Содержание к диссертации
Введение
1. История и состояние вопроса 13
1.1. Гидравлика, гидротехника и моделирование с древности до наших дней 13
1.2. Современные подходы 22
2. Гидродинамическое описание речного потока 30
2.1. Распределение скоростей в призматическом русле 33
2.2. Обратная задача гидродинамики потока 39
2.3. Гидрогеометрические параметры 50
2.4. Динамика речного потока 60
3. Методика создания компьютерной гидравлической модели реки 84
3.1. Исходные данные 84
3.2. Аппроксимация поля скоростей потока 89
3.3. Методика расчета зон затопления 105
3.4. Представление результатов моделирования 106
4. Эксперименты по проверке теории 107
4.1. Сравнение с расчетами по формуле Шези 107
4.2. План зоны затопления в половодье 112
4.3. Экспедиция нар. Керженец 114
5. Гидравлическая модель участка р. Волга 117
5.1. Комплекс обеспечивающих программ 117
5.2. Программа построения поперечных профилей речной долины 119
5.3. Программа расчета гидрогеометрических параметров 119
5.4. Программа расчета зон затопления 123
5.5. Исследования на модели р.Волги 125
6. Применение модели для малых рек 136
6.1. Расчет уровеннного режима реки при разработке руслового карьера - водохранилища на р. Узола 136
6.2. Расчет зон затопления при прохождении катастрофического половодья и прорыве каскада гидроузлов Филипповские в г.Саров 140
6.3. Расчет зон затопления нижней части г. Арзамаса половодьем р.Шамки с прорывом каскада плотин 145
7. Проблемы и перспективы моделирования 149
7.1. Проблемы коэффициента вязкости 149
7.2. Влияние поперечной составляющей 150
7.3. Необходимые дальнейшие работы 151
Общие выводы 153
Список литературы 156
- Современные подходы
- Обратная задача гидродинамики потока
- Представление результатов моделирования
- Экспедиция нар. Керженец
Современные подходы
Гипотеза. Ньютона о сопротивлении трения долгое время вызывала споры. В течение полутора столетий гидравлики и физики на основании проанализированных опытных фактов опровергали, а затем принимали гипотезу Ньютона. В исследованиях французских ученых второй половины XVIII в. Шези, Кулона сила трения жидкости считалась пропорциональной второй степени скорости течения жидкости в трубах.
Г.Гаген, проведя анализ опытов французских ученых XVIII в. Купле, Бо-ссю и Дюбуа, вывел закономерность, в которой трение воды о твердое тело пропорционально скорости в степени 1.75. "[2].
Шарль Кулон (1736 - 1806) с помощью крутильных весов выполнил очень точные замеры сопротивления в жидкости. Он изучал затухание крутильных колебаний дисков, помещенных в жидкость. Исключительно важными являются его эксперименты со смазыванием поверхности диска салом - при этом затухание не меняется. Отсюда Кулон делает вывод, что трение происходит 6 слоях жидкости, а не на поверхности.
Уже в XIX веке Навье (Navier C.L., 1785 - 1836) облек гипотезу Ньютона в строгую математическую форму, положив трение пропорциональным градиенту скорости по нормали к линии тока (см. далее).
Непосредственно к гидравлике имеет отношение разработанная Ньютоном теория приливов, а также разработанная им методика вычисления скорости распространения малых возмущений в газах (скорости звука), применимая к вычислению скорости распространения малых возмущений на поверхности воды. Методами дифференциального исчисления Ньютон положил начало вычислению формы Земли, как вращающегося жидкого тела.
Эти методы были развиты А.Клеро в трактате "Теория фигур Земли". Он также обосновал очень важное для гидростатики утверждение, что разность давлений, взятая по всему контуру замкнутого канала при равновесии равна нулю. XVIII век. В XVIII веке возникла гидродинамика. Ее становление связано с именами Иоганна и Даниила Бернулли, Леонарда Эйлера и Д Аламбера. Бернулли. Иоган Бернулли (отец, 1667 - 1748) и Даниил Бернулли (сын, 1700 - 1782) вели своеобразное соревнование в разработке вопросов гидромеханики. Название гидродинамика было введено Даниилом Бернулли в названии трак Глава 1. История и состояние вопроса 17 тата 1738-го года: "Гидродинамика или записки о силах и движениях жидкости". В этой работе Бернулли основывается на законе сохранения энергии (живых сил, как тогда ее называли): потеря высоты текущей жидкостью вызывает приращение кинетической энергии. Здесь же автор описывает еще одно из важнейших соотношений гидродинамики - математическую запись закона сохранения количества жидкости (уравнение неразрывности).
В 1743 году вышла в свет "Гидравлика, впервые открытая и доказанная на чисто механических основаниях" Иоганна Бернулли (отца), где также в основу был положен принцип живых сил (закон сохранения энергии). Во второй части этого трактата содержится метод решения гидравлических задач о движении воды в каналах произвольной формы. Он пользуется понятием давления уже на современном уровне.
Эйлер. Леонарду Эйлеру (1707 - 1783) принадлежит создание системы уравнений современной гидродинамики, выведенной им на основе применения второго закона Ньютона к бесконечно малым элементам жидкости. Они сформулированы в его мемуаре 1752 г. "Принципы движения жидкости". В работе содержится вывод уравнения неразрывности
Даламбер. Существенный вклад в изучение сопротивления жидкости движущемуся в ней телу внес Жак Даламбер (1717 - 1783). В его трактате 1752 г. "Опыт новой теории сопротивления жидкостей" он применяет разработанный им метод введением сил инерции сведения динамической задачи к статической (принцип Даламбера) к проблеме обтекания жидкостью различных тел.
В частности, он (с удивлением) показал, что тело, равномерно движущееся б идеальной жидкости, не испытывает сопротивления (парадокс Даламбера).
Важным его нововведением является применение комплексных переменных для описания двумерных задач гидродинамики.
Итоги XVIII века. В XVIII веке математическое описание динамики жидкости в виде системы дифференциальных уравнений в частных производных достигло современного уровня. Однако, применение их для решения
Это привело к определенному скептицизму, высказанному в 1797 г. Ш.Боссю, в возможности описания реальных проблем гидродинамики с помощью этого математического аппарата:
"Совместные усилия великих геометров, видимо, исчерпали все ресурсы, которыми располагает анализ для определения движения жидкостей. К несчастью, по самой приоде вопроса эти расчеты настолько сложны, что их можно рассматривать как сами по себе драгоценные математические истины, но не как символы, которыми можно наглядно описать действительное и физическое движение жидкостей".
Работы по водоснабжению, использованию водной энергии, а также строительство каналов и гидротехнических сооружений требовали все более точных расчетов течения воды в трубопроводах, открытых руслах и других устройствах. Но теоретическая гидродинамика не давала ответа на возникающие вопросы, так как не объясняля основного явления, характеризующего все практические системы, - гидравлического сопротивления. Поэтому значительное место занимало экспериментальное исследование гидравлических сопротивлений для различных систем.
К 70-м годам XVIII века относятся (не опубликованные тогда) исследования о течении в каналах А.Шези (Chezy А., 1718 - 1798). Он, исходя из квадратичной зависимости сопротивления от скорости, нашел, что средние скорости в русле пропорциональны квадратному корню из произведения уклона на гидравлический радиус. Тогда же в 70-х годах вышли курсы гидравлики Ш.Боссю и П.Дюбуа, положившие начало всей учебной литературе по гидравлике.
Гидравлика в XIX веке. XIX век - это век бурного развития техники. Несмотря на не менее бурное развитие в этом веке и математики и физики, в области гидродинамики наука не могла угнаться за потребностями техники. Поэтому главным методом гидродинамики в XIX веке стал экспериментальный подход. При этом приложение общих теорем механики к расчету течения воды проводилось для осредненных по ширине потока величин скоростей.
Теория вязкой жидкости. Первый шаг в создании гидродинамики вязкой жидкости был сделан Навье в 1822 г. в "Мемуаре о законах движения жидкости". В качестве основной гипотезы он, следуя Ньютону, положил дополнительную силу трения в жидкости пропорциональной нормальной к скорости составляющей производной скорости. Он получил уравнения во вполне
Обратная задача гидродинамики потока
Рассмотрим это уравнение для случая бесконечно - малого разрыва - при h2 —» hi. Оно определяет уравнение распространения бесконечно - малых возмущений: V2 - 2a0vV + a0v2 -gh = 0, решения которого V = a0v±yJao{a0-l)v2 + gh (2.82) в точности совпадают со значениями (2.72), полученными из уравнений динамики потока. Наиболее важным здесь является то, что уравнения динамики выведены из законов сохранения вещества и энергии, а скорость движения разрывов здесь мы вывели из законов сохранения вещества и потока импульса. Это значит, что рассматриваемая система уравнений внутренне согласована.
Мы видим, что скорость движения фронта разрыва определяется только средней скоростью течения и перепадами глубин, которые, однако, связаны с перепадами расходов формулой (2.80).
Эти соотношения необходимы при описании динамики распространения волны водосброса или прорыва плотины или, наоборот, распространения обратной волны при возникновении внезапной запруды.
Поток энергии Для определения характеристик фронта разрыва нам понадобилось только два условия непрерывности. Неиспользованным осталось условие непрерывности энергии. Так как это условие не использовалось, то естественно ожидать, что по обе стороны фронта потоки энергии будут разными. Поток энергии в системе, связанной с фронтом, движущимся со скоростью Для плоского потока hd = 5/Sh, hc = h/2. Мы не будем здесь приводить достаточно сложные общие формулы. Ограничимся случаем малых разрывов h2 — h, hi —- h. Введем среднюю скорость v = Q/S. Для плоского потока
Для реальных рек при h2 hi правая часть положительна. Это формально можно представить как несоблюдение закона сохранения механической энергии на поверхности разрыва. Однако, закон сохранения энергии приводит к тому, что мы обязаны ввести некоторую внутреннюю энергию потока -энергию вихревого движения. Тогда на поверхности разрыва избыточная механическая энергия переходит в энергию вихревого движения.
Дифференциальное уравнение (2.64) является дифференциальным уравнением первого порядка и для его решения необходимо только одно граничное условие - как мы уже говорили раньше - условие сверху или снизу. Однако, если взять участок реки, например, вытекающий из одного озера и втекающий в другое, или просто отрезок реки, у него имеются граничные условия: при заданном расходе глубины как сверху, так и снизу - два граничных условия. Для их удовлетворения при произвольных глубинах сверху и снизу дифференциальное уравнение должно иметь, по крайней мере, второй порядок.
Показательно сравнение экспериментальной и теоретической кривой поверхности входного сечения быстротока, приведенное в статье Айвазяна [34] (рис. 2.12)
Теоретическая кривая хорошо совпадает с экспериментальной, однако, на входе экспериментальная кривая гладко сшивается с уровнем стока, в то время как теоретическая кривая имеет острый угол. Объясняется это тем, что единственная константа интегрирования дифференциального уравнения первого порядка используется для сшивания уровня, а для сшивания производной свободных констант уже не хватает.
В этой же статье [34] приведены графики натурных и расчетных данных свободной поверхности Новотроицкого бетонного быстротока. В то время как теоретический расчет с помощью уравнений Сен-Венана дает монотонную кривую, натурная поверхность имеет явно колебательный (с затуханием) характер, что не может быть описано дифференциальным уравнением первого порядка.
Потеря второй производной произошла, во-первых, за счет того, что рассматривалась только одна компонента скорости - вдоль потока. Однако, при резких перепадах уклона, заметную роль начинает играть и вертикальная составляющая скорости. Для плоского или уголкового потока, где сечения при разных глубинах подобны друг другу, вертикальные скорости пропорциональны горизонтальным и производной от глубины по длине, что приводит к добавке к потоку энергии
Гидродинамическое описяние речного потока Приведенное замечание относится и к уравнениям Сен- Венана. Так как первое уравнение из (2.59) - уравнение сохранения вещества ( в точности совпадает с соответствующим уравнением Сен-Венана) - в стационарном случае определяет Q = const, то, в отличие от телеграфного уравнения, остающегося и в статическом случае дифференциальным уравнением второго порядка, уравнение динамики оказывается дифференциальным уравнением первого порядка.
С другой стороны, в балансе энергии мы потеряли еще одну диссипативную составляющую. При расширении или сужении реки при рассмотрении двух сечений на достаточно большом расстоянии у них изменены гидрогеометрические коэффициенты, в соответствии с которыми меняются кинетическая энергия и ее поток. Однако, переходные, короткомасштабные моды мы не учитываем, полагая, что они быстро затухают. Но они уносят и энергию. Эта дополнительно уносимая энергия может быть связана с кривизной водной поверхности: когда мы рассматривали однородный поток с плоской поверхностью - отсутствием переходных процессов - эти дополнительные члены отсутствовали. Простейший феноменологический учет этих явлений может быть сделан добавлением в правую часть второго (динамического) уравнения в (2.59) диссипативного члена
Представление результатов моделирования
По поперечникам с заданным расстоянием (расстояние лучше задавать по двум парам точек на двух соседних профилях) может быть восстановлен полный рельеф (в зависимости от частоты нарезки профилей - с большей или меньшей точностью). Однако в нашем приближении мы принимаем, что на некотором расстоянии от нашего профиля русло имеет призматический вид, т.е., сечения, проведенные чуть выше или чуть ниже по течению, будут иметь практически тот же вид, что и заданное (величина "чуть" определяется шириной реки). Если же имеются резкие перепады рельефа, не отслеживаемые профилями, полученная картина поля скоростей будет отличаться от реальной ( о поправках - см. п.7.2.)
Необходимо отметить, опять же, что большой точности в построении профиля требовать не следует - в силу наличия градиента скоростей, придонный слой малоподвижен, и часть воды, протекающая в нем, мала по сравнению с остальной толщей, потому при сохранении общей тенденции профиля мелкими подробностями лучше пренебрегать, чтобы не уподоблять профиль фракталу.
В теории предполагалось, что профиль берется ортогонально оси течения (течение считалось без поворотов). Очевидно, что для реальной реки такое требование выполнить не удастся - в силу поворотов русла динамическая ось потока будет "гулять" от берега к берегу. Однако, основная масса воды течет все равно в русле, и за ось, перпендикулярно которой следует строить поперечники, целесообразно взять линии берегов (на каждом значительном повороте линии обоих берегов делятся на равное количество частей, и между соответствующими отметками на обоих берегах берется искомый профиль).
Необходимо здесь же отметить, что, хотя повороты и перепады глубин меняют распределение скоростей, средние величины (средняя глубина, средняя скорость), вычисленные и замеренные экспериментально, отличаются слабо (см. п.4.3. )
Картографическая подложка используется как для представления зоны затопления на плане, так и для построения поперечных профилей долины реки, описанных выше. Для использования подложки в программе необходимо растр (картинку) карты "привязать" к реальным координатам (т.е., масштабировать и соотнести с реальными объектами). Это достигается указанием координат левого верхнего угла карты и реальной ширины карты (расстояния между точками на местности, соответствующими ее углам, в метрах) или
Методика создания компьютерной гидравлической модели реки 86 масштаба (сколько точек соответствует одному метру). Для снятия с карты поперечников необходимо ее оцифровать (снять горизонтали с указанием их высот).
В теории существует величина - турбулентная вязкость, - которую мы предполагаем не зависящей от скорости ( по крайней мере, в первом приближении это допустимо), однако величина ее остается неопределенной. Хотя, как показали практические расчеты (см. гл.5.), величина ее для равнинных рек меняется слабо, и можно принимать ее постоянной и примерно равной 2, 5-Ю-3, но статистика набрана еще недостаточно, и как изменится эта величина для других рек - неизвестно.
На данный момент наиболее целесообразно определять ее обратным пересчетом из гидрогеометрических коэффициентов для известной (какой-нибудь) глубины и расхода хотя бы в одном профиле по формуле где J- уклон, qh- гидрогеометрический расход, Q - расход воды.
Кроме того, уравнения, связывающие параметры течения в разных профилях, требуют задания расхода на входе участка и глубины - на выходе. Считая, что все. "интересное" мы нашим участком захватываем, а за пределами его реку можно считать текущей равномерно стационарно (например, случай, когда Волга плавно переходит в Чебоксарское водохранилище), в качестве конечной глубины можно взять равновесную глубину для бесконечно широкого потока, расчитанную по формуле (2.69), либо же она может быть задана уровнем, поддерживаемым на ГЭС.
В любом случае, для проверки созданной модели необходимо привлекать данные гидрологических наблюдений. Это, в первую очередь, экспериментальные кривые связи расход-уровень и наблюдения за изменением расходов во времени, а также данные о притоках на интересующем нас участке.
Слово "экспериментальные" следует оговорить отдельно. Дело в том, что измерение расхода - весьма хлопотное дело, если только это измерение не проводится на ГЭС, где расход определяется по вырабатываемой мощности. Кроме того, для построения связи расхода и уровня требуется длительное наблюдение, чтобы засечь большой диапазон изменения глубин и расходов. Поэтому очень часто кривые берутся не из экспериментальных замеров, а рассчитываются, причем рассчитываются по той же формуле Шези (а иногда Глава 3. Методика создания компьютерной гидравлической модели реки _8 7 даже и без нее, просто расход считается пропорциональным площади сечения, т.е., считается, что средняя скорость не зависит от глубины заполнения). Очевидно, что класть такие кривые в основу проверки теории, претендующей на некоторую альтернативу теории Шези, как минимум опасно.
На предоставляемую гидрологическую информацию должны быть наложены требования, предъявляемые водопользователями и водопотребителями, поскольку эти требования серьезно изменяют природную картину распределения расхода.
Окончательно исходными данными являются гидрографы в каждом створе участка (задаваемые или рассчитываемые); поперечные профили долины реки (рис. 3.1) и уровень в конечном створе .
Экспедиция нар. Керженец
Данная работа была выполнена по заказу администрации г.Саров в 2000 г. при проведении обследования гидроузлов каскада -[64]. Задачей было определить участки, попадающие в зону возможного затопления в случае прорыва каскада гидроузлов.
Задача разбилась на две части: определение затопления при паводках и определение затопления при прорыве плотин; математическая формулировка и решение этих задач различны.
Работа на прудах Филипповских очень показательна в плане сравнения теории автора с теорией, применяемой в гидравлических расчетах на данный день.
Как уже говорилось, основой в современных расчетах остается формула Шези (1.8), в которой коэффициент Шези вычисляется по различным зависимостям (Павловского, Маннинга, Гангилье-Куттера, Бахметева и Федорова, Альтшуля и т.д.) через шероховатость дна, но сама шероховатость определяется весьма ненадежным образом. Формула Шези написана для равномерного движения воды.
В [19] отмечается, что для равнинных рек может быть взята зависимость h = 0.52Q1/3 В коэффициенте 0.52 мы позволим себе усомниться, что он един для всех равнинных рек (возможно, если усреднить, так и получится, но вряд ли возможно усреднять все реки), но зависимость глубины от расхода как корень третьей степени дает и формула для равновесной глубины ( 2.69) в бесконечном плоском потоке.
Так вот, по Филипповским прудам получены кривые расходов по формуле Шези, где коэффициент считался по формуле Маннинга где R - гидравлический радиус, п - шероховатость, и по формуле равновесной глубины, в которой коэффициент вязкости брался, как и на р. Узоле (см. выше), равным 0.0024, в качестве уклона брался средний уклон на участке между прудами (для Филипповских прудов) или уклон дна между двумя профилями (на Балыковском). Результаты сравнения кривых можно видеть на рис. 6.3.
Совпадение следует признать очень хорошим. Однако, эти две расчетные формулы получены из совершенно разных физических оснований и совершенно разной математики! Соответственно, можно считать, что формула Шези - это другой ( на наш взгляд, довольно запутанный) способ расчета той же равновесной глубины, что получается и по изложенной выше теории (в которой шероховатость вообще не принимает участия)
На кривых рис. 6.3. отмечены уровни воды в нижних бьефах гидроузлов при прохождении расхода вероятностью превышения 1% по табл. 6.2. Филипповские Гидроузел Вероятность превышения расхода воды, % Расход воды, м3/с Уровень в нижнем бьефе, м Б С Филипповский-верхний 1 4.56 164.20 163.80 3.57 Филипповский-средний 1 7.52 146.80 146.50 5.12 Филипповский -нижний 1 8.01 142.05 141.70 6.02 Для расчета зоны затопления при прорыве плотины мы воспользовались теорией, изложенной в п. 2.4.П.. Максимальный расход при прорыве взят из отчета о работе по Филиппов-ским прудам, т. 4. [64]. В нем величины расхода определялись по эмпирическим зависимостям из [73] и [74]. Данные представлены в табл. 6.3.
Как первое приближение брались равновесные глубины при соответствующих расходах - до прорыва и после. Далее, глубина, устанавливающаяся при прохождении волны, рассчитывалась методом последовательных приближений из уравнений (2.80) и (2.81)
Определение зоны затопления проводилось по тем же методикам и программам, что и для Волги (глава 5.).
Контуры затоплений показаны на плане (рис. 6.4). 18 апреля 2001 г. на спаде снегового половодья в районе случился обильный непрогнозируемый дождь, переливом через гребень были размыты плотины среднего и нижнего пруда. По косвенным признакам (пригнутая трава, следы на деревьях) мы попытались восстановить границы зоны происшедшего затопления, но надежных данных получить не удалось.
После прохождения критического половодья 2001 г. по р. Шамка в г. Арзамасе 276 домов в нижней части города оказались затопленными. С этим временем совпало разрушение каскада из 3-х гидроузлов на притоке р. Шамки. Кафедре ГС ННГАСУ прокуратурой Нижегородской области было поручено проведение комплексной гидротехнической экспертизы по факту затопления [63].
Для вывода, повлияло ли разрушение плотин на затопление жилых домов, следовало построить предполагаемую зону затопления без учета расхода прорыва и сравнить ее с аналогичной зоной с учтенным расходом от прорыва каскада плотин.
При выполнении работы использовались картографические материалы: план долины р. Шамка (копия топосъемки г. Арзамаса, М 1:10000 - рис. 6.5); контур зоны затопления по данным съемки МЧС г. Арзамаса - рис.6.5); схемы мостов через р. Шамка по ул. Симбирская, Октябрьская и ул. Ленина. Гидрологическая информация была предоставлена ВВУГМС [62] - табл.6.4.
Для расчета зоны затопления были построены 14 поперечников. Расчет производился по компьютерным программам Prasch3 и Pusola, описанным в предыдущей главе. За глубину в самом нижнем поперечнике бралась глубина равновесного течения при данном расходе - (2.69).
Как показало исследование, р. Шамка течет в достаточно узком (10-15 м шириной) и не очень глубоком (1,5-2 м) овраге, за пределами которого находится обширная пойма. Таким образом, в довольно большом диапазоне изменения расхода ( до 57м3/с - расход 5%-й вероятностью превышения - [62]) река не выходит за пределы оврага. Критическим расходом является расход 60м3/с, при котором вода выходит на пойму и происходит резкое увеличение зоны затопления. Однако, вследствии большой ширины и малого ( в сравнении с ограждающими ее холмами) уклона поймы, после ее затопления даже значительные изменения расхода приводят к очень незначительным изменениям размеров зоны затопления в плане (см. рис. 6.5). Некоторыми гидравлическими препятствиями при прохождении половодья по р. Шамке являются искусственные стеснения долины на участках мостовых переходов, особенно по ул. Ленина, (табл. 6.5)
В процессе выполнения эксперизы были произведены геодезические обмер Глава 6. Применение модели для малых рекные работы на Зх разрушенных плотинах каскада, инженерно-геологические исследования, выполнены расчеты прорыва плотин, определен максимальный расход , излившийся в р.Шамку при прорыве каскада-табл.6.4 [63]. Интересно, что расчетное ( 1,6 часа ) и фактическое ( кз1 час ) время добегания волны излива до зоны затопления на расстояние 4,3 км, зафиксированное по воде, окрашенной красной глиной от разрушенной нижней плотины каскада, сопоставимы.
Расчет зоны затопления сделан для двух случаев: а) по расходу реки Шамки 18.04.2001г. 65,6 м3/с без учета расхода от прорыва плотин; б) для наиболее экстремальной ситуации, когда максимальный расход излива от прорыва каскада плотин 34,1 м3/с наложился на максимальный расход р. Шамки 65,6 м3/с и суммарный расход составил около 100 MS/C. Расчетные зоны затопления оконтурены на плане г. Арзамаса (рис. 6.5 ).
Похожие диссертации на Математическая модель гидравлического режима реки с каскадом гидроузлов
