Введение к работе
Несмотря на то, что теория специальных функций математической физики бурно развивается с середины XIX века, она не потеряла своей актуальности и в настоящее время. Для нахождения многих формул и изучения свойств специальных функций многие годы использовался классический подход - решение дифференциальных уравнений в частных производных методом разделения переменных и отыскание собственных функций дифференциальных операторов в некоторых криволинейных системах координат. Исследования специальных функций классическими методами связаны с трудами Гаусса, Римана, А.Н.Тихонова, АЛ.Самарского, Г.И. Яковлева, Н.НЛебедева, А.Ф.Никифорова и др. Такой подход не мог дать достаточно полного охвата теории специальных функций и вывода многих интегральных соотношений, имеющих прикладное значение.
В работах Э. Картана, Г. Вейля впервые была показана связь специальных функций математической физики с представлениями групп. Дальнейшее развитие теоретико-групповой метод получил в работах МА. Наймарка [41], И.М. Гельфацда [12]-[18] и их последователей в области представлений групп: ФА. Березина[2], Р. Годмана, Хари-Чацдра, И. Шура, АА Кирилова [30]-[32] и др. В работах Ф. Петера построены унитарные представления нильпо-тентных групп Ли. Близким вопросам в области теории представлений групп и их приложений посвящены исследования Д.П. Желобенко [24]-[27], В. Рудина, Г. Макки, МИ. Граева [18], [19], И.С. Шапиро [50], В.К. Рогова [49], В.Ф. Молчанова [40], Р.С. Исмагилова [28], С. Г. Гиндикина и др.
Особенный интерес, в области приложения представлений групп к теории специальных функций, представляют исследования М.И. Граева, Н.Я. Виленкина [5]-[11], А.У. Климыка [34]-[37] и их учеников. Изучение специальных функций на основе теории представлений групп связано также с трудами А. И. Нижникова [45]-[47] ВА Петрова [6],Л.М. Клесовой [33], СВ. Кольцовой, идр.
)>0С. НАЦИОНАЛЬНАЯ!
би&лнотека !
Актуальность темы: Несмотря на обширность литературы по исследованию специальных функций, использование метода теории представлений групп даёт огромные возможности получения интегральных соотношений для различных специальных функций и их комбинаций не встречавшихся ранее.
Цель работы состоит в исследовании некоторых классов специальных функций математической физики методами теории представлений группы SO(p,q)
При реализации этой цели были решены следующие задачи:
описаны трёхмерная группа Лоренца SO(2,l), псевдоортогональные группы Л'С)(2,2) и S()(p,p +1) , их подгруппы и разложения;
построены многообразия на конусе |4>5]=0, инвариантные относительно подгрупп в
группах .SW(2,l), да(2,2) и SO(p,p + \), системы координат на многообразиях и инвариантные относительно этих подгрупп меры на многообразиях;
построены представления T(g) групп S0(2tl), $0{2,2) к SO{p,p + \);
построены канонические базисы на многообразиях, связанные с редукциями групп ,sy;(2,i), S(){2,2) и S()(p ,/? + )) на подгруппы и состоящие из собственных функций операторов T\h) , соответствующих некоторым подгруппам Н;
матричные элементы операторов перехода между базисами, соответствующими редукции группы на подгруппы, выражены через функции Уиттекера и гамма-функции;
матричные элементы операторов перехода между базисами, соответствующими редукции
группы SO\2,2) на некоторые подгруппы, выражены через функции Уиттекера, обоб
щенные гипергеометрические ,* іи бета~ФУнкции!
- матричные элементы операторов перехода между базисами, соответствующими редукции
группы S()(p,p + \) на подгруппы, выражены через обобщённые гипергеометрические
]Г функции и гамма-функции;
получены интегральные соотношения для функций Макдональда, Уиттекера, обобщённых гипергеометрических функций, G - функций Мейера;
получены интегральные соотношения для специальных функций, связанные с переходом между параболоидом, сферой и гиперболоидом.
О б ъ исследование ЯВЛЯЮТСЯ специальные и и математической физики и ква-
зирегулярные предотавле
Предметом исследования являются интегральные соотношения для некоторых классов специальных функций (функций Уиттекера, Макдональда, Лежацдра, гипергеометрических, (/-функций Мейера, многочленов Гегенбауэра и обобщённых гипергеометрических рядов), полученные с помощью представлений групп 50(2,1),50(2,2) и SO(p,p + \).
Методологическую основу исследования составляют методы теории представлений групп, математической физики и математического анализа. Общая теория представлений псевдоортогональной группы SO(p,q) была разработана в [43]. Применение метода теории представлений групп к исследованию специальных функций разработано Виленкиным Н Я , КлимыкомА.У., НижниковымА.И. вработах [7], [10], [45]-[47] (сиспользованием представлений группы Лоренца). Их труды и являются модельными для данного исследования
Научная новизна. Все приведённые в работе тождества и интегральные соотношения для специальных функций математической физики были получены автором и являются новыми
Практическая значимость работы. Полученные в работе интегральные соотношения, связывают различные классы специальных функций. Приложения формул для специальных функций хорошо известны (например, к задачам математической физики, астрономии, гене* тики, в разделах физики таких, как ядерная спектроскопия, теории упругости и теплопроводности, квантовая механика и других областях). Аналогичные приложения могут, по-видимому, иметь полученные в работе соотношения, а также могут быть использованы для получения других соотношений для специальных функций с помощью представлений групп
Апробация работы. Результаты исследований докладывались на первой всероссийской научно-технической конференции «Современные проблемы математики и естествознания» (Нижний Новгород, 2002г), на научно-исследовательских конференциях в МГОПУ им М А Шолохова (2000-04 гг.), обсуждались на семинарах по современным вопросам математики в Mill У, на кафедре высшей математики МГОПУ им. М А.Шолохова(2003-04гг), а также на семинаре по мат. физике в Институте прикладной математики им. Келдыша (заседание №191,2004г.)
Публикации. По результатам исследований было опубликовано 12 работ, список которых приведён в конце автореферата - работы [50]- [61] из списка литературы.
Структура и объём работы. Работа состоит из введения, трёх глав, заключения и списка литературы. Глава 1 состоит из четырёх параграфов, глава 2 из двух параграфов, а глава 3 и $ пяти параграфов, каждый из которых разбит на пункты. Полный объём работы состоит и J 164 страниц. В списке литературы содержится 88 работ (монографий и научных статей).
