Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Понятия представления гауссовой кривизны и кинематической интегрируемости для уравнений математической физики
1.1. Представление гауссовой кривизны 21
1.1.1. Общие положения 21
1.1.2. Примеры представлений гауссовой кривизны для уравнении математической физики 23
1.2. Представление нулевой кривизны 25
1.2.1. Общие положения 25
1.2.2. Кинематическая интегрируемость уравнений 26
1.2.3. Примеры представлений нулевой кривизны для уравнений математической физики 27
1.3. Структурные уравнения поверхности в Ez 29
1.4. Теорема существования представления нулевой кривизны для представления постоянной гауссовой кривизы уравнений 32
Глава II. Дифференциально-геометрический критерий кинематической интегрируемости
2.1. Дифференциальные формы для операторов модифицированного вида задачи Захарова-Шабата 38
2.2. Теорема об отображении класса кинематически интегрируемых уравнений в класс уравнений, допускающих представление постоянной гауссовой кривизны 30
2.3. Дифференциально-геометрический критерий кинематической интегрируемости уравнений 45
2.4. Примеры построения представлений нулевой кривизны и метрик для уравнений математической физики 46
2.4.1. Таблица примеров представлений нулевой кривизны и метрик для уравнений математической физики 46
2.4.2. Псевдосфернческая метрика 48
2.4.3. Сферическая метрика 55
2.4.4. Специальный способ построения псевдосферичсской метрики и операторов представления нулевой кривизны . 57
Глава III. Матрица монодромии и преобразования Бэклунда для уравнений математической физики
3.1. Матрица монодромии и приложения для уравнений математической физики 63
3.1.1. Общие положения 63
3.1.2. Задача Гурса и матрица монодромии 64
3.1.3. Подход к построению матрицы монодромии с помощью калибровочного преобразования специального вида 66
3.2. Преобразования Бэклунда и представление гауссовой кривизны 68
3.2.1. Псевдосферическая метрика общего вида 68
3.2.2. Локальные преобразования Бэклунда для эллиптического уравнения Лиувилля 69
3.2.3. Локальные преобразования Бэклунда для уравнения Бюргерса 70
3.3. Геометрическая интерпретация преобразований Бэклунда
и солитонных решений для уравнения спнус-Гордона 72
3.3.1. Преобразования Бэклунда для уравнения синус-Гордона 72
3.3.2. Геометрическая интерпретация односолитонного решения уравнения синус-Гордона 73
3.3.3. Преобразования Бэклунда для уравнения синус-Гордона и псевдосферпческне поверхности 74
3.3.4. Исследование особенностей псевдосферических поверхностей, отвечающих солптонным решениям уравнения синус-Гордона 74
Заключение 83
Приложение. Некоторые понятия теории мультипли кативного интеграла 88
Список литературы 93
- Примеры представлений нулевой кривизны для уравнений математической физики
- Теорема об отображении класса кинематически интегрируемых уравнений в класс уравнений, допускающих представление постоянной гауссовой кривизны
- Подход к построению матрицы монодромии с помощью калибровочного преобразования специального вида
- Исследование особенностей псевдосферических поверхностей, отвечающих солптонным решениям уравнения синус-Гордона
Введение к работе
Актуальность темы. Многие проблемы современной математической физики связаны с исследованием широкого класса нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Как правило, исследование нелинейных задач проводится численными методами в рамках конкретно заданных условий, при этом эффективность численных методов зависит не только от алгоритма решения задачи и его программной реализации, но и от выбора теоретической модели.
Значительную сложность исследованиям нелинейных дифференциальных уравнений придает отсутствие общих свойств и классификаций. В этой связи актуальной является задача поиска классификаций нелинейных уравнений, допускающих применение различных методик. Например, метод обратной задачи рассеяния (МОЗР) дает возможность классификации кинематически интегрируемых уравнений с помощью групповых методов (алгебры Ли), тем самым устанавливая возможные классы уравнений, для которых применим гамильтонов формализм МОЗР.
Особую актуальность в последнее время приобрело изучение взаимосвязи геометрии с теорией нелинейных дифференциальных уравнений. Данное направление традиционно развивается в школе Ефимова-Позняка геометрии "в целом". С помощью методов неевклидовой геометрии построен подход к решению и исследованию современных задач математической физики, базирующийся на представлении постоянной гауссовой кривизны (к примеру, при К = — 1, Л2-иредставление).
Серьезной научной темой являются исследования особых решений уравнений математической физики - солитонов, специальных классов трансцендентных функций во взаимосвязи с уникальными физическими явлениями. При этом методы дифференциальной геометрии предлагают определенные инструменты исследования. Например, установлена геометрическая интерпретация решений уравнения синус-Гордона; исследованы свойсіва поверхностей постоянной отрицательной гауссовой кривизны,
РОС. НАЦИОНАЛЬНА',
о БИБЛИОТЕКА
6 СП
отвечающих n-солитонным решениям. Ярким примером геометрических исследований уравнения синус-Гордона в автомодельных переменных и связанной с ним третьей трансцендентной функцией Пенлеве являются работы Амслера. в которых рассматривается характер поведения поверхности в зависимости от решения уравнения.
Применение дифференциально-геометрического подхода позволяет интерпретировать поверхности отрицательной кривизны для явлений, описываемых уравнением синус-Гордона, как фазовых поверхностей (двухмерных нелинейных аналогов классических фазовых пространств в физике), определяющих развитие соответствующих нелинейных процессов. Данная концепция устанавливает эволюционный принцип для широкого класса явлений, который позволяет на геометрической основе объяснить такие закономерности, как распространение ультракоротких импульсов (эффект самоиндуцированной прозрачности) в двухуровневой резонансной среде, особенности поведения вектора намагниченности в блоховской стенке, процессы в джозефсоновском контакте, возмущенные состояния элементарных частиц и другие.
Серьезное место в математической физике занимает метод обратной задачи рассеяния. Особый интерес представляет гамильтонова интерпретация метода обратной задачи, основанная на представлении нулевой кривизны. Именно на основе гамильтонова формализма метод обратной задачи получил наиболее элегантную формулировку, сочетая в себе методы дифференциальной геометрии и физики. На сегодняшний момент, несмотря на разработанные подходы к исследованию спектрально-эволюционной задачи и к уравнениям математической физики на основе групповых методов и процедур задачи Римана, актуальным является вопрос о существовании представления нулевой кривизны для уравнений.
Цели диссертационной работы:
развитие подходов исследования нелинейных дифференциальных уравнений математической физики, базирующихся на представлении гауссовой и нулевой кривизны, и установление взаимосвязи между данными подходами;
исследование приложений, связанных с рассматриваемыми подходами (матрица монодромии, калибровочные преобразования, преобразования Бэклунда). и построение примеров для актуальных уравнений математической физики:
развитие вопроса взаимных преобразований метрик и построение на их основе преобразований Бэклунда для уравнений математической физики;
исследование свойств солитонных решений уравнения синус-Гордона и построение псевдосферических поверхностей, отвечающих данным решениям.
Научная новизна. Проведенные в работе исследования взаимосвязи представления постоянной гауссовой и нулевой кривизны позволяют по новому взглянуть на роль дифференциально-геометрического подхода в теории нелинейных дифференциальных уравнений математической физики.
Доказанными теоремами устанавливается отображение классов кинематически интегрируемых уравнений и уравнений, допускающих представление постоянной гауссовой кривизны.
Дифференциально-геометрический критерий определяет необходимые и достаточные условия кинематической интегрируемости и позволяет классифицировать представления нулевой кривизны нелинейных дифференциальных уравнений в зависимости от знака гауссовой кривизны соответствующего представления постоянной гауссовой кривизны.
Полученные преобразования Векуа и Коула-Хопфа отражают не только
общие свойства Л2-уравнений, связанные с локальными заменами координат. Использованная инвариантность гауссовой кривизны относительно локальных преобразований координат позволяет связывать решения различных Л2-уравнений, а локальное взаимнооднозначное соответствие самих метрик гарантирует взаимную однозначность получаемых преобразований Бэклунда.
Научная и практическая ценность. Установленная взаимосвязь подходов к исследованию уравнений математической физики позволяет объединить инструменты исследования, которыми обладает каждый из подходов, расширяя, тем самым, возможности решения задач. Предложенный метод построения представлений нулевой кривизны расширяет класс уравнений, доступных для применения МОЗР. Метод преобразований Бэклунда, в основе которого лежат локальные преобразования метрик, предлагает новые возможности исследования взаимосвязи различных дифференциальных уравнений. Одновременно с разработкой подходов к решению нелинейных уравнений возникает перспективная задача геометрической интерпретации ожидаемых результатов. Реализация таких идей представляет серьезный практический интерес, т.к. модельные уравнения непосредственно связаны с современными прикладными задачами.
Апробация. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях и семинарах:
- Восьмая Международная конференция студентов и аспирантов по
фундаментальным наукам "Ломоносов-2001". Секция Физика. 2001г.
- Научная конференция "Ломоносовские чтения"'. Секция Физика. 2004г.
Семинар кафедры математики физического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова. 2004г
Семинар кафедры функционального анализа и іеометрии Тверскою
государственного университета. 2005г.
- Воронежская весенняя математическая школа "Поптрягинские чтения-XVI". 2005г.
Публикации. По результатам диссертационной работы опубликовано 6 работ, список которых приведен в конце автореферата.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения. Объем диссертации составляет 101 страницу машинописного текста. Список цитированной литературы состоит из 92 наименований.
Примеры представлений нулевой кривизны для уравнений математической физики
На основе результатов первой главы и данной теоремы доказывается дифференциально-геометрический критерий кинематической интегрируемости (Теорема 3) [82]:
Теорема (критерий кинематической интегрируемости) Для того, чтобы уравнение /(иуиХущуиХХу... ,хуt) = 0 принадлежало классу кинематически интегрируемых уравнений с матричными операторами U, V Є su{\, l)(U,V su(2)) необходимо и достаточно, чтобы уравнение f(uyuxyut,uxxy...\x,t) = 0 принадлежало G-классу A = Const 0 (G-классу A" = Const 0).
Представленный критерий кинематической интегрируемости устанавливает двустороннюю взаимосвязь между представлением постоянной гауссовой кривизны и представлением нулевой кривизны. При этом предлагается классификация представлений на основе гауссовой кривизны К. Рассматриваемым вопросам посвящены параграфы 2.1 — 2.3.
В параграфе 2.4 приводятся примеры построения представлений гауссовой и нулевой кривизны для актуальных уравнений математической физики: уравнение Лапласа - Пример 1, волновое уравнение - Пример 2, уравнение теплопроводности - Пример 3. Представленные примеры рассматриваются как для псевдосферичсской метрики при Л = —1, так и для сферической метрики Л = 1.
В пункте 2.4.4 несколько расширяются возможности построения, представленного в предыдущих пунктах. Здесь предлагается специальный способ построения псевдосферической метрики по операторам представления нулевой кривизны, основанный на особой комбинации дифференциальных форм в операторах U и V. Данный способ иллюстрируется примером построения Л2-представления для уравнения Кортевега-де Фриза. Глава III посвящена приложениям рассматриваемых подходов, основанных на представлении гауссовой и нулевой кривизны для уравнений математической физики. Так, в 3.1 исследуются свойства матрицы монодромии, являющейся основной характеристикой спектрально-эволюционной задачи:
Матрица монодромии выражается через понятие мультипликативного интеграла, общие сведения о котором, вынесены в приложение. Используя фундаментальную связь с интегралами движения и свойство независимости от времени следа матрицы монодромии trT, в работе предлагается подход к исследованию задачи Гурса: с условием -0(о) 9(жо)і где ф{т}), р{) - заданные функции требуемой гладкости, определенные при 7] IQ И хц соответственно.
В пункте 3.1.3 предлагается определенный способ построения матрицы ыонодромпи с помощью калибровочного преобразования, относительно которого, уравнение представления нулевой кривизны инвариантно. В основе способа лежит процедура сведения произвольной матрицы U спектрально-эволюционной задачи к матрице специального вида с помощью калибровочных преобразований, при которой система уравнений обратной задачи рассеяния является интегрируемой в конечном виде. Результатом калибровочного преобразования является уравнение Рикатти. Другим возможным способом построения матрицы монодромии, рассмотренным в данном пункте, является применение условия интегрируемости мультипликативного интеграла в конечном виде для матрицы U = GxG l + GUG l, входящей в класс калибровочно-эквпвалентных связностей для рассматриваемой матрицы U спектрально-эволюционной задачи.
Параграф 3.2 Главы III посвящен исследованиям преобразований Ьэклунда для уравнении, принадлежащих Л2 -классу [83]. Предлагаемая геометрическая методика построения преобразований Бэклунда использует локальные преобразования соответствующих метрик, при которых метрика, отвечающая Л2-представлению заданного уравнения переводится в псевдосфернческую метрику общего вида: Несмотря на то, что преобразованиям Бэклунда посвящена достаточно обширная литература [3],[84], рассматриваемый подход кажется в ряде случаев более удобным.
В главе рассматриваются локальные преобразования Бэклунда для эллиптического уравнения Лиувилля: В основе построения преобразований Бэклунда лежат локальные преобразования метрики Л2- представления уравнения Лиувилля к псевдосфсрической метрике общего вида при условии выполнения уравнения Лапласа [34]. Построенное преобразование совпадает с известным преобразованием Векуа [85]: Также в главе, с помощью преобразования метрики к общему виду, производится построение преобразований Бэклунда для уравнения Бюр-герса: Результатом построения является выражение для решения уравнения Бюргерса через некоторое решение уравнения теплопроводности: Данная формула представляет собой известное преобразование Коула-Хопфа для уравнения Бюргерса.
Для полученных преобразований Бэклунда удается доказать их локальную обратимость, что непосредственно из формул Векуа [85],[34] и Коула-Хопфа [86] не следует и является исключительно дифференциально-геометрическим следствием.
В конце главы приводятся результаты исследований солитонных решений уравнения синус-Гордона и соответствующих псевдосфсрпчсскпх поверхностей. Используя преобразования Бэклунда и представления гауссовой кривизны строятся псевдосферическне поверхности, отвечающие двухсолптонным решениям уравнения синус-Гордона, а также проводится исследование особенностей на поверхностях и соответствующих линий уровней решений.
Теорема об отображении класса кинематически интегрируемых уравнений в класс уравнений, допускающих представление постоянной гауссовой кривизны
Выражение (3.8) представляет собой уравнение Рикатти относительно неизвестной функции Z. Общее решение уравнения Рикатти можно получить, зная некоторое частное решение. Таким образом, обладая некоторым частным решением уравнения (3.8), возможно получить явное выражение для калибровочного преобразования и, тем самым, получить матрицу U искомого вида.
В основе данного подхода построения матрицы монодромии лежит определенный произвол задания матрицы U, связанный с калибровочными преобразованиями. Для случая, когда матрица V построена на основе представления гауссовой кривизны с помощью теоремы 1 настоящей работы, существует возможность варирования произвольной функции 9(x,t).
Возможным способом построения матрицы монодромии является применение условия интегрируемости мультипликативного интеграла в конечном виде. В данном случае необходимо использовать матрицу U в виде U = GxG y + GUG l, входящую в рассматриваемый класс калибро-вочно-эквивалентных связностей. Условия интегрируемости мультипликативного интеграла (см. приложение) при этом дают условия на матрицу G.
Рассмотрим метрику модели Клейна геометрии Лобачевского [14]: Осуществим переход от переменных (х, t) к переменным (x,t) по формулам: где w(x,f),w(ar, t)- произвольные функции требуемой гладкости, удовлетворяющие условию TvTT) Ф 0, u(x,() 0. Таким образом, в новых переменных выражение для метрики (3.9) принимает вид [29]: Поскольку произвольная метрика гауссовой кривизны К = — 1 локально приводится к метрике плоскости Лобачевского [14] и гауссова кривизна инвариантна относительно замены переменных, то формула (3.10) локально представляет собой общий вид псевдосферической метрики (А = -1). 3.2.2. Локальные преобразования Бэклунда для эллиптического уравнения Лиувилля Рассмотрим метрику гауссовой кривизны Л" = —1, отвечающую эллиптическому уравнению Лиувилля AQ = е : Согласно предыдущему пункту, локальной заменой координат u(x,t), v(x,t), рассматриваемая метрика (ЗЛ1) приводится к виду (ЗЛО): В результате получим систему дифференциальных соотношений на неизвестные функции, Путем алгебраических вычислений получим, что общим решением данной системы является пара функций, удовлетворяющая условиям Коши-Римана (их = vt,ut = —vx или vx — ut,vt = —их) и ВУХЛЛ ф 0, что в свою очередь приводит к выполнению уравнения Лапласа Аи = 0. С другой стороны, рассмотрим гармоническую функцию u(x,i), удовлетворяющую уравнению Лапласа Аи = 0. Из факта существования локально гармонической функции v(x, ), сопряженной к «(лг,), следует выполнение условии Коши-Римана (их = vt,ut — —vx) и, сравнивая далее метрики (ЗЛО) и (ЗЛ1), получаем известное преобразование Векуа решения уравнения Лапласа u(x,t) к решению уравнения Лиувилля Q(x,t): Соотношение (3.12) является общим локальным решением уравнения Ли-увнлля. Действительно, каждому решению уравнения Лапласа {их + щ ф 0) по формуле (3.12) соответствует некоторое решение уравнения Л иу вилл я; существование обратного отображения следует из существования локальной замены координат. 3.2.3. Локальные преобразования Бэклунда для уравнения Бюргерса Обратимся к псевдосферической метрике общего вида (ЗЛО). Отвечающие данной метрике дифференциальные формы могут быть получены из известного выражения теории подвижного репера ds1 = (CJ1)2-(-(W2)2, например, в следующем виде: Отметим, что в общем виде соответствующие рассматриваемой метрике дифференциальные формы определяются формулами (1.14). Построим по формулам (2.9) дифференциальные формы, отвечающие уравнению Бюргерса, используя спектрально-эволюционные операторы рассматриваемого уравнения, найденные выше и выбрав параметр S = — . Данные формы принимают вид: Преобразуем метрику уравнения Бюргерса к общему виду (ЗЛО), приравняв попарно дифференциальные формы (3.13) и (3.14). Получим следующую систему на функции u(x,t) и v(x t): Для того, чтобы данная система была совместной необходимо и достаточно, чтобы смешанные производные функций u(x,t) и v(x,t) были равны.
Подход к построению матрицы монодромии с помощью калибровочного преобразования специального вида
Проведенные в работе исследования взаимосвязи представления постоянной гауссовой и нулевой кривизны позволяют на новом витке развития взглянуть на роль дифференциально-геометрического подхода в теории нелинейных уравнений математической физики.
Идея представления нелинейного дифференциального уравнения с помощью уравнения Гаусса, предложенная Э.Г. Позняком и А.Г. Поповым содержит в себе не только возможность особой интерпретации уравнений, представление гауссовой кривизны оказывается связанным с алгебраическими и дифференциальными свойствами соответствующих геометрических структур и дает новые возможные трансформации различных методик анализа нелинейных систем.
Одновременно с разработкой геометрических подходов в исследовании нелинейных уравнений возникает перспективная задача геометрического "истолкования" ожидаемых результатов и, возможно, построение обобщений существующих закономерностей в сложных нелинейных системах. Реализация таких идей представляет серьезный практический интерес, т.к. модельные уравнения непосредственно связаны с современными прикладными исследовани ями.
Уникальные возможности подхода к описанию дифференциально--геометрических объектов с помощью структурных уравнений поверхности, использованные в первой главе, позволяют не только получить точные аналитические выражения для искомых объектов, но и детально исследовать данные объекты. Обобщая подходы, предложенные Сасаки (R.Sasaki), результаты первой и второй глав настоящей работы позволяют провести параллель между классами нелинейных дифференциальных уравнений и двумя подходами к описанию рассматриваемых уравнений.
В настоящей работе более детально исследована взаимосвязь представления постоянной гауссовой кривизны и представления нулевой кривизны в направлении обобщения, с дальнейшей целью возможного прикладного использования конкретных результатов и подходов.
Разнообразие возможных вариантов построения операторов представления постоянной гауссовой и нулевой кривизны, рассмотренных в первой главе, подчеркивает тесную связь структурных уравнений поверхности с представлением нулевой кривизны. Возможности построения операторов U,V спектрально-эволю-ционной задачи, представленные в пункте 1.4, открывают пути дальнейших исследований и поиска методов классификации нелинейных уравнений математической физики с помощью дифференциально-геометри-ческих построений.
Существенным результатом, представленным во второй главе, является теорема об отображении класса кинематически интегрируемых уравнений в класс уравнений, допускающих представление постоянной гауссовой кривизны. Данная теорема позволяет строить представления постоянной гауссовой кривизны по представлению нулевой кривизны. Дифференциально-геометрический критерий поставляет необходимые и достаточные условия кинематической интегрируемости уравнений и предлагает определенный путь классификации представлений в зависимости от знака гауссовой кривизны. Безусловно, вопрос практического применения представленного критерия кинематической интегрируемости требует дальнейшего изучения и, прежде всего, зависит от развития аппарата построения представлений для уравнений. В рассмотренных примерах демонстрируются определенные подходы к построению представлений гауссовой и нулевой кривизны, однако рассматриваемые подходы являются частными и не позволяют охватить все возможные модельные уравнения.
Интересным приложением метода обратной задачи рассеяния является матрица монодромии, исследованная в третьей главе. Тесная взаимосвязь с интегралами движения и свойство независимости следа матрицы монодромии от времени предлагают определенные пути исследования не линейных уравнений математической физики с позиции интегральных характеристик.
Полученные в 3.2 преобразования Векуа и Коула-Хопфа отражают не только общие свойства уравнений Л2-класса, связанные с локальными заменами координат, но и содержат дополнительную информацию дифференциально-геометрического характера. Использованная инвариантность гауссовой кривизны относительно локальных преобразований координат позволяет связывать решения различных уравнений Л2-класса, а локальное взаимнооднозначное соответствие самих метрик гарантирует взаимную однозначность получаемых преобразований Бэклунда.
Важное значение имеют прикладные исследования с использованием методов преобразований Бэклунда и дифференциальной геометрии в отношении конкретных уравнений математической физики. Рассмотренная в 3.3. геометрическая интерпретация преобразований Бэклунда и соли-тонных решений для уравнения синус-Гордона, предлагает пути построения и классификации солитонных решений уравнения на основе особенностей соответствующих псевдосферических поверхностей.
В заключение хочется выразить уверенность в дальнейшем развитии дифференциально-геометрического подхода в методах математической физики и связанных с ним новых приложений. В качестве некоторых из них тезисно укажем возможные направления дальнейших исследований:
Исследование особенностей псевдосферических поверхностей, отвечающих солптонным решениям уравнения синус-Гордона
Важное значение имеют прикладные исследования с использованием методов преобразований Бэклунда и дифференциальной геометрии в отношении конкретных уравнений математической физики. Рассмотренная в 3.3. геометрическая интерпретация преобразований Бэклунда и соли-тонных решений для уравнения синус-Гордона, предлагает пути построения и классификации солитонных решений уравнения на основе особенностей соответствующих псевдосферических поверхностей.
В заключение хочется выразить уверенность в дальнейшем развитии дифференциально-геометрического подхода в методах математической физики и связанных с ним новых приложений. В качестве некоторых из них тезисно укажем возможные направления дальнейших исследований: 1) Обобщение полученных результатов на случай переменной гауссовой кривизны К — K(x,t), которое позволит в значительной степени расширить возможности использования дифференциально-геометрических методов в исследованиях нелинейных уравнений математической физики. 2) Установление соответствий между внутригеометрическими характеристиками уравнений и структурами спектрально-эволюционной задачи. 3) Исследование взаимосвязи представлений гауссовой и нулевой крн визны для уравнений относительно комплекснозначных функций (например, нелинейное уравнение Шредингера). 4) Установление геометрической интерпретации матрицы монодро-мии и поиск подходов к построению матрицы монодромии геометрическими методами. 5) Исследование локальных преобразований метрик, отвечающих представлению гауссовой кривизны для уравнений математической физики в связи с калибровочной эквивалентностью представления нулевой кривизны. Выделенные здесь направления относятся к задачам перспективных исследований, продуктивная реализация которых, вероятно, будет связана с использованием синтезированных методик, принципиальная роль в которых отводится геометрии. В заключение, сформулируем общие результаты и утверждения, составляющие основу проведенных исследований представлений гауссовой и нулевой кривизны для уравнений математической физики и их приложений. 1). Доказана теорема существования представления нулевой кривизны для представления постоянной гауссовой кривизны уравнений. 2). Доказана теорема об отображении класса кинематически интегрируемых уравнений в класс уравнений, допускающих представление постоянной гауссовой кривизны. 3). Установлен дифференциально-геометрический критерий кинематической интегрируемости уравнений с операторами /, V спектрально-эволюционной задачи, принадлежащих sw(l, l),su(2) алгебрам Ли. Построены примеры представлений нулевой кривизны и метрик для ряда актуальных уравнений математической физики. 4). Предложены способы построения матрицы монодромии с помощью калибровочного преобразования специального вида и условия интегрируемости мультипликативного интеграла. 5). Геометрическими методами построено локальное преобразование Бэклунда для уравнения Бюргерса, представляющее собой известное преобразование Коула-Хопфа. 6). Исследованы свойства двухсолитонных решений уравнения синус-Гордона и построены соответствующие двухсоли тонные псевдосферические поверхности.
