Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Размерные эффекты в проводниках со сложным законом дисперсии носителей заряда 27
1.1. Постановка задачи. Полная система уравнений задачи 27
1.2. Размерные эффекты в проводниках с идеально гладкой поверхностью 31
1.3. Сопротивление анизотропного проводника с шероховатой поверхностью 43
ГЛАВА II. Размерные галбваномагнитные эффекты в ограненных металлических проволоках 52
2.1. Полная система уравнений задачи 53
2.2. Статический скин-эффект в проволоках с прямоугольным поперечным сечением 54
2.3. Уффект Зондгаймера в ограненных проволоках 69
ГЛАВА III. Галеваномагнитбые эффекты в ленточных проводниках 73
Выводы к главе Ш 85
ГЛАВА ІV. Размерные гальваномагнитные эффекты при многоканальном отражении носителей заряда границей образца 86
4.1. Размерные эффекты при многоканальном поверхностном отражении носителей заряда в пластине ,86
4.2. Эффект Зондгаймера в ленточных проводниках 95
Литература 104
- Размерные эффекты в проводниках с идеально гладкой поверхностью
- Сопротивление анизотропного проводника с шероховатой поверхностью
- Статический скин-эффект в проволоках с прямоугольным поперечным сечением
- Эффект Зондгаймера в ленточных проводниках
Введение к работе
Исследование физических свойств тонких пленок и нитевидных монокристаллов представляет несомненный интерес. Это связано с новейшими достижениями технологии получения и возможностью широкого использования тонких проводящих слоев в самых разнообразных областях микроэлектроники. Возрастающая роль тонких пленок и тонкопленочных систем обусловлена и новыми аспектами их применения в быстроразвивающейся современной технике. В связи с этим очевидна необходимость детального изучения тонких проводников, физические свойства которых определены электронными процессами» протекающими на поверхности.
Еак известно, большинство металлов имеет сложный электронный энергетический спектр. Его топологическая структура существенным образом проявляется в сильных магнитных полях. Это связано с принципиальным отличием динамики электронов на замкнутых сечениях поверхности Ферми (ПФ) и носителей заряда, принадлежащих открытым сечениям ПФ, дрейф которых не совпадает с направлением магнитного поля Н . Следствием различного характера движения электронов проводимости в плоскости, ортогональной вектору Н , является резкая анизотропия поперечного магнитосопротивления с изменением ориентации поля Н , что было использовано для восстановления топологии поверхности Ферми по экспериментальным данным [і]. При низких температурах квантовый характер электронного энергетического спектра в магнитном поле обуславливает осцилляционную зависимость кинетических и термодинамических характеристик с изменением магнитного поля. По измерению периода осцилляционных эф -фектов Шубникова-де Гааза и де Гааза-ван Адьфена, определяемого экстремальными сечениями ПФ, были детально исследованы поверхнос-
ти ферми многих металлов [і] . Для выяснения существующей в некоторых случаях неоднозначности в трактовке экспериментальных результатов и получения дополнительной информации о поверхности Ферми (ее топологических особенностях) в настоящее время широко применяются и другие экспериментальные методы исследования металлов, использующие высокочастотные, магнитоакустические и всевозможные размерные эффекты. Важная роль последних объясняется тем, что с их помощью возможно не только дальнейшее изучение сложного энергетического спектра металлов, но и определение характера взаимодействия носителей заряда с металлической поверхностью. Рассеяние электронов проводимости на границе образца, толщина которого <Я много меньше длины их свободного пробега относительно внутрисхемных столкновений 2. > является одним из основных механизмов диссипации электронных потоков в металле, что приво -дит к существенной зависимости кинетических свойств тонких про -водников от характера поверхностного отражения носителей заряда [2-5] . Отметим, что кинетические характеристики тонкого образца также зависят от формы его поперечного сечения.
В качестве объектов изучения поверхностного рассеяния электронов проводимости в современных экспериментах широко используются нитевидные и ленточные монокристаллы, в которых при низких температурах легко реализуем кнудсеновский случай и размерные эффекты проявляются наиболее ярко. В таких проводниках исследова -ние размерных эффектов с целью получения информации о характере взаимодействия носителей заряда с металлической поверхностью оказывается весьма перспективным.
Размерные эффекты в тонких проводящих слоях начали изучать еще в конце прошлого века. Однако первое строгое решение задачи о
переносе заряда в тонких проводниках было дано лишь в 1938 г. фуксом [б] , который предложил учесть диссипативный характер столкновений электронов с поверхностью образца с помощью граничного условия к кинетическому уравнению Больцмана для функции распределения носителей заряда. Суть его граничного условия состоит в том, что электроны разделены на две группы: Q - я часть электронов отражается от границы зеркально, т.е. существует строгая корреляция между импульсами падающего и отраженного электронов, а ^-.(3) - я часть носителей заряда - диффузно, т.е. все направления движения их после отражения равновероятны. Очевидно, что характер поверхностного рассеяния как нормально падающих, так и скользящих вдоль границы носителей заряда в модели фукса одина -ков.
В ранних экспериментальных исследованиях объектом изучения размерных эффектов служили, в основном, поликристаллические про -водящие пленки, в которых условие сильного размерного эффекта не было выполнено, и результаты измерений удавалось объяснить поло -жив равным нулю параметр зеркальности Q в модели фукса. К тому же, диффузное рассеяние носителей заряда в металлах казалось вполне естественным, поскольку размеры неровностей образца больше или, в лучшем случае, сравнимы с длиной волны де-Бройля электронов проводимости в металлах.
В 60-ые годы в связи с совершенствованием техники экспери -мента и возможностью получения чистых монокристаллов появились экспериментальные работы, указывающие на частичную зеркальность отражения носителей заряда поверхностью образца. В частности, исследования размерных эффектов в тонких монокристаллах показали, что с уменьшением толщины их электропроводность стремится к ко -
нечному пределу,. Чопра и Бобб \f\ , изучая пленки золота, а Лар-сон и Бойко [8І на пленках серебра убедились в возможности зеркального отражения электронов от поверхности. Эти результаты легко объяснимы если учесть, что с размерами шероховатостей образца следует сравнивать не длину волны де-Бройля электронов в металле, а длину волны, соответствующую нормальной компоненте их волнового вектора. Простейшей моделью поверхностного отражения носителей заряда, в которой предполагалось, что почти скользящие вдоль границы электроны зеркально отражаются ею, была предложенная в работе [9J модель, предполагавшая скачкообразную зависимость параметра зеркальности от угла падения носителя заряда на поверхность образца. В ней авторы ввели "граничный" угол падения электронов так, чтобы носители заряда, падающие под большими углами , отражались зеркально, а с меньшими углами - диффузно. "Граничный" угол должен быть определен из наилучшего согласования теории с экспериментом . Эта модель объяснила эффект насыщения в электропроводности тонкого проводника, однако полного согласия с экспериментом не дала.
Непосредственным доказательством зеркально отраженных границей образца электронов были впервые наблюдаемые Хайкиным [id] осцилляции поверхностного импеданса в параллельном поверхности слабом магнитном поле и циклотронный резонанс в тонких пластинах висмута [IIJ , обнаруженный Хайкиным и Эдельманом. О зеркальном характере поверхностного отражения носителей заряда в нитевидных кристаллах красной меди высокой степени чистоты свидетельствовали данные Исаевой |12] ,а несколько позже Цой [іЗ-151 осуществил поперечную электронную фокусировку однородным магнитным полем, с помощью которой стало возможным прямое измерение
коэффициента зеркального отражения фокусируемых зарядов.
С другой стороны, теоретические исследования поверхностных эффектов в кинетических характеристиках, использующие граничное условие Фукса, не подтверждались экспериментом. В частности, теоретическое исследование эффекта поля в полупроводниках с использованием граничного условия Фукса для характеристики изгиба зон предсказавало возникновение особенностей у границ в распределении поля пространственного заряда [іб] , которые экспериментально не наблюдались. Дальнейший анализ [17] показал, что такое распределение поля пространственного заряда у границ явилось следствием применения граничного условия Фукса с параметром зеркальности Q равным нулю. Подобные особенности в распределении поля вблизи поверхности были предсказаны и в полуметаллических пластинах (а^В) [18] при отсутствии корреляции между импульсами падающего и отраженного электронов. В случае использования граничного условия с монотонной характеристикой Q(iJ) эти эффекты либо исчезают вовсе, либо сильно ослаблены.
Исследуя кинетические свойства тонких проводников, поверх -ность которых диффузно рассеивает носители заряда, а несколько позже и при произвольном значении параметра зеркальности Q , Азбель и Песчанский [I9J обратили внимание на то, что в феноменологической теории Фукса необходимо перенормировать химический потенциал электронов, взаимодействующих с поверхностью, для того чтобы поток зарядов через поверхность проводника вне контактов отсутствовал.
Многочисленные экспериментальные результаты и используемые для их обьяснения модели граничного условия в рамках подхода Фукса свидетельствовали о зависимости коэффициента зеркальности от
;. .. '": .. л 9 '
угла скольжения v электрона вдоль поверхности и о зеркальном отражении почти скользящих электронов. Связь коэффициента зеркальности с характеристиками рассеивающей поверхности и возможность строгой формулировки граничного условия для функции распределения носителей заряда в проводнике начала обсуждаться лишь в конце 60-х годов. В это время публикуются работы,авторы которых исследуют физическую суть критериев зеркальности либо диффузности и связывают их со свойствами поверхности В обзорной статье [20] Андреев обращает внимание на то, что структура границы металла, форма её шероховатостей определяют закон отражения электронов проводимости, что даже совершенной поверхности твердого тела свойственны неровности, амплитуду которых О/0 надо сравнивать с длиной волны,соответствующей нормальной компоненте волнового вектора падающего электрона. Если скорость носителя заряда с массой Ж почти параллельна поверхности с периодическими шероховатостями амплитудой 0/о и величина нормальной составляющей скорости много меньше отношения Yma ( & " постоянная Планка ),то взаимо* действие электрона с границей происходит с малым изменением квазиимпульса р . В таком случае вероятность диффузного отражения пропорциональна углу скольжения v электрона вдоль поверхности, Квантовомеханический подход к анализу вклада поверхностных механизмов рассеяния требует задания волновых фвнкций,описывающих стационарное состояние электрона проводимости в поле потенциального барьера металла [21-2 «. Если трансляционная симметрия кристалла сохраняется в плоскости границы, то волновая функция электрона проводимости вне области действия потенциального барьера может быть представлена в виде суперпозиции блоховских функций безграничного металла, соответствующих падающей и отраженной волнам. В этом случае квантовомеханическое решение задачи было предложено
Окуловым и Устиновым [2з] которые проанализировали и пределы применимости квазиклассического кинетического уравнения с граничным условием: масштаб изменения функции распределения должен быть велик по сравнению с масштабом изменения потенциала в приповерхностной области. В случае прямоугольного потенциального барьера бесконечной высоты волновые функции электронов проводимости представляют суперпозицию плоских волн и обращаются на границе в нуль. Реальный потенциальный барьер возникает из-за искажений поверх -ностного потенциала дефектами, которые хаотически расположены на границе. Шт могут быть поверхностные точечные дефекты (примеси, вакансии) и поверхностные неровности - шероховатости [25] .
Рассеяние электронов на примесных центрах, расположенных на поверхности кристалла, было рассмотрено Грином и О'Доннелон [26] , которые представили поверхность как барьер бесконечной высоты, а рассеивающие центры - кулоновскими потенциалами с объемным экранированием. Как и ожидалось авторами, параметр диффузности для почти скользящих вдоль поверхности электронов оказался пропорциональным их углу скольжения V .
Влияние рассеяния носителей заряда поверхностными хаотически расположенными потенциальными центрами на электропроводность тонкой металлической пластины обсуждалось в работах Баскина и Энти -на [27,28] . Они отметили, что в классическом случае, когда длина волны нормальной компоненты импульса много меньше толщины пластины d и радиус экранирования мал, граничное условие для функции распределения носителей заряда, отраженных от поверхности, принимает вид граничного условия фукса с монотонной зависимостью коэффициента диффузности от угла падения в области малых V .
В зависимости от соотношения между длиной волны нормальной
компоненты импульса и радиусом действия дефекта электрон проводимости рассеивается различным образом на неидеальной поверхности. Если характерный масштаб неровностей много больше длины волны де-Бройля электрона, то применимо приближение геометрической оптики [29-32] , в противоположном случае, в задаче о рассеянии на нерегулярной границе, используется метод теории возмущений [33] .
Теоретическое обоснование граничного условия для функции распределения электронов проводимости, локально-зеркально отра -женных от поверхности со случайно расположенными на ней статическими шероховатостями, высота которых мала по сравнению с длиной волны нормальной составляющей импульса электрона, было проведено Фальковским [34] . Полученное в работе [з2*] граничное условие содержит интегральное слагаемое, характеризующее диффузность средней плоскости границы, на которой происходит угловое уширение пучка отраженных электронов на угол vw . Вид граничного условия зависит от соотношения двух параметров, угла vw и угловой ширины разности функций распределения электронов в пучке vi [35,Зб] .Фуксовский вид граничное условие принимает в случае,когда уширение пучка отраженных электронов настолько велико, что захватывает весь поток носителей заряда, дающих основной вклад в электрический ток, т.е. vw^vi. . В другом предельном случае, когда Vvv<
Несколько позже Окулов и Устинов [2з] предложили граничное
условие для функции распределения носителей заряда с анизотропным законом дисперсии, взаимодействующих с поверхностью металлического проводника.
Корректный учет поверхностного рассеяния граничным условием к кинетическому уравнению позволил начать последовательное теоретическое изучение кинетических характеристик образцов малых размеров [37*45] , а возросшие экспериментальные возможности - получать результаты, необходимые для определения характерных величин и угловой зависимости вероятности рассеяния электронов металлической границей. Поскольку поверхностное рассеяние носителей заряда в тонких проводниках в условиях сильного размерного эффекта (d « I ) является одним из основных релаксационных механизмов электронных потоков, кинетические характеристики в значительной мере определяются состоянием поверхности и геометрией образца. Влияние формы на сопротивление проводника с шероховатой поверхностью выражается в различных зависимостях электросопротивления Р пластин и проволок, от толщины а .
В анизотропных металлах существование строгой корреляции импульсов падающего и отраженного электронов при чисто зеркальном отражении не обеспечивает сохранения скорости носителя заряда вдоль электрического тока, что приводит к зависимости Р от <А , хотя эффективная длина свободного пробега электрона по порядку величины остается равной I [4б] .
В сильном магнитном поле ( 1«с1 ) размерные гальваномагнитные эффекты намного разнообразнее, чем при Н = 0, и проявляются даже в изотропных проводниках с идеально гладкой границей. В магнитном поле, параллельном зеркальной поверхности металла, сопротивление которого неограниченно растет с увеличением поля Н , происходит скинирование постоянного тока вблизи границы на расстоя-
ний порядка радиуса ларморовой орбиты электрона * . Явление статического скин-эффекта, предсказанное в 1963 г. Азбелем [47], обуславливает линейную зависимость сопротивления пластины с зеркальной поверхностью от величины магнитного поля [48,19,49] . Существенное перераспределение токовых линий происходит и в проволоках. Зависимость их сопротивления от Н чувствительна не только к состоянию поверхности, но и к форме поперечного сечения, в проволоках с круглым или овальным сечением сопротивление достигает либо насыщения, либо квадратично растет с магнитным полем [49]. В ограненных проволоках в магнитном поле, параллельном одной из граней, зависимости 0 от поля Н оказываются весьма разнообразными и определяются состоянием как указанной грани, так и прилегающих к ней участков поверхности [50] .
Достижения экспериментальной техники и появление методов выращивания химически чистых металлических монокристаллов с совершенной структурой и поверхностью открыли новые возможности для экспериментального исследования поверхностного рассеяния металлов. В результате изучения ярко выраженного размерного эффекта в виске-рах, для которых характерна высокая отражательная способность,было исследовано отражение носителей заряда гранями образца, совпадающими с кристаллографическими плоскостями в2п , Cd , So [51-54] . Оказалось, что лишь у вискеров сурьмы зеркальность поверхностного отражения невелика. Отражательная способность граней монокристаллов вольфрама и молибдена исследована в работах [55-5б>
Как известно, размерные гальванонагнитные эффекты сказываются не только в изменении вида монотонной зависимости Р(Н) , а и в появлении осциллирующей части сопротивления с изменением величины сильного магнитного поля Н ( "Z « u. ) и поперечных разме-
ров проводника d. . Осцилляционный эффект в сопротивлении тонких пластин, помещенных в магнитное поле, ортогональное поверхности, при условии 1« & был предсказан Зондгаймером [57] и связан с тем, что смещение носителей заряда в плоскости пластины отсутствует, если они проходят всю толщину образца а за вре -мя, кратное периоду движения в магнитном поле Тн . С изменением поля Н либо толщины d условие a-ftUHТн выполняется при другом значении Н либо a , что и служит причиной ос-цилляционной зависимости 0 от Н и a . Эффект Зондгаймера формируют электроны из окрестности опорной точки поверхности Ферми [57] либо носители заряда с экстремальным смещением вдоль магнитного поля. Период осцилляции определяется величиной *Уьрн в опорной точке либо на экстремальном сечении ПФ, а амплитуда -зависимостью ^УЬрн избранных электронов от рн , где 5(рн) - площадь сечения ПФ плоскостью D= согк1,перпендикулярной вектору Н . Поскольку эффект Зондгаймера чувствителен к динамическим характеристикам электронов, Гуревич предложил использовать размерный осцилляционный эффект в качестве метода экспериментального изучения поверхности Ферми [58] , но в виду сложности экспериментального осуществления эта программа реализована не была. Поверхность Ферми металлов исследовали хорошо зарекомендованными экспериментальными методами, использующими, например, эффект Шуб-никова-де Гааза, который имеет место в массивных проводниках и потому качество поверхности и геометрия образца не сказываются на результатах измерений. Впервые осцилляции Зондгаймера (03) наблюдались в 1957 г, на тонких проволоках висмута [59] , и лишь на -много позже появились достоверные данные измерений 03, полученные на монокристаллических образцах. К этому времени выяснилось, что
к аналогичному размерному эффекту могут привести и электроны на открытых орбитах [бо] .
На амплитуду осцилляциоиного размерного эффекта влияет, кроме локальных характеристик ПФ, еще и состояние поверхности про -водника, что позволяет использовать эффект Зондгаймера при исследовании взаимодействия с металлической границей носителей заряда, принадлежащих малому участку ПФ [бі] .
Долгое время считалось, что осцилляции Зондгаймера связаны с потерей корреляции импульсов падающего и отраженного границей образца электронов,Однако позже было показано [б2-б4] , что существование эффекта Зондгаймера в анизотропных проводниках возможно даже при чисто зеркальном отражении зарядов, так как сохранение энергии и касательной к поверхности образца компоненты им -пульса не обеспечивает в этом случае постоянство скорости электрона вдоль направления электрического тока. Энергия, приобретенная зарядом в электрическом поле, оказывается иной, чем в массивном проводнике. Это приводит к тому, что сопротивление зависит от толщины и в сильных магнитных полях осциллирует с изменением CL и Н .
В современных экспериментальных исследованиях эффект Зондгаймера используется для изучения как особенностей топологии ПФ, так и механизма релаксации электронных потоков на границе металлического проводника. В частности, в работах [б5,бб] по измерениям осцилляционного эффекта Зондгаймера исследовалось рассеяние электронов проводимости на атомно чистой поверхности тонких пластин вольфрама, что позволило определить параметры зеркального отражения носителей заряда тех участков ПФ вольфрама, которые ответственны за формирование 03. На рис. I представлены записи вто-
рой производной сопротивления j/3H как функции Н для образцов W с атомно чистой и с загрязненной поверхностью (кривые 2 и I) Гбб] . Отчетливо видна зависимость формы кривой
(УйН2, от чистоты поверхности образца. На рис. 2 приведены результаты фурье-анализа " Р/йН » который позволяет выделить гармоники, соответствующие малым группам электронов. Выполненные оценки степени зеркальности, длины свободного пробега и величины
рн небольших групп носителей заряда, обуславливающих 03, находятся в согласии с данными, полученными другими методами,причем авторы отмечают высокую "разрешающую способность" метода 03, с помощью которого можно различить отдельные области ПФ с близкими по величине параметрами.
К настоящему времени опубликовано много работ, использующих эффект Зондгаймера с целью подробного изучения электронного энергетического спектра металлов. Если первые экспериментальные ис -следования проводились на поликристаллических образцах ( Лп [67],
М [б8] ), то позднее объектом измерения 03 становятся монокристаллические образцы ( Cd. [б9-7і] , ба [72] , Cu[73,74J ,
hi [75-77] , 3n [78] ), a результаты эксперимента сравниваются с теоретическими расчетами ПФ и с данными, полученными другими методами исследования металлов. Измерения 03, проведенные Sakamoto
[74] , подтверждают сложную структуру электронного энергетического спектра меди, хотя результаты фурье-анализа, по которым, можно судить об отдельных группах носителей заряда, формирующих 03, автор не привел. На рис. 3 и 4 представлены записи 03 магнитосопро-тивления и эффекта Холла в тонких монокристаллах Си [74] . На рис. 5 приведена зависимость амплитуды осцилляции Зондгаймера сопротивления. Различное поведение амплитуды как функции Н явля -
Н,кЗ
Рис. I, Записи второй производной &р№ магнитосопротивле-ния как функции магнитного поля Н . Кривая I - соответствует образцу, поверхность которого покрыта субмо-ноелойной пленкой примесей, кривая 2 -образцу с очищенной поверхностью. Направление поля И ,ортогонального поверхности образца, совпадало с направлением [НО] кристалла вольфрама [66] .
E"i
c'k
Рис. 2,
Результаты фурье-анализа кривых I и 2,приведенных на рис. I. Различными греческими буквами обозначены вклады групп носителей заряда с различных участков поверхности Ферми, цифры перед ними соответствуют кратным гармоникам Гбб] .
ется следствием сложной топологии поверхности Ферми меди.
Чувствительность эффекта Зондгаймера к динамическим характеристикам электронов проводимости оказывается весьма полезным свойством, которое может быть использовано и с целью изучения локальных изменений геометрии поверхности Ферми под действием внешних воздействий, например, давления [79] .
Сложный электронный энергетический спектр металлов приводит к тому, что в результате поверхностного отражения квазичастица может оказаться в одном из нескольких неэквивалентных состояний. Первое теоретическое исследование многоканального отражения электронов проводимости от металлической поверхности было проведено в работе Ліоге [во] .
В кинетических явлениях в тонких проводниках, помещенных в постоянное магнитное поле, процессы переброса квазичастиц с одной полости ПФ на другую при зеркальном поверхностном отражении приводят к "эффективной диффузности" границы [8l] и к возникновению нового механизма аномального проникновения электромагнитных волн в металл [82,83] . Результаты теоретических исследований роли многоканального зеркального поверхностного отражения в кинетических явлениях были изложены Песчанским [84] . Процессы переброса в случае поверхностного рассеяния были обнаружены при изучении статического скин-эффекта в вольфраме [85J , а методом поперечной фокусировки - в висмуте [8б] .
Особенности поверхностного отражения носителей заряда приводят к существенному изменению и температурной зависимости сопротивления тонких металлических образцов по сравнению с массивными
Гз] , сопротивление которых при температурах Т » значительно
т т5
меньших температуры Дебая lg , пропорционально I . Такая
ISO
SO 100
B4 00~emt*sU)
Рис. 3. Магнитосопротивление p как функция И . Кривые 1-5 соответствуют образцам,толщиной от I07jut*v до 19»5 j^m> .Магнитное поле Н ортогонально поверхности образца, совпадающей с плоскостью U00) кристалла меди [74] .
Sp ь
Sp 4 " Sp J
Sp 4
Sp 3
. 60
OdOO *m tesU)
Рис. 4. Коэффициент Холла R.H как функция И . Кривые 3-5 соответствуют образцам, толщиной от 107 Д-"^ До 19,5 juvru . Магнитное поле ортогонально поверхности образца, совпадающей с плоскостью (І00) кристалла меди [74] .
Т 5г^
20 ?
В//[ПО]'
7 о
T 5
ті э
_ e Sp3
0.1 02 05 10 2 0 B(tesla)
Рис. 5. Зависимость логарифма амплитуда сцилляций магми-тосопротивления т величины сильного поля К , вектор которого либо совпадает с направлением [lOOj кристалла меди и ортогонален поверхности образца, либо отклонён на 3 от направления [Ю0]и находится в плоскости (100) . Толщина второго и третьего образцов равна 166 ' р* и 107 рм ... Пунктирная линия изображает зависимость амплитуды 03 сопротивления от Н"/2 , соответствующую экстремальным сечениям [74] .
21
зависимость РСТ) t как известно, объясняется эффективно
стью электрон-фононного механизма установления равновесия, кото
рый в этой области температур характеризуется малым изменением
импульса электрона при электрон-фононном столкновении [87] . Из
менение температурной зависимости тонких образцов, обнаруженное
Олсеном [вв] , было им же объяснено возросшей эффективностью
электрон-фононного взаимодействия, которое приводит к значительно
му росту сопротивления проводника малой толщи
ны по сравнению с массивным. Измерения на вискерах кадмия и цинка
[89,90] показали, что зависимость 0(Т) вискера и массивного
металла 2тг и С а мало отличимы. Подобное поведение 0(Т)
можно объяснить высокой отражательной способностью граней, которая
в вйскере снижает эффективность механизма Олсена, рассчитанного в
J9I,92] для чисто диффузного поверхностного рассеяния электронов.
В работе Когана и Устинова [93] был рассмотрен механизм Олсена в
области сильного размерного эффекта с учетом зависимости частоты
столкновений носителя заряда с поверхностью образца, а следова -
тельно и вероятности поверхностного отражения, от ориентации ско
рости электрона относительно границы. Характер полученной зависи
мости Р(Т) определялся вероятностью поверхностного рассеяния
как функции угла скольжения носителя заряда вдоль границы провод
ника.
В сильном магнитном поле температурная зависимость сопротивления тонких проводников оказывается весьма чувствительной к состоянию поверхности образца. Многочисленные измерения магнитосо-противдения, проведенные к настоящему времени, вполне удовлетворительно объясняются изменением длины свободного пробега электрона t с изменением температуры. Чувствительность магнитосопро-
тивления в условиях статического скин-эффекта к изменению отношения 'Z/g используется при исследовании характера поверхностного отражения электронов в металле. Например, авторы работ [94-9б] изучили угловую зависимость вероятности зеркального поверхностного отражения в тонких монокристаллических пластинах вольфрама и молибдена и получили соответствие коэффициента зеркальности Q с результатами измерений jKH) , о высокой степени зеркальности граней вискера CcL свидетельствуют данные магнит сопротивления, приведенные в работе [90] .
Отметим, что по монотонной части сопротивления можно определить лишь усредненную по поверхности Ферми функцию (Т) . О длине свободного пробега носителей заряда малого участка ПФ позволяет судить размерная осцилляционная зависимость, поскольку амплитуда осцилляционного эффекта Зондгаймера пропорциональна вхр("*7{хт)) . В частности, с помощью метода 08 была исследо-вана функция (Т) для разных групп носителей заряда в кадмии [70] . Оказалось, что на одних сечениях ПФ она имеет вид &Т , а на других сечениях ПФ - о Т . Такое различие,возможно, связано с тем, что рассеяние носителей заряда на малые углы из-за столкновений с фононами может сместить их за пределы выделенной области ПФ.
Исследование размерных эффектов в тонких проводниках позволяет получить детальную информацию о взаимодействии электронов проводимости с металлической поверхностью. Поэтому предпринятое в данной работе исследование размерных гальваномагнитных эффектов несомненно актуально и представляет интерес в связи с широким использованием тонких проводящих слоев либо тонкопленочных систем в самых разнообразных технических приложе-
ниях в условиях, когда физические свойства проводников определяются именно процессами, протекающими на их поверхности.
Целью настоящей работы является исследование не изученного ранее влияния формы поверечного сечения проволоки с произвольным состоянием поверхности на ее гальваномагнитные характеристики в сильном магнитном поле.
В результате проведенного в диссертационной работе исследования были получены новые научные результаты в области поверх -ностных явлений в металлах, которые могут быть сформулированы в виде основных положений, выносимых на защиту:
Впервые изучен эффект формы поперечного сечения в гальваномагнитных характеристиках тонких металлических проволок и проанализировано распределение электрического тока по сечению образца. В условиях статического скин-эффекта получена новая зависи -мость сопротивления с увеличением магнитного поля, связывающая участки линейного и квадратичного роста.
Исследованы г альваномагнитные размерные эффекты в ленточных проводниках в широкой области магнитных полей. Изучено поведение сопротивления вискера, обладающего большой анизотропией диаметра поперечного сечения ,_один из размеров^которого, много меньше радиуса кривизны траектории движения электрона в магнитном поле. Показано, что в таком образце появляется новый период осцилляции Зондгаймера.
Исследована роль многоканального поверхностного отражения носителей заряда в формировании осцилляционного эффекта Зондгаймера. Показано, что возможность отражения электронов проводимости в несколько каналов приводит к новому периоду осцилляции при включении каждого нового канала. Проанализирована чувст-
вительность осцилляционного эффекта к малой ширине ленточного проводника.
Проведенное в диссертации теоретическое исследование размерных гальваномагнитных явлений дает возможность предложить программу восстановления индикатрисы рассеяния носителей заряда металлической поверхностью на одном образце, вырезанном из пластины, с варьированием состояния поверхности среза. Большое практическое значение имеет использование полученных результатов с целью контроля чистоты поверхности металлического монокристалла и при создании проводящих систем с наперед заданными свойствами. Таковы основные моменты, определяющие практиче скую ценность диссертационной работы.
Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения.
Первая глава посвящена исследованию размерных эффектов в металлических проводниках со сложным законом дисперсии электронов проводимости в отсутствие магнитного поля. С помощью кинетического уравнения Больцмана вычислено сопротивление проводников со сложным законом дисперсии носителей заряда как в случае идеально гладкой, так и шероховатой поверхности образца. Определены условия существования размерных эффектов в идеально гладком проводнике в отсутствие процессов переброса. Показано, что причиной существования размерных эффектов в проводниках с зеркальной поверхностью и изотропным законом дисперсии электронов являются процессы переброса. Результаты фальковского [36,38] , полученные им для изотропного проводника, обобщены на случай металла с анизотропным законом дисперсии носителей заряда.
Во второй главе исследовано влияние формы поперечного сечения металлической проволоки с произвольным состоянием поверхности
на ее гальваномагнитные характеристики в сильном магнитном поле. На примере проволоки с прямоугольным поперечным сечением, размеры которого являются величинами одного порядка, проанализирована роль поверхностного рассеяния носителей заряда в распределении электрического тока по сечению ограненной проволоки. Выяснена зависимость сопротивления от величины сильного магнитного поля, когда радиус кривизны траектории движения электрона много меньше диаметра поперечного сечения, в модели поверхностного отражения, которая тем лучше учитывает зеркальность отражения почти скользящих вдоль поверхности электронов, чем ближе состояние границы к зеркальному. Показано каким образом наличие у проволоки плоской грани проявляется в зависимости сопротивления от температуры и от величины сильного магнитного поля, параллельного плоскому участку границы.
Третья глава посвящена исследованию гальваномагнитных характеристик ленточных проводников, поперечные размеры которых существенно различны, один значительно меньше, а другой гораздо больше радиуса кривизны траектории движения электронов в сильном магнитном поле. Рассмотрены два разных случая, соответствующие двум ориентациям магнитного поля. Показано, что имеет место своеобразное поведение сопротивления как функции магнитного поля, кроме того, в немонотонной части электропроводности образца появляется осцилляционная зависимость с новым периодом.
В четвертой главе рассмотрены размерные гальваномагнитные эффекты при многоканальном отражении носителей заряда границей образца. Проанализирована роль электрон-электронных и электрон-"дырочных" перебросов в формировании размерных эффектов. Показано, что включение дополнительного канала отражения приводит к
возникновению дополнительного периода осцилляции Зондгаймера. Обсуждается различное поведение амплитуды осцилляционной зависимости электропроводности ленточного проводника как функции магнитного поля, которое может быть использовано при исследовании эффекта Зондгаймера в таких образцах с целью изучения процессов переброса во всей области многоканального поверхностного отражения электронов металлического монокристалла.
В заключении сформулированы основные результаты работы. Далее приведен список цитируемой литературы.
Материалы диссертации докладывались на I Всесоюзной конференции по физике и технологии тонких пленок (г. Ивано-Франковск, 1981 г.)і на ХХП Всесоюзном совещании по физике низких темпера -тур (г. Кишинев, 1982 г.), на Всесоюзной школе-семинаре "Электронные свойства металлов" (г. Минск, 1980 г.), на Ш Всесоюзном семинаре по низкотемпературной физике металлов (Красный Лиман, 1983 г.).
Размерные эффекты в проводниках с идеально гладкой поверхностью
Если установить связь ядра интегрального оператора "Ш(РііPijZi) с индикатрисой рассеяния электронов проводимости границей образца W(pi Pp) » т0 задача оказывается полностью определенной. В таком виде приведенные выше уравнения описывают распределение электростатического потенциала и электрического тока в проводнике при произвольном по величине электрическом поле.
В слабом электрическом поле кинетическое уравнение можно ли неаризовать и линейное уравнение для - приближе нии) легко решить методом характеристик. Его решение содержит произвольную постоянную функцию г » которую следует определить с помощью граничного условия, описывающего характер отражения носителей заряда поверхностью проводника.
Воспользовавшись граничным условием фальковского [з ] , учитывающим рассеяние электронов проводимости на слабошероховатой поверхности образца, обобщенным Окуловым и Устиновым [23І на случай анизотропного закона дисперсии электронов и распространенным авторами [82] на произвольное число каналов зеркального отраже -ния. получим следующее выражение для где интегрирование по Р проведено по всем состояниям уедающих на границу электронов в точке Z$ , а импульсы Р и р сопряжены условием зеркального отражения, при котором сохраняются энергия и проекция импульса на плоскость, соприкасающуюся с поверхностью образца в точке 2$ . Выражение в квадратным скобках в формуле (1,8) имеет смысл полной вероятности зеркального отражения носителей слабошероховатой поверхностью.
Нам необходимо знать связь плотности электрического тока с электрическим полем вдоль электрического тока (направление которого совпадает с осью. X ) с учетом непротекания зарядов через поверхность образца вне токопроводящих контактов. Если его длина значительно превосходит С , то с достаточной степенью точности поле х можно считать однородным, а компоненты электрического поля Р , - следует найти с помощью уравнения электронейт-ральности проводника, а затем исключить их из выражения (I.I) для плотности электрического тока.
Уравнение электронейтральности образца,которое в линейном приближении по слабому электрическому полю имеет вид [2о] и представляет собой интегральное уравнение с неразностным ядром. Здесь Со - фермиевская энергия носителя заряда. Решение этого уравнения удается получить лишь в некоторых специальных случаях.
В массивном проводнике d» и вдали от его границ ГЦТ- К решением уравнения электронейтральности является однородное электрическое поле. В тех случаях, когда можно не учитывать вклад в электропроводность образца приповерхностного слоя толщиной Е. , роль граничного условия играет условие непротекания электрического тока через поверхность металла, которое позволяет найти связь постоянных величин Ец » Е? с полем вдоль электрического тока Еж чет взаимодействия электронов проводимости с поверхностью проводника с помощью граничного условия фальковского автоматически обеспечивает отсутствие тока через металлическую.поверхность и лишь уравнение (1.9) служит для определения электрического поля в плоскости поперечного сечения проводника.
Распределение электрического тока по сечению проводника зависит от рассеивающих свойств поверхности, определяемых индикатрисой рассеяния WCpjpJ s) » закона дисперсии носителей заряда = ,(р) и формы образца, отчего даже в отсутствие магнитного поля может иметь место зависимость средней плотности электриче -ского тока от толщины проводника.
В ЭТОЙ главе изучены размерные эффекты в сопротивлении ме -таллических проводников со сложным законом дисперсии носителей заряда в отсутствие магнитного поля п при различных состояниях поверхности образца.
Сопротивление анизотропного проводника с шероховатой поверхностью
Сопротивление идеально гладкого проводника со сложным законом дисперсии электронов проводимости остается по порядку величины равным сопротивлению изотропного металла. Однако, наличие даже малых шероховатостей на поверхности образца является причиной диссипативного характера рассеяния носителей заряда. Столкновения электронов проводимости со слабошероховатой границей сопровождаются частичной потерей корреляции между импульсами падающе-го О и отраженного D электронов, что приводит к существенному изменению длины их эффективного пробега 9фф .
Граничное условие (1.7) для неравновесной добавки к функции распределения носителей заряда в проводнике содержит множитель И - l\\f(p, PJ?S)( fi )] эквивалентный коэффициенту зеркальности п в теории Фукса. Граничное условие (1.29) можно представить и в другой форме
Обе функции О (иД)Д$) и Х(и,йД$)зависят от состояния поверхности и угла скольжения вдоль нее электрона у , причем для малых углов коэффициент диффузностиі-Q и функции % пропорциональны у : эллиптиче-эллипсоидальной модели ПФ при зер Хотя условие зеркального отражения (1.10) не обеспечивает сохранение угла v носителей заряда с анизотропным законом дисперсии, т.к. \\Ju\ ф\\}у\ , но для почти скользящих вдоль поверхности проводника электронов :связь между Vu и Uy имеет вид ских опорных точек р % для эллипсоидальной модели кальном отражении -jj1 в точности равно — Ц"и » а для произвольной ПФ отклонение от нуля (Uu+17y ) связано с отклонением от эллипсоидальности небольшой области ПФ вблизи эллиптической опорной точки.
Рассмотрим электропроводность шероховатой плоско-параллель ной пластины анизотропного металла. Диссипативный характер рассея ния электронного потока на ее неровной поверхности у5=0,й уч тем граничным условием (1.30), которое дает возможность получить соотношения Обратим внимание на существенно различный характер решения уравнения (1.34) при чисто зеркальном ( Q= ) и чисто диффузном (Q=0 ) поверхностном рассеянии носителей заряда. В первом случае функция % равна нулю и решение слабо зависит от U . При диффузном рассеянии свободный член в уравнении (1.34) имеет логарифмическую особенность в производной по 11 , отчего в приграничном слое массивного проводника М-4sl решением уравнения электронейтральности является функция ЕоСУ) с приближением к поверхности логарифмически изменяющаяся. Если же учесть, что при малых углах скольжения электрона вдоль границы функции И ф и X пропорциональны углу -J , решение уравнения (1.34) с приближением к поверхности образца не будет иметь особенности.
Уравнение электронейтральности (1.34) можно представить и в несколько ином виде
В тонкой пластине предельное значение электрического поля Еу(у) зависит от соотношения параметров О. и случае зеркального поверхностного отражения электронов, когда (Х« Jt электрическое поле ЁиСу) в нулевом приближении по t однородно и совпадает с величиной поля Еи(У)Б пластине с чисто зеркальной границей при ур- 0 (формула (I.I7)). Если же параметр диффузности границы образца удовлетворяет условию yg«Cl , то предельное значение электрического поля Еи(У) зависит от
Среднюю плотность электрического тока в пластине ТОЛЩИНОЙ (X , направление которого, как и раньше, совпадает с осью X , легко вычислить, если воспользоваться вместе с уравнениями (1.34) и (1.33) выражением
Статический скин-эффект в проволоках с прямоугольным поперечным сечением
В сильном магнитном поле неограниченный рост сопротивления проводника сопровождается перераспределением электрического тока по сечению образца. Это вызвано тем, что столкновения с поверхностью способствуют дрейфу носителей заряда в направлении электрического тока. Отчего вклад приповерхностных электронов в попереч-ную электропроводность п J. /I оказывается значительно больше вклада носителей заряда сердцевины образца. В результате в гальваномагнитных явлениях существенным образом проявляется характер взаимодействия электронов проводимости с поверхностью проводника. Если в пластинах в параллельном ее граням магнитном поле Н различный характер отражения носителей заряда приводит к различным зависимостям сопротивления 0 от поля Н (при отражении близком к зеркальному 0 пропорционально Н , в противном случае, О го Н )» то в проволоках с овальным поперечным сечением различный характер взаимодействия зарядов с границей проявляется лишь в температурной зависимости 0 . Однако при наличии плоской грани у проволоки с произвольным поперечным сечением вновь появляются различные зависимости Р от Н в зависимости от ориентации магнитного поля N и состояния плоского участка поверхности.
Дополненное граничным условием кинетическое уравнение Больц-мана и условие электронейтральности образуют полную систему уравнений задачи, отличие которой от системы уравнений п. I.I гл. I состоит в том, что линеаризованное кинетическое уравнение для функции Ф(р,1) носителей заряда в постоянном магнитном поле имеет дополнительное слагаемое jLmHI- X В магнитном поле Н электрон проводимости движется по траектории в р - пространстве с сохранением энергии и про -екции импульса на направление вектора Н
Криволинейные координаты , Рн , t (время движения электрона во внешнем поле) являются более удобными по сравнению с декартовыми. В этих переменных уравнение (2.1) имеет вид Его решение было найдено в гл. I и определено формулой (1.6).
Чтобы получить интересующую нас связь плотности электрического тока с полем Ех , которое считаем однородным, мы должны, как ив п. I.I гл. I, найти неоднородное поле ( из уравнения электронейтральности металла а затем исключить его из выражения для плотности электрического тока
В сильном магнитном поле С Z « СЯ ) распределение электрического тока по сечению проволоки неоднородно. Если магнитное поле параллельно плоскому участку поверхности проволоки произвольным поперечным сечением, то существенная неоднородность тока вблизи этого участка связана в основном со статическим скин-эффектом и проявляется в различном поведении сопротивления О как функции магнитного поля Н и температуры Т в зависимости от состояния указанной грани и прилежащих к ней частей поверхности образца. Наряду с этим, имеет место немонотонная зависимость электрического тока от Н с изменением координат поперечного сечения про -водника, которая приводит к осцилляционной зависимости D от
В скомпенсированных металлах на диаграммах вращения Н 1 J имеют место минимумы сопротивления, когда магнитное поле параллельно одной из граней проводника с прямоугольным поперечным сечением 5s = 0,c(1 » ys—CUcL (рис, 8). Статический скин-эффект при таких ориентациях поля Н ярко выражен, а сопротивление образца
Эффект Зондгаймера в ленточных проводниках
Рассмотрим электропроводность ленточного проводника с зеркальной поверхностью, помещенного в магнитное поле Н , ортогональное его узким граням 2.s= 0 9cL Б формировании плавной части электропроводности ленточного проводника главную роль играют носители заряда, многократно сталкивающиеся с зеркальными гранями Us = o,d.a Наличие процессов переброса не изменяет сложного характера их движения, инфинитного в плоскости XL) , и потому сводится лишь к появлению численного множителя порядка І в монотонной части электропроводности образца. К немонотонному поведению О как функции поля Н и толщины d4 приводит осцилляционная зависимость энергии Д& от поля Н и координат Z — ( ) той части электронов, которые не взаимодействуют с широкими гранями проводника и участвуют в процессах переброса (рис. 13).
Осциллирующую часть тензора электропроводности влр легко получить из выражения (4.3), в котором функцию J -необходимо записать в виде
Из формулы (4.12) следует, что в области "слабых" магнитных полей ( ZZA dz, ), электроны с диаметром орбиты Zli , рав ным малому размеру ленточного проводника q , являются выде ленными. Небольшая часть носителей заряда с диаметром 2 ,± » близким размеру а% , формирует осцилляцион-ную зависимость с периодами, обусловленными дрейфом электронов первой и второй полости ПФ на сечениях 2pxS= d — . Амп-литуда этих осцилляции существенно зависит от вероятности процессов переброса Предположим теперь, что величина сильного магнитного поля Н принимает значение Н о , при котором наибольший диаметр орбиты электронов, участвующих в процессах переброса, равен малому размеру
В этом случае, как и в более сильных магнитных полях dj» 2.%І , электроны с 2р±о-2р оказываются выделенными, однако их вклад в размерный эффект Зондгаймера значительно меньше, это связано с тем, что в подынтегральном выражении (4.12) функция ц— У {Л имеет экстремум по переменной ОС , когда 2 4= d.2. . Допустим, что Н = Но » т.е. выделенными являются сечения ± р0 на поверхности Ферми. Дополнительная осцилляционная зави симость с периодом, определяемым скоростью дрейфа электронов ЛГ , і амплитуда которой пропорциональна 0.(0) и U)o , имеет вид G уменьшением магнитного поля вместо исчезнувших осцилляции с периодом, обусловленным наличием процессов переброса, появляются осцилляции с периодами, определяемыми скоростью дрейфа носителей заряда "\J$i и U$2 , амплитуда которых зависит от QL И U) либо от Q. и U)p и пропорциональна g _!L_.
1. Исследовано влияние многоканального зеркального поверхностного отражения электронов проводимости на гальваномагнитные характеристики тонких металлических проводников в условии эффекта Зондгаймера. Показано, что включение нового канала зеркального отражения приводит к возникновению в зависимости сопротивле -ния от величины магнитного поля и толщины образца осцилляции с новым периодом, определяемым смещением вдоль Н электронов, которые находятся на пороге включения дополнительного канала зер -кального отражения носителей заряда границей образца,
2. В условии эффекта Зондгаймера в ленточных проводниках, ширина которых меньше наибольшего диаметра орбиты электронов, участвующих в процессах переброса, появляется новый период осцил-ляции, определяемый величиной смещения вдоль Н электронов с диаметром орбиты, равным малой ширине вискера.
