Введение к работе
Актуальность темы. Современные математические модели, представляющие значительный интерес в физике, химии и биологии, как правило, основаны на нелинейных уравнениях или системах нелинейных уравнений различных типов. Примером нелинейной системы является бозе-эйнштейновский конденсат (БЭК) в парах щелочных металлов, взаимодействующих с лазерными полями, который впервые был получен в 1995 году. Характерной чертой БЭК является проявление квантовых эффектов уже на макроскопическом уровне. Математические модели, учитывающие «неидеальность» межатомного взаимодействия частиц бозе-эйнштейновского конденсата смеси различных атомов, основаны на двухкомпо-нентном нелокальном уравнении Гросса-Питаевского. В математической литературе это уравнение принято называть уравнением типа Хартри. Уравнение типа Хартри возникает в нелинейной оптике для описания распространения импульсов, в биофизике при описании коллективных возбуждений в молекулярных цепочках, в ядерной физике при исследовании систем многих частиц в приближении Хартри.
Точное интегрирование нелинейных уравнений с переменными коэффициентами, а тем более, систем таких уравнений, удается осуществить сравнительно редко. В каждом таком случае требуется построение уникальных математических конструкций и развитие на их основе соответствующей математической теории. Исследование классов нелинейных уравнений, содержащих произвол в коэффициентах, в многомерном пространстве возможно лишь на основе адекватных приближённых методов. Среди таких методов, позволяющих получать приближенные решения эволюционных уравнений в аналитической форме, особенно эффективным оказался метод квазиклассических асимптотик. Нетривиальные приближённые решения уравнений с малым параметром при производных строятся в специально подобранном классе функций, сингулярно зависящих от асимптотического малого параметра. Определение данного класса функций является ключевым моментом в применении метода квазиклассических асимптотик для конкретного уравнения. Достоинством метода квазиклассических асимптотик является то, что на его основе в рамках общего подхода удается исследовать различные эволюционные уравнения, существенно различающиеся по своей математической структуре.
В связи с этим разработка квазиклассических методов интегрирования систем нелинейных уравнений типа Хартри представляется весьма актуальной.
Цель работы. Целью настоящей работы является развитие асимптотических методов интегрирования двухкомпонентного многомерного нелинейного уравне-
ния типа Хартри и применение этих методов к решению задачи Коши, Флоке и спектральной задачи для двухкомпонентного уравнения типа Хартри.
Достижение поставленной цели обеспечивается решением следующих основных задач:
Разработать метод квазиклассических траекторно-сосредоточенных функций (КТСФ) для построения асимптотических по малому параметру ft —> 0 решений двухкомпонентного нестационарного уравнения типа Хартри с нелокальной кубичной нелинейностью и эрмитовым матричным гамильтонианом уравнения.
Методом КТСФ построить асимптотические решения задачи Коши для двухкомпонентного нестационарного уравнения типа Хартри.
С помощью метода КТСФ построить квазиклассические спектральные серии нелокального матричного стационарного оператора типа Хартри.
Рассмотреть приложение разработанного метода для построения квазиэнергетических спектральных серий нелокального матричного периодического по времени оператора типа Хартри.
Методы исследования. Результаты диссертации получены с помощью методов квазиклассического приближения, теории дифференциальных операторов, теории динамических и гамильтоновых систем.
Научная новизна. Все основные результаты, полученные в работе, являются новыми.
Впервые разработан метод квазиклассических траекторно-сосредоточенных функций для приближенного интегрирования многомерного двухкомпонентного нестационарного уравнения типа Хартри с нелокальной нелинейностью. На его основе построено формальное асимптотическое решение задачи Коши для двухкомпонентного нестационарного уравнения типа Хартри в классе траекторно-сосредоточенных функций. Получена система Гамильтона-Эренфеста, описывающая с заданной точностью эволюцию центрированных моментов решения уравнения. Впервые в явном виде построены приближенные оператор Флоке и оператор эволюции двухкомпонентного нестационарного уравнения типа Хартри в классе траекторно-сосредоточенных функций, с их помощью найдены квазиэнергетические и энергетические спектральные серии оператора типа Хартри. Предъявлены выражения квазиклассических солитоноподобных решений уравнения типа Хартри гауссовского и автомодельного типов.
Основные результаты. В работе впервые получены следующие основные результаты:
На основе метода комплексного ростка Маслова и ковариантного подхода впервые разработан метод квазиклассических траекторно-сосредоточенных функций (ТСФ) для построения асимптотических решений уравнения типа Хартри с нелокальной кубичной нелинейностью и эрмитовым матричным гамильтонианом уравнения. Методом квазиклассических ТСФ построено с любой степенью точности по малому параметру h формальное асимптотическое решение задачи Коши для двухкомпонентного уравнения типа Хартри. В явном виде найден приближенный нелинейный оператор эволюции двухкомпонентного уравнения типа Хартри в классе ТСФ.
Получена динамическая система Гамильтона-Эренфеста, описывающая с заданной точностью эволюцию центрированных моментов решения уравнения, которая реализует принцип соответствия для квантовых систем, описываемых нелинейными математическими моделями.
С помощью развитого метода для двухкомпонентного нелокального уравнения типа Хартри построены (с точностью до квазиклассические спектральные серии, отвечающие устойчивой в линейном приближении точке покоя системы Гамильтона-Эренфеста.
На основе предложенного метода получены явные выражения для квазиклассического солитоноподобного решения многомерного двухкомпонентного уравнения типа Хартри (mod /г3'2) гауссовского и автомодельного типов во внешних полях.
Методом квазиклассических ТСФ получены квазиклассические квазиэнергетические спектральные серии и асимптотика оператора Флоке в классе ТСФ для уравнения типа Хартри с матричным периодическим по времени гамильтонианом. Для квадратичного по координатам и импульсам, периодического матричного оператора получены точные решения задачи Флоке для нелинейного уравнения.
Теоретическая и практическая ценность работы. Результаты работы носят общетеоретический характер и представляют интерес с точки зрения развития квазиклассических методов интегрирования нелинейных моделей теоретической и математической физики на примере многомерного нелинейного двухкомпонентного эволюционного уравнения типа Хартри с малым асимптотическим параметром при частных производных.
Метод квазиклассически сосредоточенных функций позволяет достичь более глубокого понимания структуры квантовых систем, описываемых нелинейными математическими моделями. Полученная динамическая система Гамильтона-Эрен-феста порядка М реализует принцип соответствия результатов квантовой и классической механик и дает приближенное описание поведения исследуемой квантовой системы, не прибегая к интегрированию нелинейного матричного уравнения типа Хартри. Последнее достигается введением новых классических динамических переменных, количество которых зависит от М. С помощью этих переменных удается приближенно линеаризовать исходное нелинейное уравнение и построить его асимптотические решения.
Построенные асимптотические решения применимы для описания стационарных состояний БЭК и в биофизике при описании коллективных возбуждений в молекулярных цепочках.
Основные положения, выносимые на защиту:
Метод построения асимптотических решений двухкомпонентного эволюционного уравнения типа Хартри с малым параметром при частных производных, нелокальной кубичной нелинейностью и эрмитовым матричным гамильтонианом уравнения в классе ТСФ. Методом квазиклассических ТСФ в явном виде получено формальное асимптотическое решение задачи Коши, удовлетворяющее с заданной точностью 0(JvM+1)'2), М > 2 двухкомпонентному уравнению типа Хартри и заданным начальным условиям.
Динамическая система Гамильтона-Эренфеста, описывающая с заданной точностью эволюцию центрированных моментов решения уравнения. Полученная система дает приближенное описание поведения исследуемой квантовой системы, не прибегая к интегрированию нелинейного матричного уравнения типа Хартри.
Метод построения квазиклассических спектральных серий, отвечающих устойчивой в линейном приближении точке покоя системы Гамильтона-Эренфеста для двухкомпонентного нелокального уравнения типа Хартри. Получены явные выражения для главного члена квазиклассической асимптотики.
Квазиклассические солитоноподобные решения двухкомпонентного уравнения типа Хартри (mod /г3'2) гауссовского и автомодельного типов во внешних полях.
Явные выражения для квазиклассических квазиэнергетических спектральных серий и асимптотики оператора Флоке в классе ТСФ для уравнения типа Хартри с матричным периодическим по времени гамильтонианом. Построены точ-
ные решения задачи Флоке для нелинейного уравнения с квадратичным по координатам и импульсам периодическим матричным гамильтонианом.
Апробация диссертации и публикации. Результаты диссертации докладывались на международных конференциях:
III Международной конференции студентов и молодых ученых "Перспективы развития фундаментальных наук", 16 мая-19 мая, 2006 г., Томск,
International seminar "Days on Diffraction'2006". May 30 - June 02, 2006. St. Petersburg,
International conference "Days on Diffraction'2007". May 29 - June 01, 2007. St. Petersburg,
XIII Международной Ломоносовской конференции по физике элементарных частиц, 23-29 августа, 2007, Москва,
International seminar "Days on Diffraction'2009". May 26 - May 29, 2009. St. Petersburg,
а также на „Научно-технических конференциях студентов, аспирантов и молодых специалистов", МИЭМ, 2006, 2007, 2008, 2009, 2010 гг.
Результаты автора по теме диссертации опубликованы в десяти работах, список работ приводится в конце автореферата. Четыре работы [1], [3-5] опубликованы в изданиях, входящих в утвержденный ВАК перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени доктора и кандидата наук.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения и списка цитируемой литературы, содержащего 163 библиографические ссылки. Общий объем диссертации составляет 108 страниц.
