Введение к работе
Актуальность проблемы. Обобщение спинорного анализа на случай пространства - времени аффинной связности является нерешенной проблемой геометрии и физики, обусловленной указанной самим творцом теории спиноров Эли Картаном неприменимостью обычных тензорных методов к их определению в римановом пространстве, связанной с невозможностью построения спинорного представления общей линейной группы. Фок и Иваненко (19 29) преодолели эту трудность, использовав параллельный перенос ортонормированного репера при определении коварпактного дифференцирования спиноров . Их общепризнанная концепция сейчас выкристаллизовалась в понятие спинорного расслоения двухмерного комплексного векторного расслоения со структурной группой SL(2,c) на базе псевдорнманового многообразия (Geroche 1968). Таким образом, свойства спиноров хорошо вписываются в риманово пространство - время, служащее удобным полигоном для разработки методов исследования спиноров и их обобщений. Но в то же время спинорный анализ в римановом пространстве, основанный на свойствах ортонормированного репера, неприменим в пространствах аффинной связности. Дело в том, что в них параллельный перенос нарушает свойство ортонормированности репера - они меняют как длины, так и углы между собой.
Следовательно, возникает проблема корректного обобщения понятия картаиовских спиноров с риманова многообразия на случай пространства - времени аффинной связности.
В диссертации аппарат современной дифференциальной геометрии и теории представлений групп применен для выявления
новых геометрических аспектов спиноров Картана в качестве элементов расслоеннных пространств, на основе которых сформулированы принципы их обобщения.
Тема диссертации является составной частью более общей проблемы определения геометрической структуры пространства -времени, сформулированной Н.И. Лобачевским одновременно с открытием неевклидовой геометрии. Она сейчас стала одной из самых актуальных проблем естествознания в связи с успехами в разработках единых теорий слабого, сильного, электромагнитного и гравитационного взаимодействий, космологии, в обобщениях общей теории относительности на пространства с кручением, в теориях сверхплотных состояний вещества типа черных дыр, а также в калибровочных теориях дефектов сплошных сред.
Одним из самых изначальных свойств материи является спин, причем спин 1/2. который имеют электроны, протоны, нейтрино и кварки. Поэтому существование спинора - физического поля со спином 1/2, является исходным условием, определяющим общую геометрическую структуру Мира.
В диссертации установлены ограничения на аффинную связность пространства - времени с метрикой лоренцевой сигнатуры, обусловленные существованием спиноров Картана, сшшорный анализ обо'бщен на пространства с кручением и вейлевской неметричностью, разработаны геометрические основы для его приложений в построениях физических теорий с общими геометрическими структурами - калибровочных теориях взаимодействия спинорных полей, теории дефектов в металлах.
На самом деле, в изучении геометрической структуры Мира накоплен огромный опыт. Его крупный этап связан с развитием
общей- теории относительности (ОТО) А. Эйнштейна. В ранках ОТО
определена зависимость метрической структуры пространства
времени от распределения материн, создана теория Рождения
Вселенной в результате большого Взрыва, предсказана возможность
существования черных дыр. Развивались исследования
геометрической структуры пространства - времени вне рамок ОТО. К ним относится классический результат А.3. Петрова о конформно - инвариантной классификации пространства - времени общего типа,, соответствующей трем основным типам тензора Вейля (1958).
Сложилось большое направление топологических исследований глобальных условий- существования тетрадных и спииорных полей в римановом пространстве - времени. Оказалось, что для глобального существования 2-сшшорного поля необходимо обращение' в нуль характеристики Эйлера-Пуанкаре рпманова' многообразия: (Geroche 1968)» Было установлено,, что. обращение в нуль характеристического класса Штифеля - Уитнц необходимо для существования многомерных спиноров (crumeyrolle 1972),. Локально существование тетрадных п. спииорных полей не накладывает ограничений- на рнманову метрику пространства - времени. В противоположность этому здесь показано, что для пространств аффинной связности- имеют место именно локальные ограничения, следующие из условий существования пары взаимных спииорных связностеи. Существует еще одно интересное направление исследований, связанное с построениями нелинейных спииорных представлений общей линейной группы, основанное на пионерских работах Гельфанда - Наймарка (1947), которое в настоящее время интенсивно развивается в работах Хеля и других (1977).
Сложнвиуюся методологию исследования структуры
пространства - времени в направлении обобщений ОТО можно охарактеризовать как априорную - сначала постулируется какая-то геометрическая модель, на фоне которой строится теория физических полей и затем ее предсказания долж.ни сравниваться с экспериментом. Однако такой путь с неизоежностью приводит к большим трудностям, связанным с отсутствием отлаженных методов решения весьма сложных задач нернмановой геометрии.
В диссертации предлагается независимый от выбора полевых уравнений аксиоматический метод исследования структуры пространства - времени, в котором определяются ограничения на аффинную связность пространства -fвремени, логически следующие из условий существования классических спиноров Э. Картана.
Таким образом, на самом деле образовался пробел в развитии теоретического знания, поскольку было бы логично сначала исследовать возможности обобщения классических спиноров Картана на случай пространства - времени аффинной связности, и на этой Оазе изучать другие обобщения типа нелинейных спиноров, суперсимметричных моделей.
Спиноры Картана, связанные с группой Лоренца, всегда будут занимать свое место в физике точно так же, как и ньютоновская механика и теория электромагнетизма Максвелла в том смысле, что все обобщенные теории спиноров должны будут воспроизводить свойства спиноров Картана. Поэтому необходимость иметь базу для развития и обобщений теории спиноров и ее приложений в калибровочных теориях физических полей делает актуальным решение поставленной здесь проблемы.
Целью работы являются обобщение спинорного анализа на случай пространств аффинной связности с метрикой лоренцевой
- б -
сигнатуры и разработка геометрических основ их применений для исследований обпих закономерностей взаимодействия полой полуцелого и целого спинов в неримзновом пространстве времени, которые состояли в решенш! следующих конкретных задач:
-
Отображение Картана и определяемую им связь спиноров с изотропными векторами, с шторными и ортогональными реперами сформулировать в понятиях теории морфизмов главных расслоений в пространстве аффинной связности.
-
Разработать конформный сшгаорный анализ в пространстве аффинной связности с вейлевской неметричностью (построение теории конформных масштабных преобразований ортогональных и спинорных реперов, коварнантного и лиева дифференцирований спинтензорных полей, алгебраической классификации пространств аффинной связности со спинорным полем).
-
Исследовать возможности обобщения с риманова случая на пространства Римана - Картана законов сохранения и канонического лагрангева формализмов для спинорного и скалярного полой-
Идея решения исследуемой здесь проблемы корректного обобщения понятия спиноров в пространстве - времени аффинной связности состоит из трех шагов.
Во - первых, классическая концепция картановских спиноров и отображение Картана переводятся на новый язык теорий сплетающих операторов и расслоенных пространств с целью более глубокого понимания их геометрического статуса и возможностей обобщения, , в результате чего впервые построена теория локальных морфизмов главных расслоений реперов векторного ч спинорного типа в рнмановом пространстве - времени.
Во - вторых, на пространство аффинной связности накладывается условие существования sl(2,c) спинорного расслоения, естественно возникающего в ранках отображения Картана в римановом случае. Тогда из исходного общего пространства получается пространство - время Рішана - Картана, в котором далее строится допускаемое отображением Картана расслоение конформных sl(2,c) х d(i) спиноров.
В третьих, тре'бу'ётся-, чтобы общее пространство - время аффинной связности допускало существование конформных sl(2,c) х d(i) спиноров и таким образом получается пространство -время аффинной связности с лоренцевой метрикой и вейлевской неметричностыо.
Методы исследования. В работе использован комплекс методов, включающий:
- бескоординатный метод описания тензоров и спиноров,
- теория морфизмов главных расслоений на гладких
многообразиях.
- аксиоматические методы определения понятий ковариантного
и лиева дифференцирований.
Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы из 157 наименований. Работа изложена на 156 страницах основного текста.
