Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Литературный обзор 11
1.1. Введение 11
1.2. Реологические свойства полимеров 12
1.3. Устойчивость сдвигового течения однородных полимеров 16
1.3.1. Кривая течения и структура экструдата 16
1.3.2. Пристенное скольжение полимеров 20
1.3.2.1. Экспериментальные методы измерения пристенного скольжения 20
1.3.2.2. Физические механизмы пристенного скольжения 23
1.3.3. Теоретические представления об устойчивости течения однородных полимерных жидкостей в ограниченных каналах 25
1.3.4. Влияние шероховатости стенок канала 26
1.4. Устойчивость двухслойных систем при сдвиговом течении 29
1.4.1. Экспериментальные исследования устойчивости слоистых систем 30
1.4.2. Теоретическое исследование устойчивости течения слоистых систем 34
1.4.2.1. Уравнения движения 34
1.4.2.2. Эпюра скорости базового течения 36
1.4.2.3. Гидродинамическая устойчивость слоистых систем вязких жидкостей 37
1.4.2.4. Устойчивость течения слоистых вязкоупругих жидкостей 43
1.4.3. Влияние межфазных граничных условий на сдвиговое течение стратифицированных систем 45
1.4.3.1. Влияние межфазного натяжения на устойчивость сдвиговых течений слоистых систем 45
1.4.3.2. Влияние межфазного скольжения на течение слоистых полимеров 46
1.5. Деформационное поведение и устойчивость одиночной капли в процессе течения 48
1.5.1. Деформация и распад однородной капли ньютоновской жидкости 48
1.5.2. Роль вязкоупругости 51
1.5.3. Численное моделирование деформационного поведения капли 52
1.5.4. Трехкомпонентная система 53
1.6. Выводы по главе 1 55
Глава 2. Методы численного моделирования течения многокомпонентных систем несжимаемых жидкостей 57
2.1. Обзор методов численного моделирования 57
2.2. Алгоритм численного моделирования сдвигового течения двухслойной системы несжимаемых жидкостей 63
2.2.1. Математическая формулировка проблемы 63
2.2.2. Процедура решения системы уравнений Навье-Стокса несжимаемой жидкости 66
2.3. Выбор параметров сетки 71
2.4. Тестирование алгоритма численного моделирования 73
2.4.1. Построение функции уровня для периодического начального возмущения 73
2.4.2. Реинициализация границы в форме окружности 75
2.4.3. Решение уравнение Пуассона методом FMG 77
2.5. Выводы по главе 2 78
Глава 3. Течение однородного вязкого слоя в канале с волнообразной стенкой 79
3.1. Пределы применимости линейного приближения 79
3.2. Методика решения задачи 83
3.3. Течение вязкого слоя в канале с волнообразной стенкой при граничных условиях прилипания 85
3.3.1. Сравнение численного моделирования с результатами линейной теории 85
3.3.2. Численное моделирование поля возмущений скорости течения в канале с волнообразной стенкой 88
3.4. Особенности сдвигового течения вязкого слоя при скольжении относительно волнообразной стенки 92
3.4.1. Аналитическое решение задачи с пограничным слоем малой вязкости в линейном приближении 93
3.4.2. Численное моделирование течения вязкого слоя с пристенным скольжением 97
3.5. Выводы по главе 3 101
Глава 4. Динамическое структурирование двухслойных систем вязких жидкостей в процессе сдвигового течения 102
4.1. Дисперсионная зависимость параметра неустойчивости при малых возмущениях границы раздела слоев 103
4.1.1. Расчет скорости роста амплитуды возмущений 103
4.1.2. Зависимость параметра неустойчивости от волновогочисла 105
4.1.3. Пространственное распределение возмущений скорости 108
4.2. Формирование динамических структур в двухслойной системе при граничном условии прилипания слоев 114
4.2.1. Влияние начальной амплитуды периодических возмущений 114
4.2.2. Зависимость динамического структурирования межфазной границы от отношений вязкостей и толщин слоев 118
4.2.3. Влияние межфазного натяжения 126
4.2.4. Капиллярная неустойчивость «вязких пальцев» 129
4.3. Влияние межфазного скольжения на устойчивость течения двухслойной системы 131
4.3.1. Дисперсионное соотношение параметра неустойчивости двухслойной системы с межфазным скольжением 133
4.3.2. Формирование динамических структур в двухслойной системе с эффективным скольжением слоев на межфазной границе 135
4.4. Гидродинамическая неустойчивость границы раздела ньютоновской и степенной жидкостей при течении простого сдвига 137
4.5. Выводы по главе 4 142
Глава 5. Динамическое структурирование дисперсных систем при течении простого сдвига 144
5.1. Расчетная модель 144
5.2. Деформационное поведение однородной капли 145
5.3. Деформационное поведение и динамическое структурирование композитной капли 150
5.4. Выводы по главе 5 155
Заключение 156
Список литературы 158
- Теоретические представления об устойчивости течения однородных полимерных жидкостей в ограниченных каналах
- Влияние межфазного натяжения на устойчивость сдвиговых течений слоистых систем
- Тестирование алгоритма численного моделирования
- Сравнение численного моделирования с результатами линейной теории
Введение к работе
Актуальность исследования.
Динамическое поведение многокомпонентных жидких систем при сдвиговом течении представляет несомненный научный и практический интерес. Применительно к смесям термодинамически несовместимых полимеров это диктуется необходимостью формирования дисперсных или слоистых структур, которые обеспечивают заданный комплекс физико-механических свойств композитных материалов. Природа трансформации морфологии гетерогенной среды в процессе механической переработки определяется особенностями гидродинамической неустойчивости межфазных границ, которые зависят от режимов течения, реологических характеристик компонентов среды и условий на границе раздела фаз и стенках каналов. Теоретическое описание таких динамических процессов связано с решением нелинейных дифференциальных уравнений движения сплошной среды. Аналитические решения в общем случае могут быть получены лишь при малой амплитуде возмущений границ раздела и, следовательно, ограничены начальной стадией течения. В силу этого исследование закономерностей эволюции структуры гетерогенных жидких сред на развитых стадиях гидродинамической неустойчивости требует разработки и применения методов численного моделирования. Специфической особенностью полимерных жидкостей является возможность скольжения вдоль стенок каналов и на межфазных границах. Пристенное скольжение может инициировать потерю устойчивости течения полимера и тем самым ухудшать качество поверхности или формы экструдата. Вместе с тем в стороне оставался вопрос о роли пристенного скольжения на развитие возмущений скорости течения, вызванных шероховатостями или неровностями стенок канала. С другой стороны, в научной литературе не рассматривалось влияние межфазного скольжения на устойчивость сдвигового течения многокомпонентных полимерных систем. Механическая переработка трехкомпонентных смесей несовместимых полимеров и низкомолекулярных жидкостей может приводить к образованию композитных капель, включающих ядро и оболочку разных вязкостей. Такие структуры находят широкое применение в медицине и косметической промышленности в качестве средств доставки лекарственных препаратов и для увеличения ударной прочности композитов. Понимание закономерностей гидродинамического поведения композитных капель требует проведения комплекса исследований, включающих численное моделирование их структурирования в процессе сдвиговых течений. Таким образом, рассмотренные в диссертации вопросы динамического формирования морфологии слоистых и дисперсных систем при сдвиговом течении представляются важными и своевременными.
Целью работы является исследование методами численного моделирования закономерностей развития гидродинамической неустойчивости и структурирования двухслойных полимерных систем и композитных капель в процессе течения простого сдвига. В связи с этим рассматриваются следующие задачи: 1) разработка, отладка и реализация пакета программ для численного моделирования сдвигового течения многокомпонентных вязких и степенных несжимаемых жидкостей с произвольной формой границы раздела между фазами; 2) анализ распределений возмущений скорости течения простого сдвига вязкого слоя в ограниченном канале с твердой волнообразной стенкой при граничных условиях прилипания и пристенного скольжения; 3) расчет дисперсионной зависимости скорости роста амплитуды возмущений двухслойной системы вязких несжимаемых жидкостей при условиях прилипания и скольжения на границе раздела слоев; 4) исследование динамического структурирования двухслойных систем в процессе течения простого сдвига с учетом межфазного натяжения и относительного скольжения слоев; 5) численное моделирование гидродинамической устойчивости двухслойной системы степенной и ньютоновской жидкостей; 6) исследование влияния сдвигового течения на деформационное поведение и динамическое структурирование однородных и композитных капель;
Научная новизна.
В диссертационной работе впервые получены и выносятся на защиту следующие результаты:
Рассчитано поле возмущений скорости в однородном слое несжимаемой вязкой жидкости при течении простого сдвига в двухмерном канале с волнообразной стенкой произвольной амплитуды. Получено прямое доказательство существования инерционной адвекции среды и рассчитана дисперсионная зависимость инерционного смещения фазы волны возмущений в широком диапазоне безразмерного волнового числа.
Определены закономерности динамической эволюции формы профиля границы раздела фаз в двухслойной системе несжимаемых вязких жидкостей в процессе течения простого сдвига. Проведена классификация образующихся динамических структур («вязких пальцев») в зависимости от отношений вязкостей и толщин слоев.
Методом численного моделирования обнаружено, что в развитой стадии гидродинамической неустойчивости двухслойных систем вязких жидкостей межфазное натяжение приводит к образованию капиллярных волн, а их усиление инициирует распад «вязких пальцев», приводя к эмульсификации окрестности границы раздела слоев.
Доказано влияние эффективного межфазного скольжения на гидродинамическую устойчивость двухслойной системы вязких полимерных жидкостей при течении простого сдвига.
Исследованы закономерности развития динамических структур в двухслойной системе степенной и ньютоновской жидкостей при течении простого сдвига. Показано, что развитие возмущений на межфазной границе приводит к неоднородному изменению вязкости степенной жидкости и повышает скорость растяжения «вязких пальцев».
Установлены новые структурные эффекты, возникающие при сдвиговом течении двухмерных композитных капель. Среди них: 1) аномальное изменение формы композитной капли с высоковязким ядром и оболочкой малой вязкости, 2) деформирование и вращение слабовязкого ядра, инкапсулированного в более вязкой дисперсной фазе, 3) сегрегация компонентов термодинамически неравновесной композитной капли.
Практическая значимость. Полученные в диссертации результаты дополняют и развивают научные представления о закономерностях формирования морфологии слоистых и дисперсных систем несовместимых полимеров и низкомолекулярных жидкостей в процессе сдвиговых течений и могут быть использованы для оптимизации режимов переработки смесей полимеров и анализа их структуры. Разработанный комплекс программ может найти применение для решения прикладных задач механической переработки многокомпонентных систем и создания многослойных покрытий, а также в микрофлюидике для развития представлений о течении гетерогенных жидкостей в узких каналах.
Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. По теме диссертации опубликовано 13 печатных работ [235-247].
В первой главе дан литературный обзор современных экспериментальных и теоретических представлений о реологии и устойчивости одно-, двух-, и трехфазных полимерных жидкостей при сдвиговых течениях. Формулируются решаемые в работе задачи. Вторая глава посвящена разработке метода численного решения уравнений Навье-Стокса несовместимых вязких жидкостей. Анализируются преимущества и недостатки наиболее распространенных алгоритмов, дается обоснование используемого в диссертации метода численного моделирования, решается ряд тестовых задач для апробации работоспособности используемых на отдельных этапах методов расчета. В третьей главе рассматривается задача о сдвиговом течении вязкой несжимаемой жидкости в двухмерном канале с волнистой стенкой. Исследуется влияние пристенного скольжения на распределение стационарных возмущений скорости, дается обоснование эффекта инерционной адвекции. В основной четвертой главе работы проводится численное моделирование гидродинамической устойчивости двухслойной системы вязких и степенных полимерных жидкостей при течении простого сдвига. Особое внимание уделяется исследованию закономерностей динамического структурирования межфазной границы при условиях прилипания и скольжения слоев. В заключительной пятой главе исследуется деформационное поведение и структурирование однородных и композитных капель при сдвиговом течении дисперсной среды.
Благодарности
Автор глубоко признателен своему научному руководителю Станиславу Абрамовичу Патлажану за полезные советы, обсуждения и помощь в работе. Выражает благодарность коллективу лаборатории Уравнений состояния вещества отдела ЭСВ РШХФ РАН за предоставленный доступ к вычислительным ресурсам лаборатории и обсуждение вопросов применимости методов численного моделирования к решению широкого круга задач. Своей семье за терпение и поддержку.
Теоретические представления об устойчивости течения однородных полимерных жидкостей в ограниченных каналах
В ряде работ [76-79] было показано, что сдвиговые течения Куэтта и Пуазейля однородных вязкоупругих жидкостей, устойчивы при малых числах Рейнольдса. Вопрос о влиянии пристенного скольжения на гидродинамическую устойчивость был затронут в 1966 году в работе Пирсона и Петри [80]. На примере нескольких моделей скольжения было показано, что неустойчивость течения может возникать в случае, если на некотором интервале скорости скольжения выполняется неравенство dus/dcrs 0. Позднее это было подтверждено в работах [81,82]. Эти решения были использованы для объяснения физического механизма появления «акульей кожи» на поверхности экструдата. Наряду с этим немонотонные зависимости скорости скольжения расплавов полимеров от напряжения легли в основу объяснения появления осцилляции течения в режиме прилипание-скольжение, а так же гистерезиса кривой течения [69,83,84]. Коротковолновая неустойчивость сдвигового течения была предсказана в работе [85] применительно к жидкости Максвелла при монотонной зависимости us (as). Однако, использованная автором модель скольжения с памятью [80], приводит к нефизическому результату, предсказывающему возникновение ненулевой скорости скольжения в отсутствие макроскопического течения, что ставит под вопрос справедливость данной модели [86]. В работе [87] была выявлена взаимосвязь двойного лучепреломления с измеряемой скоростью скольжения концентрированных растворов полистирола. Данное наблюдение свидетельствует о зависимости скольжения от нормальных напряжений. Позднее было показано [88], что такая зависимость приводит к возникновению коротковолновой неустойчивости течения при Wi 10.
Полученные оценки частоты возмущений и критических значений напряжения и скорости сдвига согласуются с режимом течения, при котором на поверхности экструдата линейного полиэтилена образуется «акулья кожа» [89,90]. Таким образом, теоретический анализ показал, что сдвиговое течение полимера устойчиво при малых числах Рейнольдса и граничном условии прилипания к стенкам канала. В свою очередь, неустойчивые режимы течения были выявлены при возникновении немонотонной зависимости скорости скольжения от сдвиговых напряжений, а также при зависимости скольжения от нормальных напряжений. Выводы предыдущего раздела сделаны в предположении, что стенки канала являются плоскими и гладкими. Такое представление, однако, является идеализированным, ввиду того, что на поверхности стенок обычно имеют место шероховатости и неровности, которые могут приводить к срыву устойчивости течения, переносу энергии к стенкам канала [91] и более эффективному перемешиванию смесей [92]. Было установлено, что шероховатости могут стимулировать переход от ламинарного к турбулентному режиму течения при значительно меньших числах Рейнольдса, чем это наблюдается для относительно гладких стенок [93 95]. Тем не менее, экспериментальное исследование влияния шероховатости на устойчивость течения жидкостей затруднено из-за сложности воспроизведения однотипной шероховатости поверхности. Частично это может быть преодолено путем искусственной гравировки стенок канала [43,92].
Теоретические исследования влияния неровностей стенок синусоидальной формы на устойчивость сдвигового течения ньютоновской жидкости было предпринято в работах [96,97]. В линейном приближении было показано, что в этом случае срыв устойчивости действительно имеет место при меньших значениях критического числа Рейнольдса. При этом установлено, что с ростом амплитуды неровностей Recrit падает вместе с соответствующим ему критическим волновым числом. С другой стороны, на примере линейного анализа плоского течения сдвига показано [98], что неподвижная волнообразная стенка малой амплитуды приводит к образованию стационарного поля возмущений скорости в поперечном сечении канала. Характер распределения скорости зависит от волнового числа стенки к = 27г/Л. В частности, установлено, что длинноволновые возмущения проникают вплоть до верхней границы канала, тогда как коротковолновые локализуются вблизи волнообразной стенки. Для описания распределения возмущений скорости и вклада инерции были введены две характеристики [98]: где a i и сог - мнимая и действительная части циркуляции возмущений скорости на волнообразной стенке. Зависимости 8 и Reeff от безразмерных волнового числа а и вязкой длины /3, определенных, соответственно как
Влияние межфазного натяжения на устойчивость сдвиговых течений слоистых систем
В круге вопросов об устойчивости сдвиговых течений слоистых систем задача о влиянии граничных условий является одной из наиболее актуальных. В рамках линейной теории возмущений было установлено, что межфазное натяжение оказывает стабилизирующее воздействие на коротковолновые возмущения ньютоновских жидкостей и практически не влияет на длинноволновую неустойчивость [108,110]. На рис. 1.18 в координатах к-п приведена диаграмма нейтральной устойчивости, соответствующая сг= 0, при разных значениях коэффициента межфазного натяжения Г при Re = 10, га = 20 и г-\ [108]. Пунктирные линии отвечают случаю Г = 0. Видно, что увеличение межфазного натяжения приводит к расширению области устойчивости плоского течения Пуазейля. В то же время, в режиме длинных волн (&—»0) межфазное натяжение не влияет на устойчивость течения. Воздействие межфазного натяжения на кинетику развития «вязких пальцев» исследовалось в работе [140] путем численного моделирования плоского течения Пуазейля двухслойной системы вязких жидкостей. В качестве характеристики интенсивности возмущений использовался периметр Р границы раздела слоев в расчете на один период возмущений. На рисунке 1.19 показана эволюция Р при разных значениях числа Вебера We для следующих характеристик двухслойной системы: га = 10, « = 0.6 и Re2 = 5. Видно, что увеличение межфазного натяжения приводит к снижению скорости роста периметра. Очевидно, что это связано с замедлением процесса растяжения «вязкого пальца». В отличие от низкомолекулярных жидкостей, течение слоистых полимерных систем может сопровождаться скольжением на межфазной границе раздела.
На эту мысль в первую очередь наводят эксперименты по измерению вязкости многослойных полимерных смесей [151-153]. Ю.П. Мирошников, по-видимому, был первым, кто предположил, что аномально низкая эффективная вязкость коаксиальных композиций из 1111 и ПС может быть следствием скольжения на границе раздела фаз [151]. Литературные данные, систематизированные в работе [152], подтверждают, что вязкость /лех многослойных структур различных пар полимеров (ПЭВП-ПС, ПММА-ПС, ПЭВП-ПП, ПК-ПС, ПММА-ПА и др.) может быть значительно ниже среднего значения, рассчитанного по формуле log juav = (рх log jux + р2 log ju2, где p,, щ объемная доля и вязкость компонентов. Для ПК-ПС и ПММА-ПА относительное отклонение А= {Pav Мех) / Мех может достигать тысяч процентов. Эти данные коррелируют со значениями параметра Флори-Хаггинса X различных пар полимеров: чем выше % (мера термодинамической несовместимости полимеров), тем больше А, т.е. тем меньше измеряемое значение вязкости. Такое поведение объясняется малым взаимным проникновением несовместимых полимеров. Глубина проникновения имеет порядок s = ах хп (а — размер мономеров) [154], а вязкость jus такого промежуточного слоя определяется раузовской динамикой полимерных петель [7,155]. По оценке, выполненной в работах [156,157], последняя задается соотношением /,is jum(e / а) jumx ] (мт вязкость жидкости из мономеров). Отсюда следует, что чем больше параметр Флори-Хаггинса, тем меньше вязкость промежуточного слоя. С другой стороны, вспоминая формулу (1.8), находим / Є[лІ/JS a/j%l/2 [156,157]. Это значит, что с ростом степени несовместимости сопряженных полимеров длина скольжения / увеличивается, а вместе с ней возрастает разница скорости слоев на межфазной границе. Другими словами, на границе раздела несовместимых полимеров имеет место эффективное скольжение.
Согласно оценкам [152], для разных пар полимеров длина скольжения варьируется от 10 мкм для пары ПЭВП-ПС до 45 мкм для ПММА-ПА. Эти результаты нашли подтверждение в компьютерных экспериментах [158,159], выполненных методом молекулярной динамики. Помимо косвенного доказательства скольжения несовместимых полимеров методами вискозиметрии [151-153], был проведен ряд прямых экспериментов, подтверждающих скачок скорости на границе раздела фаз. К ним относятся, например, измерения, выполненные в работе [160] методом конфокальной микроскопии.
В результате измерен скачок скорости течения вблизи границы раздела слоев ПЭВП и ПС. С другой стороны, методом корреляционной рентгеновской спектроскопии было подтверждено существенное снижение вязкости межфазной границы раздела ПС и ПБС (поли-4-бром стирол) по сравнению с объемными вязкостями полимеров. [161]. Неустойчивость слоистых систем при сдвиговом течении приводит, в конечном счете, к формированию дисперсных систем из капель одной жидкости (дисперсная фаза) распределенных в дисперсионной среде [162]. Жидкие дисперсии и эмульсии находят широкое применение в пищевой и фармацевтической промышленности, при создании смазочных материалах, переработке нефтепродуктов, получении новых композиционных материалов из смесей термодинамически несовместимых полимеров и пр. По этой причине значительное число публикаций по гидродинамике гетерогенных ньютоновских и неньютоновских жидкостей посвящено изучению деформационного поведения и устойчивости отдельных капель при разных режимах течения. Одно из первых систематических исследований гидродинамического поведения изолированной вязкой капли при сдвиговом течении принадлежит Тейлору [163,164]. Им, в частности, рассчитана стационарная форма капли радиуса а при малых числах Рейнольдса. При течении простого сдвига такая капля превращается в эллипсоид с большой L и малой В полуосями. Деформация капли определяется соотношением D = {L-В)I(L + В), которое зависит от отношения вязкостей капли и окружающей жидкости, т = ju21 //,, следующим образом:
Тестирование алгоритма численного моделирования
Для проверки работоспособности и адекватности описанного алгоритма решения уравнений Навье-Стокса гетерогенных несжимаемых жидкостей, был рассмотрен ряд тестовых задач. В этом параграфе мы приводятся некоторые наиболее важные из проделанных тестов. Первый касается задания начальной функции уровня для синусоидального возмущения границы раздела фаз. Второй тест демонстрирует процедуру реинициализации функции уровня на примере решения уравнения Гамильтона-Якоби (2.11). Наконец, третий касается проверки правильности решения уравнения Пуассона для давления методом FMG. Он будет выполнен на примере известной задачи о распределении заряда заданной плотности в прямоугольной области. В задаче о гидродинамической устойчивости сдвигового течения двухслойной системы вязких жидкостей рассматривается эволюция периодического возмущения, заданного на границе раздела слоев. В начальный момент времени возмущение имеет форму синусоиды г] = AQ COS(X) (здесь введена безразмерная координата х = кх, которая изменяется в диапазоне О х їж). Требуется определить функцию уровня 0(х,ґ) в начальный момент времени. В выбранной системе координат ось х совпадает с невозмущенной межфазной границей (см. рис. 1.12). Применительно к периодическим возмущениям межфазной границы начальная функция расстояний ф{х, 0) может быть найдена геометрически при рассмотрении движения окружности, центр которой совпадает с границей раздела (рис. 2.4). В отличие от этого параллельный перенос периодического возмущения вдоль оси у не позволяет построить функцию расстояний, поскольку синусоида не совпадает с касательными к окружностям. Это связано с тем, что смещение выполнено не по нормали к межфазной границе, а вдоль оси у. Согласование кривых имеет место только в максимумах и минимумах синусоиды, нормали к которым совпадают с направлением вертикальной оси.
Для построения функции ф{х, 0) плоскопараллельный перенос границы раздела используется лишь для получения затравочной функции уровня, а затем проводится ее коррекция для удовлетворения уравнения (2.10). Для этого требуется выполнить процедуру реинициализации ф{х, 0) путем решения уравнения Гамильтона-Якоби (2.11) с начальным условием і(х,0) = ф(х,0). Отметим, что для правильной работы метода функции уровня необходимо, чтобы условие V0 = 1 выполнялось вблизи границы раздела на расстоянии, превышающем на несколько ячеек толщину переходного слоя є. Этот критерий может быть использован для остановки процедуры реинициализации. Тест на построение функции уровня применительно к периодически возмущенной границе раздела был выполнен для двух разных периодов возмущений на сетке с размерами 64x64 ячеек с отношением толщин нижнего и верхнего слоев равным 4. На рисунке 2.5 показана функция (х) в начальный момент г = 0 и после процедуры реинициализации (г = 6), где т - фиктивное время, используемое только в процедуре реинициализации (см. уравнение 2.11). Видно, что при т = 0 функция ф{х) не соответствует расстоянию до границы раздела в областях между пиками и впадинами. После проведения процедуры реинициализации к моменту г = 6 (х) приводится к виду, соответствующему функции расстояний. Отметим, что граница раздела (нулевой уровень функции ф) не изменяет своего начального положения. Проанализируем эффективность действия процедуры реинициализации функции уровня ф(х) при наличии шумов, которые могут возникать в процессе вычислений за счет накопления погрешностей. Очевидно, что последние влияют на точность расчета кривизны и нормали к границе раздела фаз (см. формулы (2.5)), которые используются в процессе решения уравнения Навье-Стокса (2.8) с учетом межфазного натяжения. С этой целью рассмотрим границу раздела в виде окружности, которая соответствует начальной форме двухмерных капель. Согласно определению (2.3), для невозмущенной окружности радиуса R функция уровня равна ф(х, у) = х2 + у2 -R = d . Она принимает отрицательные и положительные значения вне и внутри области, ограниченной окружностью, и строго равна нулю на самой окружности. В соответствии с идеей, изложенной в работе [221], ведем радиальные и угловые возмущения функции d на полосе шириной 8Г. где в = tan 1 (у / х). Для определенности положим R = 0.5 и " = 0.2. На рисунке 2.6а изображен градиент функции Vd соответствующий возмущению заданному условием (2.17). Для восстановления невозмущенной функции уровня решалось уравнение Гамильтона-Якоби (2.11) в расчетной области, покрытой равномерной прямоугольной сеткой размером 100x100 ячеек. Решение проводилось по методу
Сравнение численного моделирования с результатами линейной теории
Вначале остановимся на проверке адекватности предложенного в предыдущем параграфе подхода, который основан на замене твердой волнообразной стенки на сильновязкий слой 2 той же формы. С этой целью сопоставим результаты численного моделирования плоского течения Куэтта двухслойной системы с отношением вязкости слоев т = ju21 // = 1000 с соответствующим аналитическим решением задачи о течении монослоя в канале с твердой волнообразной стенкой малой амплитуды А = 0.05 (см. формулы (3.6)-(3.9)). Расчеты выполнены для трех значений вязкой длины /3 = 0.5,1 и 2 при безразмерной толщине канала а = 4. Результаты, представленные на рис. 3.5, показывают распределения горизонтальной и и вертикальной v проекций возмущений скорости в поперечных сечениях канала над гребнем х = 0 и над точкой перегиба х = п/2 волны. Видно, что численные (толстые кривые) и аналитические решения (тонкие кривые) хорошо согласуются друг с другом для всех рассмотренных значений (3. Это доказывает правомерность подхода, описанного в параграфе 3.2. Из рис. 3.5 следует, что увеличение параметра /3 (за счет роста вязкости или уменьшения плотности среды (см. определение 1.10)), приводит к увеличению глубины проникновения возмущений скорости совпадающих по фазе (синфазных) с волнообразной стенкой. С другой стороны, на рис. 3.5 наблюдается возмущение скорости в сечении х = 7г/2. Это свидетельствует о том, что в процессе сдвигового течения появляется дополнительная составляющая возмущений скорости, которая смещена относительно нижней стенки на 90 (напомним, что синфазная составляющая скорости равна нулю при х = ±л/2).
Согласно работе [98] данный эффект обусловлен инерционной адвекцией жидкости вдоль базового течения. В заключение рассмотрим влияние амплитуды волнообразной стенки на распределение возмущений скорости. На рис. 3.6 приведены результаты расчетов для и (у) в сечениях х = 0 и х — /г/2 при а=2и /3= 2 для трех разных амплитуд волны стенки, = 0.025, 0.05 и 0.1. Видно, что увеличение Д приводит к возрастанию как синфазных (черные кривые), так и смещенных на 90 (синие кривые) возмущений скорости. Это подтверждает интуитивные представления о том, что увеличение амплитуды неровностей стенки должно усиливать неустойчивость сдвигового течения на выходе из канала. Полнее понять закономерности сдвигового течения над волнообразной стенкой поможет анализ векторных полей возмущений скорости. Соответствующие результаты приведены на рис. 3.7 для тех же значений параметров а и /?, которые были рассмотрены при построении рис. 3.5. Видно, что возмущения скорости образуют периодические ячейки с противоположными циркуляциями: над гребнем волны они вращаются по часовой, а над впадиной - против часовой стрелки. Такое поведение согласуется с предсказаниями работы [137]. Детальный анализ векторных полей показывает, что возмущения скорости смещены по фазе относительно волнообразной стенки. Это можно видеть на примере горизонтального смещения центров вихрей относительно точки максимума волны стенки (см. рис. 3.7а). Видно, что с уменьшением вязкой длины /?, которое может быть обусловлено либо увеличением плотности, либо падением вязкости жидкости (см. определение (1.10)), величина горизонтального переноса возрастает. Это подтверждает инерционную природу адвекции жидкости, обсуждавшуюся в работах [98,137]. Рис. 3.7 также показывает, что с увеличением параметра /3 растет глубина проникновения возмущений скорости течения. Это согласуется с графиками, представленными на рис. 3.5. В силу этого для определения степени инерционной адвекции и глубины проникновения возмущений вглубь канала достаточно измерить координаты центра вихрей. Последние легко сделать численно исходя из того, что возмущение скорости в этой точке равно нулю (ср. рис. 3.7). Это позволяет с высокой точностью найти горизонтальное смещение Аде и вертикальную координату Ау центра вихря возмущений скорости относительно гребня волны стенки. Зависимости Ах и Ау от Р показаны на рис. 3.8 в виде символов для двух значений безразмерного волнового числа а. Для сравнения на этих же графиках приведены аналитические решения для глубины проникновения возмущений скорости 8 Д, (нормированной на амплитуду волны) и параметра инерционного переноса Re , заданных формулами (3.10) [98]. Рис. 3.8а демонстрирует хорошее количественное согласование численных и аналитических результатов для Ах и Reejf. Это означает, что измеренное горизонтальное смещение Ах циркуляции имеет тот же физический смысл, что и параметр Reeff, введенный в качестве характеристики инерционной адвекции. С другой стороны, рис. 3.86 демонстрирует качественное соответствие зависимости вертикальной координаты центра вихря с 8 А как функции вязкой длины: с увеличением /? координата Ау и величина 8-А асимптотически приближаются к постоянным значениям. Количественное отличие асимптотик объясняется разницей в определении глубины проникновения возмущений скорости. и Рис. 3.9.
Два способа определения глубины проникновения возмущений скорости течения. Действительно, согласно работе [98] величина 8 AQ равна вертикальной координате пересечения касательной д и\ с осью и = 0, так как в соответствии с определением (3.10) 8 = \у/и (А0)\ = у/А (последнее равенство вытекает из граничного условия прилипания жидкости к волнообразной стенке, U{AQ) = Ао+и (Аі)) = 0). Различие с нашим определением глубины проникновения скорости показано на рис. 3.9, откуда следует, что у 8-А . Это объясняет отклонение численных расчетов от результатов линейной теории, показанных на рис. 3.8. Несмотря на количественное различие, величины Ау и 8 А0 имеют тот же физический смысл, о чем свидетельствует их одинаковая зависимость от параметров а и 0. Таким образом, полученные численные решения для малой амплитуды волны нижней стенки согласуется с результатами линейной теории [98]. Они показывают, что в данном случае течение простого сдвига характеризуется двумя асимптотическими режимами: 1) при а \ и р а (длинноволновая
