Введение к работе
Актуальность темы. Как известно, главными объектами исследования в общей топологии являются понятия топологического пространства и непре- рыв НОГО отображения. Однако на топологическое пространство можно смотреть как на простейший случай непрерывного отображения, так как пространство можно отождествить с его отображением в одноточечное пространство. Это наблюдение сразу же приводит к задаче распространения понятий и утверждений, касающихся пространств, на отображения, что и объясняет возникновение нового раздела общей топологии, который стал называться общая топология непрерывных отображений или послойная общая топология.
Отметим, что идея распространения понятий и результатов, касающихся пространств, на непрерывные отображения возникла достаточно давно. Например, в 1947 г. И.А. Вайнштейн предложил называть совершенные отображения компактными, а в 1953 г. Г.Т. Уайберн рассмотрел компактификации отображений. Однако общего подхода к указанному распространению выработано не было. Систематическое построение послойной общей топологии было начато Б.А. Пасынковым в 1984 г. и Джеймсом в 1989 г. В ЧАСТНОСТИ в статье Б.А. Пасынкова вводятся аналоги тихоновские отображения; для отображений строятся аналог тихоновских кубов; ДІ^ЛЯ тихоновских отображений (обобщенным методом Тихонова) строятся: тихоновские бикомпактификации того же веса, что и отображения (аналог теоремы А.Н. Тихонова); максимальные тихоновские бикомпактификации ( аналог бикомпактификаций Стоуна- Чеху); бикомпактификации, являющиеся аналогом одноточечных бикомпактификаций П.С. Александрова. Вводятся и изучаются также понятия локально бикомпактного, полного по Чеху, паракомпактного, предметризуемого и т.д. отображения.
Одним из важнейших классов исследуемых в общей топологии пространств является класс метрических (и метризуемых) пространств. Рассмотрение этого класса пространств приводит к следующей важной специализации общей задачи, сформулированной в первом абзаце введения: найти в классе непре- р ы В H ых отображений аналог метрических (и метризуемых) пространств, который охватывал бы достаточно широкий класс отображений и на который можно было бы распространить основные утверждения, касающиеся метрических (и метризуемых) пространств. В 1999 г. понятия метрики на множестве и метрического (метризуемого) пространства были распространены на отображения множеств в пространства в статье Б.А. Пасынкова. Отметим, что понятия (псевдо)метрики и послойно полной метрики на непрерывном отображении были ОПрбДбЛбНЫ В CT9jTb6 CT уде H 'X' к и Б.А. Пасынкова Н.Н. Порожисты0 в 1986 г. Отметим 6ТЦ6 «і что ,В С'X'cL'X1Із6 Д. Бухаджера, Т. Мивы и Б.А. Пасынкова был рассмотрен класс отображений метризуемого типа, но в ней нет понятий метрики на отображениях и метрического (метризуемого) отображения.
Цель работы. Основные цели диссертации таковы: во-первых, (в главе 1) продолжить начатое в работах Б. А. Пасынкова и Г. Норд о5 8 изучение полноты и пополнений метрических отображений и, во-вторых, (в г л а- ве 2) для метрических отображений получить аналоги теорем Т.Н. Фоменко9 10 о неподвижных точках отображений поточечно сжимающих метрических пространств в себя и А.В. Арутюнова о точках совпадения пары отображений одного метрического пространства в другое; продемонстрировать возможность применения к метрическим отображениям разработанного Т.Н.Фоменко метода поисковых функционалов в задачах доказательства существования и отыскания неподвижных точек и точек совпадения для отображений метрических пространств.
Научная новизна. Все основные результаты диссертационной работы
являются новыми. Основные результаты работы таковы і
-
Получена характернзацня полноты метрических отображений, позволяющая упростить первоначальное определение этой полноты. Показано, что полноту метрических отображений можно определять стандартным способом в случае, когда область значений метрического отображения удовлетворяет первой аксиоме счетности. Доказано, что для замкнутых метрических метрических отображений свойства полноты и послойной полноты равносильны.
-
Получен метод построения пополнения метрического отображения, не опирающийся на теорему существования и единственности пополнений метрических пространств, и близкий к стандартному методу построения пополнений метрических пространств (при помощи классов эквивалентных фундаментальных последовательностей точек). В случае, когда область значений отображения удовлетворяет первой аксиоме счетности, пополнение метрического отображения можно получить стандартным способом.
-
Доказано, что в частично упорядоченном множестве всех послойно полных расширений метрического отображения f существуют наиболыиии
все его послойно полные метрические расширения совпадают с его пополнением (и с его послойным пополнением).
-
На метрические отображения распространена теорема Лаврентьева о продолжении на G^-оболочки гомеоморфизма подпространства одного метрического пространства на подпространство другого метрического пространства.
-
На метрические отображения обобщена теорема Т.Н. Фоменко о неподвижных точках поточечно сжимающих отображений метрических про- стр&нств (обобщающая теорему С. Банаха о неподвижных точках сжимающих отображений).
-
Для метрических отображений получены три аналога теоремы А.В. Арутюнова о точках совпадения пар однозначных отображений (одно из которых а-накрывающее, а другое Д-липшицевское) одного метрического пространства в другое. Во всех трех случаях рассматриваются два тар-морфизма (один из которых накрывающий, а другой липшицев- ский) метрического послойно полного открытого отображения на пара- компакт в другое метрическое отображение на тот же паракомпакт. В первом случае этот паракомпакт предполагается 0-мерным, а в третьем случае на слои накрывающего тар-мофизма накладывается условие выпуклости. При этом роль точек совпадения отображений метрических пространств играют непрерывные сечения, целиком состоящие из точек совпадения тар-морфизмов метрических отображений.
-
Продемонстрирована возможность применения к метрическим отображениям разработанного Т.Н.Фоменко10 12 метода поисковых функционалов в задачах доказательства существования и отыскания неподвижных точек и точек совпадения для отображений метрических пространств.
Теоретическая и практическая ценность. Результаты работы имеют теоретическое значение и могут быть использованы при чтении спецкурсов и ведении спецсеминаров для студентов и аспирантов и в последующих научНЫХ ИССЛбД^ОВ^НИЯХ.
Апробация работы. Результаты диссертационной работы докл эды в cl лись
на Всероссийской конференции "Математика, информатика и методика их преподавания", посвещенной 110-летию математического факультета Московского педагогического государственного университета, Москва, 2011.
лодых ученых
"Ломоносов", Москва, 2012.
дрова
(кафедра общей топологии и геометрии МГУ).
доклад Нгуен Тхи Хонг Ван и Пасынкова Б.А. "Послойные варианты теорем Банаха и Арутюнова" включен в программу 4-й Международной конференции «Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования», посвящённой 90-летию со дня рождения члена-корреспондента РАН, академика Европейской академии наук Jl.Д. Кудрявцева, Москва, 25-27 марта, 2013г.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав и списка литературы. Глава 1 состоит из четырех параграфов, глава 2 - из трех параграфов. Список литературы состоит из 27 наименований. Работа изложена на 74 CT р QjH И ЦсЬХ .
Похожие диссертации на Метрические и метризуемые отображения
