполняются следующие соотношения: Коммутатор элементов a, b сводится к коммутатору их мнимых частей, поэтому [a, b] = [а, Ь] и, следовательно, 2. Далее, в силу формулы (3.43), связывающей ассоциаторы и коммутаторы, 3.
Последняя формула напрямую вытекает из предыдущей и (3.44). Теперь можно выяснить основной вопрос: в каком случае дефект сопряжения равен 0, т.е. обобщенно-квадратичная алгебра является алгеброй с центральным сопряжением? Докажем ряд утверждений. Теорема 8. Эластичные (и тем более альтернативные) обобщенно-квадратичные алгебры обладают строгим сопряжением (т. е. являются алгебрами с центральным сопряэ/сением). В самом деле, в эластичных алгебрах Подвергнув сопряжению обе части, получаем: 48 Глава 3. Обобщенно-квадратичные алгебры и алгебры с центральным сопряжением Поскольку произвольный элемент а не принадлежит центру алгебры, Л(а,Ь) = 0, если же он принадлежит центру, то Л(а, b) = 0 тем более; в обоих случаях в правой части также 0. Условие эластичности является достаточным, но не необходимым. Множество квадратичных алгебр с точным антиавтоморфизмом значительно шире множества эластичных алгебр. Ниже будет приведен пример неэластичной квадратичной алгебры с точным сопряжением. В отношении необходимых PI достаточных условий можно доказать две леммы. Лемма 6. Отображение х — х в квадратичной алгебре является точным антиавтоморфизмом тогда и только тогда, когда возмоэюно перестановка сомножителей под знаком реальной части, или, эквивалентно, коммутатор произвольных элементов алгебры является чисто мнимым: из чего сразу же вытекает утверждение Леммы. Лемма 6 позволяет сразу же построить пример квадратичной алгебры с неточным антиавтоморфизмом, т. е. не являющейся алгеброй с центральным сопряжением ("испорченные" кватернионы, г - вещественное число). В соответствии с теоремой 8, алгебра неэластична: Лемма 7. Отобраоісение х — х в квадратичной алгебре является точным антиавтоморфизмом тогда и только тогда, когда якобиан произвольных элементов алгебры Y(a, b, с) является чисто мнимым. Отметим, что все результаты для обобщенно-квадратичных алгебр (например, их моноассоциативность) есть вместе с тем и результаты для алгебр с центральным сопряжением, но, вообще говоря, не обратно. Итак, в качестве итога можно заметить, что понятие алгебры с центральным сопряжением шире крайне узкого понимания гиперкомплексных алгебр как алгебр Кэли-Диксона, но уже предельно широкого их понимания как конечномерных алгебр с единицей. Несложно доказать ряд утверждений об алгебрах с центральным сопряжением. Теорема 9. Всякая альтернативная алгебра с центральным сопряжением обладает мультипликативной (не всегда вещественной) 2-нормой А = аа = аа.
Доказательство. JV2(ab) = ab ba = a(bb a) = a(a bb) = aa bb = N2(a)N2(b). (3.48) Самое существенное в доказательстве - 1-е преобразование ab ba = a(bb a). Оно выполняется в альтернативных алгебрах в силу центрального тождества Муфанг; учитывается, что а, Б отличаются от a, b не более, чем на элементы центра алгебры, умножение которых на произвольные элементы алгебры всегда ассоциативно. Для произвольных же, неальтернативных алгебр с центральным сопряжением, как отмечалось выше, выполняется более слабое свойство монокомпо-зиционности N2{ak) = iVj(a). Глава 3. Обобщенно-квадратичные алгебры и алгебры с центральным сопряжением Теперь докажем несколько важных вспомогательных результатов. Поскольку в алгебрах с центральным сопряжением Лс реальные относительно базового сопряжения элементы принадлежат центру, их коммутатор и ассоциатор с произвольным элементом алгебры равен 0 и следовательно поэтому Лемма 8. В алгебрах с центральным сопряснсением для сопряжения ассоциатора справедливо: В самом деле, С помощью Леммы 8 легко доказываются два утверждения: Лемма 9. В эластичных алгебрах с центральным сопряжением ассоциатор чисто мним. В самом деле, используя Лемму 8 и свойство эластичности имеем: Лемма 10. Во всякой эластичной алгебре с центральным сопряжением произведение трех элементов под знаком реальной части ассоциативно: В самом деле, это равенство есть ничто иное, как а это для эластичных алгебр выполняется согласно Лемме 9. Отметим, что для произведения произвольного числа элементов ассоциативности под знаком реальной части нет, к примеру:
О некоторых геометрических аспектах ассоциативности алгебр
Влияние обобщенно-ассоциативных свойств алгебры на характеристики естественно порождаемой ею геометрии можно проиллюстрировать на одном простом и наглядном примере. Можно вспомнить, что кватернионы имеют метрику сигнатуры +4, а антикватернионы - метрику сигнатуры (+2, —2). Зададимся вопросом, какая алгебра соответствует напрямую метрике Минков-ского (1, —3) s2 = t2 — х2 — у2 — z2. Таких алгебр можно сконструировать несколько, причем все они будут неассоциативны. По степени нарушения ассоциативности эти алгебры будут распадаться на два класса. Рассмотрим, к примеру, две таблицы умножения: Сопряжение в таких алгебрах согласно Лемме 6 существует (т. е. является точным антиавтоморфизмом); оно задается обычным образом (все орты, кроме 1, полагаются мнимыми): Поскольку реальная часть элемента алгебр есть просто вещественное число, перед нами алгебры с центральным сопряжением. Естественная квадратичная норма также является вещественным числом и совпадает с метрикой Минковского: Эти алгебры являются простым примером того, что в неассоциативном случае одной и той же псевдонорме может соответствовать несколько алгебр с существенно разными свойствами. Рассматриваемые алгебры неассоциативны и, более того, неальтернативны: Вторая из алгебр даже не эластична (хотя согласно Лемме 1, она, как и все квадратичные алгебры, моноассоциативна). Убедиться в этом не так просто, как в случае неальтернативности: произведения орт будут всегда удовлетворять свойству эластичности (это связано с тем, что квадрат орта равен вещественному числу ±1). С помощью (3.2), эластичность можно свести к эластичности произведения мнимых частей q, р элементов а, Ь:
Таким образом, получается удобный для практики критерий эластичности: Алгебра с центральным сопряжением эластична, если в ней выражение из мнимых элементов q pq не codepotcum реальных членов. В данной же алгебре, как несложно убедиться, Наконец, как и во всех алгебрах с квадратичной нормой, в обеих алгебрах норма квадрата элемента равна квадрату его нормы (алгебры монокомпозиционны): Это тождество можно проверить и напрямую, в вещественных числах. Поскольку норма тождество записывается как Теперь рассмотрим непосредственные геометрические следствия этих свойств. 1) Поскольку алгебры неассоциативны, движения в них нельзя задать посредством внутренних автоморфизмов: поскольку не проходит то, что проходит в ассоциативных алгебрах: 2) Поскольку алгебры неальтернативны, норма произведения не равна произведению норм, а значит движения в них нельзя задать посредством умножения на элемент (элементы) единичной нормы е: 3) Поскольку вторая из алгебр неэластична, возникают проблемы с опре делением ортогональности чисто мнимых элементов (по идее, соответствую щих векторам обычного трехмерного пространства). Чтобы убедиться в этом, можно доказать: Теорема 10. В эластичных алгебрах с центральным сопряжением векторное произведение произвольных мнимых векторов ортогонально каждому из них [69]: 56 Глава 3. Обобщенно-квадратичные алгебры и алгебры с центральным сопряжением В самом деле, в эластичных алгебрах согласно (3.4) и (3.67) Следовательно, Можно видеть, что требование порождать "хорошие" геометрии является довольно жестким ограничением для гиперкомплексных алгебр. Чрезмерное удаление от ассоциативности приводит к малосодержательным, по-видимому, геометриям. 3.6 Полинорма Для алгебр с центральным сопряжением, как алгебр, квадратичных над своим центром, построение полинормы может быть проведено в 2 этапа. На 1 этапе произвольные элементы алгебры отображаются на ее центр посредством построения 2-нормы.
Следующий шаг - отображение элементов центра на поле вещественных чисел, над которым задана алгебра, элементарен и не приведет к потере информации, если центр полу прост. Согласно теореме Вейерштрасса любые ассоциативно-коммутативные алгебры без нильпо-тентных элементов являются полупростыми и разлагаются в прямую сумму полей вещественных и комплексных чисел. Поэтому вещественная псевдонорма от элементов полупростого центра будет представлять собой произведение самих этих вещественных чисел и норм комплексных чисел 2 порядка. Поскольку сепарабельные алгебры с необходимостью обладают полупростым центром, несложно доказать следующую теорему: Теорема 11. Всякая сепарабелъная альтернативная алгебра с центральным сопряжением обладает невырожденной 2-нормой, принадлежащей центру, и вещественной невырожденной мультипликативной нормой степени к, выражающейся с помощью набора инволюций через исходную 2-норму. При этом, если ни один из идеалов алгебры не сводится к полю вещественных чисел, минимальная степень полинормы вдвое выше размерности центра алгебры к = 2г. Примечание. Формула к = 2г напрямую вытекает из квадратичности алгебр с центральным сопряжением над своим центром. Если же какой-либо из
Четырехскалярное произведение
Итак, мы доказали, что в алгебрах би(ди)кватернионов оба вида 4-нормы совпадают (см. также [69]). Этот факт означает справедливость замечательного тождества в вещественных числах, связанного с существованием алгебры би-кватернионов (дикватернионы дают то же самое в другом порядке): Лемма 15. Выполняется основное тождество бикватернионной 4-нормы: в кватернионной записи: в вещественном виде: самом деле, равенство (4.24) после очевидных преобразований сводится к тождеству (3.66) В вещественных числах последнее тождество довольно красиво: Принимая во внимание формулу, выражающую для алгебр бикватернионов и биоктав 4-норму через 2-норму (4.12), и выражая 2-норму суммы через 2-скалярное произведение согласно (3.27), получаем после ряда упрощений формулу 4-скалярного произведения в алгебрах с центральным сопряжением с (псевдо)нормой 4 степени: Несложно вывести ряд полезных следствий из этой формулы. Так, при решении геометрических вопросов важны вещественные 4-формы от двух векторов. На основании 4-формы от 4 векторов их можно ввести две: Отметим также симметризованную форму: С ее использованием формула 4-нормы суммы выглядит так:
Свойства форм (a, a, b, Ь) и (а, а, а, Ь) весьма различны. В самом деле, как несложно подсчитать, симметричная форма (jp, jp, jg,jg) для биоктав (и значит, в том числе, для октав, бикватернионов и дикватернионов) равна Можно по аналогии обобщить не только скалярное, но и векторное произведение. Для алгебр бикватернионов, биоктав и им подобным четырехвскторное произведение можно предложить на основе следующей формулы: Как легко видеть, 4-векторное произведение полностью антисимметрично относительно перестановок в любой паре векторов. Как и 2-векторное произведение, это не вещественное число, а гиперкомплексный вектор. В отличие от мнимого 2-векторного произведения, 4-векторное произведение реально относительно базового сопряжения г (и содержит поэтому только орты 1 и io). Можно показать, что если половина степени нормы п/2 - четное число, то п-векторное произведение будет реальным, при нечетным п/2 - мнимым (так, мнимо 2-векторное произведение кватернионов). Если образовать 4-векторное произведение из кватернионов (алгебры с нормой степени 2, а не 4), получится вещественное число с ясным геометрическим смыслом. Как легко показать, оно равно детерминанту матрицы, составленной из координат всех 4-х векторов: Таким образом, 4-векторное произведение для кватернионов равно 4-объему параллелепипеда, натянутого на четыре вектора, т. е. совпадает с смешанным произведением 4 порядка. Пока совершенно неясно, найдет ли 4-векторное произведение применение в физике. Структурные свойства алгебры, как правило, хорошо видны не в обычном базисе, а в базисах, образованных элементами с нулевой нормой. Кроме того, изотропные базисы нередко используются при изучении спинорных представлений ([34]). 1.
Бикватернионы Как известно, в полу простых ассоциативных кольцах идеалы порождаются идемпотентами [42]. Взяв в алгебре бикватернионов два изотропных идем Мы ВИДИМ, что наборы векторов щ и V& образуют левые идеалы по умножению в алгебре бикватернионов. (Умножение слева любого элемента алгебры на произвольный элемент набора дает снова элемент этого набора). Идеалы не могут быть двусторонними в силу простоты алгебры бикватернионов. Таблица 2-скалярных произведений бикватернионов в изотропном базисе: Отсюда вытекает вид 2-нормы алгебры бикватернионов в изотропном базисе Для дикватернионов ситуация с изотропным базисом несколько хитрее, но результат проще. Как легко видеть из таблицы 5, на квадратичном уровне двойная норма обратиться в нуль не может. Однако, ситуация меняется на уровне нормы 4 степени, которую можно обратить в 0 очевидным образом. Опять же взяв два идемпотента, выберем 4-изотропный базис в виде:
Похожие диссертации на О полинормах на алгебрах и некоторых аспектах их применения в теории поля
