Электронная библиотека диссертаций и авторефератов России
dslib.net
Библиотека диссертаций
Навигация
Каталог диссертаций России
Англоязычные диссертации
Диссертации бесплатно
Предстоящие защиты
Рецензии на автореферат
Отчисления авторам
Мой кабинет
Заказы: забрать, оплатить
Мой личный счет
Мой профиль
Мой авторский профиль
Подписки на рассылки



расширенный поиск

Строго вещественные унипотентные подгруппы групп лиева типа Газданова Марина Алтеговна

Строго вещественные унипотентные подгруппы групп лиева типа
<
Строго вещественные унипотентные подгруппы групп лиева типа Строго вещественные унипотентные подгруппы групп лиева типа Строго вещественные унипотентные подгруппы групп лиева типа Строго вещественные унипотентные подгруппы групп лиева типа Строго вещественные унипотентные подгруппы групп лиева типа Строго вещественные унипотентные подгруппы групп лиева типа Строго вещественные унипотентные подгруппы групп лиева типа Строго вещественные унипотентные подгруппы групп лиева типа Строго вещественные унипотентные подгруппы групп лиева типа
>

Диссертация - 480 руб., доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Автореферат - бесплатно, доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Газданова Марина Алтеговна. Строго вещественные унипотентные подгруппы групп лиева типа : диссертация ... кандидата физико-математических наук : 01.01.06.- Красноярск, 2006.- 60 с.: ил. РГБ ОД, 61 06-1/1066

Содержание к диссертации

Введение

1 Обозначения и предварительные результаты 9

1.1. Обозначения в группах лиева типа 9

1.2. Свойства строго вещественных групп 13

2 Регулярные унипотентные элементы 16

2.1. Предварительные леммы 17

2.2. Строгая вещественность регулярных унипотент-ных элементов 19

3 Доказательство основной теоремы 36

3.1. Исключительные группы и группы больших рангов 36

3.2. Группы малых рангов 39

Список литературы 58

Введение к работе

Нормальные и скрученные группы лиева типа являются естественным обобщением классических линейных групп. Группа UTn(K)группа верхних унитреугольных пхп- матриц над кольцом К и ее аналоги для других групп лиева типа представляют особый интерес, в частности, как силовские р -подгруппы, когда К—поле характеристики р. Подгруппа UTn(K) и унипотентные подгруппы групп лиева типа изучались многими авторами с разных сторон: абелевы подгруппы наивысшей размерности, нормальные подгруппы, группы автоморфизмов, элементарная эквивалентность и др. С другой стороны сама группа UTn(K) и ее предельные случаи являются неиссякаемым источником различных примеров.

Основным объектом исследований в диссертации являются унипотентные подгруппы групп лиева типа над полем характеристики 2.

Элемент группы G назовем вещественным (строго вещественным), если он сопряжен некоторым элементом (некоторой инволюцией) из G со своим обратным элементом. Все комплексные характеры принимают на вещественных элементах вещественные значения. Группа G называется вещественной (строго вещественной), если все ее элементы вещественны (если все ее неединичные элементы строго вещественны). Отметим, что вещественность (строгая вещественность) всей группы не влечет вещественность (строгую вещественность) ее подгруппы.

В 1995 г. А.А. Кириллов высказал гипотезу, о вещественности характеров унитреугольной группы UTn(K) над полем К = GF(2), т.е. гипотезу о вещественности группы UTn(2). При п < 12 А. Вера-Лопэз и Дж.М. Арреги, опираясь на свои результаты [16, 17], установили вещественность группы UTn(2). В 1998 г. И.М. Айзеке и Д. Карагуиузян [14] привели пример матрицы А из группы UTiz(2), которая не сопряжена в группе UT\2,(2) со своей обратной, тем самым гипотеза А.А. Кириллова при п > 13 была опровергнута. Как выяснилось позже, в группе /Тіз(2) существует единственная пара обратных сопряженных классов

(с представителями An А *) [18].

В силу результатов Д.З. Джоковича [19] (1967 г.) , П.Х. Тьепа и А.Е. Залесского [6] (2005 г.) в общей линейной группе GLn(2m) все унипотентные элементы являются строго вещественными. В [19] доказано, что в GLn(K) для любого поля К все вещественные элементы являются строго вещественными, а в [6] утверждается, что все унипотентные элементы из специальной линейной группы SLn(2m) вещественны. С другой стороны, Р. Гов [1] (1981 г.) доказал строгую вещественность симплектической группы PSp2n{K) для любого поля К характеристики 2. Учитывая этот результат Р. Гова и указанный выше пример матрицы И.М. Айзекса и Д. Карагупузяна получаем, что в силовской 2-подгруппе . строго вещественной группы PSp2n{2m) при п > 14 существует элемент, который не является вещественным в подгруппе $2-

Я.Н. Нужин записал в "Коуровскую тетрадь" следующий вопрос: Какие унипотентные погруппы (силовские 2-подгруппы) групп лиева типа над полем характеристики 2 являются строго вещественными [21, вопрос 16.76].

Одним из основных результатов работы является

Теорема 1. Пусть U — унипотентная подгруппа группы лиева типа G ранга I над полем К характеристики 2.

Подгруппа U не является строго вещественной если:

  1. тип G равен 2Ai\, I > I, 2В2, 2F^;

  2. I > 13 и тип G равен Ai-i, B\,C\,Di, М2г_ъ 2Д+ь'

  3. в поле К существует элемент ц такой, что многочлен Х2+Х+Т] неприводим в К[Х] (в частности, если К — конечное поле) и тип G равен F±, Eq, Ej, ЕЯ.

  4. в подполе неподвиэюных элементов Kq существует элемент щ такой, что многочлен X2 + X + щ неприводим в Kq[X] (в частности, если К — конечное поле) и тип G равен 2Eq.

Подгруппа U является строго вещественной, если I < 4 и тип G отличен от типов из пунктов 1), 3), 4) или тип G равен А\ ul = 5,6.

Из формулировки теоремы 1 следует, что получен ответ на указанный выше вопрос 16.76 для классических групп лиева ранга / при / < 4 и / > 13 , а для типа А\ и при / = 5,6, над произвольным полем характеристики 2, и исключительных групп лиева типа над полем К характеристики 2, в котором существует элемент г) такой, что многочлен X2+X+rj

неприводим в К\Х] или Kq[X] (в частности, если К — конечное поле). При исследовании вопроса 16.76 принципиально важно и полезно знать являются ли строго вещественными регулярные унипотентные элементы?

По определению регулярными унипотентными элементами в группе лиева типа G, ассоциированной с фундаментальной системой корней П = {гі, Г2,..., ri}, являются элементы, сопряженные с элементами вида

xri(ti)xr2(t2)...xri(ti)xSl(ui)...xSk(uk), U^Q, ri

В частности, если группа G типа Аі, то регулярным элементом является элемент, приводимый к нормальной жордановой форме с одним блоком. Основным результатом главы 2 является следующая

Теорема 2. Пусть G — группа лиева типа над конечным полем характеристики 2.

  1. В группе G типа А\, 2А2\-\, В\, Ci, Di, 2D\, 3>4> G2 все регулярные унипотентные элементы строго вещественны.

  2. В группе G типа 2А%, 2В2, 2F^, все регулярные унипотентные элементы не строго вещественны.

  3. Группа G типа Eq, 2Eq содержит один класс строго вещественных и один класс не строго вещественных сопряженных регулярных унипотентных элементов.

  4. Группа G типа Ej, Е$, F± содержит два класса строго вещественных и два класса не строго вещественных сопряоюенных регулярных унипотентных элементов.

По теореме 2 группы типа 2A2i, I > 1, 2В2, 2F^ F4, 2EQ, Eq, Ej, E& над конечным полем характеристики 2 содержат хотя бы один не строго вещественный класс сопряженных регулярных унипотентных элементов. Таким образом, из теоремы 2 вытекает

Следствие. Группы Шевалле типа 2А2\, I > I, 2В2, 2F^, F4, 2Eq, Eq, E-j, E% над конечным полем характеристики 2 не являются строго вещественными.

В 1999 г. А.И. Созутов записал в "Коуровскую тетрадь" следующий вопрос: Описать конечные простые группы, в которых каждый элемент является произведением двух инволюций [20, вопрос 14.82]. Отметим,

что конечная простая группа является строго вещественной тогда и только тогда, когда каждый ее элемент представим в виде произведения двух инволюций.

Вопрос о строгой вещественности отдельных классов конечных простых групп рассматривался и ранее. К. Багински [4] (1987 г.) доказал, что знакопеременная группа Ап, п > 5, строго вещественна тогда и только тогда, когда п = 5, б, 10,14; строгую вещественность симплектиче-ской группы PSp2n{q) установили Р. Гов при q = 2т [1] (1981) и при q = \{mod 4) [3] (1988 г.) и Э.В. Элерс и В. Нольт при q = 2т [2] (1982 г.); в [5] (2005 г.) С.Г. Колесников и Я.Н. Нужин доказали, что среди спорадических групп только две группы Янко «Д и Зч являются строго вещественными, там же было установлено, что группы PSLn(q), п > 3, PSUn(q), п > 3, PSp2n{q) при п > 1 и q = 3(mod 4), а также некоторые ортогональные группы и некоторые исключительные группы лиева типа не являются строго вещественными. В 2005 г. П.Х. Тьеп и А.Е. За-лесский [6] показали, что все исключительные группы лиева типа над любым конечным полем не являются даже вещественными. Таким образом, вопрос о строгой вещественности конечных простых групп (следовательно, и вопрос 14.82) остается открытым только для некоторых ортогональных групп.

Диссертация состоит из введения и трех глав. Опишем содержание диссертации по главам.

В 1.1. приводятся основные обозначения подгрупп, элементов и вспомогательные леммы для группах лиева типа. В 1.2. приведены леммы, описывающие основные свойства строго вещественных групп и вводится понятие графа коммутативности Г(д) элемента д в заданном представлении. По определению графом коммутативности Г(д) элемента д произвольной группы G в представлении

д = д\---9п, gizG,

является простой граф Т(д) = Г(...,дп) на вершинах д\,... ,дп, в котором вершины ді и gj соединены ребром тогда и только тогда, когда

9i9j Ф 9j9i-

На основе данного понятия и леммы 1.2.4 формулируется лемма 1.2.5, которая является основной при доказательстве теоремы 2 и теоремы 1 для групп малых рангов.

Лемма 1.2.5. Пусть в представлении g = gi.--gn, g% G, все gi

инволюции и граф коммутативности Т(д) является лесом. Тогда g

строго вещественный элемент.

Свойства строго вещественных групп

Пусть G — строго вещественная группа, тогда по определению для любого ее неединичного элемента g существует инволюция г Є g такая, что igi = g l. Отсюда g есть произведение двух инволюций і и гд или д = і. Обратно, если д = ij, где г, j — две различные инволюции, то элемент д является строго вещественным. Отметим некоторые менее очевидные свойства строго вещественных групп. Лемма 1.2.1. Класс строго вещественных групп замкнут относительно гомоморфных образов и центральных произведений. Доказательство. Пусть G — строго вещественная группа и G — ее фактор-группа. Тогда для любого неединичного элемента g Є G существует инволюция і Є G такая, что дг = д 1 и, следовательно, дг = д 1, где дні — образы элементов д и і соответственно. Очевидно, что элемент г является либо инволюцией, либо единицей группы G. Во втором случае либо g — инволюция и, следовательно, является строго вещественным элементом, либо g = 1. Пусть группа G является центральным произведением строго вещественных групп А и В, т.е. G = АВ и [А, В] = 1. Пусть g = а&, а Є А, b Є В. В силу строгой вещественности подгрупп А и В существуют инволюции г Є А и j Є В такие, что аг — а 1 и V = Ь"1. Ясно, что либо произведение ij является инволюцией и она инвертирует элемент д, либо і = j и инволюция г инвертирует д. Лемма доказана. Из теории характеров известно, что элемент сопряжен со своим обратным, тогда и только тогда, когда значения всех (комплексных) характеров на этом элементе — вещественные числа. Следовательно, справедлива Лемма 1.2.2. Пусть G — конечная строго вещественная группа. Тогда для любого ее элемента g и любого ее (комплексного) характера все числа ( ?) вещественные. Обычно элемент g (характер ) группы G называют вещественным, если числа (д) являются вещественными для любого характера (соответственно, для любого элемента д) группы G. Отметим, что вещественность и даже рациональность всех характеров группы G не влечет ее строгую вещественность. Лемма 1.2.3. Пусть А — нормальная подгруппа группы G. Тогда для любого а Є А и любого g EG если элемент gag-1 строго вещественен в А, то и элемент а строго вещественен в А. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. ЕСЛИ а є A, g є G и существует инволюция і є А такая, что igag li = ga lg l, то элемент а инвертируется инволюцией g lig из А. Лемма доказана. Лемма 1.2.4. ([7], стр. 146) Пусть X —множество вершин конечного леса, х — дх — такое отобраэюение X в группу G, что дх и ду коммутируют всякий раз, когда вершины х и у не соединены в этом лесе. Пусть Т — множество все линейных порядков на X. Для любого т Є Т обозначим символом рт произведение в G последовательности элементов (дх)хех, определенной порядком т.

Тогда все произведения рт сопряжены в группе G. на вершинахgi,...,gn- По определению вершины gi и gj соединены ребром тогда и только тогда, когда gigj ф gjgi. Граф Г(д) будем называть графом коммутативности элемента д в представлении (1.2.1). Лемма 1.2.5. Пусть в представлении g (1.2.1) все gi — инволюции и граф коммутативности Т(д) является лесом. Тогда g — строго вещественный элемент. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Множество вершин X = {д\,..., дп} любого леса можно разбить на два подмножества Х\ и Хч таким образом, что если д, / Є ХІ,І = 1,2, то вершины д и / не соединены в этом лесе. Поэтому элемент раскладывается в поизведение двух инволюций и, следовательно, он является строго вещественным элементом. Осталось воспользоваться леммой 1.2.4. Лемма доказана. В данном разделе рассматриваются регулярные унипотентные элементы. В 2.1. вводится понятие регулярных унипотентных элементов и формулируются вспомогательные леммы. В лемме 2.1.1 приводится число классов сопряженных регулярных унипотентных элементов d(G) группы лиева типа над конечным полем характеристики 2. В лемме 2.1.4 устанавливается строгая вещественность регулярных унипотентных элементов в простой линейной алгебраической группе G над полем характеристики 2. В 2.2. формулируется теорема 2, описывающая строго вещественные регулярные унипотентные элементы групп лиева типа над конечными полями характеристики 2. При доказательстве теоремы 2 для каждого лиева типа (исключая типы 2B i и 2Fn) над конечным полем явно выписываются представители классов сопряженных регулярных унипотентных элементов и устанавливается их строгая вещественность. Из теоремы 2 вытекает следствие 2.2.1, о том , что простые группы исключительных типов 2i?2, 2F\, F4,2EQ, EQ, E7, E$ над конечным полем характеристики 2 не являются строго вещественными. В 2.2. так же приведена таблица 1, где для каждого типа (исключая типы 2i?2 и 2F ±) явно выписаны представители каждого класса сопряженных регулярных унипотентных элементов группы лиева типа над конечным полем К и указано, является ли данный класс строго вещественным.

Строгая вещественность регулярных унипотент-ных элементов

Теорема 2. Пусть G — группа лиева типа над конечным полем характеристики 2. 1) В группе G типа А\, Мгг-ь Ві, Сі, Di, 2Di, 3D , Gi все регулярные унипотентные элементы строго вещественны. 2) В группе G типа Аіі, 2#2, 2-?4 все регулярные унипотентные элементы не строго вещественны. 3) Группа G типа EQ, 2EQ содержит один класс строго вещественных и один класс не строго вещественных сопряженных регулярных унипотентных элементов. 4) Группа G типа E-j, Е$, F\ содерэюит два класса строго вещественных и два класса не строго вещественных сопряженных регулярных унипотентных элементов. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для нескрученных групи в качестве представителя первого класса сопряженных регулярных унипотентных элементов можно всегда взять элемент (2.1.2). Рассуждения из доказательтва леммы 2.1.4 для элемента (2.1.2) проходят и в этом случае. Тип Аі. В группе G один класса сопряженных регулярных унипотентных элементов с представителем (2.1.2), который строго вещественный. Тип 2А%-\, / 2. В группе G все регулярные унипотептные элементы сопряжены и в качестве представителя можно взять элемент Все сомножители (: (1): (1)), (хГ2(1)хГ21_2(1)),... (а;Г1_1(1)а;Г1+1(1)), хп{1) в представлении элемента (2.2.1) лежат в группе G и являются инволюциями (именно здесь отличие типа 2Лг/-і от типа 2Л2/), а его граф коммутативности является цепью. Поэтому в силу леммы 1.2.5 элемент (2.2.1) строго вещественный. Тип Bi, I 2. В группе G типа Ві два класса сопряженных регулярных упипотентных элементов и в качестве представителя второго класса можно взять элемент где многочлен Х2+Х + г\ неприводим в К[Х]. Действительно. По лемме 2.1.2 если элементы (2.1.2) и (2.2.2) сопряжены в G, то они сопряжены и в U. Пусть I = 2. Сопрягая (2.2.2) произвольным элементом из U получим Приравнивая последний элемент к элементу (2.1.2), получаем равенство х2 + х + 7] = 0.

Общий случай следует из случая / = 2 по лемме 1.1.2. Граф коммутативности элемента (2.2.2) имеет вид xr(t), нумеруются корнями г. Поэтому в силу леммы 1.2.5 элемент (2.2.2) строго вещественный. Тип Сі, I 2. Здесь нужно лишь отметить, что группы типа Ві и Сі над полем характеристики 2 изоморфны. Тип Д, I 4. В группе G типа Д, / 4, два класса сопряженных регулярных унипотентных элементов и в качестве представителя второго класса можно взять элемент где многочлен X2 + X + г] неприводим в ifpf]. Действительно, при / = 4 по лемме 2.1.2 и лемме 2.1.5 элементы (2.1.2) и (2.2.3) не сопряжены. Общий случай следует из случая / = 4 по лемме 1.1.2. Граф коммутативности элемента (2.2.3) имеет вид и является деревом. Поэтому в силу леммы 1.2.5 элемент (2.2.3) строго вещественный. Тип 2Di, I 4. В группе G типа 2Д, I 4, два класса сопряженных регулярных унипотентных элементов. В качестве представителя первого класса можно взять элемент (2.1.2). Все сомножители хп(1), хГ2(1),...,хп_2(1), (жг,_г(1)а;г,(1)) в представлении элемента (2.1.2) лежат в группе G и являются инволюциями, а его граф коммутативности в этом представлении является цепью. Поэтому в силу леммы 1.2.5 элемент (2.1.2) является строго вещественным элементом в группе G. В качестве представителя второго класса можно взять элемент где многочлен X2 + X + г] неприводим в ifoW- Здесь Ко — поле неподвижных элементов относительно полевого автоморфизма, участвующего в построении группы С Действительно, пусть #1, 2) 9, t, Tj такие как в лемме 2.1.5. Если ді,д2,д Є 2Di(K), то по лемме 2.1.5 ддчд х = д\ тогда и только тогда, когда t Є KQ и t2 -f t + ц — 0. Отсюда при / = 4 по лемме 2.1.2 и лемме 2.1.5 существует такое т\ Є KQ, что элементы (2.1.2) и (2.2.4) не сопряжены. Общий случай следует из случая / = 4 по лемме 1.1.2. Все сомножители хГі(1), хГ2(1),...,хГі_2(1), (жГ_1(1)я:Гі(1)), xn-2+ri-i+ri(v) в представлении элемента (2.2.4) лежат в группе G и являются инволюциями, а его граф коммутативности в этом представлении такой как на рисунке 2.2.2, поэтому в силу леммы 1.2.5 элемент (2.2.4) строго вещественный. Тип 3L 4.

В группе G типа 3D два класса сопряженных регулярных унипотентных элементов. В качестве представителя первого класса можно взять элемент (1) (1) (1) (1), (2.2.5) который строго вещественен, так является произведением двух инволюций хГ1(1)хГз(1)хи(1) и хГ2(1) из G. В качестве представителя второго класса можно взять элемент 1) 1) 1) (1) 4+ ), (2-2-6) где г] Є Ко и многочлен X2 + X + г) неприводим в -КоИ- Граф коммутативности элемента (2.2.6) является цепью с тремя вершинами хГ2(1), хГ1(1)хГз(1)хп(1) и Хзг1+Г2(г]). Так же как и для типа 2D\ можно показать, что элементы (2.2.5) и (2.2.6) не сопряжены. Тип (. В группе G типа ( два класса сопряженных регулярных унипотентных элементов. В качестве представителя второго класса можно взять элемент хГ1(1)хГ2(1)х3п+Г2(7]), (2.2.7) где Г] Є К и многочлен X2 + X + г\ неприводим в К[Х]. Граф коммутативности элемента (2.2.7) является цепью. Если при построении группы типа 3Ді взять тривиальный полевой автоморфизм, то получим группу, изоморфную группе типа Gi- Поэтому элементы (2.1.2) и (2.2.7) не сопряжены. Типы 2А%, 2?2? 2-?4- Подгруппа U типа 2Ач и 2#2 имеет ступень нильпотентности 2 и все ее инволюции лежат в центре, поэтому все ее регулярные элементы не могут быть строго вещественными, так как они имеют порядок 4. Отсюда по лемме 2.1.3 все регулярные унипотептные элементы группы G типа 2A2i, 2F также не могут быть строго вещественными. Тип Е$. В группе G типа EQ два класса сопряженных регулярных унипотентных элементов. В качестве представителя второго класса можно взять элемент где многочлен X2 + X + 7] неприводим в К[Х]. Действительно, корни 2 3 4,7 составляют фундаментальную систему типа Ді, поэтому так же как и для типа 2D\ можно показать, что элементы (2.1.2) и (2.2.8) не сопряжены. Граф коммутативности элемента (2.2.8) содержит циклы. Покажем, что он не является строго вещественным. Предположим, элемент д инвертируется некоторой инволюцией і Є U, т.е. Для подходящих U Є К и подходящего Щ Є U2 Представим элементы д и д 1 в виде произведения корневых элементов, согласованного с высотой корней: Глава 2. Регулярные унипотентные элементы для некоторого из Є [/з- В силу равенства (2.2.9) имеем следующую систему уравнений

Исключительные группы и группы больших рангов

В данной главе приводится доказательство теоремы 1. В 3.1. рассматриваются группы больших рангов и исключительные группы. При доказательстве теоремы 1 для групп больших рангов используется пример унитреугольной матрицы А размерности 13 х 13 над полем GF(2) И.М. Айзэкса и Д. Карагуиузяна [14], которая не сопряжена со своей обратной. Для исключительных групп типа E 2E E-j E F\ утверждение теоремы 1 выводится из доказательства теоремы 2, в котором для конкретных регулярных унипотентпых элементов устанавливалось, что они не являются строго вещественными, при этом на основное поле К накладывалось только следующее ограничение: многочлен X2 + X + г\ неприводим в кольце К[Х] для некоторого 7] Є К. В 3.2. приводится доказательство теоремы 1 для групп малых рангов, а именно, для групп лиева типа ранга / 4 и для типа А\ при / 6. Каждый из типов рассматривается отдельно, хотя схема доказательства общая. больших рангов Типы 2А2і, 2В2, 2І 4.

Унипотентная подгруппа типа Мг и 2Вг имеет ступень нильпотентности 2 и все ее инволюции лежат в центре, поэтому она не может быть строго вещественной. В подгруппе U типа 2Ач\ и 2і 4 существует корневая подгруппа Xs, изоморфная унипотентной подгруппе типа 2Ai и 2Вг соответственно. Здесь S — класс эквивалентности типа Л2 или Дг, состоящий из фундаментальных корней изначальной Глава 3. Доказательство основной теоремы системы корней типа А ц или F\ соответственно. Пусть J = S, тогда U есть полупрямое произведение нормальной подгруппы Uj и подгруппы Lj = Xs- Поэтому в силу леммы 1.2.1 группа U не может быть строго вещественной. Таким образом, справедлива Лемма 3.1.1. Унипотпентная подгруппа U типа 2Лг/, I 1, 2Д2, 2F над полем характеристики 2 не является строго вещественной. Типы Уїм, Си А, Мм-1, 2Д+і при / 13. Через UTn(K) обозначим группу унитреугольпых пх п матриц над полем К, и положим UTn(q) = UTn(K) при К = GF{q). В 1998 г. И.М. Айзэкс и Д. Карагуи-узян [14] привели пример матрицы из группы С/Тіз(2), которая не сопряжена со своей обратной. (Опечатки из [14] устраняются в [15].) Вычисления проводились на компьютере, а именно, было показано, что система линейных однородных уравнений АХ А — X = 0 с 78 неизвестными Ху, i,j = 1,...,13, і j, не имеет решений в поле GF(2). В [14] также отмечается, что А. Вера-Лопэз и Дж.М. Ареги, опираясь на свои результаты из [16, 17], установили вещественность характеров группы UTn(2) при п 12. Вычисления также проводились на компьютере. В [18] установлено даже, что в группе ІУХіз(2) существует единственная пара обратных сопряженных классов (с представителями А и А 1, где А такая как показано выше). Таким образом, п = 13 является минимальной размерностью, для которой существует унитреугольная матрица, несопряженная в группе UTn{2) со своей обратной. Лемма 3.1.2. При I 13 унипотпентпная подгруппа U типа А\-\, Q, Di, 2А2і-і, 2Д+і над полем К характеристики 2 не является строго вещественной. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть Uj и Lj такие же как в лемме 1.1.1.

При указанных ограничениях на лневский ранг / существует J такое, что подгруппа Lj изоморфна группе UTis(K) и группа U есть полупрямое произведение нормальной подгруппы Uj и подгруппы Lj. Очевидно, что система линейных однородных уравнений с коэфициентами из некоторого поля F имеет ненулевое решение в поле F тогда и только тогда, когда она имеет ненулевое решение в любом его расширении. Поэтому указанный выше пример И.М. Айзэкса и Д. Карагуиузяна приводит к тому, что группа U\z(K) не может быть строго вещественной для любого поля К характеристики 2. Отсюда в силу леммы 1.2.1 группа U не является строго вещественной. Лемма доказана. Тип EQ. Если К — конечное поле, то утверждение теоремы 1 следует из теоремы 2, которая утвеждает, что в этом случае унипотентная подгруппа U содержит регулярный не сторого вещественный элемент. В доказательств теоремы 2 выбирался конкретный регулярный унипо-тентный элемент (2.2.8) и устанавливалось, что он не является строго вещественным, при этом, в действительности, на основное поле К накладывалось только следующее ограничение: многочлен X2 + X + г] неприводим в кольце К\Х] для некоторого п Є К. В конечном поле всегда найдется такой элемент г]. Поэтому, используя доказательство нестрогой вещественности элемента (2.2.8), получаем следующее утверждение: если в поле К существует элемент г] такой, что многочлен X2 + X + г\ неприводим в кольце if pf], то подгруппа U не является строго вещественной. Это и есть утверждение теоремы 1 для типа EQ. Типы Ej, Е$.

По лемме 2.1.3 утверждение теоремы 1 для этих типов следует из утвеждения теоремы 1 для типа EQ. Тип 2EQ. Так же как и для типа EQ получаем следующее утверждение: если в поле KQ существует элемент т] такой, что многочлен Х2+Х+Г] неприводим в кольце -КоИ, то подгруппа U не является строго вещественной. Тип F4. Элемент ?2, указанный в доказательстве теоремы 2, не является строго вещественным, если в поле К существует элемент Г) такой, что многочлен Х2+Х+г] неприводим в кольце К[Х]. Поэтому подгруппа U не является строго вещественной. Здесь теорема 1 доказывается для групп лиева типа ранга I 4 и для типа А\ при / б. В силу леммы 2.1.3 достаточно исследовать только предельные случаи. Так как типы 2Лг/, 2Д2,2- 4 FA Уже изучены выше, то остается рассмотреть только следующие типы: В , СА, 4, 2 7, 2 5, (?2, 3Лі и AQ. Далее каждый из этих восьми типов рассматривается отдельно, хотя схема доказательства общая, а именно, следующая. Пусть Для элемента v строим его граф коммутативности Г(г ). Очевидно граф коммутативности Т(и) любого другого элемента из U будет его подграфом. Достаточно найти такой элемент д Є В, чтобы граф Т(и9) являлся бы лесом, потому что, тогда по лемме 1.2.3 и лемме 1.2.5 группа U должна быть строго вещественной. Далее фраза "сопрягая элементом хг, получим ts = 0" означает, что сопрягая корневым элементом xr(tr) для подходящего tr исходный элемент и, получим нулевой коэффициент ts у xs(ts) в разложении и. После сопряжения новый элемент мы также обозначаем через и. Тип 2)5- С группой G типа 2Dr естественно связана система корней типа В4 с базой {a, Ь, с, d}. Мы фиксируем следующее расположение фундаментальных корней на схеме Дынкина

Группы малых рангов

Здесь теорема 1 доказывается для групп лиева типа ранга I 4 и для типа А\ при / б. В силу леммы 2.1.3 достаточно исследовать только предельные случаи. Так как типы 2Лг/, 2Д2,2- 4 FA Уже изучены выше, то остается рассмотреть только следующие типы: В , СА, 4, 2 7, 2 5, (?2, 3Лі и AQ. Далее каждый из этих восьми типов рассматривается отдельно, хотя схема доказательства общая, а именно, следующая. Пусть Для элемента v строим его граф коммутативности Г(г ). Очевидно граф коммутативности Т(и) любого другого элемента из U будет его подграфом. Достаточно найти такой элемент д Є В, чтобы граф Т(и9) являлся бы лесом, потому что, тогда по лемме 1.2.3 и лемме 1.2.5 группа U должна быть строго вещественной. Далее фраза "сопрягая элементом хг, получим ts = 0" означает, что сопрягая корневым элементом xr(tr) для подходящего tr исходный элемент и, получим нулевой коэффициент ts у xs(ts) в разложении и. После сопряжения новый элемент мы также обозначаем через и. Тип 2)5- С группой G типа 2Dr естественно связана система корней типа В4 с базой {a, Ь, с, d}. Мы фиксируем следующее расположение фундаментальных корней на схеме Дынкина Глава 3. Доказательство основной теоремы По теореме 2 регулярные унипотентные элементы группы G строго вещественные.

Поэтому далее считаем, что хотя бы какой-то один из коэффициентов ta, tb, tc, td равен нулю. 1) Пусть ta ф 0. Сопрягая и последовательно элементами Хь, Хь+с, Xb+c+d, ПОЛУЧИМ СООТВЄТСТВЄННО ta+b = ta+b+c = ta+b+c+d = 0. la) Пусть tb ф 0. Сопрягая и последовательно элементами Хс, Xc+d, 2а+Ь+о ПОЛУЧИМ СООТВЄТСТВЄННО tb+c = h+c+d = ha+2b+c = 0. Если tc = 0, то Т(и) — лес. Если tc ф 0, то td = 0. Сопрягая элементом Xd, получим tc+d = 0, и, следовательно, Г(и) — лес. 16) Пусть tb ф 0. Тогда Т(и) — лес. 2) Пусть ta = 0, ta+b ф 0. Сопрягая и последовательно элементами Хь+с, Ч+c+d, ПОЛУЧИМ Соответственно ta+Ъ+с = ta+b+c+d = 0. 2а) Пусть tc Ф 0. Сопрягая и последовательно элементами Xd, хь, получим соответственно tc+d = tb+c = 0 и, следовательно, Т(и) — лес. 26) Пусть tc = 0. Если tc+d = 0, то Т(и) — лес. Пусть tc+d Ф 0. Сопрягая и элементом хъ, получим U+c+d = 0) и граф Г (и) становится 3) Пусть ta = 0, ta+b = 0. Заметим, что здесь одновременно рассматривается и случай А , потому что длинные корни в системе корней типа В4 составляют систему корней типа D а "висячая цепь"с короткими корнями a + Ь + с, а + 6 + с+йв этом случае никак не влияет на то, будет граф Т(и) лесом или нет. За) Пусть І2а+Ь Ф 0- Сопрягая и последовательно элементами Хс, Xc+d, Хь+с, ПОЛУЧИМ Соответственно t2a+b+c = ha+b+c+d = ha+2b+c = 0. Если tc = 0, то Г (и) — лес. Если tc ф 0, то сопрягая и элементом х&, получим tc+d = 0, и, следовательно, Г (и) — лес. 36) Пусть t2a+b — 0. Если tc = 0, то Г(и) — лес. Пусть tc Ф 0. Сопрягая и последовательно элементами хъ, Xd, %2а+ь, получим соответственно tb+c — tc+d = ha+b+c = 0, и граф Г (и) становится лесом. Типы В4, С4 и D\. Прежде всего отметим, что унипотентные подгруппы типа В\ и С\ над полем характеристики 2 изоморфны. Граф коммутативности элемента и для типа В\ получается из графа на рисунке 3.2.2 стиранием ребер, соединяющих короткие корни а, а + Ь, а + Ь + с, a+b+c+d. Поэтому доказательство, приведенное для типа 2D$ проходит и для типа Вц. В пункте 3) этого же доказательства отмечается, что одновременно охватывается и случай D .

Таким образом, унипотентные подгруппы типа В , С\ и Aj также являются строго вещественными. Тип 2A-j. С группой G типа 2Aj естественно связана система корней типа С с базой {а, 6, с, d}. Мы фиксируем следующее расположение фундаментальных корней на схеме Дынкина Далее приняты такие же сокращения как и в доказательстве для типа 2 5. По теореме 2 регулярные унипотентные элементы группы G строго вещественные. Поэтому далее считаем, что хотя бы какой-то один из коэффициентов ta, tb, tc, td равен нулю. 1) Пусть ta ф 0. Сопрягая и последовательно элементами хь, хь+с, Xb+c+d, %b+2c+d, ПОЛУЧИМ С00ТВЄТСТВЄШЮ ta+b = ta+b+c = ta+b+c+d = ta+b+2c+d = 0. la) Пусть tb = 0. Если tb+c = 0, то T(u) — лес. Пусть tb+c Ф 0. Сопрягая и элементом Xd, получим tb+c+d = 0. Если td = 0, то Г (и) — лес. Если td ф 0, то, сопрягая и элементом хс, получим tc+d = 0, и граф Т(и) снова становится лесом. 16) Пусть tb ф 0. Сопрягая и последовательно элементами хс, xc+d, X2c+d, получим соответственно tb+c = U+c+d = h+2c+d = 0, и граф Г(м) становится лесом. 2) Пусть ta = 0, tb = 0. Если tc = td = 0, то Г(и) — лес. Если tc ф 0, то, сопрягая и последовательно элементами Xd, ха+ь, получим соответственно tc+d = ta+b+c = 0. В этом случае граф Г (и) также является лесом. Если tc = 0,tdФ 0, то сопрягая и последовательно элементами хс, хь+с, получим соответственно tc+d = h+c+d = 0, и граф Г (и) становится лесом. 3) Пусть ta = 0, іь ф 0. Сопрягая и последовательно элементами хс, Глава 3. Доказательство основной теоремы ха, получим соответственно tb+c = ta+b = 0. Если tc = 0, то Г(м) — лес. Если tc ф 0, то, сопрягая и элементом ха+ь, получим ха+ь+с = 0, и граф Г (и) становится лесом.

Похожие диссертации на Строго вещественные унипотентные подгруппы групп лиева типа