Содержание к диссертации
Введение
1 Введение. 4
1 Некоторые алгебраические характеризации семейства непрерывных функций- 22
1.1 е-Кольцевая характеризация семейства непрерывных функций 22
1.1.1 Предварительные сведения 22
1.1.2 Необходимые характеристические кольцевые свойства семейства С(К). Понятие с-кольца 24
1.1.3 Наделение с-кольца структурой R-алгебры 25
1.1.4 Введение структуры нормированной упорядоченной R-алгебры 35
1.1.5 Описание факторов с-кольца по максимальным идеалам 38
1.1.6 Реализация с-кольца в виде кольца веществешю-значных функций. 41
1.1.7 Реализация с-кольца в виде кольца непрерывных веществешю-значных функций 43
1.1.8 Случай комплекспо-значиых функций 45
1.1.9 Случай функций со значением в кватернионах 47
1.1.10 Доказательство эквивалентности условий 50
1.2 Характеризация семейства непрерывных функций в терминах коммутативных /-групп 52
1.2.1 Коммутативные /-группы и с/-группы 52
1.2.2 Необходимые характеристические свойства семейства непрерывных функций на компактном пространстве 53
1.2.3 Наделение е/-группы структурой линейного решёточного пространства над полем К 53
1.2.4 Введение структуры нормированного решёточного пространства 59
1.2.5 Реализация с-группы в виде d-группы непрерывных веществешю-значных функций 61
2 Описание расширения Римана с/-группы непрерывных функций. 63
2.1 Коммутативные /г-группы и dr-группы 64
2.1.1 с/-Групповыс фактор-пространства 64
2.1.2 Коммутативные fr-группы и /r-расширенпя 08
2.1.3 c/r-Грунпы її dr-расшпршия G8
2.1.4 Элементарные типы полноты. Понятие регулярного пополнения. 70
2.1.5 Функционально-факторные с/г-группы 72
2.1.6 Функционально-факторные с/г-расширения, порождаемые равномерными функциями 76
2.2 Функциональное описание расширения Римапа 78
2.2.1 Основные понятия 78
2.2.2 Описание функций, /^-интегрируемых по Римапу 83
2.3 Расширение Римапа и сечения в С 92
2.3.1 cfjy-Расширения 92
2.3.2 Предварительные леммы 95
2.3.3 Теорема граничности 97
2.3.4 Теорема полноты 99
2.3.5 Теорема регулярности 102
2.3.6 Расширение Римапа как регулярное пополнение. Теорема единственности 104
- Необходимые характеристические кольцевые свойства семейства С(К). Понятие с-кольца
- Характеризация семейства непрерывных функций в терминах коммутативных /-групп
- Функциональное описание расширения Римапа
- Теорема полноты
Введение к работе
Данная диссертация посвящена исследованию колец и решёточио-унорядочсппых груші непрерывных функций и функций, интегрируемых по Рішану. Главной целью работы является чисто алгебраическая характеризацпя семейства непрерывных функций па компактном пространстве и его классического расширения, составленного из функции, интегрируемых по Рішану. Результаты работы относятся к теории функциональных алгебраических систем, то есть к той части алгебры, которая изучает алгебраические системы функций, возникающие в разных разделах математики, таких, как теория функций, математический анализ, топология, теория меры и другие.
Истоки этой теории восходят к знаменитой теореме Вейерштраееа о плотности подалгебры многочленов в алгебре непрерывных функций на отрезке (см., например, [I]1, Гл. 7, 7.24 и [2]2, IV, 5). Основополагающие результаты в этой теории были получены М. Стоуном (см., например, [З]3, II, 7 и ЩА, Введение, 2), И.М. Гельфандом ([5]5 , III, 11), Какутани ([б]6), М.Г. Крейном и С.Г. Крейном ([7]7). Алгебраическим системам непрерывных функций были посвящены монографии ([8]8) и ([9]9). Различные классические расширения кольца и банаховой алгебры непрерывных функций были 1 Рудин У. Основы математического анализа- М.: Мир, 1966. 3 Натансон II.П. Теория функций вещественной переменной- М.: Наука, 1974, 3 Hewitt Е., Stromberg К. Real and Abstract Analysis - Berlin: Springer-Verlag, 1975. 4 Иосида К. Функциональный анализ - М.: Мир, 19G7. 5 Наймарк М.А. Нормированные кольца - М.: Наука, 1968. с Kakutani S. Concrete representation of abstract (M)-spaces // Ann. of Math., 1941. V.42. P. 994-1024. 7 Крейп М.Г., Крейн С.Г. Об одной внутренней характеристике пространства всех непрерывных функций, определе?тых на хаусдорфовом бикомпактном мнооїсестве // Доклады Академии Наук СССР,
1940. Т.27. С. 427-431. 8 L. Gillman, М. Jerison Rings of continuous functions. - New-York: D. Van Nostrand Company, Inc., 1960. B Scmadeni Z. Banach spaces of continuous functions // Warszawa: Polish Scientific Publishers, 1971. изучены В. К. Захаровым {см., например, [10]10, [II]11, [12]12, [ІЗ]13 и [М]14). Описание этих классических расширений в категории d-групп с измельчениями было начато В. К. Захаровым в работе [15]15.
Целью данной работы является алгебраическая характеризацня семейства С(К) всех нещсственнс-значных непрерывных функции в терминах колец и коммутативных решсточио-упорядочешшх групп, а также алгебраическая характер из ация его классического расширения, составленного из функций, интегрируемых по Рішану.
Основные результаты являются новыми и состоят в следующем: дана характеризацня семейства всех непрерывных функций С(К) на компактном пространстве К в чисто кольцевых терминах для случаев вещественно-значных (в формулировке Дельфосса), комплексно-значиых и кватернионно-значных функций; дана характеризацня семейства всех вещественно-значных непрерывных функций С(К) на компактном пространстве К в терминах коммутативных решёточпо-упорядоченных групп; для расширения Рішана коммутативной решёточпо-упорядоченной группы С(К) непрерывных функций доказаны теоремы граиичпости и полноты, близкие к теоремам граиичпости и полноты для расширения Дедекинда Q С R поля рациональных чисел; 10 Захаров В. К. Связь между классическим кольцом частных кольца непрерывных функций и функциями, интегрируемыми по Риману// Фундаментальная и прикладная математика, 1995. Т.1, вып.
1. СЛ61-176. 11 Захаров В. К. Связи между расширением Римана и классическим кольцом частных и меоіеду прообразом Семадени и секвенциальным абсолютом// Труды московского математического общества,
1990. Т. 57. С.239-262. 12 Zaharov V.K. Alexandrovian cover and Sierpin'skian extension// Studia Sci. Math. Hung. 1989. V.24. R93-1I7. 13 Захаров В. К. Связь между полным кольцом частных кольца непрерывных функций, регулярным пополнением и расширениями Хаусдорфа-Ссрпинского// Успехи математических наук, 1990. Т. 45, вып. б. С. 133-134. 14 Захаров В. К. Счетно-делимое расширение и расширение Бэра кольца и банаховой алгебры непрерывных функций как делимая оболочка// Алгебра и анализ, 1993. Т. 5, вып. 6. С.121-138. 15 Захаров U.K.Описание некоторых расширений ееліейства непрерывных функций посредством порядкових границ // Доклады Академии Наук, 2005. Т.400, №4. С.444-448.
4. дана характеризацпя классического расширения коммутативной решёточно-упорядочсшюй группы С(К), состоящего из функции, интегрируемых по Рішану, как расширения, обладающего свойствами граинчностп, полноты и регулярности.
В работе используются методы и результаты теории колец, коммутативной алгебры, теории банаховых пространств и алгебр и теории решёточпо-упорядоченных групп.
Работа носит теоретический характер. Её методы и результаты могут быть использованы для дальнейшего изучения семейств непрерывных функций со значениями в различных полях и их классических расширений, составленных из функций, интегрируемых по Лебегу.
Основные результаты диссертации докладывались па семинаре "Кольца и модули" кафедры высшей алгебры МГУ; на семинаре "Научно-исследовательский семинар по алгебре" кафедры высшей алгебры МГУ; на международной алгебраической конференции, посвященной 250-летию московского университета (Москва, Россия, 2004 г.); на международной конференции "Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ", посвященной столетию СМ. Никольского (Москва, Россия, 2005 г.).
Основные результаты опубликованы в 5-ти работах, список которых приведен в конце автореферата [1-5].
Диссертация состоит из оглавления, введения, двух глав и списка литературы. Полный объем диссертации — 111 страниц, библиография включает 37 иаименований.
В диссертации используется терминология, принятая в книгах [16]16, [17]17, [18]18, [19]19,[20]20, [21]21. Использование особых терминов будет каждый раз специально оговариваться.
Первая глава посвящена характеризации некоторых алгебраических систем, представимых в виде множества всех непрерывных ограниченных функций на тихоновском пространстве. В качестве таких алгебраических систем рассматриваются коммутативные кольца и решёточные коммутативные группы. Глава состоит из двух 16 Ламбек И. Кольца и модули - М.: Мир, 1971. 17 Фейс К. Алгебра: кольца, модули и категории- М.: Мир, 1977. 18 Engclking R. General topology - Warszawa: Polish Scientific Publishers, 1977. 19 Биркгоф Г. Теория решёток - М: Наука, 1984. 20 Фукс Л. Частично упорядоченные алгебраические системы - М: Мир, 19С5. 21 Богачсв В. И. Основы теории меры. Толі 1 и 2- Москва-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2003. параграфов: в первом параграфе рассматривается кольцевой случай, во втором параграфе рассматривается решеточно-групповой случаи.
В первом параграфе первой главы решается задача характерніший семейства С (К) всех вещественно-значпых непрерывных функций па компактном пространстве К в чисто кольцевых терминах. В 1940 году М.Г. Крсйпом, С.Г. Крейном [7] и Какутапн [6] была получена знаменитая характеризацин семейства С(К) всех всщсствспно-значпых непрерывных функций па компактном пространстве К как упорядоченного банахова пространства. Почти одновременно И.М. Гельфандом [22]22 семейство С{К) было охарактеризовано как банахова алгебра. Обе эти характеризацин существенно использовали умножение па вещественные числа. В связи с этим И.М. Гельфандом ещё в сороковые годы была поставлена задача нахождения чисто кольцевой характеризацин семейства С(К). Работа Дельфосса [23]23 и была первой попыткой решить эту задачу.
В 1975 году Дельфосс в заметке [23] анонсировал следующий результат: коммутативное кольцо А с единицей 1 изоморфно кольцу С{К), если и только если оно обладает следующими свойствами: для любых а, Ь Є А существует с Є А такое, что a2 + b2 = с2; для любого а Є А существуют Ь Є А и с Є А такие, что а = Ь2 — с2 и Ьс = 0; для любого а существует (1 4- а2)-1; если для а существует последовательность (Ьп Є А\п Є N) такая, что п(а2 + Ь2) = 1, то а — 0; для любого а существуют b Є А и п Є N такие, что а2 + Ь2 = пі;
6) если (ап Є А\п Є М) — последовательность, для которой существует последовательность (т* Є N\k Є N) такая, что k((am — ап)2 + Ь2) — 1 для всех т, п > тки соответствующих 6 = Ь(к,т,п), то существует а Є Л, для которого существует последовательность (пк Є Щк Є N) такая, что к((а — ап)2 + с2) = 1 для всех п > щи соответствующих с= с(куп).
Так как не было опубликовано никакого доказательства теоремы Дельфосса, то первый параграф посвящен полному и строгому доказательству этой теоремы. Для этого условия
4) - б) были заменены своими условиями: 72 Гельфанд И.М. Normierte ringc // Математический сборник. 1941. Т9. С. 3 - 24. 23 Delfosse J.-F. Caracterizations d'anneaux de fonctions continues // Ann. Soc. Sci. Bruxclles, ser.I. 1975. V.89. P. 364-3G8.
А') если для а существует последовательность (Ьп Л\п N) такая, что ті2(а2 + 1%) = 1, то а = 0;
5') для любого а существуют b Є А и п2 Є N такие, что а2 + Ь2 = тг21;
6') если (ап Є Л|п Є N) — последовательность, для которой существует последовательность (т& Є NJA: Є N) такая, что к2((ат — ап)2 + b2) = 1 для всех т7п > пік и соответствующих b = b(k, m, п), то существует а Є Л, для которого существует последовательность ( Є N|& Є N) такая, что к2((а — ап)2 + (?) ~ 1 для всех п > п& и соответствующих с = c(fc, л).
Приводится полное доказательство теоремы характеризации с модифицированными условиями 1)-3), 4')-6') (см. теорему 1 из пункта 1.1.1), что является решением задачи И.М. Гельфапда. В конце этого параграфа приводится доказательство эквивалентности набора условий 1)-3), 4') — б7) с модифицированными условиями 4')-6')первоначальному набору условий Дельфосса 1)-6).
Далее теорема характеризации расширяется на случай комплексно-значных функций (см. теорему 3 из пункта 1.1.8)
Теорема 3. Коммутативное кольцо А с единицей 1 изоморфно кольцу непрерывных комплексно-значных функций на компактном пространстве, если оно обладает следующими свойствами: а) существует элемент I А такой, что I I = — 1; б) существует подкольцо А0 в кольце А такое, что І і А0,
Кольцо А представимо в виде прямой суммы A = Aq +1 Aq; в) подкольцо Aq обладает уже известными следующими свойствальи: для любых а, b Є А0 существует с Є Aq такое, что а2 + Ь2 — с2; для любого а Є А0 существуют Ь Є А0 и с Є А0 такие, что а = Ь2 — с2 и be — 0; для любого а существует (1 + о?)~1; если для а существует последовательность (Ьп Є А0\п Є N) такая, что п2{а? + Ь\) = 1, то а = 0; для любого а существуют Ъ Є Aq uneN такие, что a2 + b2 = п21;
6) если (ап Є А0\п Є N) — последовательность, для которой существует последовательность (mh Є Щк N) такая, что k2((am~an)2+b2) = 1 для всехт,п > тки соответствующих b = b(k, т, п), то существует а Є А0, для которого существует последовательность (п^ Є Щк Є N) такая, что k2((a — ап)2 + с2) = 1 для всех п > пк и соответствующих с = с(к, п).
Также приводится расширение результата на случай функции со значеннями в кватернионах (см. теорему 4 из пункта 1.1.9):
Теорема 4. Коммутативное кольцо А с едгмицей 1 изоморфно кольцу непрерывных функций на компактном пространстве со значениями в кватернионах, если и только если оно обладает следующими свойствами: а) существуют элементы I, J, К Є А такие, что их произведение задается с помощью таблицы: б) существует подколъцо Aq в кольце А такое, что l)I4J,KiAo,
2) Кольцо А представимо в виде прямой суммы А = А0 + / А0 + J Aq + К Aq; в) подколъцо Aq обладает следующими свойствами: для любых а, Ь Є А0 существует с Є А0 такое, что a2 + b2 = с2; для любого а Є А0 существуют Ь Є А0 и с Є А0 такие, что а = Ь2 — с2 и be = 0; для любого а существует (1 +а3)-1; если для а существует последовательность (Ьп Є AQ\n Є N) такая, что п7(а2 + f) = 1, то a = 0; для любого а существуют Ь Є А0 un^N такие, что а2 + \? — п21;
6) если (а„ Є Аа\п Є N) — последовательность, для которой существует последовательность (т& Є Щк & N) такая, что к2{{аш —ап)2+Ь2) = 1 для всехт,п > 77 и соответствующих b = b(k,m,n), то существует а Є А0, для которого существует последовательность (пк Є Щк Є N) такая, что к2((а — ап)2 + с2) = 1 для всех п > щ и соответствующих с = с(к,п).
Во втором параграфе первой главы решается задача характсризацші семейства С(К) всех вещественно-значных непрерывных функций на компактном пространстве К в терминах коммутативных решёточноунорядоченпых групп (см. теорему 1 из пункта 1.2.5). Доказана теорема, утверждающая, что произвольная d-гругша (см. ниже) Л реализуется в виде с/-груниы С всех непрерывных ограниченных функций на некотором компактном пространстве.
Решёточно-упорядочеппые группы в книге [19] называются решёточно-упорядоченными группами или l-группами, а в книге [20] называются структурно-угюрядоченнъши группами. Далее будет удобнее использовать короткий термин "l-группа" для обозначения решёточпо-упорядоченпой группы.
Коммутативную /-группу А с выделешшым элементом 1 будем называть сі-группой, если: Vn Є NVa Є АЗЬ Є А(а = nb); Vo, 6 Є А(а > 0 Л Vn Є N(na < b) => a = 0); Va Є ЛЗгс Є N(|o| < nl); для любой последовательности (a„ Є Л|п Є N) такой, что для любого к Є N существует п Є N такое, что |ap — aq| < 1/fc для любых p,q > п, существует элемент а Є А такой, что для любого к &N существует п Є N такое, что \а — ар\ < 1/к для любого р>п.
Подгруппу и подрешётку В d-группы А, являющуюся d-группой, будем называть сі-подгруппой cl-группы А. Пусть С — фиксированная с/-группа. Инъсктивный (I-групповой) гомоморфизм и : С —ї А, где А является ^-группой, назовём 1-расширением I-группы С. В случае, когда С — фиксированная е/-группа, инъективный (сі-групповой) гомоморфизм и : С -ї А, где А является eJ-грушюй, назовём сі-расширепием cl-группы, С.
Легко показать, что семейство С (К) всех непрерывных ограниченных функций на некотором компактном пространстве обладает абстрактными свойстви с/-группы.
В пункте 1.2.5 доказывается, что с/-группа А является М/-пространством в смысле Какутани (см. [9]). Откуда следует справедливость следующей теоремы (см. теорему 1 из пункта 1.2.5):
Теорема 1. l-Группа является сі-группой, если и только если она изоморфна сі-группє С всех непрерывных ограниченных функций па некотором тихоновском пространстве.
Вторая глава диссертации посвящена изучению множества RIlt функций, интегрируемых по Рішану, и множества Ш^/СМц классов эквивалентности этих функций относительно идеала пренебрежимых множеств СМ^. Оказывается, что эти, ставшие уже классическими, объекты являются е/-группами и, следовательно, по второй основной теореме главы 1 (см. теорему 1 из пункта 1.2.5), представпмы в виде семейства непрерывных функций на некоторых компактных пространствах, а именно, RI^ т С(К) (см. следствие 5 из пункта 2.2.2) и Rl^/Chf^ и C(Q) (см. следствие 7 из пункта 2.2.2). е/-Группа R ~ Ш^/СЫц изучается пе сама но себе, а во взаимоотношении с с/-группой С всех ограниченных непрерывных функций, то есть рассматривается расширение С —> R, называемое далее расширением Рилшиа семейства С. Так как Я ~ C(Q), то это расширение естественно называть расширением типа С или короче с-расширепием.
Несмотря на то, что функции, интегрируемые по Рішану, известны уже более 150 лет, взаимоотношение между алгебраическими с-системами С и R оказалось весьма загадочным и мало исследованным. В работах [10] и [11] орасширение С —У R было охарактеризовано в классе с-колец.
Во второй главе диссертации решается задача характеризации c-расширеішя С —» R в классе d-групп. Решение этой задачи разбито па три параграфа. В первом параграфе второй главы вводятся основные понятия, определения и доказывается ряд утверждений, которые используются в дальнейшем.
Пусть Л — фиксированное упорядоченное множество с наименьшим элементом 0. Для элемента А Є Л и коллекции (А^ Є Л| Є Н) будем писать А = 1ор(А^| є 5), если Af < А, и для любого 0 < fi < А существуют о и и такие, что 0<і/їо.
Семейство всех идеалов в коммутативной /-группе А будем обозначать через 1(A) Коллекцию идеалов 21 = (А\ Х(Л)|А Є Л) назовём измельчением коммутативной I-группы А, если: а) А\ = А тогда и только тогда, когда А = 0; б) Л(Ад|А Є Л) = 0; в) А < \l влечёт Ati С А\ и г) A = top(A^|^ Н) влечёт Лд = П(Лд(| Є Н). Коммутативную /-группу А с измельчением 21 назовём коммутативной lr-группой и обозначим через (Л,21). Фактор-гомоморфизм из коммутативной /-группы А в коммутативную /-группу AfA\ будем обозначать через Ид : А — AjA\.
Пусть (С, <) - фиксированная коммутативная /г-группа с фиксированным измельчением = {Сд Є Х(С)\Х Є Л). Расширение и : С —ї А, где (А,21) является коммутативной /г-группой с измельчением 21 = (/Ід Є Х(Л)[А Є Л), назовём /г-расширением коммутативной lr-группы (С,), если С\ = и-1[Лд]. Такое расширение обозначим через и : (С, ) —> (А,Ш). Морфизмом из и : (С, ) -» (Д21) в й : (С,) —У (Л, 21) назовем гомомор(])іізм v : А — А такой, что v о и = и и v[A\] С Лд. Если, вдобавок, v шгьективен и Лд = гі_1[Лл], то скажем, что второе 1г-расширение больше первого. Этот гомоморфизм назовём изолюрфизмом, если: 1) w является биективным и 2) v[Ax\ = А\ для любого А Є Л.
Пусть А является с/-группой. Коллекцию замкнутых идеалов 21 = [А\ Є С(Л)[А Є Л) назовём изліельчепием el-группы Л, если: а) Лд = Л тогда и только тогда, когда А = 0; б) П(ЛА|А Є Л) 0; в) А < ц влечет А^ С Ах и г) A = top(A?f Є Е) влечёт ЛА = П(Лд(|^ Є Е). d-Группу Л с измельчением 21 назовём dr-группой и обозначим через (Л, 21). Фактор-гомоморфизм из d-группы Л в с/-группу Л/Лд будем обозначать через ид : Л —» Л/Лд.
Пусть (С, ) - фиксированная с/г-группа с фиксированным измельчением = (Сд Є С(С)|А Є Л). d-Расширсиие и : С —> А, где (Л,21) является dr-группой с измельчением 21 = (Лд Є С(Л)|А Є Л), назовём сіг-расширениелі clr-группи (С,С), если Сд = к_1[Лд]. Такое расширение обозначим через и : (С, С) -> (Л, 21). Морфизмом из и : (С, ) -» (Л, 21) е й : (С, ) —> (Л, 21) назовём гомоморфизм и: Л-> Л такой, что v о и = й и и[Лд] С Лд. Если, вдобавок, и инъективеп и Лд — и-1[Лд], то скажем, что второе dr-расширеиие больше первого.
Далее в этом параграфе вводятся понятия полноты и регулярного пополнения, позволяющие охарактеризовать расширение Римана чисто алгебраическими методами в терминах коммутативных /-групп с измельчениями и с/-групп с измельчениями.
Пусть Л является коммутативной /-группой и Р и Q — непустые подмножества в Л. Пару (Р, Q) назовём (порядковым) сечением в А, если р < q для любых р є Р и q Q и int{q — р\р єРЛ#Є(?} = 0вЛ. Пусть (Л, 21) — некоторая коммутативная /г-группа. Пару (P,Q) назовём г-сечегіиелі, если р < q для любых р Є jP и g Є Q и іпі^г/дд —«дРІр Є PAg Є (3} = 0 в Л/Лд для каждого А Є Л, где и\ —фактор-гомоморфизм из коммутативной /-группы Л в коммутативную /-группу А/А\. Элемент а Є А назовём г-супремумом [г-ипфиліулюм] множества Р [соответственно Q], если и\а = зирид[Р] [соответственно и\а ~ infu\[Q)] в Л/Лд для любого А Є Л, что равносильно тому, что пара (Р,{а}) [соответственно ({а}, С?)] является г-ссченнем. В этом случае будем писать а = г — supP [соответственно а ~ г — inf Q].
Элемент а Є А назовём границей сечения (P,Q), если a = supP = infQ. Элемент а Є Л назовём г-граигщей г-сечепия (P,Q), если а = г — supP — і— inf Q.
Множество всох г-сеченші (Р, Q) в Л будем обозначать через Cut. Множество всех счётных r-сечений (Р, Q) в А будем обозначать через Cut0. Далее через 0 будем обозначать одни из символов 0 и 0; при этом условимся символ 0 в индексе опускать.
Коммутативную /r-группу (А, 21) назовём полной по типу Cut0, если любое г-сечение (Р, Q) и А такое, что (Р, Q) Є Cut8, имеет в А г-гранпцу. Исходя из этого определения, /г-расширенпе и : (С, it) —) (А, 21) назовём полиылг по типу Cut8, если коммутативная /г-группа (А, 21) является таковой по типу Cut0. /r-Расширение и : (С, С) —> (А, 21) назовём граничным 1г-расширением типа Cut, если любой элемент а Є А является r-границей некоторого r-сечения (Р, Q) в А такого, что {P,Q)eCute nP,QCu[C].
Если /r-расширение и : (С, С) —> (А, 21) является с/г-расширением, предыдущее определение примет следующий вид: с/г-расширение и : (С, ) -» (Л,2І) назовём граничным clr-расширением типа Cut , если любой элемент а Є А является г-границей некоторого r-сечения (Р, Q) в А такого, что Р, Q С и[С].
Общее понятие dr-пополнепия было введено в работе [15]. Это понятие обслуживает многие различные классические с/г-расширения c^r-группы (С, t) всех ограниченных непрерывных функций на тихоновском пространстве Т (см. тамже).
Однако, для расширения Римапа С —> RI/CAf автором было введено новое, более простое и более алгебраическое понятие регулярного 1г-пополнения.
Пусть отображение и : (С, ) —У {А, 21) является некоторым ^-расширением коммутативной /г-группы (С, ). Это /r-расширение назовём регулярнм, если для любой коллекции (сі Є С\і I) и для любого элемента с Є С равенства с = г — 8ир(сг- С\г Є /) в С и ис = г — sup(ucj Є А\і Є І) в Л равносильны.
Регулярное /r-расширение и : (С, С) —ї (А, 21) назовём регулярным 1г-пополнением типа Cut0 коммутативной lr-группы (С,), если: 1) оно является граничным по типу Cut0; 2) оно является полным по типу Cut0, сіr-Расшпрение и : (С, (Г) —> {Л, 21), являющееся регулярным /г-пополненисм типа Cut0 c/r-группы {С, С) назовём регулярным clr-пополнепиєлі типа Cut0 clr-группы (С, (Г).
В отличии от с/г-пополнения типа Z0c\aZ0c из [15] регулярное /г-пополпенне типа Cut0, во-первых, не требует понятия dr-группы (а только коммутативной /г-группы), а во-вторых, доказательство единственности проводится чисто алгебраическим путём.
Далее шюдптся понятие функционально-факторной с/-группы. Пусть F является коммутативной d-подгруппоп с/-группы всех ограниченных R-зпачпых функции па множестве Т с единичным элементом 1. Будем называть её фупкциопалыюй сі-группой на мнооїсестве Т.
Множество всех подмножеств множества Т обозначим через V. Идеал X в решетке V будем называть идеалом па мнооїсестве Т.
Функции / и g из F называются эквивалентными относительно идела X (= X-эквивалентпылш), если множество {t Є Tj|/(i) — <}{t)\ >}Ї для любого є > 0. Будем это обозначать через / ~ gmodX. Множество классов эквивалентности f = /niodX всех функций / Є F обозначим через F/X. d-Груипу F/X будем называть фупкиоиалъпо-факторной сі-группой на множестве Т.
Во втором параграфе второй главы решается задача функционального описания семейства функций, интегрируемых по Риману. В диссертации понятия интеграла Рнмаиа и функции, интегрируемой по Риману, обобщаются на достаточно общие топологические пространства с радоновскими мерами.
Пусть (Т, Q) — тихоновское топологическое пространство с семейством Q) всех открытых множеств и її — положительная ограниченная радоновская мера на Т, то есть (Т-аддитивная функция fi : М. —> [0,а] С К, определенная на сг-алгебре Лт, содержащей сг-алгебру В всех борелевских множеств пространства Т, и такая, что цМ — sup{fiK\K С В&.К — компактное множество } для любого М Є /А. Через CJ\f^ обозначим <т-идеал всех /i-нренебрежимых множеств из Т.
При определении интеграла Рнмаиа для топологического измеримого пространства (T,Q,{i) естественным представляется подход через /j-жордаиовы множества. Множество Р из Т называется ii-экюрданобым, если hT(P) Є Л^, где hT(P) = clr(-P) \ intTP — топологическая граница множества Р в пространстве (Т, Q). Семейство всех и-жордаповых множеств из Г обозначим через ^/(T,Q, /j). Оно является булевой алгеброй относительно теоретико-множественных операций. Покрытие (А'а С Т \ а Л) множества Т называется разбиением Т, если Ха П Хр = 0 для любых а ф /3 из А. Рассмотрим множество Г ^ Г(Т, G,fi) всех конечных и-оісорданових разбиений n = (Pfc Є ^(Т,0,^) \ к Є К) множества Т, состоящих из ^-жордаповых множеств.
Рассмотрим множество Д = A(T,Q,ii) всех конечных разбиений х = {Qk Є Q U CM^ \ к Є К) множества Т, состоящих из открытых множеств и /ьпрепебрежимых множеств. Разбиение к является /і-жордаповьш. Действительно, рассмотрим множества К' = {к Є К і Qk є Я Л Qk CMtl} и К" = {к є К | Qk є ЛҐ„}- Есл» * є #'* то ГгШ = сідЛ Qk С Т \ U(Qk eg \к е К') = U(Qk Є СМ„ \ к є К") Є САГ». Если к Є К", то fr(Qfc) = cl Qk \ int Qjt С cl ( С Г \ U(Qfc Є | & Є /С) Є jCJV,,. Назовем это /г-жордаїюпо разбиение я- Є Д простым. Каждому /і-жордапову разбиению тг Є Г сопоставляется простое /л-жордановоразбиение >г = (G^,iVfc j к Є /С), где Gk = int/ Є д и iVfc = Pk\Gk Є
Из всего сказанного выше следует, что для определения интеграла Римана для пространства (Т, Q, и) нет необходимости использовать сложную булеву алгебру J(T, Q, (і) и множество Г всех //-жордановых разбиений х, а достаточно рассматривать только его подмножество Д простых /i-жордаповых разбиений к.
Скажем, что разбиение Л = {R\ \ І Є L) Д является более тонким (X ^ >с), чем разбиение к = {Qk \ к є К) Є Д, если для любого к є К существует L' с L такое, что а* = и(Ді|гєх/).
Относительно этого порядка Д является направленным вверх. Для каждого разбиения и Є Д рассмотрим нюіснюю ${f,x) ^ 2 ОпД/(01* е Qfc)^Qfc|& Є /<Г) и верхнюю S{f,>e) = 2 (sup(/(i)jf Є Qjt)j"Qfc|^ Є /С) суммы Дарбу ограниченной функции / : Т —У Ж. Ясно, что {s(f, яг)|лг Д) возрастает, (5(/,^)|х Є Д) убывает и s(f,?t) < S(f,x).
Ограниченная функция / : Т — R называется {і-интегрируемой по Рішану на топологическом измеримом пространстве (Т,?,^), если sup(s(/,^)|x Д) — inf(5(/,x)jxA).
Если функция / является /^-интегрируемой по Риману на (Г, 5,/і), то число sup(s(/, к) | ж Є Д) = inf((/, *f) І х Є Д) называется ^-интегралом Римана от функции f по пространству (Т,д,ц) и обозначается через г^/.
Данное определение является обобщением классического определения интеграла
Римана 1т! — / / /fail »xn)
Действительно, пусть А — мера Лебега иа Rn, порожденная объемом параллелепипедов
У{Щ\хі,Уї\ | г = 1,...,п)) = П(у,- - Xj | г = 1,...,п), где |ж,-,?/;| — произвольный ^Никольский СМ. Курс ліатпшатического анализа. Т. 1 и 2. — М.: Наука, 1991. отрезок вида [х*,у,-], ]х,-,уг, [хі,Уі[ н ]хі,уі] для х; ^ уі из М. Пусть временно fi = Л | Т — мера Лебега на Т. Для определения /^-интеграла Рішана г^/ на топологическом измеримом пространстве (Т, п) \ Т) U -СЛ/^ этого пространства. А для определения классического интеграла Рішана /г/ используются измеримые по Жордану множества J топологического измеримого пространства (R",6(Rn),m) (см. [24]; 12.2). И совершенно не очевидно, что простые /ьжордановы множества Q являются измеримыми по Жордану множествами в пространстве (R",7(Rn), гга). Поэтому для доказательства равносильности этих определений приходится проводить достаточно тонкое топологическое рассмотрение (см. теорему 1 из пункта 2.2.1).
Теорема 1. Пусть Т — измеримое по Жордану (см. [B4J; 12.5) подмножество в R". Тогда для любой ограниченной функции f : Т —У К следующие утверждения равносильны: f является \\Т-интегрируемой по Риману (в смысле предыдущего определения) на топологическом измерилюм пространстве (Т,0(Шп)\Т,А\Т); f является интегрируемой по Риману (в классическом смысле (см. [24]; 12.6)).
При выполнении одного из равносильных условий 1) и 2) справедливо равенство интегралов i^f = /-.//(хь-. .,xn)dxi.. .dxn ~ If.
Множество всех ограниченных функций, ji-интегрируемых но Риману на пространстве (Xі, Q, /л), обозначим через RI(T, Q, fi), или короче RI^. Это множество является линейным решеточным пространством. Рассмотрим его фактор-множество Кц = Rl^jChf^. Оно тоже является линейным решеточным пространством. Класс эквивалентности функции / Шц относительно идеала СМЦ будем обозначать через / mod СМ^
Множество всех непрерывных ограниченных функций па пространстве (Т, Q) обозначим через С, Рассмотрим отображение и : С —> Нц такое, что ис = с mod CNp. Функционально-факторное расширение и : С —* Шц/СЛҐ^ называется расширением Римапа линейного решеточного пространства С, а также коммутативной I-группы С. с-Идеал CN'fj, является слишком большим для семейства Н1ц. Поэтому введем более узкий идеал множеств, являющийся "родным" для функций, ^-интегрируемых по Риману. /^-Измеримое множество X будем называть множеством полной меры, если Т\Х Є СМЦ-
Множество конулъ-лшожеств coz/ = {і 6 T\f(t) ф 0} всех непрерывных (функции / па (T,Q) обозначим через G0- Семейство {U Є Q\T\U Є CAF^} всех конуль-множсстп полной меры обозначим через U. Оно порождает идеал множеств А^, = {Лг С T\3U Є U (N С T \ t/)}. Этот идеал не является ст-идеал ом. Ясно, что Л/^ С Л/"Д.
Множество А7" из Т назовем Sfi-M)iooicecjneoM, если A' = GUN для некоторых множеств G Є G vi N Є А/),.. Семейство всех S^-мпожсств нз Т обозначим ZV^. Оно является решеткой относительно объединений и пересечений, а также содержит края 0 и Т.
Для того, чтобы дать функциональное описание функций, интегрируемых по Рішану, используется понятие 5-равномерпых функций, введённых в работах [12] и [14]. Функция / : Т —У R называется S-равиомерной, если для любого є > 0 существует конечное покрытие (Si е S\i Є I) множества Т такое, что колебание ш(/,St) = sup{|/(s) — f(t)\s,t Є Si} функции / на каждом множестве Si меньше є. Семейство всех ^-равномерных функций на Т обозначим через U(T,S). Оно является линейным решеточным пространством, если S является мультипликативным ансамблем с краями 0 и Т.
Имея решеточное семейство ZVy, всех 5^-множеств па Т, мы можем рассмотреть линейное решеточное пространство U(T, ZV^) всех равномерных функций относительно этого семейства.
Основными результатами этой части являются следующие следствия 2-7 к теореме 4 из пункта 2.2.2:
Следствие 2. Для ограниченной фунщии f : Т —У R следующие утверждения эквивалентны: і)! є Rh ; 2)fU{T,ZVfl); мера и миооїсества точек разрыва функции f равна нулю; для любого л Є N существуют конулъ-мнолсество Un Є U полной меры и функция /п : Т —У R такие, что fn\Un 6 C(Un) и \f(t) — fn(i)\ < 1/" для любого t Є Un;
5) существуют счетные коллекции (gt Є С \ і Є I) и (hj Є С \ j Є J) и последовательность (Un Є W | n Є N) такие, что Уі ^ f ^ hj для любых г и j и для любых п N и t Є Un существуют г и j такие, что hj(t) — gi(t) < ї/п.
Отмстим, что равносильность 1) и 3) является обобщением знаменитой характеризации
Лебега-Внталн функций, интегрируемых по Рішану, на общие пространства (T,Q,j.i).
Следствие 3. RI^fCNn = RI^/Aff,.
Следствие 4. Система |Я//(;0,1, —,+, V,A| является cl-группой в смысле определения пункта 1.2.1.
Следствие 5. cl-Группа RI^ изоморфна сі-группе С (К) веех непрерывных функций на некотором компактном пространстве К.
Следствие 6. l-Группа RIfl/M!1. является cl-группой.
Следствие 7. cl-Группа RIlt/J\ffi изоморфна cl-группе C{Q) всех непрерывных функций на некотором компактном пространстве Q.
В силу следствия 3 далее под расширением Римапа будем понимать расширение С —*
Утверждение 5) из предыдущего следствия 2 помогло доказать, что расширение Римана С —> RIfijMfi является в некотором смысле аналогом расширения Дедекинда СЖ.
В третьем параграфе второй главы для расширения Римана С —» RI^/M^ доказываются аналоги теорем граничности и полноты Дедекинда для расширения Q С R (см. теорему 1 из пункта 2.3.1 и теорему 2 из пункта 2.3.2).
Будем считать, что носитель меры [і совпадает с Т*, то есть supp/i = Т. Компактное множество Е из Т назовём [і-компактньш, если G С\ Е < СМ^ для любого непустого открытого множества G, пересекающего множество Е. Семейство всех /i-компактных подмножеств из Т обозначим через Л^. Наделим его порядком по вложению. Рассмотрим коллекцию множеств X,, = (Те = Е\Е є Л^).
Рассмотрим на d-группе С измельчение ^ = (Се\Е Є Л^) такое, что Се = {с Є С\Те П coze = 0}. Тогда с/г-группа (С, д) является dr-группой пространства (Т, Q, Тд). Измельчение ^ назовём ^-компактным измельчением cl-группы С. c/r-Группу (С, ^) будем называть clr^-группой (при рассмотрении только ir-групповых свойств с/г^-группы (С, ^) будем использовать термин ІТц-группа). /г-Расширения и : (С, ^) » (А, 21) будем называть Іти-расширенияліи коммутативной Itр-группы (С, ;i). cJr-Расширенші и : (С, ^) —> (Л,21) являющиеся /г,,-расширеннями будем называть сіг^-расширениями сіт^-группы (С, ^).
Регулярное /г-пополнеіше и : (C\
Рассмотрим на d-группе U(T, ZV^jM^ измельчение 21,, = (АЕ Є C(U(T, ZV^/M^E Є Afl) такое, что Ag = {а 6 А\Уп(ТЕПсоха є Л/*„)}. Тогда пара (U(T,ZVД)/Л^,21д) является dr-группой. Следовательно, (Ш^/ЛІ^Ш^) является с/г-группой.
Далее будем отождествлять С и С = C/Mtl, поэтому вместо обозначения д для класса эквивалентности функции д Є С будем использовать более простое обозначение д, подразумевая отождествление там, где это необходимо. Следующую теорему 1 из пункта 2.3.3 естественно называть теоремой граничиости.
Теорема 1. Пусть f RI^/N"^. Тогда существуют счётные коллекции Р = ( Є С\г Є I) и Q = (fij Є C\j Є J) такие, что / = г — sup((ji Є С|г Є /) = г — inf(/[_, Є C\j Є J).
Итак, мы показали, что пара (Р, Q) является r-сечением. Следовательно элемент / є А является г-границей этого r-сечения. В силу произвольности этемента f Є А мы показали, что любой элемент е/г-группы (Л,21^) является границей некоторого сечения в С. Это означает, что функционально-факторное с/т^-расширение Рішана и : (С, ^) -*+ (Л,21^) является граничным с/г^-расши рением типа Cutc. Следующую теорему 2 из пункта 2.3.4 естественно называть теоремой полноты.
Теорема 2. Для любого г-сечения (Р, Q) в Ш^(М{ІІ где Р = (tilMlt такой, что f = т — sup(gi Є RIJK\i ЄІ) = г- inf(ft,- Є RlJtfAJ Є J).
Эта теорема показывает, что любое г-сечение (P,Q) из c/r-группы (Л,21^) имеет r-грашіцу в c/r-группе (/1,21^). Это означает, что функционально-факторное clr^-расшнреиие Римана и : (С, С^) —» (Л,21^) является полным по типу Cut.
Кроме свойств граничиости и полноты расширение Римана С -> RI^/Af^ обладает следующим важным свойством регулярности.
Пусть отображение и : (С, ^) —> (й/^/Л/^,21^) является //^-расширением коммутативной c/r^-группы (С, ^). Следующую теорему 3 из пункта 2.3.5 естественно называть теоремой регулярности.
Теорема 3. Пусть даны коллекция (сі Є С\г Є 7) и с Є С. Тогда равенства с — r — sup(ci Є RIn/Afpli Є I) в RIpfNn и с = г — sup(c,- Є С\г Є J) в С эквивалентны, и, следовательно, равенства с = г — inffc* 6 RI^/Af^i & I) в RI^/Мц и с = г — inf(cj Є С|г Є I) в С тоже эквивалентны.
Из теоремы регулярности следует, что dr^-расширение Римапа и : (С, С^) —> (А = Л/^/Л/^,21^) является регулярным.
Из вышеизложенных теорем тряпичности н полноты следует, что регулярное dr^-расширепие Римапа и : (С, ;i) — (Л = RI^/N^, 21,,) является регулярным ^-пополнением типа Cut0 коммутативной /r^-группы (С, ,,).
Оказывается, что для такого пополнения справедлива теорелш единственности (см. теорему 4 нз пункта 2.3.6).
Теорема 4. Регулярное 1г^-пополнение типа Cut0 коммутативной 1г^-группы (С, ^) является единственным с точностью до изоморфизма.
Следствие 1. Регулярное clr ^-пополнение типа Cut9 clr^-группы (С, ^) является единственным с точностью до изоморфизма в классе всех регулярных clr^-пополнений clr^-группы (С,^).
Таким образом, справедлива следующая теорема характеризации (см. теорему 5 из пункта 2.3.6):
Теорема 5. Расширение Римапа С - RI^/N^ полностью характеризуется свойствами граничности, полноты и регулярности.
Автор глубоко благодарен своим научным руководителям: доктору физико-математических паук, профессору Александру Васильевичу Михалеву и доктору физико-математических паук, профессору Валерию Константиновичу Захарову за постановку задач, детальное обсуждение результатов работы и многочисленные важные замечания. Автор благодарит заведующего кафедрой высшей алгебры, доктора физико-математических паук, профессора Виктора Николаевича Латышева и весь коллектив кафедры высшей алгебры за создание плодотворной творческой обстановки.
1. Захаров В.К., Михалёв А.В., Ссредннскнй А.А. Алгебраическое описание колец непрерывных функций/1 Успехи математических наук. Т. 5G, вып. 1. С. 1G3-164.
В данной статье Ссрединскому А. А. принадлежат все доказательства. Захарову В. К. и Михалёву А. В. принадлежат постановка задачи, идея использования свойства регулярности нормы и некоторые окончателыьыс формулировки.
Ссрсдшіский А.А. Алгебраическая характеризация колец непрерывных колтлексно-зиачпых функций па компакт}юм пространстве // Современные исследования в математике и механике. Труды XXIII конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ. М., Издательство Центра прикладных исследований при механико-матемаическом факультете МГУ. 2001. С. 322-328.
Ссрсдшіский А.А. Алгебраическая характеризация колец непрерывных ф)у7ікций на компактполі пространстве со значениями в кватернионах // Фундаментальная и прикладная математика. 2002, Т. 8, вып. 4. С. 1245-1249.
Захаров В.К., Ссредипский А.А. Новая характеризация функций, интегрируемых по 7эи.ман?///Фупдаментальная и прикладная математика. 2004. Т. 10, вып. 3. С. 73^83.
В данной статье Середипскому А. А. принадлежат все доказательства. Захарову В. К. принадлежат постановка задачи, идея использования равномерных функций и некоторые методы работы с ними, а также идея равносильности общего определения интеграла Римана и классического определения.
5. Zakharov V.K., Sereclinskiy А.А. Description of Riemann iiegrable functions by means of cuts of the space of continuous functions.//Международная конференция " Функциональные пространства, теория приблежений, нелинейный анализ", посвященная столетию акакдемика СМ. Никольского (Москва, 23-29 мая 2005 г.). Тезисы докладов. — М: Математический институт им. В.А. Стсклова РАН, 2005. С.370.
В данной статье Серединскому А. А. принадлежат доказательства теорем граничпости и полноты. Захарову В. К. принадлежат постановка задачи, определения понятия сечений семейства непрерывных функций и некоторые идеи доказательства теорем граничпости и полноты.
Необходимые характеристические кольцевые свойства семейства С(К). Понятие с-кольца
Вначале покажем, что абстрактные свойства с-кольца отражают важные п хорошо известные свойства кольца непрерывных функций. Далее К всегда означает компактное топологическое пространство, С(К) — семейство всех непрерывных (ограниченных) веществешю-зпачных функций па /С, а 1 — единичную функцию. Проверим, что С (К) обладает свойствами Дельфосса 1) - 3). Свойство 1) для С (К) следует из того, что сумма двух положительных функций положительна и определен корень из положительной функции. Действительно, пусть /, д Є С (К). Тогда е = /2+д2 0. Положим h = \fe Є С(К), откуда f2+g2 = h2. Свойство 2) для С {К) следует из того, что любая непрерывная функция является разностью двух положительных дизъюнктных функций. Действительно, пусть / Є С (К). Тогда / — /+ 4- /_., где /+ = / V 0 и Д. = / Л 0. Рассмотрим функции д = д/Д Є С (К) и h = \f-f- С( ) Так как /+. Л (—/_) = 0, то gh — 0 и, кроме того, / = д2 — h2. Свойство 3) для С{К) следует из обратимости строго положительной функции. Действительно, если / С(К), то (1 4- f2)(t) 0 для любого t Є К. Поэтому существует функция д Є С{К) такая, что g(t) = 1/(1 + f{t)2). Ясно, что д — (1 + /2)-1(t). Свойство 4) для С{К) следует из архимедовости поля R. Действительно, пусть для функции / Є С(К) существует последовательность (дп Є С{К)\п Є N), такая, что n2(f2 + д2) = 1. Тогда f(t)2 1/п2 для любого п Є N и любого t Є К. По принципу Архимеда для R мы получаем f(t) = 0. Свойство 5) для С{К) следует из того, что любая непрерывная функция на компакте ограничена. Действительно, пусть / Є С{К), Так как К — компакт, то j/ пі для некоторого п Є N. Возьмем д = у/п21 — }2 Є С{К). Тогда /2+д2 = п21. Свойство 6) для С{К) следует из равномерной полноты С(К) и аксиомы выбора. Действительно, пусть (/„ Є С{К)\п N) — последовательность, для которой существует последовательность (mjt Є Щк Є N) такая, что k2((fm — fn)2 + д2) = 1 для всех чисел т,п Шк и подходящих функций д. Тогда (fm - fn)2 1/А;2 влечёт \fm - fn\ 1/k для любых m,n rrtk- Возьмем є 0, подберем к такое, что \/к е. Тогда l(/m(0 fn(t)\ є Для любого t Є К и любых т, п т.к. В силу канторовой полноты R существует функция / ; К — R такая, что /(f) = lim{/„{f) С{К)\п Є N) для каждого Є /С. Известно, что / Є С(К) н для любого є 0 существует ті Є N такое, что /(0 - /р() є для любого р пи каждого і є ЛГ. Возьмем любое к 6 N. Тогда множество С (к) = {п Є Nty е N(p ті == Vi Є Л"(Д0 - /р(() 1/ ))} не пусто.
По аксиоме выбора существует функция выбора с : V{N) \ {0} — N такая, что с(Р) Є Р. Определим последовательность (щ Є Щк Є N), полагая п& = с(С(&)) С (к). Тогда 1/(0 /«(01 А Для любого п пЛ и любого t Є /Г. Следовательно, для функции h = /(1Д-2)-(/(0-/»(0)2 Є С(/С) выполнено fc2((/(i) - /n(0)2 + h2) = 1 для всех Таким образом, кольцо С(1 ) обладает всеми свойствами 1) — 6). Коммутативное кольцо А с единицей 1, обладающее свойствами 1) — 6), назовем с-колъцом. Пункты 1.1.3 - 1.1.7 посвящены доказательству того, что любое с-кольцо А изоморфно кольцу С (К) для некоторого компакта К. 1.1.3 Наделение с-кольца структурой Е-алгебры. Пусть А — фиксированное с-кольцо. Определим внешнее умножение (= композицию) А на 2, полагая 0а = 0,1а = а, (п + 1)о = (па) + а и (—п)а = —(па) для любого п Є N. Пара (А,%) вместе с композицией (п,а) - па образует Z-алгебру. Лемма 1. Для любого числа п Є N существуют элементы с-кольца вида у/пї и (nl)_1. Доказательство. Будем доказывать по индукции. Пусть п = 2. Тогда 2-1 = 1 -Ь I2 и по свойству 3) с-кольца существует (2 I)-1. С другой стороны 2 1 = I2 + I2 и по свойству 1) с-кольца существует с2 — 2 1, а следовательно с = у/2 1. Предполагая существование таких элементов для п, покажем, что существуют элементы с-кольца для (п + 1). Рассмотрим (п + 1)1 = 1 + nl = 1 4- (у/пЛ.)2, тогда по свойству 3) с-кольца существует ((п + 1)1) 1 Є А. Также (п + 1)1 = I2 + nl = І2 + (у/пї)2, откуда по свойству 1) с-кольца существует с = у/(п + 1)1 Є A. D Следствие 2. Пусть щ,п2 Є N. Тогда ((nir Jl)"1 = (щі) (т І) 1. Доказательство. Рассмотрим произведение (пі1)-1(п2І)-1((иіП2)1). Так как с-кольцо ассоциативно, то произведение примет вид (пі1)-І(п2І)-:1(пі1)(п2І). Откуда, воспользовавшись коммутативностью с-кольца, получим {щі) 1(тіі1)(гі2І) (щі) Определил! внешнее умножение А па Q, полагая pa = т(ті1) го для любого элемента а из с-кольца и любого числа р = т/п Є Q такого, что п Є N и т Є Z. Лемма Z Пара (ДО}) еліесте с калтозичией (р,а) ь- pa образует Q - алгебру. Доказательство. Пусть т /щ = m2/7i2 Є Q, причем 711,7 0. Тогда 77ііП2 = тг і Z- Рассмотрим тх/ща = 7rii(nil)_1a. Так как (тігі)-1 !) = 1, то mi(nil)-1a = т1(7г11)"1(п2І)-1(га21)а. Из ассоциативности с-кольца получим (пі1) 1(тгп21)(п21) га. По условию тіП2 = m2ni, следовательно, произведение примет вид (пі1) 1(т2Пі1)(п2І)-1а m2(nil)-I(njl)-1(n2l)-1a = 7п2(тг21)"1а = гп2/п2а. Откуда видно, что результат композиции не зависит от вида дроби. Пусть а,Ь Є А и m Z,7t N, тогда (т/п)(а + Ь) = m(nl)-1(a + Ь) — m(nl) Ia + m(nl)_:1b. Откуда по определению умножения (т/п)(а + Ь) = (т/п)а + (т/п)Ь. Пусть а Є Д 7711,77 Є 2 и пі,ті2 Є N, тогда ((nii/ni) + (т2/ті2))а = (mi/n1+m2/7i2)a — (min2 + т.2щ)/(щп2)а. По определению результат умножения имеет вид (min2 + m2tti)(niTi2l)-1a. Откуда но свойствам коммутативного кольца возможны следующие преобразования этого произведения тіВ2(пі7ї2І)-1а + тгП ПіПгІ)"1 = (mil)(nil)-1a + (т21)(тг21)-1а. ЧТО является результатом умножения (т\/пі)а + (т2/п2)а- Итак, ((mi/пі) + (m2/n2))a = (ті/щ)а + (77i2/n2)a.
Пусть а Є Д mi,m2 Є % и 7іі,п2 Є N, Рассмотрим ((mi/ni)(m2/7i2))a. Результат этого умножения равен 7Пі7тг2(тіі7г21) 1а. С помощью свойств коммутативного кольца получим і("і1)-1(" 2(«2І)"1а). По определению это результат умножения (mi/ni)((m2/n2)a). Итак, (mi/7ii)((m2/7i2)a) = (7711/:11)(7712/712)0. Пусть а,Ь Є A,m Є Z и n Є N, тогда (m/n)(ab) = 771(711) 0. С помощью свойств коммутативного кольца проведем следующие преобразования m(nl) 1(ab) = (m(7il)-Ia)b. Итак, (m/n)(ah) = ((m/n)b)a. Лемма 3. Структура Ъ - алгебры па паре (А,Ъ) продолжается до структуры Q -алгебры на паре (ДО!) едипствеипъш образом. Доказательство. Пусть существует внешнее умножение : Q х А — А такое, что (A,Q, ) является Q-алгеброй, и т/п Є Q. Тогда по свойствам Q-алгебры п((т/п) а) = n(m (l/«) a)) = nm((l/n) a) = m(n((l/n) a)) = m(l a) = та. С другой стороны та — гд((7(1)_1(п1))а = п(т/п)а. Следовательно п((т/п) a — (т/п)а) = 0. Так как существует элемент с-кольца (nl)-1, то (т/п) а = (т/п)а. О Лемма 4. Для любых чисел гп, п Є N существует элемент с-кольца вида у/{т/п)1. Доказательство. По свойству 2) с-кольца (nl)-1 = a2-62 и a! = 0. Тогда (nl)"1/;2 = -//1. Откуда Ь2 + (nl)b4 = 0, тогда b2(l + (nl)b2) = 0. По свойству 3) существует (1 + \/ЇЇЇЬ )-1, следовательно, Ь2 — 0, откуда (nl)-1 = а2. Положим (т/п)1 = л/т1 /(п1)-1. П Лемма 5. Пусть (аг- Є Лг = 1,...,/:) — конечная последовательность элементов с-кольца А такая, что YKaI Н = 1,..., А-) = 0- ТЬгда щ — 0 ?ля каоїсдого і = 1,..., fc. Доказательство. Пусть (а2г = 1,...,А ) = 0, тогда n2(a2jz = 1,---Д) — 0. Откуда "2«+Е№ =1,- ,М#» о)) = 0. Или n2(a20 + (a2z = 1,--- .fc.i toJJ + nVl)-1 = 1. Далее n2(a20 + XXail7 = 1,- ,&,ї # о) + ({"І)-1)2) = 1) Следовательно, по свойству 1) с-кольца п2(аіо +) = 1, что в силу произвольности п влечёт по свойству 4) с-кольца аіо = 0 для любого iQ = 1,... Д. Следствие 1. Если а2 = 0, то а = 0. Следствие 2. Для любого а Є А существует элемент с-кольца вида /(1 + U2) 1. Доказательство. Пусть (1 + а2)-1 = Ь, тогда Ь(1 + а2) = 1, по свойству 2) с-кольца b = t2 — s2, ts = 0. Тогда (t2 — s2)(l + a2) = 1. Раскрывая скобки, приходим к равенству t2 — s2 + t2a2 — s2a2 1. Умножим на s2, тогда —s4 — sAa2 = s2. По лемме 1.1.5 s = 0, откуда t2(l + a2) = 1, то есть і = - /(1 + о2)-1. Предложение 1. Пусть а А и q Є Q+. Тогда следующие заключения эквивалентны: 1} существует b Є А такое, что a2 + b2 — q2l. 2) существуют c,d(z А такие, что a + c2 = d2- a = ql. Доказательство. Сначала проверим, что 2) влечёт 1). Так как а + с2 = д? — о, то 2а = д? с2. Откуда q2\ = (о + с2)2 = а2 + 2ас2 + с = a2 + (d2 - с2)с2 + с4 = a2 + dV. Обозначая dc = і, получим a2 + b2 — q2l. Проверим, что 1) влечёт 2). Пусть a2 + b — q2l. Рассмотрим a = (l/q)a,b = {l/q)b, тогда о? + Ь2 = 1. По свойству 2) с-кольца a = х2 — у2, ху = 0, откуда х4 + у + Ь2 — 1 пли (x2 + y2)2 + b2 = 1. Рассмотрим (1+х2Л-у2){х2 + у2) = х2 + у2 + (х2 + у2)2 = х2 + у2 + 1-Ь2. Таким образом, равенство примет вид (1 + х2 + у2)(х2 + у2) + Ь2 = х2 + у2 + 1. По свойству 3) с-кольца 3(1 + х2 + у2)-1, что влечёт х2 + у2 + Ь2(1 + х2 + у2)-1 = 1.
Характеризация семейства непрерывных функций в терминах коммутативных /-групп
В этом разделе будет показано, что произвольная с/-группа А реализуется в виде е/-группы С всех непрерывных ограниченных функций на некотором компактном пространстве. Этот результат был анонсирован в работе [12]. Напомним, что решёточно-упорядоченной группой (или l-группой) называется математическая система Л;0,--,+, V, Л такая, что: 1) система /1; 0, —,+ является группой; 2) система Л;У, Л является решеткой; 3) Для любых а, Ь,с Є А выполняется аУ Ъ-\-с= (а+с) V (b + с). В ї-грушіе определён модуль элемента [о = а V (—а) = о V 0 — а Л 0. /-Группа является группой без кручения в том смысле, что Vn NVa Є А(па = 0 = а = 0). Свойство a = nb обозначается через b = а/п, а свойство a A b = а обозначается через а Ь. Коммутативную /-группу А с выделепнным элементом 1 будем называть сі-группой, если: 1) Vn е NVa Є ABb Є А{а = nb); 2) Va,6e Л(а 0ЛУпМ(па &)= а-0); 3) Va Є ЛЗп Є N(o пі); 4) для любой последовательности (a„ Є Лп N) такой, что для любого к Є N существует и Є N такое, что ap — ag\ 1/k для любых p,q n, существует элемент а Є А такой, что для любого к Є N существует ті Є N такое, что \а — ар\ 1/к для любого р п. Подгруппу и подрешетку В с/-группы А, являющуюся cJ-группой, будем называть сі-подгруппой cl-группы А. Пусть С — фиксированная с/-группа. Инъективиый (/-групповой) гомоморфизм и : С -+ Л, где Л является /-группой, назовём I-расширением I-группы С. В случае, когда С — фиксированная с/-группа, инъективиый (eZ-групповой) гомоморфизм и : С — Л, где Л является с/-группой, назовём cl-расширением сі-группы С. Покажем, что абстрактные свойства с/-группы отражают важные и хорошо известные свойства с/-группы непрерывных функций. Далее К всегда означает компактное топологическое пространство, С(К) — семейство всех непрерывных (ограниченных) веществепио-зпачных функций па К, а 1 —- единичную функцию. Проверим, что С(К) обладает свойствами 1) - 4). Очевидно, что для семейства С (К) выполняется свойство 1). Свойство 2) для семейства С(К) следует из архимедовости поля К. Действительно, пусть для функции / Є С{К) такой, что f(t) 0 для любого t Є К, выполняется, что равенство nf = д для некоторой функции д Є С(К) и любого числа п N. Тогда /( ) 9(t)/n Для любого п Є N и любого t Є К. Из ограниченности непрерывной функции на компакте и принципа Архимеда для Ш мы получаем равенство f(t) = 0. Свойство 3) для семейства С(К) следует из того, что любая непрерывная функция на компакте ограничена.
Действительно, пусть функция / принадлежит семейству С(К). Так как К —- компакт, то выпонястся неравенство [/ пі для некоторого п Є N. Свойство 4) для С(К) следует из равномерной полноты С(К). Действительно, пусть (/„ Є С(К)\п Є N) — последовательность, для которой существует число п Є N такое, что /Р — ЛІ 1А А7111 всех чисел Р) Q л. Возьмем число є 0, подберем число к такое, что 1/к є. Тогда \fp(t) — fq{t)\ є для любого t Є К и любых p,q п. В силу канторовой полноты R существует функция / : К - R такая, что f(t) — \\m(fp(t) Є С(К)\р Є N) для каждого t Є К. Известно, что / Є С(К) и для любого є 0 существует т Є N такое, что \f(t) — fp(t)\ є для любого р т и каждого Є / ". Положим є = 1/&. Для этого є выполняется неравенство / — /р 1/& для любого р М. Таким образом, с/-группа С{К) обладает всеми свойствами 1)-4). Пусть А — фиксированная с/-группа. Определим внешнее умножение (= композицию) А па Z, полагая 0а = 0,1а = а, (п + 1)а = (па) + а и (—п)а = —(па) для любого л Є N. Пара (А, ТІ) вместе с композицией (п, а) - па образует Z-модуль. Лемма 1. Для любых чисел т, п Є N и элемента а А справедливо равенство т(а/п) — (та)/п. Доказательство. Расмотрим следующую цепочку равенств п(т(а/п) — (та)/п) = п(т(а/п)) — п((та)/п) = т(п(а/п)) — та та — та = 0. Отсюда следует, что п(т(а/п) — (та)/п) = 0. Так как d-группа А не имеет кручения, то справедливо равенство т(а/п) — (та)/п. П Лемма 2. Для любых чисел щ,щ Є N и элемента а Є А справедливо равенство (а/пі)/п2 = а/(щп2). Доказательство. Расмотрим следующую цепочку равенств ЩщЦа/п /щ — а/ гщ)) — Пі(п2{(а/пі)/п2)) — (яіП2)(а/(гсіП2)) = п\(а/п\) а = а — а = 0. Отсюда следует, что ПіП2((а/пі)/п,2 — а/(тгігг2)) = 0. Так как е/-группа А не имеет кручения, то справедливо равенство (а/щ)/гі2 = а/(піП2). Лемма 3- Пусть а,Ь Є А и п Є N. Тогда (а V b)/n = {а/п) V (Ь/п). Доказательство. Заметим, что выполняются равенства п((а V Ь)/п) — а V b и п((а/п) V (b/n)) = (п(а/п)) V (n(b/n)) = а V Ь. Отсюда следует, что выполняется равенство п((а V Ъ)/п) — (а/п)\/(Ьjп)) = 0. Так как с-группа А не имеет кручения, то приходим к равенству (а V Ъ)/п = (а/п) V (Ь/п). Лемма 4. Пусть а,Ь Є А и п Є N. Тогда а Ь & па пЬ. Доказательство. Проверим сначала, что неравенство а b влечёт неравенство па nb. По определению а b означает, что а V Ь = Ь. Выполняются равенства nb — п(а V b) = па V nb. Отсюда получаем, что справедливо неравенство па nb. Проверим теперь, что неравенство па nb влечёт неравенство а Ь. Неравенство па nb по определению равносильно равенству па V nb = nb. Поэтому выполняются равенства (naVnb)/n = (nb)/n = b. Из леммы 1.2.3 теперь следует, что aVb — b и, значит, справедливо неравенство а Ь. Следствие 1. Пара (А, Ж) является решеточпъш людулєлі над кольцом Z. Лемма 5. Пусть т\/щ = гп2/п2 Є Q, причем Пі,щ 0. Тогда справедливо равенство щ(а/п2) = т2(а/щ). Доказательство. По определению числовой дроби выполняется равенство тіп2 = т2Пі в кольце Ъ. Поэтому справедливы равенства т\(а/п{) = гпі((п2(а/щ))/пх) = rni(n2((a/n2)/ni)) іщп2((а/п2)/пі) = гп2щ((а/п2)/щ) = т2(пі((а/п2)/п1)) = т2(а/п2). Итак, выполняется равенство mi(a/n2) = т2(а/п\). П Из леммы 1.2.5 следует, что мы можем корректно определить внешнее умножение А на Q, полагая ра = т(а/п) для любого элемента а из А и любого числа р — т/п Є Q такого, что п Є N и т Є Ъ. Далее будем обозначать элемент т(а/п) через (т/п)а. Лемма 6. Пара (A,Q) вместе с композицией (р,а) »-» ра образует линейное решёточное пространство над полем Q. Доказательство.
Пусть a, Ь А и т Ъ, п Є N. Тогда по определению композиции выполняется равенство (т/п)[а+Ь) — т((а+Ь)/п). Так как выполнется цепочка равенств п((а + Ь)/п — (а/п + Ь/п)) = а + Ь — п(а/п + b/n) = a + b — (а + Ь) — 0 и с/-группа А не имеет кручения, то справедливо равенство (а + Ь)/п = (а/п + Ь/п). Отсюда выполняются равенства т((а + Ь)/п) = т(а/п + Ь/п) = т(а/п) + т(Ь/п). Итак, справедливо равенство {т/п)(а + b) = (т/п)а + (т/п)Ъ. Пусть а Є А,ті,т2 Є Ъ и щ,п2 Є N, тогда справедливы равенства ((тх/щ) + [т2/п2))а — ((т-іп2 + т2щ) / (щп2))а = (тпіп2 + т2щ)(а/піп2) = тіп2(а/пхп2) + т2Пі(а/піП2) = ті(а/пі)+т2(а/п2). Итак, выполняется равенство ((mi/n\) + (m2/n2))a = (mi/ni)a + (m2/n2)a. Пусть а Є А1ті,т2 б 2 и щ,п2 N. Рассмотрим равенства ((ті/щ)(т2/п2))а (тігп2/піп2)а - тхт2(а/піп2) — m1(m2((a/n2)/ni)) = ті((т2(а/п2))/пі) — mi(((m2/n2)a)/ni) = (mi/n1)((m2/n2)a). Итак, справедливо равенство ((mi/ni)(m2/n2))a = (mi/n\)((m2/n2)a). Пусть a,b Л и m,n Є N. Покажем, что, если а Ь, то (пг/п)а (т/п)Ь. По лемме 1,2.4 выполняется неравенство та тЬ. Это неравенство по определению равносильно равенству та V mb = тЬ. По лемме 1.2.3 выполняется равенство (та V тЬ)/п = (та/п) V (mb/n)) = тЬ/п, Исходя из определения композиции, последнее равенство примет вид (т/п)а V (m/n)b = (m/n)b. Итак, справедливо неравенство (m/n)a (т/п)Ь. Лемма 7. Структура решёточного Ъ-модулл на паре (Л, 2) продолэ/сается до структуры линейного решёточного пространства над полем Q па парс (A,Q) единственным образом. Доказательство. Пусть существует внешнее умножение : Q х А — А такое, что {л, Q, ) является линейным решёточным пространством над полем Q и rn/n Q. Тогда, исходя из свойств линейного решеточного пространства над полем Q, справедливы равенства п((т/п) а) = (пт/п) а = т а = та. С другой стороны, выполняются равенства та = т(п(а/п)) — п((гп/п)а). Следовательно, приходим к равенству п((т/п) а — (т/п)а) = 0. Так как с/-группа А не имеет кручения, то справедливо равенство (т/п) а = (т/п)а. Лемма 8. Пусть а Є А и р Є Q. Тогда справедливо равенство \ра\ = \р\\а\. Доказательство. Пусть р = т/п для некоторых т Є Ъ и п Є N. Рассмотрим равенства \(т/п)а\ = \тп(а/п)\ = (гп(а/п)) V (—(т(а/п))) = (\т\((а/п)) V (— \т\(а/п)) = jmj(l/m)(m((a/rc)) V (—\т\(а/п)). Применяя дважды лемму 1.2.3 к последнему выражению, приходим к равенствам m(l/m)(mj((a/n)) V (—m(a/n)) = m((a/n) V (-(a/n))) = \m\((a V (-0))/71). Итак, (m(a/n)) V (-(m(a/n))) = m((o V (-a))/n) или, в других обозначениях, (т/тг)а = (m/n)o. D Определим внешнее умножение А на Е. Пусть а Є А и г Є Е, Для г возьмем некоторую последовательность действительных чисел (гп Є Qjn Є N) такую, что lim(r„n N) = г. По свойству 3) с -группы А существует число / Є N такое, что выполняется неравенство \а\ 11. Рассмотрим последовательность (ап = тпа Є А\п Є N).
Функциональное описание расширения Римапа
Пусть (Т, G) -— тихоновское топологическое пространство и fi -— положительная ограниченная радоповская мера на Т, то есть с-аддитивная функция fi : Лч — [0, а] С R, определенная на сг-алгсбрс Лч, содержащей tr-алгебру В всех борелевских множеств пространства Т, и такая, что цМ — sup{/iK\K С BfoK — компактное множество } для любого М Є М. Через СМц обозначим ст-идеал всех /(-препебрежимых множеств из Т. При определении интеграла Римана для топологического измеримого пространства (Т, Q, /і) естественным представляется подход через /.ьжордаповы множества. Множество Р из Т называется р,-жордаповым, если ггт(-Р) Є -СЛ/ , где frr(P) = с\т(Р) \iatrP — топологическая граница множества Р в пространстве (Т, Q). Семейство всех р,-жордановых множеств из Т обозначим через J{T,G,p). Оно является булевой алгеброй относительно теоретико-множественных операций. Покрытие (Ха С Т \ а Є А) множества Т называется разбиением Т, если Ха П Хр = 0 для любых а из А. Рассмотрим множество Г = Г(Т, G,p) всех конечных ц-жордановых разбиений х = (Рк Є J{T,Q,n) \ к Є К) множества Т, состоящих из д-жордаповых множеств. Рассмотрим множество Д = А(Г, Q, д) всех конечных разбиений х = (Qk Є G U СМц \ к Є К) множества Т, состоящих из открытых множеств и /t-пренебрежимых множеств. Разбиение к является /i-жордановым. Действительно, рассмотрим множества К = {к Є К Qk Є Q Л Qk $ СЯ») и К" = {к є К \ Qk є CM,,}, Если к є К , то fr(Qfc) = clQfc \ Qk С Т \ U{Qk Є G \к Є К ) = U(Qk є Ш„ к Є К") Є //„. Если к Є ЛГ", то fr(Qft) = сі QA \ int Qt С сі Qfc с Т \ U(Qk Є 0 \ к є К ) Є CMjt. Назовем это /t-жордапово разбиение % Є Д простим. Каждому /і-жорданову разбиению 7г Є Г сопоставляется простое /і-жорданогю разбиение ж = (Gk, Nk \ к Є К), где Gk = mtPk G н iVJt = Pk\Gk є Из всего сказанного выше следует, что для определения интеграла Римана для пространства (Т, G, / ) пет необходимости использовать сложную булеву алгебру J (T, G,p) и множество Г всех /i-жордаповых разбиений ж, а достаточно рассматривать только его подмножество Д простых /i-жордаповых разбиении х. Скажем, что разбиение Л = (Я; I 6 L) Є Д является более тонким (А х), чем разбиение х = (Q,t к Є 7ІГ) Є Д, если для любого к Є К существует L Q L такое, что Qk = \J(Rt\leL ). Относительно этого порядка Д является направленным вверх. Для каждого разбиения х Є Д рассмотрим нижнюю s(f, х) = Y1 ( п (/( )1 = Qk) Qk\ Є /і") и верхнюю S(f, х) = Y2 (sllP(/( )l 2 ) Qfc& Є Я") суммы Дарбу ограниченной функции / : Т — R. Ясно, что (s{/, jtf)x Д) возрастает, (S(f, х)\х Є Д) убывает и s(f, х) S(f, х).
Ограниченная функция / : Т —У Е называется /л-интегрируемой по Риману на топологическом измеримом пространстве (Т,(?,/л), если sup(s{/,х)\х Є Д) = mi(S(f,x)\xeA). Если функция / является / интегрируемой но Риману на (Т, ?,/j), то число sup(s(/, И) \ х Є Д) = inf(5(/, х) х Є Д) называется и-интегралом Римапа от функции f по пространству (T,Q,f.i) и обозначается через гд/. Покажем, что данное определение является обобщением классического определения интеграла Рішана IT/ = f... f f(xi,... ,хп) dx\.. .dxn для измеримого по Жордану т подмножества Т в Шп с мерой Жордана m (см. [28]; 12.6, 12.7). Пусть А — мера Лебега на М", порожденная объемом параллелепипедов КПЩХІ, і = 1,..., п)) = П(у; — Xj г — 1,..., тг), где \ХІ, УІ\ — произвольный отрезок вида [ХІ, у,], ]XJ, уі[, [ггг-, i/j[ и ]ХІ, УІ] для а уі из R. Пусть fi = А \ Т — мера Лебега на Т. Для определения / -интеграла Римапа i f на топологическом измеримом пространстве (T,Q(Mn) T,fi) используются простые /i-жордановы множества Q Є Q{Rn) \ Т U CAffL этого пространства. А для определения классического интеграла Римапа ITf используются измеримые по Жордану множества J топологического измеримого пространства (R",C7(R),m) (см. [28]; 12,2). И совершенно не очевидно, что простые /i-жордановы множества Q являются измеримыми по Жордану множествами в пространстве (Rn,c7(Rn),7n). Поэтому для доказательства равносильности этих определений приходится проводить достаточно топкое топологическое рассмотрение. Семейство всех множеств, измеримых но Жордану на пространстве (R",7(R"),m), обозначим через J. Теорема 1. Пусть Т — изліеримое по Жордану (см, [28]; 12.5) подмножество с R". Тогда для любой ограниченной функции f : Т —» R следующие утверждения равносильны: 1) f является \\Т-интегрируемой по Римаиу (в смысле предыдущего определения) на топологическом измеримом пространстве (Т,0(Шп)\Т,Х\Т); 2) f является интегрируемой по Римаиу (в классическом смысле (см. [28]; 12.6)). При выполнении одного из равносильных условий 1) и 2) справедливо равенство интегралов i!tf = f,.. f f(xl}... ,xn)dx\.. ,dxn = I/. Доказательство. 2) = 1). Обозначим 0(Жп)\Т через Q. Рассмотрим є 0. По 2) для него существует конечное покрытие р = (Jk \ k К = {1,2,...,р} множества Т измеримыми по Жордану множествами Jk такое, что int Jk П int Ji = 0 для любых к,1 Є К (т. е. множества Jk и J; могут пересекаться только по своим границам й-(Л-) = c\Jk \ int Jk nfr(Jj) = cUz\int J[ в топологическом пространстве (Rn,C?(Rn)) и Sj(f,p) — sj(f,p) є, где sj(f,p) = E(inf(/( ) 1 t Є Jk)mJk к К) и Sj(f,p) = (sup(/(t) t Є Jk)mJk \ к Є К) — эюордановы суммы Дарбу для покрытия р (см. [28]; 12.7, теорема 1), и т обозначает меру Жордаиа па Ж. Рассмотрим множества ( = int Jk и Mk = Jk \ Gk С fr Jk. Ясно, что множества Gk открыты в пространстве (T,Q). Тогда Jjt = Gjt U Mk. Так как Fk = fr(Gjt) = c\Gk \ Gk С fr(JA) и 7n(fr(Jfc)) — 0 (см. [28]; 12.2, лемма 2), то множество Fk является измеримым по Жордану и mFk = 0. Поэтому по указанной лемме множество Gk является измеримым по Жордану. Также множество Mk является измеримым по Жордану. Определим по индукции измеримые по Жордану множества Nk, полагая Ni = Д/\, N% = М2 \ J\ и Nk = Mk \ (Ji U ... U Л-і) для к = 2,... ,р (см. [28]; 12.2, теорема 1). Рассмотрим к, І Є К.
Предположим, что к I. Тогда NkПiVj С JkC\(Mt \ (J\ U...UЛU ... U Ji_i)) = 0, Рассмотрим множества G = U(Gk \ к Є К) и Л/ = U(Mfc к /Г) Є Л/д. Ясно, что T = MUGiiMnG = 0. Поэтому Nk = Мк \ (ЛД U ... U Л/ _і). По индукции можно проверить, что Л/ = JVI U ... U jVm. Рассмотрим разбиение ж = (Gk,Nk \ к Є К) Є A(T,Q,fi) множества Т. Ясно, что ж продолжает р (см. [28]; 12.7). Поэтому sj(f,x) sj(f,p) н Sj[f,j ) Sj(f,p) (см. [28]; 12.7). Так как множества G и 7 измеримы по Жордану, то согласно [28]; 19.1 mGk — XGk = pGk и mNk = XNk — uNk- Следовательно, S(f,?c) = Sj(fx) и s(f,x) = Sj(f,x). Поэтому 5(/, и) — s(f, c) = Sj(f,p) — Sj(f,p) є. Отсюда следует, что / является р іштегрируемоіі по Риману. Кроме того, ifj S(/,K) = Sj(f,x) Sj(f,p) If — (7/ — ЛІ,Р)) If- (Sj(f,p) - sj(f,p)) If-єи i,f S(f,x) = Sj(f,x) Sj(f,p) $ If+(Sj(f,p) If) If+(Sj(f,p) — sj(f,p)) If + e. Так как є было взято произвольно, то ipf = If. 1) = 2). Рассмотрим е 0. По 1) для пего существует конечное разбиение к = (Q к Є К) 6 Д (Т, 5, д) множества Г такое, что 5(/, х) — s(/, !г) . Рассмотрим множества К = {А; Є АГ I Qfc Є Є Л Qk Л }, АГ" = {к Є К \ Qk Є Л }, G = U{Qk j к Є А") и N = \j(Qk к Є AT"}- По условию, T = GUN п Gr\N=0. Обозначим через Т0 замыкание множества Т в топологическом пространстве (Rn,(R")). Рассмотрим топологию G0 = (Rn) \ Т0 на множестве Т. Так как fr(T0) = Т0 \ intT0 С fr(T) и m(fr(T)) = 0 (см. [28]; 12.2, лемма 2), то согласно [28]; 12.2, лемма 4 m(fr(To)) = 0. Поэтому множество Т0 является измеримым по Жордапу. Так как Л ЕГ0\ГС fr(T), то А Є J и тХ = 0. Поэтому XX - 0. Пусть к Є /С. Так как Qk Є Q, то Qt = ТП С? для некоторого открытого множества G ; в Е". Рассмотрим множество Nk X П Gk. Из Nk С X следует, что Nk & J м mNk = 0. Согласно [28]; 12.2, лемма 2 m(fr(iVfc)) = 0- Так как N k = c\Nk\NkC h(Nk), то N k Є J и mN k = 0. Значит, Л4 = сі Nk = iVfc U Nk Є J и mMk = 0. Следовательно, М = V(Mk \кеК)є J u mM = 0. Рассмотрим открытые в R" множества Hk = Gk\M и множества Rk = НкГ\Т0 є Go- По построению Gk = QkU(Gk\T0)UNk. Следовательно, Gk\M = (Qk\M)U{{Gk\T0)\M)\J (Nk\M) с QkU(Gk\T0). Отсюда Rk = (Gk\M)n(T0\M) с (QkU(Gk\TQ))n(T0\M) С (Qk U (Gk \ To)) П T0 - Qjt. В результате RkC\Ri zQkC\Qt = 0 для всех к ф I из АГЛ Кроме того, X = Qk\Rk = (GkПГ)\(GfcПТ0\Л/) С ((G ПТ0ПМ) U(GfcПТ0 \А/))\ (Gk П Т0 \ М) С Л/. Значит, А Є J и 7пХк = 0. Поэтому ХХк = 0. Обозначим через Fk замыкание множества Rk в топологическом пространстве (Т0, ?о)-Так как Rk С То С К", то і & = (c\Rk) ПТ0. Из замкнутости множества Т0 следует ell? . С CITQ = То- Поэтому Fk = 1. Множества 7?; для всех L ЛГ являются открытыми в пространстве (Т0, Со) и Л; П Я = 0 для всех І ф к из К .
Теорема полноты
Нижеследующая теорема полноты была также анонсирована в работе [34]. Теорема 2. Для любого г-сечеиия (P Q) в А, где Р = (#,- Є А\і Є І) и Q = (hj A\j Є J), существует элемент J Є А такой, что f = г — sup(#; Є Лі Є /) = г — inf(/ijj Є J). Доказательство. По теореме 2.3.1 существуют счётные коллекции Pj = (д Є C\k К,), Pi = (Oik Є C\i Є Li) и ( = (hjm Є Cm Є Л/,), ( = (Л„ Є Сп Є Nj) такие, что gt — г — supP; = г — inf Р/ и hj = г — supQj = г — inf Q\. По следствию к лемме 2.1.7 это означает, что выполняются равенства g i — supP = inf Р/ и hj — supQj = inf Q , Рассмотрим счётные множества Г = U({p} х Кр\р Є /) и Д = U({#} х Nq\q Є J). Тогда из ассоциативности супремума и инфимума следует, что выполняются равенства 5ир(гід-5тІ7 Є Г) = тї(Н$\8 Є Д), где 7 = (ЇД) ч S = (j,n). Из леммы 2.3.9 следует, что выполняется неравенство д1 hs в С, Теперь мы можем рассмотреть полунепрерывные функции д Є Sf и h Є 5 такие, что p(t) = sup(#T(t)7 Є Г) и h(t) = m(hs(t)\S Є Д) для любого і Є Т, где 7 = (іД) и 5 = (j,n). Из неравенства д1 hs следует неравенство д h. Докажем, что д /miotlV . Рассмотрим конульмножества 7Й7 = {t Є ! i(0 — т( ) є} и Us = \J(Gesy\(l,$) Є Г х Д). Проверим, что оно является множеством полной меры. Предположим, что это не так. Тогда существует множество L Є Л/( такое, что UE П L = 0. Так как Ue П L — 0, то для любого t Є L справедливо неравенство hs(t) — #7() г для любого 7 Є Г и 8 Є Д. Следовательно, h(t) — g(t) = m(hs(t) — g(t)\5 Є Д) = M(h5{t) - sup(p7(i)7 Є Г)(5 Є Д) = inf(inf(/ttf(t) - 7(0І7 Є Г) Є Д) для любого і Є L. По условию mf(uiJij — UL ii\(i,j) Є / х J) = 0, Рассмотрим функцию 0 = (/2)1. Тогда h$(t) — g7(t) ф(і) для любого t Є L. Рассмотрим функцию ф(і) = h$ — д7 — ф Є С. Тогда ф = ф V О — {—"0) V 0 = + — т/ . Если Є L, то (i) = 0. Следовательно, для любого п Є N выполняется согпф П L = 0 Є Л , что влечёт ф Л . Так как ф + ф" = ф+ 0, то + 0 и г Є Аі влечёт и ф 0. Отсюда u iis — иіід1 иі р для любого 7ЄГ11 5 Є Д. Поэтому неравенство Uihjn — и д ui p для любых натуральных п Nj и fc /Cj влечёт Wi/ij - "L№ = inf(inf(w,/ijn — И,5ІЛЛ; Є /CJTI є Nj) uL p 0. Это протеворечит условию. Из полученного противоречия следует, что Цє является множеством полной меры. Если t Є Ue, то h(t) — g{t) hs(t) — ду({) для некоторых 7 Є Г и 5 Є Д влечёт /г() — #(() є. Следовательно, множество {t TJft{i) — g{t)\ є} CT\U ЄК влечёт h gmodM . Из предложения 2.2.2 следует, что функции h,y Є RIlt и її д Є А. Осталось проверить, что f = г — sup(r/; Є А\г е I) = г — inf(hj\j J).
Пусть Є А 11 «е v EQi Для любого і I. Тогда иЕ, м 7 для любого 7 Г. Предположим, что не выполняется неравенство UE, UEJ), то есть иЕ{ї /\д) UEO- Это равносильно тому, что иЕ{д — 0+ иЕ0. Значит, по лемме 2.3.7 существует число р є N такое, что cozp(# - )+ П Б ҐІЇ7 ф 0 для любого множества U Є W. Отсюда cozp(g — )+ Л ТЕ Л . Так как тропка (Л;/, jV)j,/) согласована, то существует ысрокомпактное подмножество L С Е такое, что L\coz2P(g—Q+ Є А/ . Следовательно, LC\coz2P{g — ()+ПІІЕ Ф 0. Отсюда L П eoz2p(c/ — )+ П Єф Ф 0 для любого числа є и некоторых 7 и 5, зависящих от г. Возьмем є = 1/4р и некоторое мерокомпактиое множество Л/ С ЬПО -у. Так как имеет место неравенство им имд-у, то по лемме 2.3.8 следует, что cozpl( — (/7 + xjl)+n MC\U Ф для любого множества U Ы. Следовательно, cozPl( — (/7+#11)+0 J\ffi. По свойству согласованности существует мерокомпактиое множество Mi С М такое, что TMl \ coz2pi( - д7 + xil)+ Є Л/J,. Аналогичным образом,, так как выполняется неравенство им д MJIS, то по лемме 2.3.8 следует, что cozP2(hs — д + х21)+ П Mi C\U ф 0 для любого множества U Ы . Следовательно, cozP2(h$ — д+Х2І)+ПТмк , Л/ влечёт существование множества Л/2 С Mi такого, что Л/2 \ coz2p2(/ — 5 + х21)+ Є Л . Рассмотрим множество Ar = coz2p(g — )+ п coz2pi{- 57 + жі!)+ ncoz2?2(/i5 - д+х21)+. Тогда Гмг \ X ЄЛ влечёт К = М2 П X ф 0. Так как Л/2 С С?(57, то — Е h&if) 9-y{t) є ДЛїІ любого і Є А/2. Кроме того, для любого Є У выполняются неравенства: (р() -( )) V0 l/2p, (e(0-5( )+ i)V0 l/2p1) { {)-f/() + x2)V0 l/2p2. То есть 5()-() 1/2р, t(t) g1(t) + l/2pi xl, g(t) hi(t)-l/2p2 + X2. Отсюда справедливо неравенство g(t) — () /г$() — 1/2 2 + -Зт (0 1/2рі + #1 ( ). При выводе этих неравенств мы, также как и в доказательстве предыдущей теоремы, воспользовались леммой 2.3.8, утверждение которой состоит из двух случаев, которые накладывают разные ограничения па числа рі,р2 н Х\,х2. Поэтому дальнейшие рассуждения распадаются на четыре случая, приводящих к одному и тому же неравенству. В первом случае: дли любого pi существует вещественное число Х{ 1/р . Поэтому Xj — 1/2р; = (х, — l/pi) 4- l/2pi l/2pi. Возьмём pi = І/є. Тогда выполняется неравенство g{t) - ф) є + є/2 + є/2 = 2є = 1/2р. Во втором случае: любое pt и любое х,- l/pi- Возьмём рі = З/є и xt = 2/pi. Тогда выполняется неравенство g(t) — (t) є — є/6 + 2е/3 — є/6 + 2е/3 = 2є = 1/2р. В третьем случае: для любого рі существует вещественное число Х\ \/р\ и любое р2 и любое х2 1/р2- Поэтому Xi — 1/2рі l/2pi. Возьмём pi = І/є, p2 = З/є и x2 = 2/p2 = 2є/3. Тогда выполняется неравенство g(t) — (t) є — є/6 + 2є/3 + є/2 = 2є = 1/2р. Наконец, в четвёртом случае: любое pi и любое Xi l/pi и для любого р2 существует вещественное число Х2 1/рг- Возьмём р\ = З/є, Xi = 2/pi = 2є/3 и р2 = І/є. Тогда, как и выше, выполняется неравенство g(t) — (t) 1/2р. Во всех четырёх случаях получается неравенство, противоречащее предыдущему неравенству. Из полученного противоречия следует, что справедливо неравенство иЕ ивд- Поэтому верно равенство ugg = 8ир(ия г Є I). Аналогично проверяется, что справедливо равенство ивд = mf(uEhj\j Є J). Итак, в этой теореме мы показали, что любое r-сечение (Р, Q) из clr-группы А имеет г-грапицу в c/r-группе (Л, 21 ). Это означает, что функционально-факторное clr -расширение Римапа и : (С, fl) —У (А, 21 ) является полным по типу Cut. 2.3.5 Теорема регулярности.
Будем обозначать фактор-отображение из С на С/СЕ через if Е- Теорема 3. Пусть дани коллекция (с;- Є С\ъ /) и с Є С. Тогда равенства с = г — sup(c"; Є А\г ЄІ)вАис=г — sup(cj Є С\і І) в С эквивалентны. Доказательство. Сначала покажем,что равенство с = г — snp(ci Є А\г Є I) влечёт равенство с = г — sup(cj Є \і Є І). Пусть выполняется равенство с = г — sup(ej Є А\і Є І). Тогда по лемме 2.1.7 следует, что с = sup(c,- Є А\і Є I) и, в частности, справедливо неравенство с с . Значит, выполняется равенство и((с — СІ) Л 0) = 0. Так как вложение и инъективно, то справедливо равенство (с — с ) ЛО — 0, то есть выполняется неравенство с С{. Поэтому рЕс ЕСІ Для любых і Є I и AFj 2l/lt- Пусть сі Є С н справедливо неравенство /?Ёс/ . Тогда имеет место равенство ФЕ{{ 1— СІ) АО) = 0, то есть (d—СІ) АО Є СЕ- Следовательно, по определению /г-расширепня, справедливо свойство (d — С;) Л 0 Є Л#. Отсюда выводим равенство uE((d — сі) А 0) — 0 в Л/ЛЕ- Следовательно, выполняется неравенство uEd UEQ для любого і Є I. Так как имеет место равенство и с = sup(uECi\i б І), то выполняется неравенство u d иЕс. Поэтому справедливо равенство uE((d — с) АО) = 0, то есть u((d — с) АО) АЕ. Так как по определению г-расшн рения и-г[Ля] = СЕ, то (d — с) А 0 СЕ, то есть (pE((d — с) А 0) — 0. Значит, (p d ipEc. Из двух доказанных свойств следует, что для любого идеала СЕ Є ;і справедливо равенство с = г — sup(cj Є С\і Є І). Теперь покажем,что равенство с — r — sup(ci Є \i Є I) влечёт." равенство с = г — sup(c"i Є А\г Є /). Пусть выполняется равенство с = т — sup(ci Сі Є /). Надо показать, что иЕс = sup(uECi Є Л/Лвг Є I) в А/АЕ для любого мерокомпактного множества Е Є Л . Пусть а Л и выполняется равенство и а иЕСі для любого і Є І. По теореме граничности а — r-inf(dj A\j Є J) для некоторой коллекции непрерывных функций (dj Є СІ J). Значит, выполняется равенство иЕа — mf(uEdj\j Є «/). Поэтому справедливы неравенства usdj UC\ и UE(C!J — с\) 0 в Л/Л для любых индексов і Є I и j Є J. Следовательно, выполняется равенство uE((dj—С І)А0) = 0, которое влечёт (dj—СІ)А0 Є АЕ. То есть u((dj—СІ) АО) Є АЕ. Так как и"1 ] = СЕ, то (dj—СІ)А0 Є СЕ, то есть справедливо равенство fE((dj — с,) Л 0) = 0. Значит, выполняется неравенство ipEdj ФЕСІ для любых і Є I и j Є J. Так как справедливо равенство (рЕС — sup( /?Ci Є С/Е\і Є /), то имеет место неравенство pE&j (/ А713 любого j Є ./. Поэтому выполняется равенство ipE((dj — с) Л 0) = 0. Это означает, что (dj — с) Л 0 Є Сд. Из вложения U[CE\ С ЛЕ следует, что (dj — с) А 0 Є АЕ, то есть справедливо равенство uE((dj — с) АО) =0. Отсюда получаем неравенство uEdj иЕсд.ля любого j Є J.
