Введение к работе
Актуальность темы. В работе исследуется вопрос: какие топологические свойства тихоновского пространствах можно описать при помощи множества всех непрерывных отображений из X в R, а также некоторых его подмножеств, наделенных той или иной структурой (как топологической так и алгебраической).
Мы рассматриваем тихоновские пространства. Множество непрерывных отображений из пространства X в пространство Y обозначаем С(Х, Y). В случае, когда Y=R, вместо С(Х, R) пишем С(Х).
Важность рассмотрения пространства отображений в определенной мере вызвана тем, что отображения представляют собой наиболее общий способ сравнения математических объектов. При фиксированных пространстве X и пространстве Y можно получать различные пространства отображений в зависимости от того какую естественную топологию рассматривать на множестве С(Х, Y). Если образ У имеет дополнительно некоторую алгебраическую структуру, согласованную с топологией (например, если Y = R), то и на пространстве отображений возможно введение дополнительной алгебраической структуры. Это открывает возможность "сортировать" свойства пространства X в соответствии с тем, какими тополого-алгебраическими свойствами пространства С(Х, Y) они определяются. Так же полезным оказывается рассмотрение не всего множества отображений из Хв Y, а некоторых его подмножеств, выделяемых спецификой рассматриваемой ситуации. Например, множества всех непрерывных линейных отображений топологического векторного пространства X в топологическое векторное пространство Y, множества всех непрерывных гомоморфизмов топологического кольца X в топологическое кольцо Гит. д. Рассматривая топологические пространства и некоторые их пространства отображений естественно задаваться следующими общими вопросами:
Какие свойства пространства X характеризуются множеством отображений из Хв Z (или некоторым его подмножеством), наделенным той или иной тополого-алгебраической структурой?
Пусть множества С(Х, Z) и C(Y, Z) (или некоторые их подмножества), наделенные той или иной -гополого-алгебраической структурой, в каком-
6НБЛИ0ГЕКА |
2 СЇЬтеЙИК *-- J
либо смысле одинаковы. Какие свойства пространств X и У будут тогда общими?
Например, если кольцо С(Х) наделить топологией равномерной сходимости, и рассмотреть полные подкольца этого топологического кольца, то при их помощи можно описать все бикомпактификации пространства X см., например, [15, 3.12.21(e)], [6], в том числе и стоун-чеховскую биком-пактификацию.
Согласно результату Гельфанда и Колмогорова [5], из алгебраического изоморфизма колец С(Х) и C(Y) бикомпакных пространств X и У следует гомеоморфность пространств ХиУ. Более того, Гиллман и Джерисон [7] доказали, что из алгебраического изоморфизма колец С(Х) и C(Y) произвольных тихоновских пространств X и Y следует гомеоморфность их хьюиттовских расширений vX и vY
Теорема Нагаты [11] говорит о том, что топологический кольцевой изоморфизм топологических колец С(Х) и C(Y), рассматриваемых в топологии поточечной сходимости, влечет гомеоморфность пространств X и Y.
В 1980 году, развивая методы теории свободных топологических групп, разработанные М. И. Граевым в [8], Д. С. Павловский [12] показал равенство dimX = dim Г для /-эквивалентных пространств X и Y, если оба они локально бикомпактные метризуемые или полные сепарабель-ные метризуемые (пространства X и У называются /-эквивалентными, если пространства С/Х) и C/Y) всех непрерывных функций в топологии поточечной сходимости линейно гомеоморфны). В дальнейшем этот результат неоднократно обобщался. А. В. Архангельский [3] распространил его на бикомпактные пространства. Л. Г. Замбахидзе [10] установил, что /-эквивалентность влечет совпадение размерностей dim двух пространств в классе полных по Чеху чешуйчатых нормальных локально вполне пара-компактных пространств. В 1982 году В. Г. Пестов [14] установил эту теорему для произвольных /-эквивалентных тихоновских пространств. В 1992 году С. П. Гулько [9] доказал, что равенство dimX = dim Г для тихоновских пространств X и Y верно даже в том случае, когда пространства СР(Х) и C/Y) равномерно гомеоморфны.
Наряду с результатами о равенстве размерности был получен также ряд результатов о «взаимном расположении» пространств, пространства функций которых, в том или ином смысле одинаковы. Пестов в [14] пока-
зал, что если тихоновские пространства X и Г слабо /-эквивалентны (т.е. вкладываются в качестве слабых базисов в одно и то же топологическое пространство, в частности /-эквивалентны), то пространство X (равно как и Y) является объединением счетного числа своих подпространств Хі,і N, причем для каждого г Є N и х Є Xj существует открытая в ЛГ,-окрестность О точки х, являющаяся объединением конечного семейства своих замкнутых подмножеств, каждое из которых гомеоморфно подпространству Y Если при этом сетевой вес пространства X счетен, то каждое Хі типа Fa в Y. Ю. А Буров [4] показал, что если совершенные наследственно субпаракомпактные пространства X и Y слабо /-эквивалентны, то пространство X есть тело а -дискретной системы своих замкнутых подмножеств, гомеоморфных замкнутым подмножествам пространства X. Там же было установлено равенство размерностей Ind для слабо /-эквивалентных совершенно нормальных субпаракомпактных пространств. Гулько в [9] доказал, что если для тихоновских пространств Хи Y со счетной базой пространства СР(Х) и CJY) (или даже некоторые их «хорошие» подмножества) равномерно гомеоморфны, то пространство X (равно как и Y) является объединением счетного числа замкнутых множеств каждое из которых гомеоморфно некоторому подмножеству пространства Y.
Цель диссертационной работы. Выяснить связь между свойствами топологического пространства X и различными подмножествами пространства C(X,S), снабженного той или иной тополого-алгебраической структурой.
Основные задачи. Распространить перечисленные выше результаты на функции, принимающие значения не во всей вещественной прямой, а только в тех или иных ее подмножествах.
Новизна результатов. Основные результаты, полученные в диссертации, являются новыми. Выделим важнейшие из них.
Обобщена теорема Вейерштрасса-Стоуна, что позволило получить описание всех 5-тихоновских бикомпактификаций 5-тихоновского пространства.
Получено обобщение теоремы Нагаты на случай 5р-изоморфных и 5-изоморфных пространств. Дано описание всех 5-изоморфизмов между
пространствами Cr(X,S) и Cr(Y,S).
Получен критерий гомеоморфности 5-тихоновских отображений.
Доказано равенство размерностей нормальных 5-тихоновских пространств X и Г с а -дискретной сетью, имеющих равномерно гомеоморф-ные пространства функций Cp(X,S) и Cp(Y,S)
Методы исследования. Используется метод диагональных произведений, метод слабых базисов Павловского-Пестова, метод разложений Гулько.
Торетическое и прикладное значение. Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в дальнейших исследованиях топологических пространств при помощи пространств функций, а также при чтении специальных курсов на физико-математических факультетах педвузов и университетов.
Апробация диссертации. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинаре им. П. С. Александрова кафедры общей топологии и геометрии механико-математического факультета МГУ; на спецсеминаре проф. Б. А. Пасынкова и доц. К. Л. Козлова по теории размерности и топологическим произведениям; на топологической конференции «Александровские чтения» (МГУ, 2003 г.); на 3-й Всероссийской научной конференции «Проблемы современного математического образования в вузах и школах России» (Киров, 2004г.).
Публикации. Основное содержание диссертации отражено в пяти публикациях. Их список приведен в конце автореферата.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из терминологических замечаний, введения, четырех глав и списка литературы, включающего 32 наименования работ отечественных и зарубежных авторов. Она изложена на 77 страницах машинописного текста.
