Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Проблема рентгеновской дифракции в пленках с переменным градиентом деформации . 14
1.1 Кристаллические структуры с периодическим полем деформаций. 14
1.2 Рентгеновская дифракция в кристалле со сверхпериодом . 18
1.3 Динамическая теория дифракции в сверхрешетках. 21
1.4 Кинематическая теория дифракции в сверхрешетках. 46
1.5 Дифракция в кристалле с переходным слоем. 56
Глава II. Деформации и напряжения в многослойных эпитаксиальных системах . 65
2.1 Влияние пластической деформации подложки на профиль напряжений и критическую толщину эпитаксиальной пленки. 65
2.2 Идентификация гексагональной фазы в эпитаксиальной системе ОаР/7п(1У )8. 78
Глава III. Динамическая дифракция в периодических структурах . 93
3.1 Концепция единой параметризации в проблеме описания дифракции в сверхрешетках. 93
3.2 Влияние градиента деформации между слоями сверхрешеток на динамические эффекты рентгеновской дифракции. 100
3.3 Динамическое рассеяние рентгеновских лучей в сверхрешетке с различными толщинами слоев в периоде. 107
3.4 Динамическая рентгеновская дифракция в сверхрешетках с различным градиентом деформации в переходной области. 119
Глава IV. Особенности дифракции в кристаллах с переменным градиентом деформации, следующие из характеров решений уравнений Такаги . 127
4.1 Структура с переменным градиентом деформации. 132
4.2 Структура с периодическим полем деформации . 135
Г лава V. Динамическая рентгеновская дифракция в кристаллах с монотонным градиентом деформации . 140
5.1 Динамическая рентгеновская дифракция в кристалле с экспоненциальным градиентом деформации. Точное аналитическое решение и основные качественные
особенности волнового поля. 140
5.2 Динамическая дифракция в случае резкого градиента деформации. 148
5.3 Расчет равномерно пригодных разложений для
вырожденных гипергеометрических функций. 157
5.4 Новые точные аналитические решения рентгеновской динамической дифракции в кристаллах с переменным градиентом деформации . 163
5.5 Полу кинематическая теория резкоасимметичной дифракции на бикристалле. 170
Глава VI. Экспериментальные методы анализа упругонапряженного состояния и переходных слоев многослойных гетероструктур . 180
6.1 Рентгенодифрактометрический способ определения всех компонент полного тензора деформаций. 180
6.2 Расчет упругих напряжений и концентрации твердого раствора в гетероструктурах по измеренным деформациям. 188
6.3 Рентгенодифракционный способ определения характеристик эпитаксиальных структур. 191
6.4 Рентгенодифракционный способ определения параметров многослойных гетероструктур. 197
6.5 Характер рентгенодифракционного рассеяния и определение структурных параметров пленки с переменным градиентом деформации. 206
6.6. Рентгенодифрактометрическое определение статического фактора в пленках с градиентом деформации. 212
Заключение и основные результаты. 218
Литература. 2
- Рентгеновская дифракция в кристалле со сверхпериодом
- Идентификация гексагональной фазы в эпитаксиальной системе ОаР/7п(1У )8.
- Структура с периодическим полем деформации
- Новые точные аналитические решения рентгеновской динамической дифракции в кристаллах с переменным градиентом деформации
Введение к работе
Диссертация посвящена теории динамической рентгеновской дифракции в кристаллических структурах с переменным градиентом деформации по глубине и ее применению для анализа гетероструктур и сверхрешеток.
Актуальность.
Важнейшие достижения дифракционной рентгеновской кристаллооптики связаны с теоретическим изучением динамического рассеяния деформированным кристаллом. Искажения, вносимые деформационным полем в кристалл, рассматриваются при этом как достаточно малые, так что сохраняются динамические эффекты взаимодействия между падающей и дифрагированной волнами. Наиболее значимые результаты связаны с изучением таких профилей деформационных полей, которые чаще всего отвечают реальным искажениям решетки кристалла в эпитаксиаль-ных композициях. К таким задачам относится динамическая дифракция в кристаллах с постоянным градиентом деформации. Исторически эта задача первой после идеального кристалла получила полное аналитическое решение (П.В.Петрашень, 1977; Ф.Н.Чуховский, 1978).
Однако наиболее практически важные случаи далеко не исчерпываются деформационными полями с постоянным градиентом деформации. Тенденции развития полупроводниковой микроэлектроники привели к тому, что основой современных приборов все в большей степени становятся сложные многослойные эпитаксиальные композиции весьма совершенной структуры. В связи с этим основными объектами исследования становятся многослойные эпитаксиальные системы. Поскольку по комплексу возможностей и объему получаемой информации рентгено-дифракционный (РД) метод остается вне конкуренции, то ясно, что актуальным является развитие динамической теории дифракции в таких структурах.
Задачи динамической дифракции в кристалле с переменным градиентом деформации можно условно разделить на два направления.
К первому направлению относится анализ дифракционных явлений, происходящих в кристалле с периодическим полем деформаций — сверхрешетке (СР). Такая периодичность может получена различными способами. Для динамической дифракции в СР существуют общие закономерности, справедливые для СР любой природы. Эти закономерности позволяют проводить определенные аналогии с динамическим рассеянием рентгеновской волны в идеальном кристалле и, в конечном итоге, сводятся к математическим аспектам теории распространения волн в периодических средах. Такое исключительное положение отчасти объясняет ус-
пехи в последовательном анализе дифракционных явлений в СР и распространение подходов, развитых первоначально в рентгеновской кристаллооптике идеальных кристаллов. Так, теория Эвальда-Лауэ получила свое развитие при анализе динамической дифракции на ультразвуковых СР, в процессе которого был обнаружен ряд новых интерференционных явлений, в частности рентгеноакустический резонанс (И.Р.Энтин, 1977). В то же время, для эпитаксиальных СР был развит подход, основанный на построении рекуррентных соотношений между амплитудными коэффициентами отражения и прохождения от отдельных слоев СР, что является прямой аналогией дарвиновского формализма (А.В.Колпаков, 1983; Д.М.Варданян, 1985). Наряду с указанными подходами было развито направление, базирующееся на анализе качественных особенностей поведения решений уравнений Такаги для СР (Ю.П.Хапачев, 1977).
Второе направление до настоящего времени было представлено практически одной точно решаемой задачей динамической дифракции в двухслойной структуре с переходным слоем (Ю.П.Хапачев, 1984). Эта задача создает основные предпосылки к формированию нового направления в рентгеновской кристаллооптике - динамической теории дифракции в кристаллах с переменным монотонным градиентом деформации.
Современные методы эпитаксиального выращивания гетерострук-тур (ГС) позволяют получать кристаллические системы с практически любым наперед заданным профилем. Кроме того, существует также возможность самопроизвольного искажения кристаллической решетки вследствие генерации дислокаций на гетерогранице в процессе роста пленки, влияния сетки дислокаций в подложке и ряда других причин. Наиболее интересной и важной из таких причин представляется возможность генерации новой кристаллической фазы как одного из механизмов релаксации напряжений несоответствия, возникающих при сопряжении слоев с различными параметрами решетки. Такую ситуацию с точки зрения теории упругости можно интерпретировать как возникновение дополнительной собственной деформации в структуре, влекущей за собой изменение профиля полной деформации, которая и измеряется в РД эксперименте. В связи с этим становится ясной актуальность развития динамической теории дифракции в структурах с переменным градиентом деформации, и, в частности, поиск новых точных аналитических решений для модельных профилей деформации.
Решение этих проблем позволило бы аналитически исследовать как конкретные особенности динамической дифракции для рассматриваемых моделей, так и общие свойства волнового поля в кристалле, то есть экстраполировать полученные закономерности на целый класс профилей деформации с монотонным градиентом.
Цель работы.
-
Разработка теоретических основ динамической теории дифракции для ряда новых моделей с переменным градиентом деформации, представляющих теоретический и практический интерес.
-
Анализ возможностей определения структурных характеристик деформированных слоев по данным рентгеновской дифракции.
-
Обобщение метода зонных диаграмм в динамической теории дифракции в эпнтаксиальных СР. Обоснование в связи с этим введения новых физических параметров, связанных с общими особенностями когерентного рассеяния в СР.
Научная новизна.
-
Найдены точные аналитические решения задачи динамической дифракции в кристалле с профилем деформации \lz и .
-
На основе точного аналитического решения задачи динамической дифракции с экспоненциальным градиентом деформации проанализирован случай резкого градиента. Показано, что в этом случае возможна потеря информации о структурных параметрах деформированной области при их определении по РД данным.
-
Показано, что для адекватного описания процесса динамической дифракции помимо известного отношения периода СР к длине экстинк-ции Ле.т, необходимо ввести новый универсальный параметр - параметр когерентности. Этот параметр связан с общим характером взаимодействия дифракционных полей в СР, в частности, от него одинаковым образом зависят ширины сателлитов для любых моделей СР.
-
Для рассмотрения различных моделей СР впервые введена новая характеристика - "степень динамичности", в которой содержится информация о ширине размытой области между слоями СР.
-
Впервые влияние структурных параметров СР и дифракционных условий на вид кривой дифракционного отражения (КДО) описывается как совокупное независимое действие "внешних" факторов, общих для любых моделей СР, и связанных с особенностями динамического рассеяния на кристалле как целом, и "внутренних" факторов, определяющих специфические особенности конкретных моделей СР, в частности, градиента деформации в переходной области между слоями СР.
-
Для анализа динамической дифракции в кристалле с переменным градиентом деформации использованы качественные методы математической теории устойчивости. Показано, что угловая область полного дифракционного отражения такая же, как от идеального кристалла, и не зависит от параметров нарушенного слоя.
Научная и практическая значимость работы.
Развитые в диссертации теоретические методы позволяют с общих позиций анализировать особенности дифракционных явлений в кристаллах с переменным градиентом деформации. Теоретические оценки, полученные при анализе конкретных вариантов соотношений между структурными параметрами, позволяют ввести принципиальные ограничения на возможность определения характеристик деформированного слоя по угловым положениям основного дифракционного максимума и интерференционных максимумов, то есть невозможности решения в общем случае обратной задачи дифракции даже для модельных профилей.
Разработанный в диссертации подход к решению задач динамической дифракции в структурах с переменным градиентом деформации позволяет с единых позиций получать все известные точные аналитические решения, а также служит теоретической базой для дальнейших обобщений, в частности, на структуры с переменной электронной плотностью по толщине.
Теоретически обосновано, что для адекватного описания динамической дифракции в СР требуется привлечение некоторого минимального набора специфических параметров, зависящего от особенностей модели СР. Каждый из этих параметров несет вполне определенный физический смысл. Установленные качественные закономерности имеют общий характер и справедливы для произвольных моделей СР.
Ряд теоретических и экспериментальных методов, развитых в диссертации, использованы в технологическом процессе для контроля качества получаемых многослойных ГС. Часть результатов работы получены при выполнении гранта № 94-7.10-3034 программы "Университеты России" и гранта № 98-02-16151 РФФИ.
Главные защищаемые положения.
-
Угловая область полного дифракционного отражения от кристалла с переменным градиентом деформации, удовлетворяющей условию заданной скорости затухания на бесконечности, совпадает с аналогичной областью от идеального кристалла и не зависит от структурных параметров деформированной области.
-
Динамическая дифракция от кристалла с переменным градиентом деформации описывается определенным набором специфических параметров. Основным (глобальным) параметром, определяющим характерный "масштаб" дифракционной задачи, является отношение деформации на поверхности кристалла к приведенной обратной эффективной толщине деформированного слоя при учете конкретных условий дифракции.
-
Адекватное описание динамического рассеяния в СР требует введения некоторого минимального числа параметров, связывающих геометрические характеристики волновых векторов падающей и отраженной волн и структурные параметры периодического поля деформаций в кристалле. Самыми общими параметрами являются амплитуда деформации и период СР, а также характерный безразмерный масштаб области формирования волнового поля в кристалле, который определяется отношением периода СР к длине экстинкции.
-
В случае резкого градиента деформации в кристалле с переменным градиентом деформации связь между структурными параметрами деформированного слоя — амплитудой деформации и толщиной слоя -оказывается нелинейной и неоднозначной. Если при этом деформация на поверхности кристалла много больше толщины нарушенного слоя, происходит эффект "забывания" амплитуды деформации, когда угловое положение основного дифракционного максимума и осцилляции оказывается зависящим только от толщины деформированной области. Тем самым устанавливается качественный критерий разрешимости задачи определения структурных параметров деформированного слоя по данным рентгеновской дифракции.
Апробация работы.
Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях, совещаниях и семинарах:
-
Всесоюзная конференция "Динамическое рассеяние рентгеновских лучей искаженными кристаллами". Киев, 1984.
-
Всесоюзное совещание "Проблемы рентгеновской диагностики несовершенства кристаллов". Ереван, 1985.
-
Всесоюзная конференция "Физические методы исследования поверхности и диагностики материалов и элементов вычислительной техники". Кишинев, 1986.
-
Республиканский семинар "Рентгенодифракционные исследования объемных искажений в кристаллах". Одесса, 1986.
-
II Всесоюзное совещание по межвузовской комплексной программе "Рентген". Черновцы, 1987.
-
IV Всесоюзное совещание по когерентному взаимодействию излучения с веществом. Юрмала, 1988.
-
Всесоюзная конференция "Динамическое рассеяние рентгеновских лучей в кристаллах с динамическими и статическими искажениями". Ереван, 1988.
-
III Всесоюзное совещание по межвузовской комплексной программе "Рентген". Черновцы, 1989.
-
XII Европейская кристаллографическая конференция. Москва, 1989.
10.11 Межреспубликанский семинар "Современные методы и аппаратура рентгеновских дифрактометрических исследований материалов в особых условиях". Киев, 1991.
-
Международная конференция "Интерференционные эффекты в рент-генодифракционном рассеянии". Сателлитный конгресс XVI Международного кристаллографического конгресса. Москва, 1995.
-
III Европейский симпозиум по рентгеновской топографии и высокоразрешающей рентгеновской дифракгометрии. Палермо, Италия, 1996.
-
Национальная конференция по применению рентгеновского, синхротронного излучений, нейтронов и электронов. Москва-Дубна, 1997.
-
IV Европейский симпозиум по высокоразрешающей рентгеновской дифрактометрии и топографии. Дархэм, Англия, 1998.
15.11 Национальная конференция по применению рентгеновского, синхротронного излучений, нейтронов и электронов для исследования материалов.. Москва, 1999.
Публикации.
По материалам диссертации опубликовано 43 работы. Основные результаты диссертации опубликованы в работах, список которых приведен в конце автореферата.
Объем и структура диссертации.
Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и основных результатов, изложенных на 241 странице текста, включающих 32 рисунка и 11 таблиц. В конце диссертации приведен список литературы из 183 наименований.
Рентгеновская дифракция в кристалле со сверхпериодом
Для рассмотрения различных моделей СР впервые введена новая характеристика - "степень динамичности", в которой содержится информация о ширине размытой области между слоями СР.
Впервые влияние структурных параметров СР и дифракционных условий на вид кривой дифракционного отражения описывается как совокупное независимое действие "внешних" факторов, общих для любых моделей СР и связанных с особенностями динамического рассеяния на кристалле как целом, и "внутренних" факторов, определяющих специфические особенности конкретных моделей СР, в частности, градиента деформации в переходной области между слоями СР.
Для анализа динамической дифракции в кристалле с переменным градиентом деформации использованы качественные методы математической теории устойчивости. Показано, что угловая область полного дифракционного отражения такая же, как от идеального кристалла и не зависит от параметров нарушенного слоя.
Научная и практическая значимость работы. Развитые в диссертации теоретические методы позволяют с общих позиций анализировать особенности дифракционных явлений в кристаллах с переменным градиентом деформации. Теоретические оценки, полученные при анализе конкретных вариантов соотношений между структурными параметрами, позволяют ввести принципиальные ограничения на возможность определения характеристик деформированного слоя по угловым положениям основного ди- - фракционного максимума и интерференционных максимумов, то есть невозможности решения в общем случае обратной задачи дифракции даже для модельных профилей.
Разработанный в диссертации подход к решению задач динамической дифракции в структурах с переменным градиентом деформации позволяет с единых позиций получать все известные точные аналитические решения, а также служит теоретической базой для дальнейших обобщений, в частности, на структуры с переменной электронной плотностью по толщине.
Теоретически обосновано, что для адекватного описания динамической дифракции в СР требуется привлечение некоторого минимального набора специфических параметров, зависящего от особенностей модели СР. Каждый из этих параметров несет вполне определенный физический смысл. Установленные качественные закономерности имеют общий характер и справедливы для произвольных моделей СР.
Ряд теоретических и экспериментальных методов, развитых в диссертации, использованы в технологическом процессе для контроля качества получаемых многослойных гетероструктур. Часть результатов работы получены при выполнении гранта № 94-7.10-3034 программы "Университеты России" и гранта № 98-02-16151 РФФИ.
Главные защищаемые положения.
1. Угловая область полного дифракционного отражения от кристалла с переменным градиентом деформации, удовлетворяющей условию заданной скорости затухания на бесконечности, совпадает с аналогичной областью от идеального кристалла и не зависит от структурных параметров деформированной области.
2. Динамическая дифракция от кристалла с переменным градиентом деформации описывается определенным набором специфических параметров. Основным (глобальным) параметром, определяющим характерный "масштаб" дифракционной задачи, является отношение деформации на поверхности кристалла к приведенной обратной эффективной толщине деформированного слоя при учете конкретных условий дифракции.
3. Адекватное описание динамического рассеяния в СР требует введения некоторого минимального числа параметров, связывающих геометрические характеристики волновых векторов падающей и отраженной волн и структурные параметры периодического поля деформаций в кристалле. Самыми общими параметрами являются амплитуда деформации и период СР, а также характерный безразмерный масштаб области формирования волнового поля в кристалле, который определяется отношением периода СР к длине экстинкции.
4. В случае резкого градиента деформации в кристалле с переменным градиентом деформации связь между структурными параметрами деформированного слоя - амплитудой деформации и толщиной слоя - и угловым положением дифракционного максимума оказывается нелинейной и неоднозначной. Если при этом деформация на поверхности кристалла много больше толщины нарушенного слоя, происходит эффект "забывания" амплитуды деформации, когда угловое положение основного дифракционного максимума и осцилляций оказывается зависящим только от толщины деформированной области. Тем самым устанавливается качественный критерий разрешимости задачи определения структурных параметров деформированного слоя по данным рентгеновской дифракции.
Идентификация гексагональной фазы в эпитаксиальной системе ОаР/7п(1У )8.
Из (2.5), (2.6) видно, что в отличие от [139] положение нейтралей в подложке определяется не только соотношением толщин пленки и подложки, но и соотношением г0р! и (30, а также I и Н. Анализ формул (2.5), (2.6) показывает, что в процессе роста пленки в зависимости от величины г0р!ф0 возможен различный характер изменения положения нейтралей в подложке. В предельном случае, когда гб0р1« ро, нейтрали /И и 52 практически сливаются между собой и их положение в зависимости от толщины пленки совпадает с известным [139] (рис. 11, кривая 1). В другом предельном случае, когда г0р1» Р0, наблюдается аналогичный характер зависимости г (к), однако при этом в подложке существуют две нейтрали.
В случае г0р!ф0 1 наблюдается наиболее сложный характер зависимости На рис. 11 приведены кривые г к) для ЭС 0е/(001)0е (Р0 = 4.5-10“5, Н= 200 мкм). Кривые 2 и 3 соответствуют значениям / = 10 и 20 мкм, при этом 80р/ = 2-10”5. Анализ кривых 2 и 3 показывает, что в начальный момент эпитаксиального роста до определенной толщины И в подложке существуют две нейтрали. При этом, как видно из рис. 11 (например, кривая 3), в области, где дислокации отсутствуют, в начальный момент роста пленки положение нейтрали 52 меняется слабо. Однако при достижении пленкой некоторой толщины, нейтраль 52 достаточно быстро смещается в сторону нижней поверхности ЭС и выходит за ее пределы. При дальнейшем росте пленки нейтраль в этой области отсутствует и вновь появляется лишь при достижении пленкой определенной толщины ИХарактерно, что это появление нейтрали происходит вблизи области / и с дальнейшим ростом пленки достаточно быстро приближается к значению, соответствующему положению нейтрали, рассчитанному без учета пластической деформации. Отметим также, что интервал толщин пленки. При ко- тором нейтраль S2 отсутствует, тем больше, чем шире область /. В начальный момент роста пленки в области сосредоточения дислокаций / появляется дополнительная нейтраль S1. В процессе роста ее положение меняется слабо, приближаясь к нижнему краю области /, и при толщине пленки h " выходит за ее пределы.
Отметим, что, как и следовало ожидать, в ЭС нет такого состояния, когда бы в подложке отсутствовали обе нейтрали 1 и S2 одновременно, то есть обеспечивается непрерывный переход нейтралей из одной области в другую.
Таким образом, наличие пластической деформации подложки приводит к качественно иному характеру зависимости zsi(h). Более того, в ряде случаев вследствие перераспределения напряжений в подложке появляется дополнительная нейтраль S1. Все это естественно должно влиять на расчет критической толщины пленки, при которой возможно формирование как ДН на ГР, так и ДС вблизи нейтралей. Кроме того, поскольку положение нейтралей в процессе роста пленки значительно меняется, то ДС, образующиеся вблизи нейтралей, могут иметь сложное распределение по толщине подложки.
Согласно рассматриваемому механизму Мэттьюза критическая толщина пленки, при которой начинается образование ДН на ГР, определяется из условия равенства энергии образования отрезка ДН AEd изменению энергии упругой деформации при скольжении дислокации АЕе.
В общем случае AEd при смещении дислокации на расстояние АХ определяется общим выражением [144]: ВЪЪ АЕ, - AX -JLJ-J-\n 4л; где В1р1Ь] - энергетический фактор дислокации; Я - верхний радиус обрезания дислокации; г0 - параметр ядра дислокации (г0 Ь). Для рассматриваемой на- ми 60-градусной дислокации типа {111} - 110 , участвующей в механизме Мэттьюза, выражение для приведено в [144]. Если взаимодействием между дислокациями можно пренебречь, то величина 7? есть кратчайшее расстояние от ГР или нейтрали до ближайшей свободной поверхности.
В общем случае АЕ при смещении элемента линии дислокации на расстояние АУ представляет собой работу скалывающего напряжения ст/Г): (2.8) где АА = АА йЬ/соБф - элемент плоскости скольжения, пройденный дислокацией. Из (2.7) и (2.8) с учетом (2.3) получим основную формулу для расчета критической толщины пленки (2.9) Для расчета кс принципиальным моментом является корректный выбор пределов интегрирования в (2.9). Механизм Мэттьюза предполагает, что изгиб проросшей дислокации и ее последующее скольжение при достижении пленкой величины Ъс происходит под действием одного знака. Исходя из этого выбор пределов интегрирования в (2.9) производится следующим образом.
Для расчета кс, при которой образование ДН на ГР происходит путем скольжения проросшей дислокации в пленке, интегрирование в (2.9) проводится по толщине пленки. Такой расчет кс был проведен в [29] для 0е/(001)0е, содержащей 60-градусные дислокации ст [ПО], Ь [101], скользящие в плоскости (11 1) (Н = 200 мкм, Ь = 4 А, г0 да 4 А). Законы/ ) и/ -г) приведены соответственно на рис. 10, а, б. На рис. 12, а представлены графики /гс(Р0) для ряда значений е0р1 при к0 = I = 0. На рис. 12, а видно, что в изотропном приближении при г0р1 — 0 зависимость /гс(Р0) (кривая 1) совпадает с полученной в [143].
Структура с периодическим полем деформации
Построение зон устойчивых и неустойчивых решений системы Такаги, как и в [39, 40] проведем методом, изложенным в [107]. Согласно [107] получим для случая а Ъ уравнение, задающее в неявном виде переходные по -у верхности в пространстве (к0, к, р): (3.17) где Здесь к (0 - 9В) - угловая переменная. Приближенное решение трансцендентного уравнения (3.17) можно найти в виде ряда теории возмущений, при условии малости одного из параметров. В случае прямоугольной СР со сравнимыми толщинами слоев в периоде разло жение, как и в [39, 40], проводится по малому В,. Поскольку для квантоворазмерной СР в качестве параметра разложения выбирается величина \ц\ « 1 (3.16), то в этом случае ограничение , « 1 снимается в пределах выполнения предыдущего неравенства.
Зоны устойчивых И неустойчивых решений В пространстве (ко, к, для прямоугольной СР с а Ъ при р = 1/3 показаны на рис.21, а для квантоворазмерной СР ( а » Ь,р = 0,9) — на рис.22. Из рисунков видно, что при р — 1 происходит изменение переходных поверхностей, ограничивающих области устойчивых и неустойчивых решений. Геодезическая поверхность согласно
(3.14) не зависит от "внутренних" параметров. Результатом такого изменения является неравенство угловых ширин сателлитов, определяемых пересечениями геодезической поверхности с соответствующими переходными поверхностями. Кроме того, вся КДО смещается от положения, соответствующего симметричному случаю (р = 0), когда основной максимум расположен при к = 0, на величину -рЪ,.
Формулы для угловых ширин сателлитов А0(ш) для обоих рассматриваемых случаев приведены в таблице 6. Верхние знаки перед членами в квадратных скобках соответствуют сателлитам положительных порядков, нижние - отрицательных. Выражения для прямоугольной СР со сравнимыми толщинами слоев в периоде получены из (3.17) разложением по малому ,, а для квантоворазмерной СР — разложением по малому q при произвольном ,. Естественно, что первые при р — 1 (р — 0), а вторые при , — 0 дают одинаковое выражение, также помещенное в таблице 6. Здесь А0(О)1с1 - ширина основного максимума для идеального кристалла, определяемая по формуле (3.12).
Таким образом, общая область применимости указанных в таблице 6 выражений ограничена значениями q«lv \ \«\.
Проанализируем эти выражения. Рассмотрим два предельных случая: Т» Аех( и Т « Аех1. Первый случай формально соответствует полностью ди- Ошибка! Закладка не определена. намическому рассеянию. Однако при этом в выражении для угловой ширины сателлитов пропадает зависимость от Аех(: а значит эффект экстинкционного затухания в угловом интервале сателлита не определяет его ширину. В этом проявляется сходство с кинематической дифракцией. В то же время здесь не прослеживается полная аналогия с кинематической теорией, поскольку ширины сателлитов зависят от амплитуды деформации е0 - результат сугубо динамического характера рассеяния.
Если принять во внимание, что для СР характерной длиной является период Г, то случай Т « Аех1 номинально можно рассматривать как кинематический предел динамической теории. Однако, как видно из получаемой в симметричном случае Брэгга зависимости (3.20) определяющим является динамический характер рассеяния, поскольку А9(/т?) зависит здесь от АехГ Для интерпретации формулы (3.20) используем представление о СР как об идеальном кристалле с макроэлементарной ячейкой с параметром Г [120]. Сателлиты в таком случае рассматриваются как отражения высоких порядков Ь, определяемые по формуле (3.21). Перенормируя %н[, из (3.20) получим где N - число элементарных ячеек на периоде Т. В рамках такого представле- должна интерпретироваться как угловая ширина макси мума соответствующего порядка. Как видно из (3.22), представление [120] не может быть непосредственно распространено на случай динамической дифракции, поскольку помимо указанной величины в (3.22) входит амплитуда деформации е0. Кроме того, подобная интерпретация вообще возможна лишь в случае Т« Аех0 как это видно из сравнения формул (3.20) и (3.22).
Таким образом, рассмотрение дифракции рентгеновских лучей в модулированных структурах, основанное на наглядных представлениях, далеко не всегда может оказаться адекватным реальным физическим процессам, а в ряде случаев может приводить просто к неправильным результатам.
Как видно из таблицы 6, в пределе — 0 (/? — 1) угловые ширины сателлитов стремятся к нулю. Выражение для ширины основного максимума квантоворазмерной СР переходит при 7 —» 0 в формулу для ширины дифракционного максимума от идеального кристалла Ад(0)ш. При этом основной максимум смещается на величину - , относительно углового положения к = 0. Таким образом, при д —» 0 происходит непрерывный переход в К ДО от идеального кристалла.
Новые точные аналитические решения рентгеновской динамической дифракции в кристаллах с переменным градиентом деформации
При выводе (5.23) было принято во внимание, что динамические эффекты проявляются в основном лишь в пределах области ПДО, поэтому уже практически при п 2 можно использовать кинематическое приближение [162].
Таким образом, основной и осцилляционные дифракционные максимумы в обоих предельных вариантах смещаются по-разному. Это обстоятельство позволяет для реального эксперимента во-первых, выяснить характер рассеяния (кинематический или динамический), а во-вторых, в ряде случаев оценить амплитуду и градиент деформации. Действительно, комбинируя формулы (5.21) и (5.24), а также (5.21) и (5.24), можно получить выражения, связывающие относительные угловые положения основного и ближайших осцилляционных дифракционных максимумов как для толстых "динамических", так и для тонких "кинематических" кристаллов.
Представляет интерес интерпретация полученных соотношений для угло 22, вого смещения основного дифракционного максимума. В случае — 1 из формулы (5.21) [53] и из приведенной выше оценки интегральных тригонометрических функций следует, что угловое смещение оказывается пропорциональным величине Здесь в качестве меры амплитуды деформации 80 принята величина несоответ точно большой глубине, а п — число отражающих атомных плоскостей, укла дывающихся на "эффективной" толщине г. Первый сомножитель в (5.25) дает полный набег фазы дифракционной волны на толщине г, а второй сомножитель можно интерпретировать как нормировочную константу, определяющую характерный масштаб, на котором проявляются основные дифракционные эффекты, связанные с "нарушенным" приповерхностным слоем. Формулу (5.25) можно записать также в виде: откуда следует, что для кристалла с переменным градиентом деформации имеется качественное отличие от известного результата для модели кристалла с линейным изменением параметра решетки (постоянный градиент), для которого угловое положение дифракционного максимума определяется средней деформацией 5 . щение основного дифракционного максимума определяется следующим простой зависимостью: Ак (5.27)
Таким образом, в этом случае положение максимума оказывается не зависящим от амплитуды и градиента деформации, а определяется лишь "эффективной" толщиной деформированной приповерхностной области кристалла.
Соотношения (5.25) и (5.27) демонстрируют разные способы реагирования структуры волнового поля в кристалле на "возмущение", вызванное деформацией малой приповерхностной области, при различных соотношениях между параметрами деформированного слоя.
Первый вариант, отвечающий формуле (5.25), соответствует малому набегу фазы на характерной толщине г, и, как следствие, волновое поле в пределах углового интервала ПДО оказывается зависимым от всех структурных параметров деформированного слоя. Этот случай находится в согласии с обычными представлениями об информативности структуры КДО относительно деформированного состояния кристалла.
Во втором случае (формула (5.27)), согласно (5.21) [53], в0г » 7 и фаза дифрагированной волны многократно инвертируется на толщине нарушенного слоя. В результате такого процесса информация о начальных условиях "возмущения" теряется и в угловом положении основного дифракционного максимума оказывается заложена лишь наиболее общая информация об эффективной толщине деформированного слоя. Иными словами, система "забывает" о деталях начального "возмущения" и сохраняет лишь одну характерную величину - эффективную толщину. Таким образом, этот случай в определенном смысле подобен марковскому процессу.
Интересно отметить, что аналогичные выводы можно получить и при рассмотрении задачи дифракции в так называемом полукинематическом приближении, когда приповерхностный нарушенный слой кристалла считается рассеивающим кинематически, а подложка рассеивает как идеальный динамический кристалл. В [166] при решении такой задачи были получены соотношения, связывающие фурье-трансформанту КДО вдали от основного максимума с некоторой эффективной толщиной и средней величиной изменения параметра решетки нарушенного слоя. Используя эти соотношения, можно показать, что в первом из указанных выше характерных пределов (неполное инвертирование фазы) эффективная толщина зависит от параметров нарушенного слоя, и, таким образом, оказывается возможным их восстановление по виду КДО. С другой стороны, оценка интегрального соотношения, полученного в [166], для частного случая монотонного изменения деформации и нашего условия — » 1 (многократное инвертирование фазы), приводит к выводу, что параметр, названный в [166] эффективной толщиной, сводится лишь к глубине нарушенно- Ошибка! Закладка не определена. го слоя и не зависит от амплитуды деформации.
Такое соответствие позволяет предположить, что указанные закономерности рентгеновской дифракции не ограничиваются рассмотренной выше конкретной задачей, и присущи всем структурам с переменным градиентом деформации и монотонным изменением деформации по глубине.
Расчет равномерно пригодных разложений для вырожденных гипергеометрических функций. Рассмотрим задачу нахождения асимптотического представления вырожденной гипергеометрической функции вида зависимая переменная.
В пределе е — 0 функция (5.28) переходит в е2 . Чтобы явно учесть это обстоятельство, используем преобразование Куммера [165] с начальными условиями (5.31)
Для решения (5.30) используем метод многих масштабов, иначе именуемый методом разложения производной [158]. Основная идея метода состоит в следую щем. Искомое решение рассматривается как функция, зависящая не только от аргумента и е, но и от их комбинаций вида то есть вводятся новые независимые переменные Г = в"?. При этом, поскольку в по определению считается малой, то величины Г определяют характерные масштабы задачи, и исследование решения проводится на каждом из этих масштабов. Дифференциальные операторы, входящие в рассматриваемое уравнение, также разлагаются по степеням малого параметра в по правилу
Тем самым исходная задача с обыкновенным дифференциальным уравнением переходит в задачу с уравнением в частных производных. Решение получаемого уравнения ищется, как обычно, в виде ряда по степеням в:
Приравнивание коэффициентов при различных степенях г дает цепочку уравнений, последовательное решение которых позволяет найти функции Т1- и получить требуемое разложение. Дополнительные переменные используются для исключения секулярных членов в правых частях уравнений.
Нам однако потребуется некоторое обобщение стандартной процедуры. Такая необходимость обусловлена следующими причинами. Структура уравнения (5.30) такова, что каждый член в правых частях цепочки уравнений порождает се- кулярные члены в разложении (5.34), и в рамках обычного подхода мы оказываемся не в состоянии исключить их. Кроме того, как было показано выше, функция 7Д1, 1 - в; 0 описывает устойчивое решение исходной системы Такаги, а значит она должна быть ограничена как по аргументу, так и по параметрам. Обычное же разложение по степеням в очевидно не удовлетворяет этому требованию и должно быть заменено более общей последовательностью.
