Содержание к диссертации
Введение
1 Акустоэлектронные эффекты отражения акустических волн 33
1.1 SH-волны в дьезополупроводнике с дрейфом при произвольной уровне связности мод 33
1.2 Граничная задача отражения SH-волны контактом пьезо- и пъеэополу-провсднихов класса 6 (4, 6mm, 4mm) 43
1.3 Акустоэлектронное взаимодействие при отражении SH-волны границей льезоэлектрих -лолулрсдаодиик с дрейфом 51
1.3.1 Структура пьеэоэлектрик-эаэор-полупроводник 54
1.3.2 Отражение SH-волн контактом льезоэлектрих -полупроводник . 61
1.3.3 Элехтровдуксваяобъемно-повіфооюстваяволна 69
1.4 Отражение SH-волны границей диэлектрик -пьеэополупроводник . 80
2 Рассеяние SH-волн включениями в пьезоэлектрических кристаллах 93
2.1 Решение граничной задачи рассеяния SH-волны дьезололуправодниховым цилиндром с азимутальным током дрейфа 93
2.1.1 Цилиндрические SH-волны в пьезополуцроводнике с током дрейфа 94 2Л.2 Сопряжение полей на цилиндрической границе пьеэополупроводникас азимутальным током дрейфа 98
2.1.3 Формулировка и построение решения граничной задачи 103
2.2 Влияние продольного льезоэффекта на рассеяние SH-волны цилиндрической полостью 108
2.3 Дифракционный вклад электрозвуковых волн в рассеяние на высоких частотах 117
2.4 Рассеяние SH-воли полостями при специальных видах пьезоактивности 124 2.4.1 Рассеяние полостью в среде с индуцированным пьеэоэффектом 125
2.4.2 Влияние поперечной пьеэоахтнвностн на акустическое рассея ние волн полостью 128
2.5 Влияние азимутального дрейфа в полупроводниковом цилиндре на рассеяние SH-волн 132
2.5.1 Изменение амплитудных коэффициентов парциальных волн под влиянием проводимости и дрейфа 133
2.5.2 Интегральные показатели рассеяния SH-волны полупроводниковым цилиндром с током дрейфа 140
2.6 Резонансное усиление при рассеянии SH-волн 156
2.7 Рассеяние SH-волны полым пьезоэлектрическим цилиндром 164
2.7.1 Формулировка и решение граничной задачи 164
2.7.2 Спектральные особенмости рассеяния SH-волн полым пьезоэлектрическим цилиндром 168
2.8 Эффекты запаздывания пьезополярнзацнонных электрических полей 176
2.8.1 Электродинамическая поправка к сечению рассеяния SH-волны полостью в пьеэоэлектрике 177
2.8.2 Предельная добротность пъезокристаллических резонаторов. 184
3 Отражение и рассеяние SH-волн в ферромагнитных кристаллах 190
3.1 Исходные уравнения магннтоакустнкн ферромагнетиков для SH-волн (распространение ортогонально статическому полю) 191
3.2 Решение френелевской задачи отражения SH-волн акустическим контактом ферромагнетиков 201
3.3 Анализ отражения SH-волн границами ферромагнитных кристаллов. 205
3.4 Решение граничной задачи рассеяния SH-волны инородным ферромагнитным цилиндром 215
3.5 Рассеяние SH-волны цилиндрической полостью ферромагнетика 221
3.5.1 Неваэанмность рассеяния SH-волн полостью ферромагнетика 222
3.5.2 Спектр сечения рассеяния SH-волны полостью ферромагнетика 228
3.6 Ферромагнитное рассеяние SH-волн 234
4 Аномальный эффект Госа-Хенхея 244
4.1 Диссипативиая форма отрицательного смещения ограниченных лучков акустических воли 245
4.2 Аномальный эффект Госа-Хенхеи в активных кристаллах 252
4.3 Эффект Госа-Хенхен для лучков изгибных волн в тонких пластинах 261
4.4 Общие условия и эвристические признаки существования бездиссилативной формы аномального эффекта Госа-Хенхен 268
5 Взаимодействие SH-волн с движущимися межфазнымн границами 278
5.1 Рефракция SH-волн движущимися доменными границами сегиетоэлектриков 280
5.1.1 Отражение SH-волны одиночной движущейся доменной границей 280
5.1.2 Взаимодействие SH-волн с движущимся полосовым доменом 287
5.1.3 Механическая аналогия ахустоормеяного взаимодействия 291
5.2 Взаимодействие SH-волн с движущейся блоховсхой стенкой 296
5.2.1 Решение граничной задачи рефракции SH-волны движущейся блоховсхой стенкой 296
5.2.2 Угловые спектры отражения к двойного прохождения SH-волны движущейся блоховской стенки 305
5.2.3 Виртуальный резонанс в пределе прекращения взаимодействия водны с удаляющейся границей 330
5.3 Оценка резонансного вклада магнитной нелинейности ферромагнетика в акустодоменное взаимодействие SH-волны с движущейся доменной границей 314
5.4 Электрозвуковые поверхностные волны на движущихся доменных границах 322
5.4.1 Электрозвуковые поверхностные волны на одиночной, движущейся 180-градусной ДГ 322
5.4.2 Электрозвуковая поверхностная волна, удерживаемая движущимся полосовым доменом 328
5.5 Сдвиговая поверхностная волна на движущейся блоховской стенке ферромагнетика . 337
5.6 Вытекающая поверхностная волна Стоунли на движущемся скачке акустических лараметров твердого тела 350
Заключение 357
Библиография 364
- Граничная задача отражения SH-волны контактом пьезо- и пъеэополу-провсднихов класса 6 (4, 6mm, 4mm)
- Влияние продольного льезоэффекта на рассеяние SH-волны цилиндрической полостью
- Эффекты запаздывания пьезополярнзацнонных электрических полей
- Решение френелевской задачи отражения SH-волн акустическим контактом ферромагнетиков
Введение к работе
Последние десятилетия XX века ознаменовались значительным интересом к акустическим явлениям в активных средах-кристаллах, допускающих взаимодействие мод различной физическом природы с колебаниями решетки. Этому способствовало открытие эффективных способов генерации ультра- и гиперзвуковых волн электрическими [1,2] или магнитными полями [3-5]. Другим существенным обстоятельством явилась та обширная сфера приложений, которую, ввиду совместимости с пленарной технологией микроэлектроники, нашли ПАВ для обработки сигнальной информации [6-12] и которая продолжает расширяться за счет использования в указанных целях магнитоупругих и магнитостатических поверхностных волн [13-16].
В исследованиях акустических воли в активных средах заметное место принадлежит российским ученым. Особую роль для понимания специфики протекания волновых процессов в ограниченных образцах активних кристаллов сыграла работа [17] (см. также [Щ). Она показала, что при запрете на изменение типа акустической волны активность среды, приводящая к граничному сцеплению мод различной физической природы, обуславливает качественно новые особенности поведения волн в ограниченных образцах.
Применительно к пьезоэдектрикам данная точка зрения наиболее последовательно отражена в монографии [19] и, фактически, подтверждена ходом развития акустоэлектроники и СВЧ-магнитоакустики твердого тела. Так, следом и со ссылкой на работы [17,18] аналог электрозвуковых поверхностных воли был предсказан Па-рехом [20] для другого класса активных сред-ферромагнетиков, в [21, 22] показаны нетривиальные нмпедансные свойства границы пьеэокристалл- вакуум при отражении наклонно падающих акустических воли, а в [23] и [24] изучено туннелирование акустических волн через вакуумный зазор льеэоалектрмков.
Поиск новых закономерностей распространения волн в ограниченных активных кристаллах при сохранении типа поляризации акустической волной оказался весьма плодотворным, поскольку в таких условиях граничное сцепление мод различной фи-
зической природы проявляется в активных кристаллах в чистом виде, не маскируясь эффектами акустической трансформацией волн на границах. Последние хорошо известны и достаточно полно описаны, например, в [25].
В диссертация, посвященной в основном теоретическому анализу процессов отражения/рассеяния объемных акустических волн в активных кристаллах и затрагивающей вопросы физики ПАВ только по необходимости, данная идея также взята на вооружение. По этой причине в большинстве рассмотренных двухмерных задач в качестве * рабочего типа* волны, сохраняющей свои отличительные признаки после взаимодействия с границей, выбирались (при соответствующей установке кристалла) сдвиговые волны горизонтальной (в общепринятом сокращении SH -) поляризации. Однако там, где допускалось обобщение на общеволновом уровне, рассматривались и другие виды волн, включая волны иной физической природы. В пользу такого отбора свидетельствует то обстоятельство, что попутно в случае SH-волн почти всегда удается избавиться от необходимости учета акустической анизотропии кристалла, обычно серьезно осложняющей изучение соответствующих проблем.
Отражение и рассеяние акустических волн в активных кристаллах рассматривалось, главным образом, в русле общих исследований ПАВ [26]. При этом роль активности среды нередко (случай ПАВ Рэлея и Стоунли) отодвигалась на второй план [27-29], а сами решения ввиду сложности получались приближенными методами [30-34]. С целью достижения точных (эталонных) результатов, оценка вклада активности кристалла в отражение/рассеяние акустических волн намеренно выполнялась в диссертации только для условий объемного распространения. Несмотря на известный "академизм1*, указанный подкласс задач представляет как научный, так и практический интерес
Действительно, конечность размеров реальных кристаллов почти всегда приводит к отражению волн на внешних границах образцов. Наличие же неоднороднос-тей и дефектов является причиной виутриобьемного рассеяния акустических волн [35-40]. Выявление специфики отражения и рассеяния акустических волн в активных кристаллах важно, поэтому, для интерпретации данных эксперимента и совершенствования методов акустической спектроскопии активных сред [41, 42]. Вообще следует признать, что отражение объемных акустических волн границами и неод-нородностями активных кристаллов не столь уж редко встречается в экспериментальной практике применительно к общим условиям наклонного падения [23, 43, 44]. Более того, иногда объемные волны способны конкурировать с ПАВ и по части приложений для обработки сигнальной информации благодаря, как раз, специфике их отражения границами [45].
Сферой интересов физики конденсированного состояния традиционно является динамика ДГ и межфазных границ, объясняющая многие особенности поведения активных кристаллов при внешних воздействиях. Важная роль в исследовании полидоменных кристаллов по праву принадлежит акустическим методам [42, 44], В этой связи теоретическое освещение получили многие аспекты проблемы распространения акустических волн в кристаллах с ДГ и межфазными границами. Основное внимание, однако, уделялось статичным полидоменным структурам.
В неравновесных условиях ДГ и межфазные границы кристаллов способны к высокоскоростному перемещению, которое можно вызывать внешним воздействием. О учетом тенденции получать кристаллы с хорошо воспроизводимой я регулируемой доменной структурой актуально изучение акустических эффектов в кристаллах с движущимися ДГ. Имеются основания полагать, что решение этих вопросов, изученных недостаточно, позволит не только развить методы акусто-спектроскопии гетерофазных лолидоменных сред, но и создать новые измерительные приборы и устройства обработки информации. В диссертации, поэтому, наряду с отражением' и рассеянием рассмотрено рефракционное взаимодействие монохроматических акустических волн с равномерно движущимися ДГ и изучена возможность удержания ими поверхностных (граничных) акустических воля.
Данный класс задач не охватывает всего многообразия ситуаций, которые возникают при распространении акустических воли в кристаллах с меняющейся доменной структурой. Более того, даже в очерченных рамках затронутая проблема слишком обширна. Для ее рационального ограничения принят ряд условий. Во-первых, всегда выбираются устанавливаемые динамикой ДГ режимы устойчивого движения, не меняющиеся под влиянием акустических волн. Во-вторых, рассматривается весьма ограниченное число типов межфазных границ (в основном это 180-градусные ДГ) и за редким исключением анализируются случаи изолированных ДГ в безграничных кристаллах. В-третьих, принимаемый диапазон частот так ограничен сверху, что игнорируется активация внутригранячвых мод колебаний Д Г н межфаэных границ [46, 47, 48] под действием звука или вследствие перемещения, а сами границы полагаются геометрически тонкими.
Активными по отношению к акустическим волнам в твердотельной электронике считают пьезоэлектрические, сегнетоэлектрические и магяитоулорядоченные кристаллы [13, 49, 50, 51, 52]. К ним же относят электрострикционные материалы в поляризующих полях (индуцированный льезоэффект [53, 54]), некоторые полимеры [55] и материалы органического происхождения [56, 57]. Отдельные кристаллы сочетают несколько видов активности или же проявляют ее в комплексе с дру-
гимн важными для электроники свойствами. Так кристаллы CdS, ZnO-типичные льезололулроводннки, феррит галлия и кристаллы Fei_*S, Gds-aSe* наряду с маг-нитострикцией обладают пьеэосвойствами [57, 58], BiPeO^, YMn03, BaMnF4 проявляют как магнитное, так м электрическое упорядочивание [59, 60], SbSI, ІлТаОз и легированный няобат лития-сегнетоэлектрические фотс4юлуяроводнякя [61], а CdC^Se* —магнитный полупроводник. Известны также антиферромагнитные сверхпроводники [62] и антиферромагнетики MnF2, CoF2, которые дополнительно к маг-яитострикции демонстрируют механизм спин - фоноиной связи аналогичный льеэо-эффехту [16, 63, 64].
Такое многообразие свойств исключает универсальность описания акустических эффектов. В диссертация набор активных сред ограничен, поэтому, узким кругом материалов, которые хорошо изучены и широко используются на практике. Среди пьезо- и сегнетоэлектриков -это кристаллы гексагональной и тетрагональной систем классов 6, 6mm, 4, 4mm, например, CdS, ZnO, ІіЮ3, ВаТіОз и др. К этой же группе принадлежат многочисленные пьезокерамикн класса симметрия com. Из магни-тоулорядоченных кристаллов выбраны только кубические ферромагнетики, причем основное внимание уделено семейству феррогранатов. Дополнительным стимулом к указанному подбору материалов послужила одинаковая математическая структура систем связанных уравиеняй электро- я магнитоупругях полей SH-воли в избранных плоскостях кристаллогроафической симметрии с вытекающей возможностью единообразного описания акустических эффектов, что облегчает проведение необходимых сопоставлений.
В задачу исследования входило -определение комбинированного вклада пьеэоэффекта, проводимости я дрейфа на отражение монохроматических акустических волн от границ пьеэололулроводвиков или пьеэоэлектриков, 1>раяичащих с полупроводниками;
-оценка влияния пьеэоэффекта я акустоэлектронного взаимодействия при токе дрейфа на рассеяние акустических волн в пьезоэдектряках я т>езополулроводниках; -описание отражения и рассеянии мсвюхроматхчесзшх волн в ферромагнетиках в условиях резонансного отклика спиновой подсистемы;
-определение особенностей отражения ограниченных пучков акустических волн, вносимых пьеэоэффектом и м&гиитоупругим взаимодействием;
-изучение доплеровских аберрационных эффектов при взаимодействии монохроматических акустических волн с движущимися 180-градусными ДГ в сегнетоэлектри-ках/ферромагнетиках и анализ возможности удержания ПАВ движущимися ДГ и межфазными границами кристаллов.
Соответственно материал диссертации распределился по 5 Главам, дополненных Введением, Заключением и списком литературы из 420 наименований. Диссертация содержит 396 страниц, включая 104 рисунка, которые в отличие от формул имеют сквозную нумерацию.
Основное содержание диссертации опубликовано в 48 работах. В случае автоссылок в тексте диссертации номера работ выделены жирным шрифтом.
Формулировка исследовательских задач во многом предопределилась состоянием проблемы на начало выполнения работ, составивших диссертацию. В первой половине 70-ых годов остро стоял вопрос об определении комбинированного вклада льезоэффекта, проводимости и дрейфа в отражение акустических волн от границ лье-зополупроводниковых кристаллов или пьезоэлектриков, граничащих с полупровод-никми. Поводом для соответствующего обобщения теории отражения SH-волн пье-зоэлектриками [21,22] на случаи пьезололупроводииков или пьезоэлектриков, граничащих с полупроводниками, предпринятого в рамках стандартного малосигнального акустоэлектронного взаимодействия в пьезополупроводниках [65], послужила установленная Л.М.Лямшевым теоретически [66, 67] и обнаруженная экспериментально [68, 69] возможность значительного усиления (ослабления) ультразвуковых волн при отражении льезололулроводннховымн пластинами в жидкости.
Согласно [66]- [69] эффективное управление отражением ультразвуковых волн дрейфом носителей заряда имеет место в условиях резонансного возбуждения какой-либо собственной моды колебаний пьезололупроводяиковой пластины падающей волной. Пьезоэффект и проводимость пластины выступают при этом в роли вторичных факторов, слабо влияющих на ее спектр мод. В случае отражения SH-волны полубесконечным (толстым в масштабе длины волны) льезополупроводником или полупроводником в контакте с пьеэоэлектриком акустический резонанс, как известно [25], в чистом виде невозможен: рефракционное акустоэлектронное взаимодействие уже в одинаковой мере определится как акустическими, так пьезоэлектрическими и полупроводниковыми свойствами материала. Логика исследования вынудила поэтому отказаться от обычного [65, 66, 67] ограничения низкой величиной коэффициента электромеханической связи. Соответственно решение рефракционных задач в Главе 1 потребовалось предварить количественным анализом спектра мод пьезополупровод-ника, и прежде всего плазменной моды [70, 71], рассматривавшихся ранее [72-77] только при низкой связности колебаний.
Рефракционное акустоэлектронное взаимодействие обсуждается в Главе 1 на основе решения граничной задачи отражения монохроматической SH-волны плоским акустическим контактом пьеэоэлектрика класса 6(6mm,4mm,oom) с инородным пье-
эополупроводником класса 6(6mm). Как частные случаи оно заключает все типичные ситуации, заслуживающие внимания: пьезоэлектрик-полупроводник при наличии предельно тонкого зазора, жестко сцепленные без проскальзывания пьезоэлектрик-полупроводник, а также акустически контактные непьезоэлектрнческмн диэлектрик - льезополулроводник. При специальных ограничениях это же решение позволяет обсудить рефракционные свойства таких неоднородностей, как тонкая 180-градусная ДГ сегнетоелектрика [78].
Наиболее простои случаи неконтактных пьеэоэлектрикас полупроводником [79] показал возможность только слабого (нереэояансиого) усиления/ослабления отраженной границей льезоэлектрика SH-волны током дрейфа носителей заряда в полупроводнике за счет группировки последних в сгустки под действием проникающих в полупроводник приграничных пьеэополяризационных колебаний [19]. Однако удобная экспериментально, эта схема рефракции привлекла наибольшее внимание. Теория явления получила распространение на пьезоэлектрики других классов симметрии и волны с вертикальной поляризацией [80- 82], экспериментально была установлена аналогичная возможность эффективного приграничного акустоэлектронно-го взаимодействия в пьеэололупроводниках [43, 83, 84], рассматривался практически важный случай конечного вакуумного зазора между льезоэлехтрихом и полупроводником [19,45]. Интересным оказалось выдвинутое я обоснованное в [85,86] предложение использовать для осуществления акустоэлектронного взаимодействия в условиях аналогичных нормальному падению периодически неровную поверхность пьеэокрис-талла.
Важным шагом явилось сообщенное в [87] прямое экспериментальное наблюдение акустоэлектронного усиления отраженной ультразвуковой волны в слоистой структуре пьезоэлектрик-зазор-полупроводник с током. Вместе с указанной в [45] перспективностью приложений данного эффекта для разработки устройств типа свертки я исследованиями [88,89], работа [87] стимулировала интерес ж нелинейным проявлениям рефракционного ахустоэдехтронного взаимодействия [90-92].
Случай монолитных структур пьезоэлектрик -полупроводник я диэлектрик-пьезополупроводник оказался более сложным. Для первой из них не предполагалось резонансного акустоэлектронного взаимодействия [19], но оно было установлено [93],[94] и объяснено существованием особой генерационной моды колебаний контакта- объемно-поверхностной электрозвуковом волны [95—98]. Для второй, напротив, предсказанное в [99, 100], а затем обсуждавшееся в [94, 101 -104] резонансное усиление при "закрятичесхом* отражении описывалось дефектным из-за разрыва угловой зависимости коэффициента отражения решением. При этом высветилась вообще
характерная для любых отражающих падающую волну неравновесных усиливающих сред, будь-то токовая плазма пьеэополупроводника, инвертированная оптическая среда [105, 106], гидродинамическое течение с тангенциальным разрывом скорости [107, 108] или неравновесный колебательно-возбужденный газ [109], проблема неоднозначности решения при "захритическом отражении*.
Суть ее в том, что сложившиеся на причинной основе и обычном требовании ограниченности решения критерии отбора ветвей приспособлены только к условиям равновесной, неусиливающей среды. Автоматический их перенос на случай неравновесного, усиливающего материала послужил первопричиной затруднений, возникших в работах [94,101-104] при построении решения и интерпретации результатов. Естественно, не могли увенчаться успехом попытки исправить дефекты решения изменением модели (учет поверхностного изгиба зон пьеэополупроводника, введение переходного слоя и пр.) без пересмотра представлений о "критическом отражении". Не прояснил ситуацию я тезис о неадекватности моночастотного описания волновых полей в условиях "полного отражения" усиливающей средой для выражения причинно-следственных связей [110, 111], поскольку правомерность постановки задачи отражения монохроматической волны усиливающей средой автоматически обеспечивается конвективной неустойчивостью волн [106], типичной для усиливающих материалов.
Приемлемая рекомендация по устранению разрыва в окрестности "критического" угла падения была выработана в [112] исходя из пересмотра понятия "критического" отражения для усиливающей среды на основе установленной бифуркации фазовых траекторий характеристического коэффициента* преломленной" в льеэояолулро-водник SH-волны в условиях критического сверхзвукового дрейфа. Там же показано, что решение с устраненным разрывом описывает нерезонансное ахустоэлектронное взаимодействие при отражении SH-волны. Материалы работ {70, 71, 79, 93, 95 — 98, 112] составили основное содержание Главы 1.
Граничная задача отражения SH-волны контактом пьезо- и пъеэополу-провсднихов класса 6 (4, 6mm, 4mm)
Рассмотрим граничную задачу френелевского отражения монохроматической SH-волны границей раздала у = 0 пьезоэлектрического и пьезополупроводникового кристаллов класса симетрии 6(4,6mm,4mm), приведенных в акустический контакт. Оси прямоугольной системы координат xOyz совместим с кристаллографическими осями одинаковым образом ориентированных кристаллов и примем, что диэлектрический пьезоэлектрхк, со стороны которого происходит падение монохроматической SH-волны, занимает область у 0, а в пьезополупроводнике (у 0) имеет место дрейф носителей заряда вдоль границы по направлению оси х. Плоскостью распространения, соответственно плоскостью падения SH-волны, является плоскость агОу-кристаллографическая плоскость (001); сдвиговые смещения SH-волн ортогональны ей, т.е. происходят по оси z[00l]. Если одноименным параметрам и полям в пьезоэлектрике предписывать индекс v — 1, а в пьезополупроводнике-индекс і/ = 2, то в рассматриваемом случае исходным уравнениям (1.9)-(1.13) можно придать вид Решение уравнений (1.17)-(1.19) следует подчинить граничным условиям. В последних, вообще говоря, должна отразиться специфика, протекания процессов кинетики носителей заряда в приповерхностной области полупроводника, связанная с физическим состоянием поверхности. Однако несмотря на известные результаты по изучению ПАВ в пьезополупроводниках и слоистых структурах с учетом изгиба зон, поверхностного захвата и граничной рекомбинации носителей заряда [345- 347], в акустоэлектронихе во избежание существенного усложнения решений сложилась традиция пренебрегать указанными эффектами при формулировке граничных задач. Отчасти это оправдывается тем, что при тщательной и глубокой очистке поверхности полупроводника можно добиться заметного снижения количества ловушек в поверхностном слое и необходимой стабилизации свойств кристалла. К тому же акустоэлектронные эффекты изучаются обычно на ультразвуковых частотах, когда длина акустической волны сопоставима с дебаевским радиусом экранирования или, что чаще, заметно превышает его; соответственно поверхностную неоднородность проводимости кристалла можно игнорировать, полагая границу идеально резкой.
На основании (1.2),(1.4) и линеаризованного выражения (1.8) общепринятые граничные условия [17, 19] напишем следующим образом Они означают непрерывность сдвиговых смещений и напряжений, электрических потенциалов и нормальных компонент электрических индукций, а также отсутствие тока носителей заряда из пьезополупроводника в пьеэоэлектрик. Подразумевая, что падающая со стороны пьеэоэлектриха {у — 1) плоская монохроматическая SH-волна обязана действию гармонического источника с заданными параметрами, ее характеристики-амплитуду сдвиговых смещений {/, частоту и и вектор волновой нормали По = (sin в, — сое 9), где 9-угол падения, полагаем известными. Как составная часть поля сдвиговых смещений щ и электрического потенциала р\, падающая SH-волна будет удовлетворять при v = 1 уравнениям (1.18),(1.19) (уравнение (1.17) перейдет в тождество), что дает для нее представление Как выражение причинности и залог выполнения граничных условий (1.20), возникающие в результате возмущения границы падающей волной колебания и волны будут находиться в точках границы в пространственном (по оси х) и временном синхронизме. Поэтому замечая, что согласно (1.21) ф — кхх — о -фаза колебаний падающей волны при у = 0, необходимо принять u„, у „, п exp(t ). Воспользовавшись этим обстоятельством, из уравнений (1.18), (1.19) получим при и = 1 (у 0), подобно тому, как это делалось ранее [17 -19], относительно простую систему свя занных обыкновенных дифференциальных уравнений для определения зависимостей щ и (fi от поперечной координаты у. Решая ее, получим «і где Л- подлежащий еще определению коэффициент отражения поперечной волны, р = (fcf — kg)1 2, fei-определенное выше волновое число для SH-волн в пьезоэлектрике, кх — к\ sin б, F- амплитуда колебаний потенциала электрического поля, индуцируемого в пьезоэлектрик пьезозарядами с границы раздела. Напомним, что при выводе выражений (1-22) мы, производя отбор характеристических корней указанной системы дифференциальных уравнении, руководствуемся требованием ограниченности потенциала ipx в области у О и принципом излучения Зоммерфельда. В случае пьезополупроводника {у = 2) ход построения решения аналогичен. В силу пропорциональности величин uj, (р2, п фазовому множителю ехр(іф) уравнения (1-17) -(1.19) преобразуются в систему однородных дифференциальных уравнений, устанавливающую зависимость полей ы3, Рг и распределения носителей заряда п от поперечной координаты. Характеристическое уравнение этой системы представляет, по сути, модификацию дисперсионного соотношения (1.14): и содержит величины a = g2—Ajj, g — характеристический коэффициент, А о Р2 / й -квадрат волнового числа для SH-волн в пьезополулроводнике без учета пьеэоэф-фекта, 7=1- Vikxfui- параметр дрейфа, где теперь Vd — ffiEo - скорость дрейфа носителей заряда вдоль границы, К\ = 4тгеі5 /взАз -квадрат коэффициента статической электромеханической связи пьезополупроводника. Для последовательности найденных из (1.23) и допустимых по физическим соображениям значений характеристических коэффициентов ф , j = 1,2,... решение системы (3.17)-(1.19) в случае пьезополупроводника можно формально представить в виде Выражения (1.23)-(1.25) показывают, что под действием падающей волны в пьезополупроводнике возбуждаются колебания трех типов: чисто электрические (согласно (1-25) имеем в них F] ф О, Nx = О, At = 0) с простым корнем 3\ = 0 уравнения (1.23), при единственно допустимом по соображениям ограниченности решения при у 0 характеристическим коэффициентом qi—kxt кх 0, и связанные электрическими полями смешанные плазменно-акустические колебания с корнями уравнения (1.23) где Г = а)с/и ±ш/и ) — t-y(l + К%)- Электрические колебания описывают приграничное пьезополяризационное поле того же типа, что фигурирует в выражении (1-22) в качестве добавка к потенциалу SH-волн.
Свойства этих полей хорошо известны (см., например, [17-19, 21, 22]) и не нуждаются в комментариях. Плазменно-акустические колебания менее изучены и рассматривались, как правило, в приближении низкой электромеханической связи Af -Сім для низкочастотного ультразвука ш -С и . Первое указание на смешанную л л азменно-акустическую природу колебаний, отвечающих корням я характеристического управнения (1.23), фактически содержится в [17]. В ранних работах [99, 100], а затем в [94], эти колебания классифицировались при К -С 1 как преимущественно плазменные (корень ва при знаке "плюс в формуле (1.26)) или акустические (корень эз при знаке "минус1 в формуле (1.26)) колебания. Квазиакустическая мода при этом описывалась приближенно на основе уайтовской теории акустоэлектронного взаимодействия в пъезополупроводниках [65], что оправдывалось высшим порядком малости разности Дз3 значений «3, определяемых при К% -С 1 по формуле (1.26) и согласно [65]: Дв3 К%, где К% = К/(1 + К%). Возбуждение кваэиплазменных колебаний объяснялось дополнительным из-за граничного сцепления мод возмущением плазменной подсистемы пьезололупроводника под воздействием приграничных пьезололяризационных (корня i = 0) колебаний. Отмеченные особенности смешанных ллазмешю-акустических колебаний в основном остаются в силе и при высокой электромеханической связи, и частотах ш сравнимых с и . Это дает основания придерживаться в их именовании сложившейся традиции. Из последующих разделов, однако, будет видно, что именно приближенное (уайтовское) описание квазиакустической моды явилось основной побудительной причиной для использования в [94, 104] и [99, 100] представления о "критическом отражении на основе понятия предельного угла "полного" отражения. Неадекватность
Влияние продольного льезоэффекта на рассеяние SH-волны цилиндрической полостью
Важным тилом неоднородностей в льезоэлектриках являются лоры и полости. Протяженные в одном из направлений дефекты такого сорта можно создавать в монокристаллах искусственно, подвергая образцы бомбардировке тяжелыми частицами высоких энергий [366]. Особенно отчетливо пористость сказывается на качестве льезокерамик [122-126, 132, 134, 136-138]. В связи с широким использованием при неразрушающих испытаниях пьезокерамнк акустических методов становится очевидной необходимость детального теоретического изучения специфики акустического рассеяния волн полостями в пьеэоэлектриках. Случай полости в пьеэоэлектрике означает для полученного решения отсутствие пьезополупроводникового цилиндра или его замену невязкой диэлектрической жидкостью (газом). Соответственно этому в выражениях (2.42)-(2.44) и сопутствующих формулах следует принять т = 0 (Аз = 0), ej5 = 0, «а ф 0, а также потребовать при г R отсутствия проводимости (ше = 0, и/о — со) и дрейфа (ур = 1). Из (2.45),(2.46) получим fC ff — j, ( »4я) = 0 еі/ез) 1 на основании (2.42)— (2,44) с учетом выражения для вронскиана функций p(fi), Hjpfa) [184, 357] придем Мун строил решение с учетом запаздывания электромагнитных полей. к результату работ [185, 187, 180] В формулы (2.48) не включена величина bv ф 0, которая в данном случае характеризует амплитуду сдвиговых смещений парциальных волн на границе полости. Решение в области г R следует рассматривать при U — 0, поскольку из-за. отсутствия у материала (если это не вакуум) сдвиговой упругости акустические колебания возбуждаться не могут. Таким образом, в полости существуют только пьеэополяри-зационные электрические колеания с потенциалом (2.40), где U = 0 и д, — 0. При отсутствии пьезоэффекта, когда К% = 0, e\J — 0, формулы (2.48) автоматически приводят к классическому решению (2.47) для идеального рассеивателя в форме цилиндра. В этом случае, разумеется, пьеэополяризационные колебания по разные стороны поверхности полости в идеальной изотропной среде не возникают: с, = 0, dp = 0,
Другая возможность отсутствия пъеэополярмзавдюнных колебаний, но только в полости (ср = 0), реализуется в пределе ез - со за счет экранировки полости. В этом случае (полость в пьезоэлектрике с металлизированной границей) влияние продольного льеэоэффекта на рассеяние SH-волны должно проявиться наиболее сильным образом; из выражения для Ор в (2.48) следует, что металлизации полости сводится к подъему действующего при рассеянии уровня льеэоэффекта X (J+t/e3)-1 до величины К%. Влияние пьезоэффекта на рассеяние SH-волны наиболее просто установить из сравнения величин о,, задаваемых выражениями (2.47) н (2.48). В частности, на низких частотах, когда для всех номеров парциальных волн р) 1 выполняется условие 6 С 1, в силу асимптотических оценок [357]: Здесь a -значение амплитудного коэффициента (2.47) парциальной волны, рассеянной равновеликой по волновому размеру г полостью в непьезоэлектрической среде, т.е. a() = OpL, если под Ор понимать величину, определяемую выражением (2.48). Формула (2.49) показывает, что вследствие продольного пьезоэффекта имеет место примерно одинаковое увеличение амплитуд всех парциальных волн. Оно не связано с изменением волнового размера полости из-за перенормировки скорости распространения SH-волн в материале льезоэлектрика (сравниваются Ор и с№ при фиксированном &) и должно быть целиком отнесено на счет реакции возникающих при рассеянии пьезополярнзацнонных колебаний. Если вспомнить, что определяемая по стандартной методике [113, 184, 361, 362] амплитудная характеристика рассеяния SH-волны полостью Ф«(0) задается рядом Рэлея по азимутальным гармоникам с Ор в качестве весовых фуръе - коэффициентов, отсюда можно заключить об усилении рассеяния за счет пьезоээфекта.
Физически этот результат можно объяснить тем, что возбуждаемые в процессе рассеяния льезололярнзадиоиные электрические колебания требует на свое образование определенных энергетических затрат. Связывая таким образом часть энергии падающей волны, они в целом способствуют повышению рассеивающей способности полости по сравнению с обычной непьезоэлектрической средой. Разумеется, что эти соображения носят общий характер. Данную трактовку, например, уместнее принять во внимание, если рассматривать не амплитудную характеристику рассеяния, а среднюю рассеянную мощность или связанный с ней такой показатель рассеивающей способности полости, как полное сечение рассеяния с, [184, 361, 362]. Так, из известной в теории рассеяния [361,367] оптической теоремы для иепоглощающих сред а, — —4Re$,(0)/Ari следует, что, действительно, на низких частотах за счет пьезоэф-фекта по указанному механизму происходит увеличение полного сечения рассеяния SH-волны полостью. По определению Ф«(0) представляет комплексную амплитуду рассеянного поля в дальней волновой зоне. Она интересна прежде всего тем, что своей абсолютной величиной характеризует перераспределение рассеянной мощности по азимуту, тогда как а, позволяет проследить частотную зависимость мощности, рассеянной в
Эффекты запаздывания пьезополярнзацнонных электрических полей
Как правило, в расчетах отражения и рассеяния акустических волн в пьезоэлектрических кристаллах запаздыванием пьезополяризациомиых электрических полей пренебрегают. Но если в задачах отражения и распространения акустических волн вдоль плоских границ пъеэоэлектриков эффекты запаздывания уже оценивались [19, 380, 381], то электродинамические вклады в рассеяние акустических волн пьезоэлектрическими кристаллами не определялись, несмотря на наличие формальных решений [359], позволяющих такие оценки произвести. Ниже на примере рассеяния SH-волны полостью в пьезоэлектрике класса 6шш(4шш,оош) будет показано [181], что запаздывание пъезополярнзацконных электрических полей обуславливает электродинамический добавок к поперечному сечению рассеяния. Другим затрагиваемым аспектом проблемы запаздывания электрических полей в случае неплоских границ пьезоэлектрических кристаллов является обоснование предельной добротности лье-зокристаллических резонаторов радиационными электромагнитными потерями при колебаниях пьезоэлектрических тел [188]. 6 точной электродинамической формулировке рассмотренная в разделе 2.2 задача рассеяния гармонической SH-волны полостью кругового сечения в пьезоэлектрике с продольной пьезоактивностью основывается на вытекающей из уравнений пьеэозффекта (см. выражения (2.28),(2.29)) уравнения движения упругой среды в форме и уравнений Максвелла для электромагнитного поля, в данном случае Н-типа: нитного поля напряженностью И,
При этом напряженность электрического поля в пьезоэлектрике выражается равенством где с -скорость света, с -диэлектрическая проницаемость пьеэоэлектрика, а ещ — пье-зомодуль. В выражениях (2.103),(2.104) также обозначено: fct = (рс /А )1/2 -волновое число для SH-волн в пьеэоэлектрике, к = Е1 2Ш/С- волновое число для электромагнитной волны, А = А + 47ГЄі5/с - модуль сдвига пьезоэлехтрика с поправкой иа пье-зоэффект, р- плотность пьеэоэлектрика. К уравнениям (2.103) необходимо добавить уравнение Гельмгольца для компоненты И ох электромагнитного поля Но = (0,0, #о ) о = (- ог, Бое 0), возникающего в полости (г ft) под действием колебаний поверхностных пьезо-поляризационных зарядов, индуцируемых падающей волной. В (2.105) ко — ш/с-волновое число электромагнитных воли в вакууме. Уравнения (2.303),(2.105) дополним граничными условиями отсутствия сдвигового напряжения Тгх и непрерывностью тангенциальных компонент напряженностей электромагнитных полей [113, 362]. Ввиду формулы для ТГЇ, приведенной выше, выражения (2.103) и фактически вытекающего из него при еі$ = 0, — 1 представления электрической напряженности Бо = icu 1 тоі Но поля в полости, напишем граничные условия следущим образом Величину Ег в первом из них можно выразить согласно (2.104) через ихЯ,. Как видно из (2.104), SH-волны в своем объемном распространении по пьезо-кристаллу сопровождаются безвихревыми электрическими полями, описываемыми вторым членом правой стороны этого равенства. Поэтому с учетом ограниченности решения при г Д и требования погашаемости на бесконечности [361, 362] из уравнений (2.103),(2.105) получим Здесь, как и в предыдущих разделах Главы 2, а»- амплитудные коэффициенты парциальных SH-волн, рассеянных полостью, а Ья и с -амплитудные коэффициенты парциальных электромагнитных полей, возникающих при рассеянии. Определение указанных амплитудных коэффициентов завершает построение формального решения граничной задачи и выполняется по стандартной схеме: подстановка выражений (2.107) в граничные условия (2.106) приводит после собирания членов с одинаковыми парциальными номерами п = 0, ±1,±2,... к алгебраической системе из трех (по числу граничных условий) неоднородных уравнений, в которой характеристики падающей волны V и и подразумеваются известными. В результате решения алгебраических уравнений, получим Сопоставим решение (2.107)-(2.109) результатам раздела 2.2 (см. формулы (2.48)), полученным [185, 187, 180] без учета запаздывания электрических полей. Переход к квазистатическому пределу с — со (,о — 0), когда согласно (2.109) имеем Dn(C Со) МО + е) можно осуществить непосредственно только в коэффициентах On, принимающих, как следовало ожидать, вид, аналогичный (2.48), если учесть, что в новом решении мы опустили индекс ! , а величину t-i приняли за единицу. В отношении остальных амплитудных коэффициентов (2.108) решения граничной задачи заметим необходимость их предварительной подстановки в формулы (2.107) для Нжу Нож, где наряду с условием , о - 0 выполняются условия кг — 0 и кцг 0.
Парциальные компоненты полей Д„ Ня оказываются при этом пропорциональными мультиполям потенциалов льеэотюляризашюнных колебаний р\ из (2.34) (в льезоэлектрмхе) и фъ в виде второй суммы выражения (2.40) при др = 0 (полость без полупроводникового заполнения), изменяющимися по степенному закону (Д/г) ) г R или (r/fl)W в случае г R. Тождественность результатам квазистатического приближения здесь состоит в том, что определяемая И„ вихревая часть электрического поля (2.104) в пьезоэлектрике или связанное с До вихревое электрическое поле в полости, совпадают в пределе с — со с электрическими полями указанных потенциалов льезололяризационных колебаний. 9 В [181] это выражение приведено с опиской: аргументом у функции Ханкеля и ее производной стоит величина (о, а не
Решение френелевской задачи отражения SH-волн акустическим контактом ферромагнетиков
Особенности рефракции монохроматических SH-волн плоскими границами ферромагнетиков подобно рефракционным эффектам в пьезокристаллах (см. раздел 1.2) удобно проследить на основе общего решения френелевской задачи для случая ферромагнитных сред, приведенных в акустический контакт. Акустический контакт разнородных ферромагнитных кристаллов можно получить склейкой или эпнтаксиальным наращиванием одного из них на поверхности другого, используемого в качестве подложки. Наряду с этим отметим возможность реализации границ акустического кон такта разнородных ферромагнетиков в виде внутренних разрывов (скачков) физических параметров ферромагнитного материала на резком (толщиной / -С 2тг/к) фронте однородного легирования примесью, а также скачке внутреннего магнитного поля или механического напряжения типа ступеньки. Распространенным примером внутренних неоднородностей магнитоненасыщешюго ферромагнетика в последнем случае служат доменные границы. Таким образом, изучение рефракционных эффектов интересно не только ввиду перспектив практического использования для функциональных приложений, но и магнитоакустической интроскопии неидеальных ферромагнитных образцов. Рассмотрим отражение плоской монохроматической SH-волны границей у = О, представляющей акустический контакт кубических ферромагнетиков с общей ориентацией направлений [001] по оси z. В этом же направлении выберем внешнее магнитное поле Во, обеспечивающее монодоменное состояние кристаллов с намагнячен-ностями М г и внутренними однородными магнитными полями Н; \\г. Последние будем связывать между собой при дальнейшей детализации модели границы. Полагая, что падающая волна распространяется в плоскости (001) ферромагнетика при у 0 и имеет смещения щ\\г, для определения всех остальных волн и колебаний, возникающих в результате ее взаимодействия с границей, воспользуемся уравнениями (3.37), (3,38): где j = 1,2-номера параметров и полей в соответствующих кристаллах (j — 1 при у 0, j: = 2 при у 0).
Представление решения систем уравнений (3.41),(3.42) в виде щу ipj ехр(іф), где ф = кях — cut- фаза колебаний в точках границы, кх - проекция волнового вектора падающей волны на границу, а о»-частота падающей волны, вытекает из необходимости удовлетворить граничным условиям для определения характеристических коэффициентов q решения, где $t — ( j/pj)1 2 скорость SH-волн в J -OM ферромагнетике без учета магнитоупругого взаимодействия, Sj — yftj/pjAfy -коэффициенты магнитоупругой связи ферромагнетиков, U Q — 7 -частоты однородной прецессии, uyjj = 4iriM$ \ u jj 2 = (t y + иЩ). Уравнение (3.44)-есть аналог уравнения (1.23), использовавшегося в Главе 1 при построении решения граничной задачи отражения волны границей раздела лье-зоэлектрика с пьезополупроводником. Поэтому обретающие стандартный характер рассуждения по поводу отбора корней q и отвечающих им представлений полей iy, pj можно опустить в деталях, тем более, что ситуация в данном случае весьма напоминает случай диэлектрического льезоэлектрика. В целом можно заключить, что для каждого ферромагнетика уравнение (3.44) устанавливает по паре корней. Первые из них q = ±кя соответствуют приграничным магнитостатичесхим колебаниям, напоминающими в структурном отношении пьезополяризационные колебания тила второго слагаемого в выражении потенциала y?i из формул (1-22). Выбор знака здесь диктуется требованием ограниченности маг-нитостатических потенциалов. Остальные корни-корни выражения, заключенного в (3.44) в фигурные скобки, определяют поперечные компоненты волновых векторов SH-волн qj — ±і{Щ — &,)1 2, возникающих после взаимодействия падающей волны с границей. Величина kj = kj (w) представляет соответствующее і-ому ферромагнетику на заданной частоте ш значение волнового числа SH-волны, определяемого как корень дисперсионного соотношения тила (3.40).
Учитывая нормальный характер дисперсии магнитоупругих SH-волн, при выборе знака у величин qj можно руководствоваться принципом излучения в форме Зоммерфельда [25, 361, 293]. Поскольку рефрагированные SH-волны как и падающая волна сопровождаются магнитостатическими колебаниями вида (3.39), то с учетом вышеизложенного решение уравнений (3.41),(3.42) можно представить следующим образом В выражениях (3.45) Jfe, = fcysin , kj = (/ ;«?/A;)1 , A; = A,[l + XJ"M"o]№ wk )-1]) Xj — (47rA/ 3Aj)-1-константа магнмтоупругой связи ферромагнетика, R - коэффициент отражения, Т - коэффициент прохождения, V - амплитуда смещений в падающей волне, вх имеет смысл угла падения, а 03 - угол преломления SH-волны во второй ферромагнетик. Амплитуды В и D потенциалов приграничных магннтоста-тичесхих колебании вместе с RuT определяются из решения системы неоднородных алгебраических уравнении, образующейся при подстановке (3.45) в (3.43), где согласно (3.24) Tff = bjduj/dy + fijm p/M& и в силу (3.23) Ь = 4жт - д р,/ду. Составляющие т динамического магнитного момента, которые входят в граничные условия через посредство TjJ и bv\ можно найти из уравнений (3.32),(3.33):
