Содержание к диссертации
Введение
1 Методологические вопросы планирования и обработки результатов многофакторных экспериментов датчиковои аппаратуры 12
1.1 Вводные замечания 12
1.2 Обзор методов факторного анализа результатов испытаний датчиковой аппаратуры 14
1.2.1 Классификация и свойства методов факторного анализа 14
1.2.2 Сравнение методов факторного анализа 23
1.3 Математические модели функций преобразования и функций влияния датчиковой аппаратуры 25
1.4 Спектры планов экспериментов, применяемых при многофакторных испытаниях датчиковой аппаратуры 35
1.4.1 Назначение и классификация планов первого порядка 35
1.4.2 Назначение и классификация планов второго порядка 40
1.5 Исследование влияния вида модели на точность определения влияния факторов 46
Выводы по первой главе 48
2 Метод факторного анализа результатов испытаний датчиковой аппаратуры с использованием планов грея 49
2.1 Вводные замечания 49
2.2 Факторный анализ с использованием планов Грея 49
2.2.1 Варианты организации планов Грея 49
2.2.2 Исследование эффективности факторного анализа на основе планов Грея 53
2.3 Использование процедуры дискретного преобразования Фурье при обработке данных с использованием планов Грея 65
2.3.1 Методика построения модели функции отклика в базисе Фурье 65
2.3.2 Результаты статистического моделирования и оценки эффективности фильтрации шумов при использовании процедуры дискретного преобразования Фурье 67
Выводы по второй главе 76
Исследование влияния погрешностей задания влияющих факторов на оценку коэффициентов регрессионных моделей датчиковой аппаратуры 77
3.1 Вводные замечания 77
3.2 Аналитическое исследование влияния погрешностей задания факторов на оценку коэффициентов регрессионных моделей 78
3.3 Исследование влияния погрешностей задания факторов на точность построения моделей функции отклика 82
3.3.1 Постановка задачи и методика исследования 82
3.3.2 Результаты исследования при равномерном законе распределения погрешностей 84
3.3.3 Результаты исследования при нормальном законе распределения погрешностей 92
3.4 Исследование влияния характера случайных погрешностей на
точность оценки коэффициентов функции отклика 99
Выводы по третьей главе 105
Исследование влияния спектров планов эксперимента и погрешностей задания влияющих факторов на оценку коэффициентов регрессионных моделей датчиковой аппаратуры 106
4.1 Вводные замечания 106
4.2 Программа и методика исследования 107
4.3 Результаты исследования для модели с учетом совместного влияния факторов 108
4.4 Результаты исследования для модели без учета совместного влияния факторов 116
4 4.5 Дисперсионный анализ результатов статистического моделирования 125
Выводы по четвертой главе 134
Заключение 135
Список использованных источников
- Обзор методов факторного анализа результатов испытаний датчиковой аппаратуры
- Исследование эффективности факторного анализа на основе планов Грея
- Аналитическое исследование влияния погрешностей задания факторов на оценку коэффициентов регрессионных моделей
- Результаты исследования для модели с учетом совместного влияния факторов
Введение к работе
Датчиковая аппаратура (ДА), включающая в себя собственно датчики и первичные унифицирующие преобразователи, которые представляют данные в виде, удобном для обработки, является важнейшим элементом, как специализированных измерительных приборов, так и информационно-измерительных систем (ИИС) [106]. Это обусловливается тем» что датчики, как правило, включаются в прямые цепи преобразования, и метрологические характеристики датчиковой аппаратуры в значительной мере определяют качество метрологических характеристик ИИС в целом. В связи с этим предъявляются особые требования к обеспечению высокой метрологической надежности ДА, поскольку она работает в самых сложных условиях влияния разнообразных климатических, механических, электромагнитных и других типах внешних воздействий [73, 90, 91, 96].
Качество датчиков и их метрологическая надежность закладываются на этапе проведения экспериментальных исследований и испытаний ДА, реализуемых с помощью специальных ИИС, которые оснащаются как средствами воспроизведения внешних влияющих факторов, так и соответствующим математическим и алгоритмическим обеспечением, используемым в прикладном программном обеспечении процедур сбора и обработки экспериментальных данных.
Состояние проблемы. Организация экспериментальных исследований и испытаний ДА традиционно решается с привлечением таких разделов прикладной математики как «Теория планирования эксперимента» [2, 20, 53, 54, 57, 64, 66, 67, 69, 73, 74, 91, 96, 100] и «Теория факторного анализа» [27, 101], где накоплен большой опыт по рациональному заданию значений воздействующих факторов, построению математических моделей датчиков и их погрешностей.
В теории планирования эксперимента - разделе прикладной математической статистики, изучающей рациональную организацию измерений, подверженных случайным ошибкам, обычно рассматривается следующая схема планирования эксперимента. Со случайными ошибками измеряется функция /(А,Х), зависящая от неизвестных параметров (вектора А = \а\, а2> ... ап\) и от переменных л:, которые по выбору экспериментатора могут принимать значения из некоторого допустимого множества X. Целью эксперимента является обычно либо оценка всех или некоторых параметров А или их функций, либо проверка некоторых гипотез о параметрах А. Исторически первым направлением было факторное, что нашло отражение в сохранившейся терминологии [10, 11, 27, 106]. Здесь функция /(А,Х) зависит от вектора X переменных (факторов) с конечным числом возможных значений и характеризует сравнительный эффект влияния каждого фактора и комбинаций разных факторов. Позднее данное направление было развито в теорию факторного анализа.
В настоящее время указанные выше теории получили широкое развитие и применение, но, вместе с тем, прямое заимствование результатов теорий планирования эксперимента и факторного анализа не всегда возможно при решении рассматриваемых в диссертации проблем из-за специфики ДА как объекта исследования.
Применение методов планирования экспериментов для получения математических моделей предусматривает два этапа решения: неформализованный и формализованный. Неформализованный этап решения направлен на выбор локальной области факторного пространства с определением уровня варьируемых факторов и их интервалов варьирования. Этот этап требует соответствующей подготовки исходных данных и выделения существенных факторов. Второй этап направлен на построение различных планов проведения экспериментов, является формализованным и с методологической точки зрения универсальным для всех задач. В области теории планирования эксперимента большой вклад внесли такие ученые как Адлер Ю.П. [2], Бродский В.З. [86], Красовский Г.И. [53], Филаретов Г.Ф. [53], Ткачев СВ.
7 [91, 96], Маркова Е.В. [2], Налимов В.В. [66, 67], Чернова Н.А. [67], Федоров В,В. [100], Мусин И.А. [64] и др. Из зарубежных исследователей необходимо отметить Р. Фишера [1], который является основоположником современной статистической теории планирования эксперимента, а также Ч. Хикса [105], Ф. Иетса, Д. Финни, Р. Плакетта, И. Бермана, Г. Бокса, К. Уилсона, И. Кифера [12, 86] и других, которые успешно эту теорию развивали [20, 53, 102].
В теоретических исследованиях, проводимых специалистами в области измерений, среди которых следует выделить работы Куликовского К.Л., Бромберга Э.М., Купера В.Я. [54]; Новицкого П.В., Зограф И.А. [69, 70]; Мусина И.А. [64], Михотина В .Д., Ткачева СВ. [87 - 98] указанная задача решалась в русле традиционного подхода с позиций теории планирования эксперимента. Особое внимание при этом уделялось вопросам построения моделей погрешностей и синтезу новых эффективных спектров планов эксперимента.
Однако и в настоящее время существует ряд нерешенных задач, связанных как с разработкой эффективных алгоритмов обработки экспериментальных данных, так и с оценками влияния неточности экспериментальных данных, обусловленных погрешностями задания влияющих факторов. Подобное положение объясняется наличием большого числа всевозможных ограничений, возникающих при реализации экспериментов, в частности сложностью технического характера при воспроизведении комплекса влияющих величин и метрологического обеспечения соответствующей аппаратуры.
Актуальность проблемы, решаемой в диссертационной работе, диктуется следующими основными обстоятельствами.
Во-первых, проблемы планирования эксперимента и факторного анализа следует рассматривать как две взаимообусловленные задачи, что требует синтеза соответствующих алгоритмов обработки данных, адаптируемых к решению задач испытания ДА.
8 Во-вторых, известные и широко применяемые подходы к решению задач планирования эксперимента и факторного анализа ориентированы в основном на аналитические методы анализа. В настоящее время следует использовать другие методы, основанные на широком применении способов статистического моделирования, которые позволяют расширить круг задач планирования эксперимента.
В-третьих, применение новых методов анализа требует по-новому организовывать как алгоритмы планирования эксперимента, так и алгоритмы последовательности проведения исследований и обработки экспериментальных данных.
Цель работы: совершенствование методик анализа и обработки данных в задачах испытания датчиков механических величин при многофакторных воздействиях.
Поставленная цель достигается решением следующих задач: исследование возможностей применения теории планирования эксперимента для факторного анализа, построения моделей функций преобразования (ФП) и функций влияния (ФВ) датчиковой аппаратуры; синтез новой методики обработки данных, повышающих эффективность известных планов экспериментов; разработка методики обработки данных с учетом влияния погрешностей задания факторов для реализации их в информационно-измерительных системах, предназначенных для испытания и аттестации датчиковой аппаратуры; исследование эффективности известных и вновь синтезируемых методик с помощью статистического моделирования; исследование влияния погрешностей задания факторов на точность построения моделей функции отклика в виде функций преобразования и функций влияния средств измерений; - внедрение разработанных методик и алгоритмов в системах испыта ния датчиковой аппаратуры.
Методы исследований включают в себя: методы теорий планирования экспериментов и факторного анализа; методы математического анализа; методы линейной алгебры; методы имитационного и статистического моделирования.
Научная новизна работы заключается в следующем: разработана методика упорядочения экспериментальных данных на основе использования планов Грея, которая позволяет достигнуть эквидистантности отсчетов в я-мерной области планирования и, как следствие, упрощает алгоритмы факторного анализа; разработана методика предварительной фильтрации данных, испытания которой путем статистического моделирования показали, что эффективность подавления влияния шумов в экспериментальных данных возрастает по мере роста мощности шумов; решена задача исследования влияния погрешностей задания факторов на точность оценки коэффициентов функций влияния и преобразования средств измерений при наличии систематических и случайных погрешностей, а также влияния аддитивных и мультипликативных погрешностей задания факторов; методом статистического моделирования показано, что при равномерном и нормальном законах распределения погрешностей задания влияющих факторов погрешности оценки коэффициентов функций отклика подчиняются законам распределения, близким к нормальным, и не вызывают методических отклонений; - в результате исследования влияния погрешностей задания факторов в зависимости от вида функций отклика и реализуемых спектров планов экс перимента показано, что такое влияние на практике можно учитывать анали-
10 тическими методами как влияние погрешностей измерения значений функции отклика с учетом соответствующих поправочных коэффициентов.
Практическая ценность результатов работы. Предложенные в диссертации методики позволяют существенно упростить процедуры факторного анализа данных многофакторных экспериментов на основе применения планов Грея; сократить объем испытаний, что обеспечивает экономию затрат на испытания, увеличивает ресурс датчиков и упрощает требования к испытательному оборудованию за счет применения методики предварительной фильтрации исходных данных. Кроме того, разработанные методики статистического моделирования исследования влияния спектров планов эксперимента и погрешностей задания влияющих факторов на оценку коэффициентов регрессионных моделей позволяют на этапе планирования рационально определять требования к метрологическим характеристикам испытательного оборудования и повысить точность оценок параметров моделей.
Реализация и внедрение. Теоретические и практические результаты работы были использованы и внедрены в виде алгоритмов и программного обеспечения в ФГУП «НИИ физических измерений» (г. Пенза). Внедрение результатов научных исследований позволило: 1) сократить объем испытаний, что обеспечивает экономию затрат на испытания ресурсов датчиков в процессе аттестации; 2) поднять уровень метрологической надежности дат-чиковой аппаратуры; 3) повысить точность оценок параметров моделей при метрологической аттестации характеристик датчиковой аппаратуры.
Кроме того, полученные в диссертационной работе результаты используются в учебном процессе на кафедре «Автоматика и телемеханика» Пензенского государственного университета в рамках специальности 220201 «Управление и информатика в технических системах».
Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на ежегодных научных конференциях Пензенского государственного университета (2000 - 2004 гг.); Международных на-
И учных конференциях «Методы и средства измерения в системах контроля и управления» (Пенза, 2001 г., 2002 г.); Международной школе-семинаре «Синтез и сложность управляющих систем» (Москва, 2002 г.); Международных симпозиумах «Надежность и качество» (Пенза, 2002 г., 2003 г., 2005 г.); Научно-технических конференциях «Датчики и преобразователи информации систем измерения, контроля и управления» (Москва, 2001 - 2003 гг.); Всероссийских научных конференциях «Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB» (Москва, 2002 г., 2004 г.).
На защиту выносятся:
Процедура построения моделей ДА по результатам многофакторных испытаний, включающая в себя этапы статистического моделирования процессов измерения и обработки данных, позволяющая учитывать погрешности исходных данных на этапе выбора модели и спектра плана.
Методика факторного анализа результатов испытаний с использованием планов Грея, позволяющая получить равномерную дискретизацию функции отклика.
Методика предварительной фильтрации экспериментальных данных, основанная на применении дискретного преобразования Фурье.
Методика статистического моделирования влияния систематических и случайных погрешностей при различном характере их проявления на оценку коэффициентов регрессионных моделей.
Методика статистического моделирования влияния спектров планов эксперимента и погрешностей задания влияющих факторов на оценку коэффициентов регрессионных моделей.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 16 печатных работ, в том числе, 1 статья, 14 тезисов докладов на конференциях и 1 информационный листок.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 4-х глав, заключения и девяти приложений. Основной текст - 201 страница машинописного текста. Библиография - 110 наименований.
Обзор методов факторного анализа результатов испытаний датчиковой аппаратуры
Процедура построения моделей датчиков достаточно сложна. Все ее этапы взаимообусловлены и взаимозависимы (рисунок 1.3) [45, 96]. Факторный анализ, как один из элементов обработки экспериментальных данных, зависит как от целей исследования, так и от вида модели, спектра плана эксперимента и т.д.
Одним из первых этапов факторного анализа является выбор вида опорной модели. Этот этап исключительно важен, поскольку неправильно построенная базовая модель может привести к логически неоправданным и неправильным результатам. Смысл данного этапа состоит в следующем: любое расширение факторной модели не должно противоречить логике связи «причина - следствие».
Поясним сказанное. Признак, непосредственно относящийся к объекту анализа (в нашем случае датчику) и характеризующий его количественную сторону (например, выходной сигнал, геометрические размеры и т.д.), называется количественным. Это признаки: а) абсолютные; б) их можно суммировать. Примерами количественных признаков являются такие величины как напряжение, частота и т.д. [25].
Признаки, относящиеся к изучаемому объекту опосредованно, т.е. через один или несколько других признаков и характеризующие его качественную сторону, называются атрибутивными или качественными. Это признаки: а) условно-относительные; б) их нельзя суммировать. Примерами такого вида признаков являются марка датчика, предприятие-изготовитель, отдел, где датчик был разработан и т.д.
Классификация методов, используемых для решения задач факторного анализа, представлена на рисунке 1.1. Рассмотрим их подробнее.
Регрессионный анализ Задачей регрессионного анализа является построение зависимости вида [21, 32, 84,96]: = ! .№) = FTP (1.1) м где FT = \\/о(х),/\(х),.. .,fjx)\\ вектор-строка базисных функций факторов, не зависящих от параметров модели; рт = [[(Зо, Р],..., Pall - вектор параметров модели.
Вообще, регрессионную модель можно рассматривать как результат разложения непрерывной функции Y в ряд по системе базисных функций.
Если использовать в качестве базиса функции Уолша-Адамара, то регрессионная модель будет представлять собой разложение функции Y по системе факторов X, а коэффициенты at (і = 1, ..., и; л - количество членов регрессионной модели) - «веса» факторов.
Регрессионный анализ позволяет одновременно получить модель исследуемого явления (в данном случае модель функции отклика датчика) и численные значения «весов» каждого из факторов.
Этот метод получил широкое распространение при обработке результатов многофакторных испытаний датчиков. Он основан на классической методике анализа статистических данных [73, 96].
В основе метода лежит вычисление доверительного интервала для коэффициентов регрессионной модели по критерию Стыодента: &bj = ±t Sb, (1.2) где Sb = —— дисперсия коэффициентов модели, в предположении, что использовался ортогональный план эксперимента (при использовании планов, не обладающих свойством ортогональности, для каждого коэффициента модели рассчитывается свой доверительный интервал с учетом дисперсии оценки этого коэффициента); N— количество экспериментов (строк матрицы плана); t - коэффициент доверия или квантиль распределения Стыодента; Sy - дисперсия воспроизводимости результатов эксперимента, определяемая выражением: JV л S2 tUrl (13) у Nn{n-\) где у-щ - результат отдельного опыта; у І - среднее значение отклика по повторным опытам; п - количество параллельных опытов в эксперименте. Коэффициенты регрессии признаются значимыми, если их значение больше доверительного интервала (1.2).
Применение этого критерия, как следует из (1.3), требует проведения значительного числа статистических испытаний.
Метод пошаговой регрессии
Данный метод является некоторым упрощением предыдущего метода с одновременной полной или частичной его автоматизацией [69]. Метод пошаговой множественной регрессии состоит в следующем. Поочередно ищутся решения по МНК для моделей yQ = a0 yi=aQ + аххх, у2 = а0 + агх{ + а2х2 и т.д. Для каждой модели определяются остаточные дисперсии D\t D2 и т.д., а также их разности, определяемые внесением в модель каждого последующего фактора, т. е. Aj = D0-Du А2 = A -А,..., Л = At-1 -At При этом заранее задается желаемое значение остаточной дисперсии Д,ст. Вычисления прекращаются при достижении условия D, Docr. Разности дисперсий от Ді до Д рассматриваются как оценки значимости факторов Достоинством метода является возможность контроля за сложностью модели.
Недостаток этого метода состоит в том, что значения Д, зависят от того, в каком порядке вводились в модель различные факторы. Поэтому реализация данного метода целесообразна в виде программы, работающей в диалоговом режиме. В такой программе пользователь может задать целесообразный, с его точки зрения, порядок введения в модель различных факторов, устанавливаемый из каких-то предварительных данных или из сопоставления результатов первого «прогона» программы.
Исследование эффективности факторного анализа на основе планов Грея
В настоящей главе решаются две основные задачи.
1, Задача факторного анализа с использованием данных, полученных по оптимальным планам эксперимента.
2. Задача предварительной фильтрации данных, имеющая целью уменьшение влияния случайных погрешностей измерений и неучтенных в модели влияющих факторов на точность оценки коэффициентов модели.
Обе задачи объединяются общей идеей, суть которой заключается в специальном упорядочении отсчетов функции отклика, позволяющем осуществить равномерную дискретизацию данных по точкам на поверхности многомерной области планирования и, следовательно, появляется возможность применения известных алгоритмов по расчету конечных разностей и спектров функции отклика посредством дискретного преобразования Фурье (ДПФ).
Одними из самых распространенных и эффективных планов, применяемых при испытаниях и аттестации ДА, являются планы п эксперимента типа 2 , оптимальные в широком смысле [20, 53, 54, 96, 100]. Как было показано в п. 1.4, подобные планы строятся на основе матриц Адамара, Уолша, Пэли [53, 96, 99]. В ряде работ автором показано, что характерная особенность подобного порядка представления данных заключается в неравномерной дискретизации л-мерной функции отклика [37, 41,47,49,50,52].
В качестве примера рассмотрим спектр плана полнофакторного эксперимента 2 [53, 96, 100], построенного с использованием матрицы вида: Данному спектру плана соответствует информативная матрица Адамара [53, 96, 100].
На рисунке 2.1 показана последовательность представления отсчетов для плана, инверсного плану (2.1) (таблица 2.1, поле В).
Как следует из рисунка 2.1, расстояния между отсчетами принимают значения из ряда 2, 2л/2, 2л/3. Такая неравномерность отсчетов является несущественной для получения значений коэффициентов полиномиальной модели, которые позволяют оценить влияние на функцию отклика как отдельных факторов, так и их совместного воздействия. Но, с точки зрения организации алгоритмов обработки данных много факторных экспериментов, неравномерность отсчетов создает сложности, т.к. не позволяет использовать существующие эффективные алгоритмы, подразумевающие равномерную дискретизацию данных.
Для упрощения процедур интерпретации результатов и оценки влияния факторов автором предлагается в качестве наблюдаемых параметров использовать первые конечные разности от экспериментальных значений функции отклика [37, 47, 50, 52]. Корректное определение сравниваемых конечных разностей в л-мерной области, очевидно, достигается при равном расстоянии между отсчетами, или равномерной дискретизации. Требуемая равномерная дискретизация достигается на исходном массиве данных путем их определенного упорядочивания.
Очевидно, равномерная дискретизация функции отклика при использовании насыщенных планов типа 2" представляет собой переход от одной точки факторного пространства к другой по граням гиперкуба. Причем при таком переходе изменяется значение лишь одного фактора.
Если принять значение фактора в спектре плана эксперимента х, = -1 за 0, то каждая строка в матрице спектра будет представлять собой некоторое число в двоичной системе счисления. Как известно, свойством изменения только одного разряда при переходе от одной комбинации к другой, обладают коды Грея. В работах [37, 47, 50, 52] автором показано, что путем перестановки строк матрицы спектра плана эксперимента в соответствии с таким кодом достигается равномерная дискретизация функции отклика. Автором предложено получаемые спектры планов называть, по ассоциации с кодами Грея, планами Грея [37, 39, 56, 58].
Для пояснения рассмотрим таблицу 2.1, где в поле А приведены номера отсчетов в спектре плана S (поле В). При упорядочении по плану Грея-321, где цифры указывают порядок следования индексов факторов (поле D), последовательность отсчетов выстраивается в ряд NG-321, показанный в поле С. Методика факторного анализа экспериментальных данных заключается в следующем. Вначале для достижения равномерной дискретизации отсчетов в п -мерной области используются планы Грея. Далее для переупорядоченных данных находятся конечные разности.
Чем больше конечная разность, соответствующая изменению какого-либо фактора или комбинации факторов, тем существеннее вклад этого фактора (или комбинации факторов) в значение отклика.
Аналитическое исследование влияния погрешностей задания факторов на оценку коэффициентов регрессионных моделей
Учитывая ограничения, принимаемые при проведении регрессионного анализа, которые обсуждались в п. 3.1, основное уравнение для построения моделей функции отклика принимает вид: S-a=y + e = y, (3.1) где S идеальная информационная матрица; а - вектор искомых коэффициентов модели; у - идеальные значения функции отклика; е - случайные погрешности (шумы), накладываемые на функцию отклика в процессе получения экспериментальных данных, включая и влияние множества неучтенных в модели, случайных факторов.
Реально, если требуемые по плану эксперимента значения факторов X задаются с некоторыми погрешностями, уравнение (3.1) трансформируется к виду: S-a=y, (3.2) где а - оценки коэффициентов модели с учетом погрешностей задания факторов; у - соответствующие значения функции отклика, к которым в отличие от у дополнительно добавляются компоненты, обусловленные неточностями задания значений факторов; S - реальная информационная матрица, учитывающая неточности задания (измерения) точек спектра плана, т.е. S = S + AS, (3.3.) или S-a + AS-a=y. (3.4) Здесь AS- матрица погрешностей. На практике, не имея информации о параметрах AS, ее влияниям пренебрегают, и при расчете используется матрица S, т.е. S-a = y. (3.5) Для оценки возникающих при этом погрешностей вычтем (3.4) из (3.5) и получим: S-Aa-AS-a = 0, (3.6) где Аа = а-а- (3.7) вектор-столбец погрешностей моделирования. Из выражения (З.б) при насыщенном плане эксперимента следует: Aa = S l-(AS-5). (3.8) В случае ненасыщенного плана эксперимента из (3.6) следует: Да = (Sr Syl - ST (AS a). (3.9) При достаточно малых относительных погрешностях в задании факторов дх, очевидно будет выполняться приближенное равенство: AS-avAy, (3.10) где Лу = у - у.
Таким образом, предварительно, в первом приближении, можно утверждать - погрешность моделирования имеет тот же порядок, что и погрешности задания факторов 5Л, т.е. применение методов регрессионного анализа будет достаточно корректным.
Другой важный вопрос, который следует рассмотреть, касается условий трансформации погрешностей задания факторов в погрешности модели и, соответственно, возникающих при этом последствий.
Рассмотрим многофакторную линейную регрессионную модель функции отклика (ФО), в которой не учитывается совместное влияние факторов, т.е.: ы С учетом того, что значения факторов задаются с некоторой случай о ной погрешностью А,, (3.11) примет вид:
С учетом погрешностей 5, реальные отсчеты функции отклика согласно (3.12) будут принимать значения: У = У + 5 А- (3-14)
Данное выражение показывает, что из-за погрешностей задания факторов к значениям отсчетов помимо погрешностей измерения Y будет добавляться некоторая случайная составляющая погрешности, дисперсия которой, без учета корреляции погрешностей, может быть оценена по формуле [68-70, 76]: Атм=2 ,2А, (3.15) где Dt - дисперсия погрешности задания /-го фактора.
Более сложная картина формирования случайных погрешностей возникает при использовании моделей, учитывающих совместное влияние факто-ров. Рассмотрим простую двухфакторную модель, полученную по плану 2 : Y = а0 + ах х{ + а2х2 + аъххх2, (3.16) для которой соответствующая случайная добавка к отсчетам функции отклика будет описываться формулой: о а (о о о о AY = -alAi-a2A2-ai\AiA2+x2A\+xlA2 . (3.17)
Тогда оценка дисперсии случайной погрешности с учетом того, что в ПФЭ типа 2" факторы принимают значения ±1, примет вид: Dm=Df(af + a23) + D22(al+a23) + a23KS2 + + 2а]Кп + 2а\Щъ + 2а\ К$2 , где Кп- ковариация между случайными погрешностями факторов х\ и х2\ К\212 - ковариация между квадратами случайных погрешностей; о о К\1г ковариация между случайными погрешностями Ді и Дг; К - ковариация между случайными погрешностями Ді и Аг. Даже из такого простого примера видно, что при оценке влияния погрешностей задания влияющих факторов необходимо учитывать взаимную корреляцию погрешностей
Результаты исследования для модели с учетом совместного влияния факторов
Для исследования статистических свойств законов распределения погрешностей оценки коэффициентов функции отклика было проведено статистическое моделирование согласно приведенной выше методике. Далее приводятся результаты, которые были получены для самого общего случая, когда коэффициенты функции отклика вида (3.20) задавались случайным образом.
При этом использовались следующие параметры моделирования: п - объем статистических испытаний - равен 500, коэффициенты щ варьиро о вались в диапазоне [0, 10]. Для случая равномерного закона распределения Л результаты моделирования в виде гистограмм представлены на рисунках 3,1—3.4, где функция F(x) описывает полигон нормального распределения при получаемых математических ожиданиях (mean) и дисперсиях (var).
Обобщенные данные статистических испытаний в виде фрагментов
MathCAD-программ приведены на рисунках 3.5 — 3.8, где 5 — относительная погрешность влияния факторов, выраженная в абсолютных величинах; dataMa и dataDa - соответственно оценки математического ожидания и дисперсии для случайного изменения погрешностей задания факторов (случай A); dataMb и dataDb - соответственно оценки математического ожидания и дисперсии при систематическом изменении погрешностей задания факторов (случай В). Графики, представленные на рисунках 3.7 и 3.8, показывают зависимость среднеквадратических значений погрешностей оценки коэффициентов функции отклика от 5.
Представленные результаты подтверждают корректность аналитических оценок, приведенных в п. 3.2.
Для выявления свойств законов распределения исследуемых погрешностей, были рассчитаны по критерию Пирсона (х2) отклонения получаемых распределений от нормального, В таблице 3.1 представлены значения %2, полученные при исследовании закона распределения погрешностей оценки параметров модели (3.20) при различных проявлениях погрешностей факторов.
Сравнение наблюдаемых и критических значений %2 с достаточной долей уверенности позволяет утверждать, что с уровнем значимости 0,01 законы распределения можно считать нормальными.
Используя изложенную выше методику, были получены данные для случая нормального распределения погрешностей задания факторов, которые представлены на рисунках 3.9-3.16.
И в этом случае можно утверждать, что с уровнем значимости 0,01 законы подчиняются нормальному распределению.
Но следует особо отметить, что эти выводы касаются только распределений погрешностей оценки коэффициентов ДО) «і и а2. Для коэффициентов а$, которые учитывают вес совместного влияния факторов, как видно из рисунка 3.4 и рисунка 3.12, законы распределения по сравнению с нормальными являются более островершинными. Этот факт при аналитических исследованиях можно учесть путем введения соответствующих поправочных коэффициентов перед о\ MathCAD-программы статистического моделирования представлены в приложениях В и Г.
Из теоретических основ информационно-измерительной техники известно [68-70, 76], что результирующая погрешность измерений существенно зависит от характера проявления погрешностей. При этом рассматривается два важных случая, когда погрешность носит аддитивный либо мультипликативный характер. Методика моделирования, как и в предыдущем случае, предполагает изменение матрицы плана эксперимента.
Для аддитивных погрешностей каждый элемент «зашумленной» матрицы спектра плана эксперимента принимает значение: /,,,=+\; (3.24) где Si-j — элемент исходной матрицы спектра плана; Atj -погрешность задания j-ro фактора в i-ы эксперименте, нормированная относительно диапазона изменения фактора [-1; +1] с равномерным или нормальным законом распределения. Для мультипликативных погрешностей: йщ Ь-Уи, (3.25) ГДЄУу = (І+Ду). Для решения рассматриваемого вопроса была разработана MathCAD-программа статистического моделирования, фрагмент которой приводится ниже.
