Введение к работе
Актуальность темы. Данная работа относится к одному из крупных разделов современной геометрии - теории выпуклых поверхностей - и представляет то направление'в рамках этой.теории, где изучаются свойства поверхности по ее заранее заданным геометрическим характеристикам.
Объектом исследования служит замкнутая выпуклая гиперповерхность в евклидовом пространстве, построенная по условной кривизне [1]. В аналитическом случае такая поверхность связана с решением многомерного уравнения Монжа - Ампера; заданного на гиперсфере. В связи с этим предмет изучения представляет интерес не только с позиций геометрии, но и с точки зрения теория нелинейных уравнений.
Отметим, что уравнения Монжа-Ампера, благодаря широкому спектру их приложений, принадлежат cfepe внимания современной математики- Об этом свидетельствует множество относящихся к ним публикаций, появившихся в последнее десятилетие.
Цель работы состоит в получении количественной оценки отклонения от«сферы поверхности с заданной условной кривизной и, как следствие этого, априорной оценки модуля решения для одного класса многомерных уравнений Монжа-'- Ампера.
Научная новизна. Новым в диссертации является следующее:
-
При некоторых ограничениях на условную кривизну получена оценка отношения минимума модуля радиус-вектора поверхности к его максимальному значению. Отсюда - априорная оценка для одного класса уравнений Монжа- - Ампера, "заданннх йГёддшч-ной гиперсфере.'
-
Доказана теорема устойчивости сферы в классе замкнутих выпуклых гиперповерхностей с заданной условной кривизной.
Попутно получены .результаты дія близких к сфере гиперповерхностей в пространстве Лобачевского.
Практическая ценность. Результаты диссертации могут найти
Применение в теории -выпуклых поверхностей и в теории эллиптических уравнений,і'Яонжа _ Ампера.
I. Погорелов А.В. Многомерное уравнение Монжа - Ампера! - М.:На-- ука, 1988-93 с.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Всесоюзной школе "Оптимальное управление. Геометрия и анализ" (г.Кемерово,1988 год), на Всесоюзной конференции по геометрии и анализу (г.Новосибирск,1989 год) , а также неоднократно обсуждались на семинаре по геометрии"в целом" в МГУ им. М.В.Ломоносова (руководители - проф.Э.Г.Позняк, доц.И.Х. Сабитов, с.н.с.Э.Р.Розендорн) .
Публикации. Но материалам диссертации опубликовано 6 работ, которые отражают ее основное содержание.
Обьем -работы. Работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из V6 наименований и занимает 102 с. машинописного текста.
