Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Изоморфизм 8 -высоких подгрупп 13
1.1. Абелевы группы А ,у которых для любой подгруппы все В -высокие подгруппы изоморфны 13
1.2. Почти самоиньективные группы без кручения 39
ГЛАВА 2. Об изоморфизме прямых слагаемых 57
2.1. Степенная подстановочность и сокра щение в классе абелевых групп 57
2.2. Почти изоморфизм и эквивалентность абелевых групп без кручения конечного ранга 66
ГЛАВА 3. Изоморфизм группы с подгруппой 106
Литература
- Абелевы группы А ,у которых для любой подгруппы все В -высокие подгруппы изоморфны
- Почти самоиньективные группы без кручения
- Степенная подстановочность и сокра щение в классе абелевых групп
- Почти изоморфизм и эквивалентность абелевых групп без кручения конечного ранга
Абелевы группы А ,у которых для любой подгруппы все В -высокие подгруппы изоморфны
В данном параграфе исследуется класс 01 абелевых групп А , у которых для произвольной подгруппы D все О -высокие подгруппы изоморфны.Получено описание отдельно для периодическ-ких групп из 0L /Т.II/,групп без кручения /Т.17,Т.18/ и смешанных групп /Т.21,Т.22/,причем при описании групп несчетного ранга без кручения предполагается выполненной обобщенная гипотеза континуума /ОГК/.Кроме того,показано,что класс групп ОС в точности совпадает с классом таких групп А ,что для любых двух слабо сервантных подгрупп Нл и Н группы А из г (п ) = г(Нг) tXtA/H llA/Hz) следует
Обозначения используются в основном такие же,как в [20]и [21].Через Ър( п) обозначаем climbs) -ранг без кручения группы Н ,4.1 И) -наб ор (10 (Н)} %р1 (Н)у..) , где Pz - "все простые числа.Подгруппа С группы Л называется О -высокой,если G -максимальная среди подгрупп в А со свойством 0 По О . ЛЕММА I Подгруппа 0 группы А является О -высокой тогда и только тогда,когда выполнены следующие условия: а/ С Л В = О б/ 0 -слабо сервантная подгруппа в А в/ Оф D -существенная подгруппа в А Доказательство.Покажем необходимость наших условий, а/ следует из определения В -высокой подгруппы.Докажем б/ и в/.Допустим,СбС ,абЛ и ра=С . Для некоторых сл С , В .Из рСл -рол С , Сп6 = о получаем РС,= с ,т.е. С -слабо сервантная подгруппа в л .Пусть теперь -такая подгруппа в л ,что ((у о)Пи=0. Тогда В П(С(ВІ)) - О ,и так как С - В -высокая подгруппа,то СєТ)= С , Z) = О .Это означает,что С Ф о -существенная подгруппа в Л .
Покажем достаточность условий а/ - в/.Допустим,О 2 С , В Л В - 0 .Так как С Ф В -существенная подгруппа в А ,то С Ф В -существенная подгруппа в D Ф о , С -существенная слабо сервантная подгруппа в О .Но тогда С = и . Замечание Допустим, 6 - В -высокая подгруппа в /і и Ол- С -высокая подгруппа в л содержащая В .По Л.І и1 -слабо сервантная подгруппа в л и и -существенная подгруппа в В./ «Это означает,что 8 -слабо сервантная оболочка подгруппы В в Л ,т.е. любая подгруппа имеет слабо сервантную оболочку. ЛЕММА 2 Допустим, п1 , Н -такие подгруппы в А ,что /7 /7 и п слабо сервантна в л .Тогда Wg/Mf -существенная подгруппа в п/Иі в том и только в том случае,если Н -существенная подгруппа в А . Доказательство.Если Hg /H-j -существенная подгруппа в А/їїл и ььА\\\л ,то ь + НіФо в А///, и потому (? ма+Н Иг/Н для некоторого /г 6 N .Отсюда ОфпСь G-W .
Обратно,допустим п -существенная подгруппа в А и ОФСі + i-l А/Ил .Тогда ОфГі&Є /7 для некоторого /г /V ,и если o(a+R,; = a ,TQ оФуьа+Н1 И /h .допустим, o(a2 + /VfKo .
Тогда можно считать,что О id+/- =р для некоторого простого числа р .Из р& = И1 и слабой сервантности Н1 получаем ро.=рк для некоторого .Следовательно, р(а-к) = 0 ,и потому 15 в силу существенности пР имеем ЛЕММА 3 Допустим, г , /7 , г/--такие подгруппы в А ,что г С п1 , К л и, -слабо сервантная подгруппа в А , РпИ =Оц Р Н1Г\Ир -существенная подгруппа в /77 .Тогда существенная подгруппа в г + Н .
Доказательство. г Ф " -существенная подгруппа вп п ,ес ли (РфпЛ/п Пп -существенная подгруппа в (И И / Пп /Л.2/,т.е. ( Р+ Л /-y/W, Л Wg Ф /-/г//7 Л Н2-существенная под группа в .Последнее эквивалентно существенности ( Р-\- Ип Л Wg)/H /lW B г /п Л// ,т.е. /в си лу Л.2/ существенности
Определение Допустим, D , С -такие подгруппы в А ,что оПІ=0 и u$L -существенная подгруппа в А .Положим ЪрШПд(о) = = гр ( С J , гССТГ)гд(В) = Ч(С) /здесь либо /? = О ,либо о -простое число/.
Покажем независимость определения от выбора 0 .Пусть о0 слабо сервантная оболочка .Тогда -существенная подгруппа в 0 -существенная подгруппа в А/К /л.2/,гсо7гъд(В)=г(С}=г((Са60)/60)=г(А/60)#т.0., гсОт-д(В) = 7 (А/о0)для произвольной слабо сервантной оболочки В0 подгруппы В в А .
Будем говорить,что подгруппы 01fo CA существенно эквивалентны .если О Л Dp -существенная подгруппа в й и в 4 , Ясно,что в этом случае О является В -высокой подгруппой в А только если D - 5« -высокая подгруппа
Почти самоиньективные группы без кручения
В этом параграфе мы рассмотрим вопрос об изоморфизме о -высоких подгрупп группы С в случае,когда о -прямое слагаемое в k.Полученный нами критерий мы применим для описания почти самоиньективных групп без кручения /см. ниже/.При этом предполагается выполненной ОГК.
Определение Гомоморфизм Ф подгруппы L А в группу о будем называть частичным гомоморфизмом из А в В и при этом Ь будем обозначать через Ъц ( W) .Частичный гомоморфизм Ф;А— о будем называть максимальным.если W нельзя продолжить на большую подгруппу в А
Определим множества и отображения следующим образом: подгруппы {частичные гомоморфизмы Одля любого тогдауз и -взаимно обратные отображения,причем они индуцируют взаимно однозначное соответствие между множеством максимальных частичных гомоморфизмов из и множеством D -высоких подгрупп в С . Доказательство.Так как Nf)&-0 ,то (/Vj -корректно определенный частичный гомоморфизм А в о. Очевидно, ж В -взаимно обратные отображения.Если №, /V ,то « ( Vpj -продолжение частичного гомоморфизма od( N1) .Обратно,если частичный гомоморфизм % продолжает іл, ,то 6( )26( ] .Следовательно, высокие подгруппы соответствуют максимальным частичным гомоморфизмам.
Следствие 2 Частичный гомоморфизм ш:А— 6 максимален в том и только в том случае,если выполнены следующие условия: a/ VtfiW) -существенная подгруппа в для любого простого числа Р /-Доказательство.Если отображения aL ж определены как в Следовательно, подгруппа в С только еслиS- W-существенная подгруппа в А .Далее, Й( -слабо сервантная подгруппа в С ,если из (CL} f(CL))pC следует аёрtkf(iff) .По Л.І частичный гомоморфизм W максимален в том и только в том случае, если &(W) - В -высокая подгруппа в С .Остается применить / І.І,Л.І/.
ТЕОРЕМА 3 Все В -высокие подгруппы в л Ф Б изоморфны тогда и только тогда,когда Tkf(W) = А для любого максимального частичного гомоморфизма Ф. Доказательство.Если отображение определено как в Л.І и А/ В -высокая подгруппа,то,очевидно, М = (М=Цч (/\/;,) причем (N) -максимальный частичный гомоморфизм в силу Л.І. Рассмотрим теперь некоторые примеры.
ЛЕММА 4 Если -максимальные частичные гомоморфизмы,то -максимальный частичный гомоморфизм. Доказательство.Вытекает из Сл.2.
В-высокие подгруппы в группепФо изоморфны в том и толь ко в том случае,если Л = Х) для любой такой существенной под группы .что - р -группа ранга не больше пг .
Доказательство.Достаточность.Допустим,Ф:/\ — о -максимальный частичный гомоморфизм,.в силу Т.З нам нужно показать, что A = t) .Докажем,чтоD удовлетворяет нашим условиям.
Допустим, аєА и 0(а)-рк для некоторого Kin .Индукцией по К докажем,что .Для К-1 утверждение следует из существенности и в А /Сл.2а/.Допустим,для К-1 все уже доказано. Тогда ра.По Сл.26 у нас из следует раерТ) ,т.е.абЪ+Асрз = 0 .
Остается показать,что А/0 -р -группа ранга не больше т . Пусть cL и 6 определены как в Л.І ж N =8((0) .Как мы отмечали в доказательстве.Поэтому А/0 .Так как А/0 В -существенная подгруппа в л В и А/ -слабо сервантная подгруппа в Д /Л.І и 1.1,Л.1/,то V -существенная подгруппа в Следовательно, (АфВ)/А/ р -группа ранга /П .Но тогда и факторгруппа является р -группой ранга не больше П1 / 1.1,Л.10б/.
Необходимость.Докажем,что если подгруппа удовлетворяет нашим условиям,то U = V-Ц(Ш) для некоторого максимального частичного гомоморфизма ш: .Тем самым,в силу Т.З будет доказано,что 0 = А .
Степенная подстановочность и сокра щение в классе абелевых групп
В данном параграфе мы докажем,что если л -счетная абелева группа конечного ранга без кручения /см. ("20J ,стр.ЮЗ/, л -почти делимая группа /т.е. п=рп для почти всех простых чисел р / и периодическая часть trl группы л имеет конечные ульмовские инварианты,то л обладает подстановочным свойством /см.ниже Т.10/,а тогда и свойством сокращения /СЛ.Іі/ в классе абелевых групп.Тем самым будет решена проблема 6 из [35]. Если указанный класс групп расширить,отказавшись от требования почти делимости группы л ,то/Ч будет обладать степенным подстановочным свойством /Т.9/.Это-решение проблемы 7 из [35] и проблемы С из [34] .
Напомним /см. [36] /,что последовательностьэлементов кольца /\ называется унимодулярной справа /слева/ стро-кой,если существуют такие элементы XY;..V Х К ,4T0,Z 1 =-/ /соответственно/L 1(1:=1 /. Говорят /см.[36] ,Т.1.6/,что кольцо имеет /г в стабильном ранге,если выполнено одно из следующих эквивалентных условий: а/ для любой унимодулярной справа строкиэлементов из К существуют такие унимодулярная справа строка; б/ для любой унимодулярной слева строки элементов из К существуют такие fy;.,,; 4 -у = »что . слева строка.
Напомним также /см. [34]/,что правый R -модуль/V обладает степенным подстановочным свойством.если для любых разложений М = /V ф 6 = А4 Ф 82 произвольного -модуля М ИЗ /V-f = = Л/ = /\Д всегда следует существование такого/г 6 А/ ,что 6 и Ф 8Р имеют общее дополнение в М
Говорят,что к -модуль Л/ обладает подстановочным свойством, если N удовлетворяет предыдущему определению при 1Ъ А .В силу / [36J д.2.1/ это эквивалентно тому,что кольцо эндоморфизмов Ео ( АО модуля А/ имеет І в стабильном ранге.
За категорными определениями отсылаем к [33]. Для произвольного кольца/? через Ел (М) /или для краткости через Е(М) /, R и ЇЇЬп будем обозначать соответственно кольцо эндоморфизмов/? -модуля М ,группу обратимых элементов кольца К ,категорию правых R -модулей.
Если -аддитивная категория /см. [33]/,то ъЛЬ можно также ввести понятие /степенного/подстановочного свойства.
Доказательство следующей леммы является почти дословным повторением доказательства импликации B/= а/ в /[34] Д.2. і/ с очевидными изменениями для аддитивной категории. ЛЕММА I Допустим, -аддитивная категория,А #7 и кольцо Ес/А) удовлетворяет следующему условию: еслтСих+И=1 в Ё (/4; ,то существуют такие п /V и матрица М ( С/ - , что здесь единичная матрица/.Тогда А обладает степенным подстановочным свойством
Доказательство.Для Доказательство следующей леммы является дословным повторением доказательства импликации a/= B/ в /[34] ,Т.2.1/. ЛЕММА 3 Допустим, А ТОр и для любых разложений М =А1&В1= = Аг 8г с В1 /41 Л А найдется такое /г s /V ,что 8. и EL имеют общее дополнение в П .Тогда л обладает степенным подстановочным свойством в « Q Доказательство. Для любого гомоморфизма /:D- F через/ будПовторить доказательство Л.З с ҐІ = і и Л.2 вместо Л.І.
Пусть / -такой подфунктор тождественного функтора BTTLQ , что I ( В) -вполне характеристический подмодуль в В ЖТ(ВФС)= для любых ВХ 6 760 .Положим введем категориюU/ae(T;/см.
Для обозначения объектов и морфизмов этой категории будем ставить черту над символами.Итак,объекты это правые R -модули А ,а Нот с В; С)=Нот(В)С)/Нот(Ь (С)У
Получаем аддитивную категорию. определим функторы Ф; ЭД — Walk СТ) и F; Wail (7;- — WLR ,полагая ф(/) = Д ,/ ) = /4/7(/4) и если iptUomifyt), у==У + Моиг(в,7(С);,тоФ( = f, F((f) -гомоморфизм B/T( В) в С/Т (С) ,индуцированный гбмоморфизмом Ш .Ясно,чтоФ и г -аддитивные функторы.Еслир((Л = О ,то Ц ( В) I (L) , т. е. у"= О .Т.о., F -унивалентный функтор /см. ем обозначать гомоморфизм
Почти изоморфизм и эквивалентность абелевых групп без кручения конечного ранга
Как показывает следующее предложение,равенство нулю группы SK (А) в точности означает совпадение для модуля А понятий почти изоморфизма и эквивалентности с произвольным модулем
Допустим,А -почти вполне разложимая абелева группа без кручения конечного ранга.Тогда а/ группа л эндомаксимальна в том и только в том случае, если/\ -вполне разложимая группа; б/ К V А в том и только в том случае, если К Л А /см. [31]/ в/ К Л А в том и только в том случае,если КфВ = А В для некоторой вполне разложимой группы 8 /см. [31] /. Доказательство, а/ Если Л -эндомаксимальная группа,то по Л.166 А вполне разложима /в силу однозначности полного квазиразложения группы /[21] ,Т.92.5//.Если А вполне разложима и А& С ,где С -эндомаксимальная группа /Пр.Ю/,то по только что доказанному С вполне разложима и из А & С получаем А = С.
Напомним,/см. [27]/,что конечномерная простая -алгебра/1 называется алгеброй обобщенных кватернионов,если Л -алгебра с делением с центром F сіїУЯгЛ-Ц и для любого архимедова нормирования V поля F пополнение Fy поля F изоморфно полю действительных чисел К ,причем Fv (2 г А -тело Гамильтоно-вых кватернионов.Говорят, /см. Г271/,что порядок R /соответственно модуль А / удовлетворяет условию Эйхлера.если QR-A -" An ,где /! /I = 1, простые алгебры, не являющиеся алгебрами обобщенных кватернионов /соответственно если Б LA)/W( ЕСА)) удовлетворяет условию Эйхле-ра/.
Определение Модуль Л назовем слабо сократимым,если из AiA AzA 7 Ал V/4v/L всегда следует Ал Теорема 21 Для слабо сократимого модуля А порядок группы Кі (А) в точности равен числу неизоморфных модулей В , L -эквивалентных А Доказательство.Следует из Л.4а.
Если модуль А удовлетворяет условию Эйхлера,тоЛ слабо сократим / [27],Сл.3.8/.Однако модуль А слабо сократим и при менее жестких ограничениях /см.[40]/.
Следующая лемма дает нам примеры слабо сократимых модулей. ЛЕММА 22 Допустим, для любого с .Тогда модуль В удовлетворяет условию Эйхлера. Доказательство.Каждый модуль A-L квазиизоморфен сумме сильно неразложимых модулей.Заменяя модули л этими суммами и группируя квазиизоморфные члены,без ограничения общности считаем,что Аі сильно неразложимы ткАї А: при і J положим где Ма. простые алгебры. Т. о., 0R не содержит те-ло в качестве прямого слагаемого,модуль л /а тогда в силу /[27J ,Сл.4.1/ и модуль В / удовлетворяет условию Эйхлера.
Как мы видим из Т.21,для класса слабо сократимых модулей порядок группы К (А) в точности равен числу неизоморфных модулей A L .эквивалентных А .Поэтому важной задачей является вычисление самой группы К (А) .Этим мы и займемся ниже.Окончательный результат,который здесь получается,-Т.37. Определение Положим К - Е С А) .Группой иделей J (А; модуля А назовем подгруппу в П iQR) /произведение-по всем прос-тым р из "Ж /.состоящую из таких oL= Ырп ;... ) ,что dp Є (Rp) для почти всех Р .Вместо(Rp) и ( QR) будем писать просто /\р и И . р -компоненту идели odel (/4) обозначаем
