Содержание к диссертации
Введение
1 Математическое моделирование электромагнитного поля в волноводе с биообъектом (двумерная модель) 11
1.1 Постановка краевой задачи 11
1.2 Применение метода интегральных уравнений к решению краевой задачи 18
1.3 Решение интегрального уравнения 22
1.4 Результаты численных расчетов 23
1.4.1 Рассеяние на диэлектрическом теле 30
1.4.2 Расчет электромагнитного поля в волноводе с биообъектом 36
2 Задача дифракции на неоднородности в волноводе в скалярном приближении (трехмерная модель) 46
2.1 Постановка краевой задачи 46
2.2 Сведение краевой задачи к интегральному уравнению 48
2.3 Алгоритм численного решения интегрального уравнения 55
2.4 Сходимость приближенного решения к точному 56
2.5 Результаты численных расчетов 59
3 Математическое моделирование теплового поля в волно воде с биообъектом 69
3.1 Постановка начально - краевой задачи 70
3.2 Алгоритм численного решения начально - краевой задачи . 71
3.3 Результаты расчетов 75
3.3.1 Расчет теплового поля при дифракции в волноводе на биообъекте 77
Заключение 80
Литература 82
- Применение метода интегральных уравнений к решению краевой задачи
- Рассеяние на диэлектрическом теле
- Алгоритм численного решения интегрального уравнения
- Алгоритм численного решения начально - краевой задачи
Введение к работе
Актуальность. Внимание к проблеме взаимодействия электро-
магнитного и теплового полей в диэлектрических средах продиктовано возможностями применения процессов, связанных с поглощением и преобразованием энергии электромагнитного поля. При нагреве диэлектрической среды за счет поглощения электромагнитного поля повышение температуры происходит по всему объему материала, поскольку распределение теплового поля в этом случае обусловлено распределением электромагнитного. Поэтому в ряде приложений, таких как, спекание керамики, сушка древесины, при создании высококачественной полимерной оптики и других такой способ нагрева может иметь преимущество перед традиционным конвективным способом. Такой подход позволяет также осуществлять равномерный и быстрый прогрев для размораживания законсервированных биологических тканей, не разрушая при этом клетки. Кроме того, в случае диэлектрика с существенно неоднородной структурой существует возможность местного прогрева. Так один из методов лечения онкологических заболеваний гипертермия основан на локальном повышении температуры поврежденной ткани. Требуемый температурный режим может быть осуществлен с помощью электромагнитных волн сантиметрового диапазона. Этим объясняется интерес к математическому моделированию электромагнитного и теплового полей в неоднородных поглощающих средах.
При моделировании электромагнитного поля актуальным является применение метода волноводного электромагнитного зондирования, предложенного как способ изучения свойств диэлектрических сред по характеристикам рассеянного электромагнитного поля. Используя возможность создания в волноводе направленного электромагнитного излучения относительно низкой интенсивности, метод может служить основой для решения целого ряда проблем, связанных с диагностикой неоднородной среды, как для медицинских, так и для радиофизических при-
ложений. Применение этого метода приводит к необходимости решения задачи дифракции электромагнитного поля на неоднородности в волноводах в строгой математической постановке.
Исследованию задачи дифракции в волноводе посвящено большое количество работ. Для численного решения были предложены различные методы. Весьма широкое применение получил предложенный А.Г. Свешниковым неполный метод Галеркина. Большой круг задач теории волноводов был решен на основе этого метода и ряда его модификаций в работах А.С. Ильинского, В.П. Моденова и других авторов. Несмотря на большую общность методов типа метода Галеркина, их использование требует рассматривать в качестве расчетной области часть волновода, заключенную между двумя его поперечными сечениями, в которой помещается рассеиватель. Однако, когда размеры рассеивателя малы по сравнению с размерами сечения волновода применение таких методов может быть не экономичным. Отметим, что в ряде приложений особый интерес представляет случай, когда размеры изучаемого объекта значительно меньше размеров волновода, в котором проводится исследование. Кроме того, в качестве рассеивателя могут рассматриваться существенно неоднородные среды, характеризуемые большим поглощением. Это привлекает внимание к методу интегральных уравнений, который позволяет рассматривать задачу только в области рассеивателя.
Применяются различные методы сведения исходной задачи к интегральному уравнению. В настоящей работе в связи с задачей расчета электромагнитного и теплового поля в неоднородном диэлектрическом теле применяется метод объемных интегральных уравнений.
Эффективное решение задачи рассеяния становится особенно актуальным при решении обратных задач, в частности, в диэлектрометрии определении диэлектрических характеристик среды по характеристикам рассеянного поля, а также различных задач синтеза, требующих многократного решения прямой задачи. При этом возрастают требования к точности и времени решения прямой задачи.
Для моделирования нагрева диэлектриков, в том числе биообъектов,
под действием электромагнитного поля необходима разработка алгоритмов эффективного вычисления теплового поля при поглощении электромагнитной энергии в неоднородных средах. Это требует строгой математической постановки начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности.
Предложены различные подходы к решению этого класса задач, в том числе конечно-разностные методы. Основным требованием к применяемому методу является его экономичность, т.е. условие пропорциональности числа операций, выполняемых при переходе с одного временного слоя на другой, числу узлов сетки. При этом, необходимо сохранение устойчивости метода. Подобными свойствами обладают различные разностные схемы расщепления, которые могут быть использованы при исследовании температурного поля в неоднородности под действием электромагнитного поля.
Цель работы
— Математическая постановка задачи о волноводном электромагнит
ном зондировании локально-неоднородной поглощающей диэлектриче
ской среды и о тепловом воздействии на нее электромагнитного поля.
Разработка алгоритма расчета распределения электромагнитного поля методом интегральных уравнений, двумерного (двумерная модель) и трехмерного (трехмерная модель).
Разработка алгоритма расчета распределения теплового поля конечно-разностным методом при решении уравнения теплопроводности.
Применение построенных алгоритмов при решении конкретных задач медицинской физики (при исследовании поглощения СВЧ энергии в биологических средах при СВЧ нагреве) и радиофизики ( при исследовании диэлектриков и полупроводников).
Научная новизна. Поставлена и решена математическая задача определения электромагнитного и связанного с ним теплового поля при волноводном рассеянии на поглощающих неоднородных диэлектрических телах. Для вычисления электромагнитного поля применен метод инте-
тральных уравнений. На его основе предложен и теоретически обоснован эффективный численный алгоритм, позволивший свести решение краевой задачи для уравнения Гельмгольца к равносильной задаче решения интегрального уравнения Фредгольма в области рассеивателя. С помощью экономичной схемы расщепления Годунова решено уравнение теплопроводности и найдено тепловое поле, возникающее вследствие поглощения электромагнитного поля при рассеянии на диэлектрических телах, в том числе биообъектах.
Практическая ценность. Построенные алгоритмы решения интегрального уравнения и уравнения теплопроводности реализованы в виде ЭВМ программ. Эти программы позволяют изучать тепловой эффект электромагнитного излучения, что актуально в ряде медицинских приложений, таких как гипертермия, в производстве высококачественной полимерной оптики, керамики и в других технических приложениях. Разработанные в работе алгоритмы и созданные на их основе программы могут быть использованы при проектировании различных радиотехнических устройств, таких как волноводные фильтры, трансформаторы, переходники, а также при исследовании диэлектриков, полупроводников и биообъектов со сложной структурой.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на международных и всероссийских конференциях и школах-семинарах
Второй всероссийской научной конференции. "Физические проблемы экологии (Физическая экология)". Москва. Январь 1999.
VII всероссийской школе-семинаре "Физика и применение микроволн" Красновидово. Моск. область. Май 1999.
VIII всероссийской школе-семинаре "Волновые явления в неоднородных средах". Красновидово. Моск. область. Май 2000.
Международной научно-технической конференции. "Физика и технические приложения волновых процессов". Тула. Сентябрь 2001.
X Международной школе-семинаре "Электродинамика и техника СВЧ, КВЧ и оптических частот". Фрязино. Август. 2002.
Второй всероссийской конференции. "Необратимые процессы в природе и технике". Москва. Январь 2003.
IX Всероссийской школе-семинаре "Физика и применение микроволн". Звенигород. Моск. область. Май 2003.
International seminar "Day on Diffraction". S.-Petersburg. June 2003.
Результаты работы докладывались на научных семинарах:
Семинаре "Численные методы электродинамики" МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством профессоров А.Г. Свешникова и А.С. Ильинского.
Семинаре кафедры математики физического ф-та МГУ под руководством профессора В.Ф. Бутузова.
Публикации. Основные результаты опубликованы в 11 работах, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем диссертации. Работа состоит из 3 глав, введения и заключения. Объем работы составляет 91 страницу, включая 35 рисунков и список литературы, содержащий 81 работу.
Применение метода интегральных уравнений к решению краевой задачи
Электромагнитное поле в волноводе, внутри которого расположено диэлектрически неоднородное вещество, полностью определяется системой уравнений Максвелла. Мы показали, что в условиях интересующей нас задачи проблема сводится к нахождению решения краевой задачи для двумерного уравнения Гельмгольца. При решении этой задачи широко применяется метод интегральных уравнений.Возможно сведение задачи к интегральным уравнениям относительно поверхностных токов [41], [45], [46], [50], при этом, как правило, решаются интегральные уравнения первого или второго рода по границе исследуемой области. Однако, к поверхностным интегральным уравнениям задача сводится только в случае кусочно-постоянных коэффициентов. Возможно также решение задачи методом объемных интегральных уравнений [50], [47], [14]. При этом, возможно исследование задачи в случае произвольной кусочно-непрерывной диэлектрической среды.Это свойство метода становится особенно привлекательным, при исследовании сложных поглощающих диэлектрических сред, к которым можно отнести биологические среды. Заметим, что метод объемных интегральных уравнений приводит к необходимости решать задачу высокой размерности. В настоящей работе применялся метод объемных интегральных уравнений, с помощью которого задача сводится к уравнению Фредгольма [60] второго рода. Рассмотрим задачу рассеяния нормальной волны на диэлектрической неоднородности в плоском волноводе. Итак, проблема состоит в отыскании функции u(Zjx), где под u{z,x) понимается Ey(z,x), являющейся решением уравнения удовлетворяющей условиям Дирихле при х = 0, = а: условиям сопряжения (1.11), условию ограниченности энергии в окрестности ребер (1.12) и условиям излучения и возбуждения При этом предполагается возможность дифференцирования по z рядов (1.15, 1.16). Поле возбуждается, падающей из —оо волной el7l2sm . При этом считаем, что частота не совпадает с частотой "отсечки" вида (& ф ), при которых волна в волноводе не распространяется. Перепишем уравнение (1.13): du Введем в рассмотрение функцию Грина данной краевой задачи, т.е. функцию G(z,x;z ,x ), удовлетворяющую уравнению и следующим граничным условиям Откуда, с учетом условий (1.22-1.24) и (1.26-1.28) приходим к интегральному уравнению относительно u(z,x): Возвращаясь теперь с помощью (1.20) к функции й получаем: волновода. В работе А.Н. Тихонова и А.А. Самарского 1947 года [25] было доказано, что функция Грина представима в виде ряда по собственным функциям поперечного сечения: где 7« = у к2 — (2 1) , фп(х), Фп{х ) - ортонормированные собственные функции поперечного сечения, в случае плоского волновода равные: Для численного решения интегрального уравнения (1.29) разобьем область, занятую диэлектриком прямоугольной сеткой размером N х М с шагом 8х вдоль оси х и 6z - вдоль оси z. Будем считать, что внутри каждой ячейки snm само решение и диэлектрическая проницаемость постоянны, тогда уравнение (1.29) можно переписать в виде: При переходе к дискретной задаче ряд функции Грина (1.32) ограничивается конечным числом слагаемых:
Приходим к системе линейных алгебраических уравнений Или в виде матричного уравнения: где EQ- столбец правой части, представляющий собой значения падающего поля, Е - искомый столбец значений Еу в узлах сетки, а матрица коэффициентов: где t, s меняются от 1 до MN, і, n - от 1 до JV, a j, т - от 1 до М. Система (1.33) решается с помощью метода Гаусса (см., например, [61]). Ее решение позволяет определить значения искомой составляющей вектора напряженности электрического поля (Еу) в узлах сетки. Вопрос сходимости полученного приближенного решения к точному рассматривается во второй главе в более общем трехмерном случае. Описанный алгоритм решения интегрального уравнения реализован в виде программы на языке С++. Проведено тестирование полученных результатов и численная оценка их точности.
Рассеяние на диэлектрическом теле
Описанный алгоритм позволяет исследовать некоторые резонансные свойства диэлектриков. Например, резонанс на "запертых" модах в прямоугольном металлическом волноводе со ступенчатым диэлектрическим заполнением [37]. Суть явления состоит в том, что при дифракции волны Ню на несимметричной диэлектрической неоднородности происходит трансформация этой волны в высшие типы колебаний, в частности в Н20, и резонансное накопление энергии этой моды в образованном диэлектрическом резонаторе. Рассмотрим это явление на примере рассеяния волны Ню в волноводе шириной а = 2.3см на рассеивателе ступенчатой формы (рис. 1.3). Параметры рассеивателя выбирались следующими: высота ступеньки х\ = 1.15см, ее ширина Z\ = 0.38см, d = 2.01, диэлектрическая проницаемость є = 2.05. На рисунках 1.4 - 1.9 можно проследить эволюцию поля при различных значениях частоты падающей волны. При этом выделяются рис. 1.6 и 1.8, на которых резко меняется характер распределения поля. Если на остальных рисунках в поперечном сечении располагалось по одному максимуму, что характерно для волны Ню (рис. 1.10), то на рис. 1.6 и 1.8 в поперечном сечении укладываются уже два максимума, что как видно из рис. 1.11 характерно для волны #20 На рисунке 1.12 представлена зависимость величины L = —10lg Xi2 от частоты падающей волны. Здесь видны два резонансных пика, на частотах, которым соответствует поле на рисунках 1.6 и 1.8. Т.е. можно прийти к выводу, что действительно здесь возникает резонанс на "запертой" моде. Аналогичное исследование проводилось экспериментально и численно с помощью ортогонального метода Галеркина [37]. Результаты этих исследований приведены на рис. 1.13, сплошная линия соответствует расчету, крестиками нанесены экспериментальные точки. Достаточно хорошее совпадение рис. 1.12 и 1.13 позволяет говорить во-первых, об адекватности рассматриваемого метода и алгоритма реальному эксперименту, и во-вторых, о справедливости полученных результатов.
С помощью предложенного алгоритма было проведено исследование поведения распределения электромагнитного поля при дифракции на модельных биологических объектах, в плоском волноводе. Модельный биообъект - диэлектрически неоднородное, поглощающее тело, диэлектрическая проницаемость которого соответствует характеристикам реальных тканей биологического происхождения (мышечной, костной) и воды. На рисунках 1.14, 1.16, 1.17 схематически изображены рассматривавшиеся модели биообъектов в плоском волноводе. Часть расчетов была выполнена для волновода шириной 2см (рис. 1.14). Волна #ю с частотой 12.204ГГц падала на неоднородность с двух сторон. В качестве биообъекта рассматривался слой, моделирующий костную ткань є = 8 + г 0.01, внутри которого расположено Рис. 1.14: Схема волновода с биообъектом. Вставка, заполняющая сечение, - костная ткань, неоднородное включение - вода. ное включение размером 6.6(6) х 1.6(6)мм с диэлектрической проницаемостью, характерной для воды є = 61.45 + г 10.00. На рисунках 1.19, 1.20 показано влияние расположения включения в костной ткани на распределение линий уровня 1]2 в волноводе. На рисунках пунктирной линией схематически показано расположение включения. Изменение распределения поля вблизи биологического объекта в зависимости от величины мнимой части диэлектрической проницаемости включения показано на рисунке 1.15, на котором сплошной линией изображена зависимость \ЕУ\2 от координаты х при диэлектрической проницаемости включения, равной 61.45 + г 10.00, пунктирной линией - при е = 61.45-И25.53. Сравнение [77] зависимостей 1.15 с результатами, полученными в работе [64] по методу Галеркина, показывает, что они находятся в хорошем соответствии. Это подтверждает правильность реализации выбранного метода. Дальнейшие расчеты по разработанной программе были выполнены для следующих условий: ширина волновода - 24см, частота падающей волны - 1,225ГГц. Задача рассматривалась на примере двух различных моделей биологического объекта (рис. 1.16, 1.19). Одна из моделей, схематически изображенная на рисунке 1.16, представляет собой слой толщиной 10см, полностью заполняющий попереч
Алгоритм численного решения интегрального уравнения
Для численного решения интегрального уравнения (2.20) разобьем область, занятую диэлектриком, прямоугольной сеткой размером Nz х Nx х Ny с шагом Sz, Sx и 8у - вдоль оси z, х и у соответственно. Будем считать, что внутри каждой ячейки уПгПгПу само решение и диэлектрическая проницаемость постоянны, тогда уравнение (2.20) для каждой ячейки сетки можно переписать в виде: Или в виде матричного уравнения: где U- столбец правой части, U = U(znt,xni,yny) - искомый столбец значений u(z,x,y) в узлах сетки, а матрица коэффициентов: где і J = (l,...,NzNxNy), пг = (1,..., Nz), nx = (1,..., Nx), ny = (1,..., JV„). Система (2.24) решается с помощью метода Гаусса (см., например, [61]). Ее решение позволяет определить значения искомой функции й в ячейках сетки. Покажем, что численное решение сходится к решению исходного интегрального уравнения в норме пространства L2. Выпишем еще раз уравнение с функцией Грина в виде ряда по собственным функциям поперечного сечения Рассмотрим ядро интегрального уравнения справедливо: Ряд Gfj сходится к С? в І2, поскольку Gfj при почти всех значениях (х, у, z) сходится поточечно [25] к G, и ряд (2.28) сходится в L2 при N —У оо. Итак, рассмотрим уравнения v Оператор Ядг — Н в смысле нормы, порождаемой нормой пространства L2: # = sup #м2. Il«lli2=i По теореме Банаха [66] существует решение (2.27) и$ Є Li. Поскольку Gfj єС,и„ Є С. Рассмотрим разность . слагаемого справедливо Таким образом, для / приходим к уравнению Фредгольма поскольку существует оператор (/ — Н) 1 Учитывая ограниченность (/ — Н) 1 получаем. Рассмотрим Из неравенства Коши-Буняковского: Следовательно, в силу Gfj -4 G, д -4 0. Учитывая это, получаем из (2.31), что Ufj -4 и. Рассмотрим теперь дискретезированную задачу По теореме о сходимости приближенного решения интегрального урав НеНИЯ К ТОЧНОМУ (СМ. [66]) Йдг — Wyy, ЗНаЧИТ Ufj -4 Мдг. Рассмотрим теперь разность Учитывая й -4 и и и -4 и получаем г7дг —$ и. Сформулируем полученный результат. Утверждение 3. Решение дискретной задачи(2.24) сходится к решению интегрального уравнения (2.25) в Li. На основе алгоритма, описанного в параграфе 2.3, написана программа на языке С++. С ее помощью проведен ряд расчетов для различных параметров рассеивателя. Для сравнения с двумерной моделью часть расчетов проводилась для диэлектриков, параметры которых вдоль оси у - постоянны. Кроме того результаты расчетов на основе трехмерной модели позволяют судить о пространственном распределении поля в волноводе при рассеянии его на диэлектрически неоднородном препятствии. Расчеты проводились для волновода квадратного поперечного сечения (размером 1см х 1см), частота падающей волны равнялась 12.22 109Гц. Диэлектрические параметры неоднородности выбирались характерными для биологических объектов, значения диэлектрической поницаемости соответствуют проницаемости костной ткани (євст = 7.00 + Ю.01) и воды (ест = 61.45 + г 25.53). Поскольку представление результатов в объемном случае сопряжено с рядом графических сложностей, результаты расчетов на основе трехмерной модели представлены следующим образом. Для каждой из координатных плоскостей приведены по три сечения.
В каждом сечении распределение поля представлено с помощью линий уровня \ЕУ\2. На рисунках 2.1 приведены результаты расчета в случае рассеяния на простой вставке ("ВСт)- В сечениях, параллельных плоскости xz картина поля повторяет картину поля в плоском волноводе К аналогичному заключению можно прийти, проанализировав результаты (рис. 2.2 - рис. 2.4) рассеяния на вставке (вст) с неоднородным стержнем (єст), ось которого параллельна оси у, полностью заполняющем волновод вдоль этой оси. При изменении расположения стержня по отношению к осям х и z, картина поля, как следует из рисунков, меняется аналогично тому, как это было в случае плоского волновода. Так при смещении стержня от центра (рис. 2.2) вдоль оси х к стенке при х = 0 (рис. 2.3) или при х = 1 (рис. 2.4) изменение расположения линий уровня (асимметрия картины) позволяет судить о произошедшем во вставке изменении. На основании проведенного анализа можно говорить об адекватности
Алгоритм численного решения начально - краевой задачи
Решение начально-краевой задачи (3.1-3.5) осуществлено методом конечных разностей. Основным требованием к применяемому методу является его экономичность, т.е. условие пропорциональности числа операций при переходе с одного временного слоя на другой числу узлов сетки. При этом, необходимо соблюдение требования устойчивости метода. Подобными свойствами обладают различные разностные схемы расщепления [59]. Особенностью данной задачи является наличие условий третьего рода на части границы. Удобной схемой расщепления для подобной задачи является схема Годунова. Математический анализ вопроса о сходимости этой схемы дан, напр точки которой определяются формулами: Разностный оператор Axx соответствует оператору - - , а оператор Azz - оператору I -QI [58]. Отметим, что в принятой модели правая часть уравнения (3.1) не зависит от времени, Fmn = с \ЕУ\2. При расчете электромагнитного поля были получены значения \ЕУ\2 в централ ьнах точках ячеек сетки. Значения температуры расчитываются в узлах сетки, поэтому при расчете теплового поля для каждого узла выбиралось то значение \ЕУ\2 для которого рассматриваемый узел является нижним левым узлом ячейки. Вектор йтп определя краевой задачи (3.1-3.5) осуществлено методом конечных разностей. Основным требованием к применяемому методу является его экономичность, т.е. условие пропорциональности числа операций при переходе с одного временного слоя на другой числу узлов сетки. При этом, необходимо соблюдение требования устойчивости метода. Подобными свойствами обладают различные разностные схемы расщепления [59]. Особенностью данной задачи является наличие условий третьего рода на части границы. Удобной схемой расщепления для подобной задачи является схема Годунова. Математический анализ вопроса о сходимости этой схемы дан, например, в монографии [59], где в случае гладких коэффициентов дифференциальной задачи доказана ее безусловная устойчивость и сходимость со скоростью 0(т + /г2), где г - шаг по временной, h - по пространственным переменным. Рассмотрим случай, когда область D, занятая объектом, не касается стенок волновода. В области D введем прямоугольную сетку, узловые точки которой определяются формулами: Разностный оператор Axx соответствует оператору - - , а оператор Azz - оператору I -QI [58]. Отметим, что в принятой модели правая часть уравнения (3.1) не зависит от времени, Fmn = с \ЕУ\2.
При расчете электромагнитного поля были получены значения \ЕУ\2 в централ ьнах точках ячеек сетки. Значения температуры расчитываются в узлах сетки, поэтому при расчете теплового поля для каждого узла выбиралось то значение \ЕУ\2 для которого рассматриваемый узел является нижним левым узлом ячейки. Вектор йтп определяется как решение вспомогательной задачи В разностной схеме (3.7-3.9) исходная двумерная по пространственным переменным задача разбивается на две одномерные по пространственным переменным разностные схемы (3.7), (3.9). Поскольку задача (3.7) представляет собой трехточечную по оси z разностную схему, при каждом фиксированном ется как решение вспомогательной задачи В разностной схеме (3.7-3.9) исходная двумерная по пространственным переменным задача разбивается на две одномерные по пространственным переменным разностные схемы (3.7), (3.9). Поскольку задача (3.7) представляет собой трехточечную по оси z разностную имер, в монографии [59], где в случае гладких коэффициентов дифференциальной задачи доказана ее безусловная устойчивость и сходимость со скоростью 0(т + /г2), где г - шаг по временной, h - по пространственным переменным. Рассмотрим случай, когда область D, занятая объектом, не касается стенок волновода. В области D введем прямоугольную сетку, узловые точки которой определяются формулами: Разностный оператор Axx соответствует оператору - - , а оператор Azz - оператору I -QI [58]. Отметим, что в принятой модели правая часть уравнения (3.1) не зависит от времени, Fmn = с \ЕУ\2. При расчете электромагнитного поля были получены значения \ЕУ\2 в централ ьнах точках ячеек сетки. Значения температуры расчитываются в узлах сетки, поэтому при расчете теплового поля для каждого узла выбиралось то значение \ЕУ\2 для которого рассматриваемый узел является нижним левым узлом ячейки. Вектор йтп определя краевой задачи (3.1-3.5) осуществлено методом конечных разностей. Основным требованием к применяемому методу является его экономичность, т.е. условие пропорциональности числа операций при переходе с одного временного слоя на другой числу узлов сетки. При этом, необходимо соблюдение требования устойчивости метода. Подобными свойствами обладают различные разностные схемы расщепления [59]. Особенностью данной задачи является наличие условий третьего рода на части границы. Удобной схемой расщепления для подобной задачи является схема Годунова. Математический анализ вопроса о сходимости этой схемы дан, например, в монографии [59], где в случае гладких коэффициентов дифференциальной задачи доказана ее безусловная устойчивость и сходимость со скоростью 0(т + /г2), где г - шаг по временной, h - по пространственным переменным. Рассмотрим случай, когда область D, занятая объектом, не касается стенок волновода. В области D введем прямоугольную сетку, узловые точки которой определяются формулами: Разностный оператор Axx соответствует оператору - - , а оператор Azz - оператору I -QI [58]. Отметим, что в принятой модели правая часть уравнения (3.1) не зависит от времени, Fmn = с \ЕУ\2. При расчете электромагнитного поля были получены значения \ЕУ\2 в централ ьнах точках ячеек сетки. Значения температуры расчитываются в узлах сетки, поэтому при расчете теплового поля для каждого узла выбиралось то значение \ЕУ\2 для которого рассматриваемый узел является нижним левым узлом ячейки. Вектор йтп определяется как решение вспомогательной задачи В разностной схеме (3.7-3.9) исходная двумерная по пространственным переменным задача разбивается на две одномерные по пространственным переменным разностные схемы (3.7), (3.9). Поскольку задача (3.7) представляет собой трехточечную по оси z разностную схему, при каждом фиксированном ется как решение вспомогательной задачи В разностной схеме (3.7-3.9) исходная двумерная по пространственным переменным задача разбивается на две одномерные по пространственным переменным разностные схемы (3.7), (3.9). Поскольку задача (3.7) представляет собой трехточечную по оси z разностную схему, при каждом фиксированном п она решается методом прогонки в направлении оси z. Прямая прогонка: Аналогично, задача (3.9) при каждом фиксированном m решается прогонкой по направлению оси Ох. Таким образом, в силу того что для метода прогонки необходимо O(N) действий, разностная схема (3.7-3.9) требует при переходе с одного временного слоя на другой числа действий пропорционального числу узлов сетки и является экономичной. В случае, когда область D, занятая объектом, касается стенок волновода разностный оператор Lh (3.7) имеет вид:
