Введение к работе
Актуальность темы. В 1929-1934 годах сформировались основные методы теории трансцендентных чисел. В 1929 году К.Зигель1 опубликовал аналитический метод, позволяющий устанавливать алгебраическую независимость и трансцендентность значений в алгебраических точках функций некоторого класса, названного им Е-функциями.
Определение 1. Пусть К — алгебраическое числовое поле конечной степени; Ък — кольцо целых чисел, в поле К. Функция
называется Е-функцией, если при любом є > 0 выполняются следующие условия
і) Щ = о(уЕ1/) (і)
(для числа а Є К через \а\ будем обозначать максимум, модулей алгебраических чисел, сопряженных числу а в поле К);
2) существует последовательность {qn} натуральных чисел таких, что
qnaveZK, n = О, 1,...; v = О, п,
qn = 0(пЕп). (2)
Множество Е-функций является кольцом. Производная Е-функции — Е-функция.
Пусть совокупность Е-функций /i(z),..., fs(z) составляет решение системы линейных дифференциальных уравнений
у'г = Qio(z) + ^2Qij(z)yj, * = i> «s; Qij(z) е K(z). (з)
3=1
Примеры Е-функций, удовлетворяющих линейным дифференциальным уравнениям: многочлен с алгебраическими коэффициентами, ez, sinz, cosz, функция Бесселя Jo(z).
1SiegelC.L. Uber einige Anwendengen Diophantischer Approximationen// Abh. Preuss. Acad. Wiss., Phis.-Math. Kl. - 1929 - №1. - S. 1 - 70
В книге К.Зигель в общей форме установил некоторое достаточное условие алгебраической независимости значений Е-функций в алгебраических точках.
А.Б.Шидловский3 существенно усилил метод Зигеля. Он доказал, что, если Е-функции /i(z),..., fs(z) составляют решение системы (3), а а - алгебраическое число, отличное от нуля и от полюсов коэффициентов системы, то алгебраическая независимость чисел j\(a),..., js{ot) эквивалентна алгебраической независимости функций fi(z),... , fs(z) над полем C(z).
Бывает удобно считать систему (3) однородной — в противном случае ее можно дополнить функцией, тождественно равной 1. Поэтому можно считать, что система имеет вид
У'г = ^Qij{z)yj, і = М, Qij{z) Є K(z). (4)
3=1
Метод Зигеля-Шидловского позволяет также получать количественные результаты. С. Ленг4 был первым, кто установил в общем виде оценки многочленов от значений Е-функций.
Рассмотрим далее Е-функции, в которых на коэффициенты и на их общие знаменатели введены более сильные ограничения по сравнению с определением 1.
Определение 2. Будем говорить, что функция f(z) является Е-функ-цией в узком, смысле, если в определении 1 оценки (1) и (2) заменены соответственно на оценки
И = еН и qn = eW . (5)
Все известные Е-функции, составляющие решения систем линейных дифференциальных уравнений типа (3), являются Е-функциями в узком смысле.
Через I будем обозначать поле рациональных чисел или мнимое квадратичное поле. Наиболее точные количественные результаты получаются, когда поле К = I.
А.Б. Шидловский5 доказал следующее утверждение.
2SiegelC.L. Transcendental numbers. Princeton: Princeton University Press, 1949 3Шидловский А.Б. О критерии алгебраической независимости значений одного класса целых функций // Известия АН СССР. Сер. матем. - 1959 - Т. 23. - №1. - С. 35 - 66
4Lang S. A transcendence measure for E-functions // Mathematica. — 1962 —V. 9. — P. 157-161 5Шидловский А.Б. Трансцендентные числа. M.: Наука, 1987, стр.411
Теорема І. Пусть совокупность Е-функций в узком, смисле /i(z),. .. , fs(z) с коэффициентами cijv из поля I составляет, 'решение системы линейных дифференциальных уравнений (4) и линейно независима над полем C(z). Число а Є I отлично от нуля и от полюсов коэффициентов системи.
Тогда, для любых чисел hj Є Z/, при Н > maxj \hj\ > О, Н > 3, справедливо неравенство
\hfr(a) + + hafs(a)\ > Н1~3~7ШШ , (6)
где постоянная, 7 не зависит от Н.
С помощью принципа Дирихле легко установить, что оценка (6) может быть улучшена только за счет величины ^(InlnH)-0,5.
К.Зигель указал также, что его метод применим для исследования арифметических свойств значений некоторых функций, ряды Тейлора которых имеет конечный радиус сходимости. Эти функции К.Зигель назвал G-функциями. G-функция задается в виде ряда
f(z) = ^avzv, а,ЕІ, (7)
V={)
в котором величины av и qn удовлетворяют условиям (5).
Множество G-функций, как и множество Е-функций, образует кольцо, производная G-функции — G-функция. Примеры G-функций: ln(l + z), (l + zf, г eQ.
М.С.Нурмагомедов6 впервые применил метод К.Зигеля для исследования арифметических свойств значений G-функций в алгебраических точках. В частности, он установил, что, если /i(z),... , fs(z) — совокупность G-функций, алгебраически независимых над полем C(z) и удовлетворяющих системе линейных дифференциальных уравнений (3), а ^ 0 — алгебраическое число, g, N, Н натуральные числа,
д>Ф,(Я,^,а,/іИ,...,ЛИ), (8)
а число a/q отлично от полюсов всех функций Qij(z) , то числа j\ (a/q) ,..., fs (a/q) не связаны никаким нетривиальным алгебраическим уравнением степени, не превосходящей N, с целыми коэффициентами, по модулю, не превосходящими Н.
6Нурмагомедов М. С. Об арифметических свойствах одного класса аналитических функций// Математический сборник. - 1971. - 85(127). - №3. - С. 339-365
Поскольку число qo зависит от Н, то из теорем М.С.Нурмагомедова не следует иррациональность значений G-функций.
Впоследствии арифметические свойства значений G-функций исследовались во многих работах, в том числе в монографии Андре7.
Рассмотрим общую гипергеометрическую функцию
( ^ [ai + 1, v\ ---^ +1, v\ tv ^п ,.
i/=0
[61 + I, v]---[bv + l, v\
где [A + l, z/] = (A + l)--- (A + z/), [A + l, 0] = 1, а числа b3 ф -1, -2,....
К.Зигель8 доказал, что, если все параметры a^, bj — рациональные числа, то функция (9) является Е-функцией и удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению с коэффициентами — рациональными функциями. Он предположил что любая Е-функция, удовлетворяющая линейному дифференциальному уравнению с коэффициентами из C(z), может быть представлена в виде многочлена с алгебраическими коэффициентами от функций вида (9) с возможными заменами z на XjZ с алгебраическими значениями Xj и рациональными параметрами a^, bj . К настоящему времени эта гипотеза не доказана и не опровергнута.
Был неясен даже вопрос, является ли Е-функцией функция (9) с алгебраическими параметрами. В.Г.Спринджук9 доказал, что, если А — такое алгебраическое иррациональное число, что Q(A) — поле Галуа, то функция
^') = Е(А + 1)-(А + ,)' ^-1,-2,.., (10)
не является Е-функцией.
В методе Зигеля-Шидловского применяются некоторые построения, использующие принцип Дирихле. Однако со времени классических работ Ш. Эрмита и Ф. Линдемана применялись и явные конструкции, не использующие принцип Дирихле. Если удавалось провести такие построения, то обычно получались более сильные результаты.
В 1932 году К.Малер10 доказал, что, для любого ненулевого многочлена Рт{х) с целыми коэффициентами по модулю не превосходящими Н
7Andre Y. G-functions and Geometry. Bonn. Braunschweig. 1989
8SiegelC.L. Transcendental numbers. Princeton: Princeton University Press, 1949
9Спринджук В.Г. К теории гипергеометрических функций Зигеля. // Докл. АН БССР — 1969 —
Т. 13. - №5. - С. 389-391 10MahlerK. Zur Approximation der Exponentialfunktion und Logarithmus. 1.// J. reine und angew. Math.
- 1932 - Bd. 166 - S. 118-136
выполняется неравенство
yvr? ln(m+l)
\Рт(е)\>Нт in in я , m = degP, Я>Я0(ш),
где 7 ~~ абсолютная постоянная. Доказательство основывается на явном построении многочлена
О ф Р(х, у) Є Z[x, у], degx Р < п, degy Р < ш,
такого, что функция P(z, ez) имеет максимально возможный порядок нуля в точке z = 0 (так называемая задача аппроксимации типа Паде).
Основные идеи этого метода использовались многими авторами, в частности Н.И.Фельдманом11 для значений функции (10) (f\(z).
Рассмотрим функцию
z)
v=l \ж=1
1 + ХХ (ПУЖ) I ' ^W =дтхт + дт-іхт 1 + ---+д0- (її;
Функция ф(х) является решением дифференциального уравнения
d д(6)у = zy + д(0), 6 = ZJ^-
Заметим, что функция ip{zm) с дт = 1 — частный случай функции (9). Если все корни многочлена д(х) — рациональные числа, то она является Е-функцией.
Ч. Осгуд12 доказал следующую теорему о значениях функции (11).
Теорема П. Пусть д(х) Є 1[ж], д(0) = 0, дт = 1, Г\ ,... }rt —различные и отличные от нуля рациональные числа, mt > 1. Тогда для любого є > 0 и любых чисел hij Є Z/ при
Н = max \hjs\ > 0
j=l,t; s=0, m—1
выполняется неравенство
t m—1
1—mt—є
>C\H
"to:
">
i=l .=0
пФельдман Н.И. Оценки снизу некоторых линейных форм// Вестн. Моск. ун-та, сер. Математика, механика. - 1967. - №2 - С. 63-72
12OsgoodC. Some theorems on diophantine approximation// Trans. Amer. Math. Soc. — 1966. — V. 123. - №1. - P. 64-87
и для любого набора q, pjs целых чисел из поля 1 при любой паре индексов (и, v), 1 < и < t; 0 < v < т — 1 с (s, j) ф (и, v) и при \q\ > О выполняется неравенство
^ і .-I 1_.
> C2g mt-x
i/j^(rj) _р11
j=l,t; s=0,ra-l; (s,j)=(u,v)
Г,
где C\ и C\ — положительные постоянные, зависящие от є, но не зависящие от, Я.
В 1981 году А.Н. Коробов13 в некотором более частном случае получил оценку снизу линейной формы, которая отличалась от соответствующей оценки сверху лишь на постоянный множитель.
Теорема III. Пусть s, а, а + Ь — натуральные числа с Є Z/, с ф 0 и
00 zn+sv n+sv
ы*) = Y1
[as)vv\
]^(аж + 6)-1.
i/=0 x=l
Тогда для любых чисел ho ,h\ ..., hs из кольца Z/ при
Я = max(|/io| , , \hs\) > З справедливо неравенство
+ hsil)s
>7Я"
ІпІпЯ4 In Я
s+l 2
Положительная постоянная 7 не зависит от Я, причем, показатель
5 + 1 /г
—-— не может, быть уменьшен.
В 1929 - 1930 годах К.Малер14'15 опубликовал метод, позволяющий устанавливать трансцендентность и алгебраическую независимость значений функций, удовлетворяющих некоторым функциональным уравнениям.
Рассмотрим функцию
f(z) = ^avzv , ave
(12;
v=0
13Коробов А.Н. Оценки некоторых линейных форм // Вестн. Моск. ун-та, сер. матем, мех. — 1981. - №6. - С. 36-40
14MahlerK. Arithmetische Eigenschaften der Losungen einer Klasse Funktionalgleichimgen // Math. Ann. - 1929. - Bd. 101 - №4. - S. 342-366
15MahlerK. Arithmetische Eigenschaften einer Klasse transzendental-transzendenter Funktionen// Math.Z. - 1930 - Bd. 32 - JNM. - S. 545-586
Пусть ряд сходится в круге \z\ < R и функция f(z) удовлетворяет уравнению
f{zp) = A^ f}(Z)L AJ(z}y)eZK[z}y}} РєП}р>2. (13)
Обозначим через A(z) результант многочленов A\(z} у) и Ai{z, у).
Теорема IV. Пусть f(z) — трансцендентная функция, удовлетворяющая функциональному уравнению (13), и degy Aj(z, у) < р,
j = 1, 2 ; а — алгебраическое число, 0 < \а\ < min(l, R) и А(ар ) ф О при k = 0, 1,... .
Тогда число f(cv) трансцендентно.
К.Малер доказал также несколько теорем об алгебраической независимости значений таких функций и распространил свой метод на функции от нескольких переменных.
Приведем примеры функций, удовлетворяющих уравнению Малера (13), для которых справедливо утверждение теоремы IV.
Пример 1.
f(z) = Y,zP\ f(z") = f(z)-z. (14)
V={)
Пример 2.
оо оо
г/=0 ц=0
где числа ам равны 1 или —1, причем, ам = 1 тогда и только тогда, когда в двоичное разложение числа р, входит четное число единиц.
Пример 3.
fq(z
f{z) = П (1 - О *"", №) = іггк< 1ЄІЧ. (16)
г/=0 ^ >
В приведенных примерах при алгебраическом а (0 < \а\ < 1) (в последнем примере при q < р) по теореме IV числа f(cv) трансцендентны.
К настоящему времени опубликовано большое количество работ, связанных с методом Малера, в том числе монография К. Нишиоки16.
