Содержание к диссертации
Введение
1 Многообразия, псевдомногообразия и проблема конечного базиса тождеств 3
2 Псевдомногообразия, порожденные матричными полугруппами 5
3 Проблема конечного базиса для матричных полугрупп 8
4 Содержание диссертации 14
5 Апробация и публикации 19
Глава 1. Аналог теоремы Страубинга 20
1.1 Вспомогательные понятия и утверждения 20
1.2 Теорема 1.1 27
1.3 Примеры 30
Глава 2. Псевдомногообразие RH 38
2.1 Предварительные сведения 38
2.2 Разрешимость псевдомногообразия RH 41
2.3 Следствия 54
Глава 3. Инволюторные полугруппы 61
3.1 Предварительные сведения 61
3.2 Теорема 3.1 и ее приложения 63
3.3 Регулярные полугруппы 68
Список литературы
- Псевдомногообразия, порожденные матричными полугруппами
- Апробация и публикации
- Примеры
- Разрешимость псевдомногообразия RH
Псевдомногообразия, порожденные матричными полугруппами
Под универсальным объектом для некоторого класса полугрупп 5? мы далее будем понимать набор конкретных полугрупп (например, серию полугрупп, зависящую от одного или нескольких параметров), таких, что каждая полугруппа из реализуется как подполугруппа или делитель некоторой полугруппы из этого набора. Напомним, что полугруппа S делит полугруппу Т, если S является гомоморфным образом некоторой подполугруппы из Т. В теории псевдомногообразий полугрупп однопараметрические серии треугольных матричных полугрупп выступают универсальными объектами для псевдомногообразия всех -тривиальных моноидов J и псевдомногообразия всех -тривиальных моноидов R. Приведем соответствующие результаты. Обозначим через п моноид всех рефлексивных бинарных отношений на множестве из п элементов. Каждое такое отношение представимо булевой матрицей с единицами на главной диагонали. Обозначим через aJ/n подмоно-ид Мп, состоящий из верхнетреугольных матриц. Назовем преобразованием
Обозначим через п моноид всех направленных преобразований на множестве {1,... ,п}. Всякое такое преобразование, очевидно, представимо верхнетреугольной булевой матрицей, каждая строка которой содержит лишь один ненулевой элемент. Следующее утверждение, которое можно найти, например, в [36], показывает, что серия п является универсальным объектом для псевдомногообразия R.
Теорема II. Конечный моноид является М-тривиальным тогда и только тогда, когда он изоморфно вкладывается в моноид Sn для некоторого п.
Отметим, что, несмотря на сходные по характеру утверждения теорем I и II, их доказательства опираются на существенно различные идеи. Доказательство теоремы II конструктивно: по данному конечному моноиду S эффективно вычисляется размер матриц и строится вложение в соответствующий моноид п. Доказательство же теоремы Страубинга неконструктивно и существенно опирается на упомянутую в предыдущем параграфе теорему Саймона. Более того, можно показать, что эти две теоремы эквивалентны.
На данный момент еще не получено конструктивного доказательства теоремы Страубинга, которое позволяло бы указать конкретный моноид &п, его подмоноид и соответствующий гомоморфизм.
Ввиду теорем I и II представляет интерес дальнейшее изучение возможности классифицировать конечные полугруппы в виде псевдомногообразий, порожденных полугруппами треугольных матриц. Рассмотрим следующую двухпараметрическую серию треугольных матричных полугрупп. Конечную группу G с присоединенным нулем 0 обозначим через G U 0. Назовем матрицу порядка п над G U 0 мономиалъной (по строкам), если каждая строка содержит в точности один ненулевой элемент. Для всех элементов д Є G U 0 положим дополнительно g + 0 = 0 + g = 0. Обозначим через TMn(G) моноид всех верхнетреугольных мономиальных матриц порядка п над G U 0. Умножение двух матриц из TMn(G) с учетом дополнительного условия осуществляется по правилам стандартного матричного умножения.
Моноиды TMn(G) интересны тем, что их можно рассматривать как естественное обобщение моноидов п. В этом случае каждый из моноидов п можно считать моноидом всех верхнетреугольных мономиальных матриц порядка п над единичной группой с нулем. Более того, как будет показано в диссертационной работе, на каждом моноиде TMn(G) совпадают отношения Грина М и Ж, что, в свою очередь, обобщает случай -тривиальных моноидов. Возникает предположение, что серия моноидов TMn(G) может играть для класса моноидов, удовлетворяющих соотношению М = Ж, роль универсального объекта аналогично роли серии п для класса -тривиальных моноидов и серии %п для класса -тривиальных моноидов.
Задача 1. Верно ли, что каждый моноид, удовлетворяющий соотношению М = Ж, делит некоторый моноид ТMn{G) Отметим, что моноиды, на которых совпадают определенные отношения Грина, уже изучались в литературе. Так, например, в [26] Ж. Лаллеман показал соответствие между классом конечных регулярных моноидов, удовлетворяющих соотношению 2) = &, и конечными префиксными кодами. В [33]
М.В. Волков и Ф. Пастэйн охарактеризовали многообразия, полугруппы которых удовлетворяют одному из соотношений 3 = J%?, З = =?, З = & или Помимо предполагаемого аналога теорем I и II, возникает вопрос о разрешимости псевдомногообразия, порожденного серией моноидов TMn(G). Иными словами, необходимо выяснить, существует ли алгоритмически проверяемый критерий, позволяющий определить, принадлежит ли данный конечный моноид этому псевдомногообразию. Для псевдомногообразий J и R такие критерии, очевидно, существуют.
Задача 2. Определить, является ли псевдомногообразие, порожденное классом всех моноидов TMn{G), разрешимым, и если да, найти алгоритмически проверяемый критерий. Проблема конечного базиса для матричных полугрупп
Изучение матричных тождеств, включающих операции умножения и сложения, является классическим направлением исследований, которое было мотивировано несколькими важными проблемами в геометрии и алгебре (см. обзор [12]) и в итоге привело к созданию теории PI-колец (см., например, [38]). Матричные тождества, включающие наряду с умножением и сложением одну или несколько унарных операций (таких, например, как обычное или сим-плектическое транспонирование) также привлекали большое внимание исследователей, см., например, [15,16,20,38]. Задача классификации матричных тождеств определенного типа естественным образом сводится к проблеме конечного базиса тождеств. Так, например, все тождества полугруппы матриц порядка п над бесконечным полем относительно операции умножения следуют из закона ассоциативности [22]. В противоположность этому, мультипликативная полугруппа матриц порядка п над конечным полем не имеет ко ВВЕДЕНИЕ нечного базиса тождеств. Этот результат был независимо получен в работах М.В. Волкова [2] и М.В. Сапира [6]. Стоит отметить, что методы, использовавшиеся в этих работах: метод критических полугрупп и метод существенно бесконечно базируемых полугрупп — в значительной степени различны, однако достаточно любого из них, чтоб охватить тождества матриц любого размера над любым конечным полем.
Оба указанных метода были впоследствии реализованы в контексте унарных полугрупп в работе К. Ауингера, И. Долинки и М.В. Волкова [13]. Напомним, что унарной полугруппой называется полугруппа, снабженная дополнительной унарной операцией I4i (или несколькими такими операциями). Унарная полугруппа S = (S,-, ) называется инволюторной полугруппой, если она удовлетворяет тождествам (ху) = у х и {х У = х, (1) или, иными словами, если унарная операциям ь- х является инволюторным анти-автоморфизмом полугруппового редукта (S, ). Все понятия, связанные тождествами, переносятся на случай унарных полугрупп. Аналогичным образом формулируется проблема конечного базиса для некорого класса унарных полугрупп. Применение разработанных методов позволило классифицировать с точки зрения конечной базируемости несколько важных классов унарных матричных полугрупп
Апробация и публикации
Обратное утверждение не верно. Рассмотрим, например, упомянутый в параграфе 1 моноид Брандта (В , ) Известно [6, следствие 6.1], что моноид Брандта существенно бесконечно базируем (фактически, это был первый пример существенно бесконечно базируемой полугруппы). Моноид Брандта можно снабдить естественной инволюцией, а именно, стандартным матричным транспонированием А ь- А . Однако инволюторная полугруппа ( 2, , ) уже не будет существенно бесконечно базируемой, как показано в [39]. Другие примеры можно найти в [13]: если % — конечное поле, а МП(ЗС) обозначает множество всех п х n-матриц над ОС, то полугруппа (Мп(0С),-) существенно бесконечно базируема для любого п 2 в соответствии со следствием 6.2 из [6], тогда как инволюторная полугруппа (М2(0С), , ) не будет существенно бесконечно базируемой, если количество элементов в% при делении на 4 дает З в остатке. Именно это обстоятельство породило указанный выше вопрос о наследовании свойства существенной бесконечной базируемости при добавлении инволюции. Отметим также, что совсем недавно в [28] Э. Ли привел пример конечно базируемой конечной инволюторной полугруппы с бесконечно базируемым редуктом, то есть в общем случае даже обычная бесконечная базируемость не обязана сохраняться при добавлении инволюции.
Задача 4. Найти условия, при которых инволюция х ь-» х , определенная на существенно бесконечно базируемой полугруппе (S,-), сохраняет этот вид базируемости на инволюторной полугруппе = (S, , ). Содержание диссертации Диссертация состоит, помимо введения, из трех глав и списка литературы. Нумерация теорем, предложений и следствий двойная. Первое число соответствует номеру главы, второе — номеру утверждения. Основные результаты диссертации решают задачи 1-4, поставленные в параграфах 2 и 3.
В главе 1 рассматривается взаимосвязь между псевдомногообразием, порожденным серией моноидов TMn(G), и классом моноидов, удовлетворяющих соотношению М = Ж . В 1.1 приводятся вспомогательные понятия и утверждения. В частности, доказывается, что каждый моноид TMn{G) удовлетворяет соотношению М = Ж . Помимо этого, на произвольном моноиде, удовлетворяющем этому соотношению, исследуются свойства конгруэнции М% порожденной отношением Му которые необходимы для доказательства основного результата главы. Основным результатом главы 1 является следующая теорема, решающая поставленную задачу 1.
Теорема 1.1. Всякий конечный моноид, удовлетворяющий соотношению М = Ж, делит моноид TMn{G) для подходящей группы G и подходящего натурального п.
Доказательству теоремы 1.1 посвящен 1.2. Отметим, что доказательство проводится конструктивно: группа G и размер матриц п эффективно вычисляются по данному конечному моноиду S. Идейная основа для доказательства аналогична доказательству теоремы II: для каждого элемента моноидаS рассматривается его направленное действие на определенном частично упорядоченном множестве. В случае -тривиальных моноидов конгруэнция ж совпадает с отношением , и в качестве частично упорядоченного множества берется множество одноэлементных -классов. Каждый элемент моноида действует на этом множестве умножением справа. В общем случае, рассматриваемом в теореме 1.1, роль частично упорядоченного множества играет фактор-моноид S/МК Приведенный алгоритм построения группы G, подмоноида TMn{G) и соответствующего гомоморфизма реализован на серии примеров в 1.3. Теорема 1.1 представляет собой аналог теорем I и II для класса моноидов, удовлетворяющих соотношению М = Ж. Из нее следует, что серия моноидов TMn{G) и класс моноидов, удовлетворяющих соотношению М = Ж, порождают одно и то же псевдомногообразие. Обозначим это псевдомногобразие через RH.
В главе 2 исследуется разрешимость псевдомногообразия RH. Первым результатом главы является следующая теорема, идентифицирующая псевдомногообразие RH с полупрямым произведением псевдомногообразия всех конечных групп G на псевдомногообразие всех конечных -тривиальных моноидов R.
Изучению полупрямого произведения псевдомногообразий посвящено значительное количество работ, см. [8-11,25,37], в том числе связанных с псевдомногообразиями групп и -тривиальных моноидов. Полученное в теореме 2.1 представление позволяет воспользоваться мощным подходом, который был разработан Б. Тилсоном. В [45] Ти л сон рассмотрел категории как алгебраические структуры и обобщил с помощью них многие понятия и операции из теории полугрупп. В частности, он разработал критерий разрешимости псевдомногообразия вида V W. Специализируя этот результат для псевдомногообразия G R, мы получаем алгоритмически проверяемый критерий того, что данный конечный моноид принадлежит псевдомногообразию RH. Для его формулировки приведем необходимые определения.
Определенную выше конгруэнцию ж назовем -минимальной, если для произвольного фиксированного "-класса Q любой -класс, лежащий в Q, минимален во множестве всех -классов, лежащих в Q, относительно стандартного частичного порядка на множестве -классов моноида S: Ra Щ тогда и только тогда, когда aS С bS, a,b Є S. Также для произвольного . -класса Н обозначим через Pwr{H) множество элементов, поточечно стабилизирующих Н при умножении справа: Pwr(H) = {х Є S \ hx = h для любого h Є Н}. Основным результатом главы 2 является следующая теорема, решающая поставленную задачу 2.
Теорема 2.2. Конечный моноид S принадлежит псевдомногообразию RH тогда и только тогда, когда конгруэнция М является М-минимальной на S и для произвольного М$-класса Q множества Pwr(H) совпадают для всех Ж -классов Н С Q.
Доказательству теоремы 2.2 посвящен 2.2. Несколько следствий этой теоремы приводится в 2.3. В частности, следствие 2.6 обобщает результат теоремы 1.1 с класса моноидов, удовлетворяющих соотношению = J4?, на все псевдомногообразие RH. Следствие 2.6. Конечный моноид принадлежит псевдомногообразию RH тогда и только тогда, когда он делит моноид TMn{G) для некоторой группы G и некоторого натурального п. Доказательство следствия, аналогично доказательству теоремы 1.1, конструктивно: группа и размер матриц эффективно вычисляются по данному конечному моноиду.
В главе 3 исследуется взаимосвязь между существенной бесконечной бази-руемостью конечной инволюторной полугруппы и существенной бесконечной базируемостью ее полугруппового редукта. В 3.1 приводятся необходимые предварительные сведения. В 3.2 доказывается основная теорема о том, что инволюторная полугруппа S наследует этот вид базируемости от редукта, когда многообразие varS, порожденное S, содержит трехэлементную инволю-торную полугруппу TS («скрученную полурешетку»), что решает поставленную задачу 4.
Примеры
Из доказательства предложения 1.1 следует, что матрицы и q должны иметь одинаковую расстановку ненулевых элементов. Тогда, очевидно, матрицы 2j и 2j+i также имеют одинаковую расстановка ненулевых элементов. Рассуждая по индукции, получаем, что матрицы а = ао и b = ап имеют одинаковую расстановку ненулевых элементов.
Обратно, пусть у матриц а и Ь нулевые элементы расположены одинаково. Пусть е = Еп — матрица, у которой в каждой клетке главной диагонали стоит единица группы G. Тогда, очевидно, е — единица TMn(G), и , -класс Не, содержащий е, состоит из всех диагональных матриц, чьи элементы независимо друг от друга пробегают группу G. Поскольку Не одновременно является -классом, то существование такого h Є Не, что ha = b, обеспечит соотношение аМ$ Ь, поскольку eMh влечет еаМ$ ha, то есть аМ$ Ъ. Для всех h Є Не элемент /ш, очевидно, имеет ту же расстановку ненулевых элементов, что и а. Если номер і таков, что существует элемент а 0, полагаем hij = bija - . Для остальных номеров і полагаем hij равным единице группы G. В итоге матрица h Є Не удовлетворяет условию ha = b. Итак, мы получили, что произвольный "-класс в TMn(G) образован всеми матрицами с одинаковой расстановкой ненулевых элементов. Теперь, очевидно, моноид ТMn{G)/М« изоморфен полугруппе п всех верхнетреугольных мономиаль-ных матриц над единичной группой.
Соответствующие классы моноида TM (G) по конгруэнции М также будем обозначать через А, В, С, D, Е, F. Легко видеть, что правый стабилизатор Str(X) класса X Є {А} , С, D, Е} F} состоит из матриц, обладающих ненулевыми диагональными элементами в строках, номера которых совпадают с номерами ненулевых столбцов матриц из класса X. Каждый из этих диагональных элементов независимо пробегает группу G, и фиксированный набор этих элементов полностью определяет действие матрицы х Є Str{X) на класс X. Перечислим теперь группы Шютценберже, соответствующие всем -классам: Г і = Tr(E) = G х G х G, Г2 = Tr(A) = G х G, Г3 = ГГ{В) = G х G, Г4 = ГГ(С) = G х G, Г5 = Vr{D) G х G, TQ = Tr(F) = G. Итак, каждой матрице из моноида TM%(G) в соответствии с результатами главы будет соответствовать набор матриц из моноида TMQ(H), где і/ = Гі х Г2 х Гз х Г4 х Г5 х Ге. Через Є{ будем далее обозначать единицу группы 1\.
Перейдем к построению подмоноида М моноида TMQ(H) И соответствующего ему гомоморфизма tp\ М —) TM%(G). Для этого необходимо определить плотные разложения для каждого -класса при действии этого класса справа на моноиде $% Выпишем таблицу действий (попарных произведений) в моноиде $% за исключением очевидных действий вида ХЕ = X,
Покажем, как формируется прообраз (f l(f) для / Є F. Пусть / — произвольная матрица из f (f). Как видно из таблицы и рисунка 2.1, действия AF = F, BF = F и DF = F совершаются между соседними классами, действие FF = F является стабилизирующим. Поэтому элемент /26 матрицы / будет пробегать значения группы {е{\ х Г2 х {ез} х {ез} х {е } х {е } х Ге = Г2 х Ге, элемент /зб будет пробегать значения группы {ei} х {ег} х Гз х {е4І х {ЄБ} х Ге = Гз х Ге, элемент Де будет пробегать значения группы {ei} х {е2І х {ез} х {е4І х Г5 х Ге = Г5 х Ге, и элемент /ее будет пробегать значения группы {е\} х {ег} х {ез} х {е4І х {еб} х Ге = Ге. Действию CF = F соответствуют четыре плотных разложения F = AC, F = AD, F = DC и F = D , затрагивающих цепочку классов С, D, F. Следовательно, элемент Лб будет пробегать значения группы {е\} х {ег} х {ез} х Г4 х Г5 х Ге = Г4 х Г5 х Ге. Наконец, действию EF = F соответствуют девять возмож;ных плотных разложений класса F. Разложения F = АС и F = AD действуют на цепочке классов Е, A, F. Разложения F = ВС и F = BD действуют на цепочке классов Е, В, F. Разложение F = СВ действует на цепочке классов Е, D, F. Отметим, что при действии СВ = F в частично упорядоченном множестве -классов между классами С и F расположен класс D. Тем не менее, в соответствии с определением 1 классы С и F являются соседними относительно действия класса В, поскольку В не обладает нетривиальным разложением в $%. Оставшиеся четыре разложения F = С AC, F = CAD, F = С DC и F = CD2 действуют на цепочке классов Е, С, D, F. В совокупности элемент /46 будет пробегать значения группы
прообраза аналогичен, поэтому ограничимся лишь перечислением плотных разложений. Все действия класса D, за исключением ED = D, осуществляются между соседними -классами. Действию ED = D соответствуют два плотных разложения D = С А и D = CD, затрагивающие цепочку классов А, С, D. Каждое из действий классов Е, А, В и С осуществляется между соседними классами либо является стабилизирующим.
Категория Р задается графом, который определяется множеством объектов Obj(P) и множествами стрелок (морфизмов) P(ti,t2) из объекта і в ГЛАВА 2. ПСЕВДОМНОГООБРАЗИЕ RH объект Ьі для каждой пары объектовt\,bi Є Obj(P). Стрелкур Є P(t\,2) будем обозначать через р: t\ — 2. Каждой паре стрелок р: i — 2 и g: t i — 3 с помощью операции композиции сопоставляется стрелка рд: — з- Операция композиции ассоциативна, то есть для стрелок р: i — 2, g: 2 з и г: з — 4 выполняется равенство (до) г = p(qr). Кроме того, каждому объекту сопоставляется тождественная стрелка lt: t — t со свойствами plt = р и ltq = q. Произвольный моноид S можно отождествить с категорией, которая состоит из единственного объекта и множества стрелок, изоморфного S. Подкатегория Р категории Р представляет собой подграф графа категории Р, который является категорией относительно операции композиции, унаследованной от категории Р, причем тождественные стрелки этой категории являются и тождественными стрелками в Р. Каждый полный подграф графа категории Р является подкатегорией в Р. В частности, для каждого объекта t Є Obj(P) полная подкатегория P{t) на этом объекте является моноидом, который называют локальным моноидом категории Р.
Пусть X и Y — графы. Произведение графов Z = X х Y определяется множеством объектов Obj(Z) = Obj(X) х Obj(Y) и множествами стрелок Z[(s,t), (s ,t )] = X(s,s ) х Y(t,t ). Произведение семейства графов {Хь: b Є /3} определяется аналогично и обозначается П{Х&: Ъ Є /3}. Произведение семейства категорий {Рь . b Є /3} — это произведение соответствующих графов И{Рь: b Є /3}, снабженное покоординатно операцией композиции.
Разрешимость псевдомногообразия RH
Напомним, что полугруппы, удовлетворяющие тождествам ху = ух и х = х, называются полурешетпками. Инволюторная полугруппа S = (S, , ), редукт (S, ) которой является полурешеткой с 0, называется скрученной полурешеткой, если 0 — единственный элемент, фиксируемый инволюцией ж ь- х . Этот класс инволюторных полугрупп был впервые рассмотрен в работе [19]. Легко видеть, что минимальный нетривиальный объект в этом классе — это трехэлементная скрученная полурешетка TSL = ({е, /, 0}, , ), в которой е = е, / = /, остальные произведения равны 0, а унарная операция определяется правилами е = /,/ = е, и 0 = 0.
Для инволюторной полугруппы S обозначим через varS многообразие, порожденное S. Теорема 3.1. Пусть = (S, , ) — конечная инволюторная полугруппа, и пусть TSL Є varS. Если редукт (S, ) существенно бесконечно базируем, то и существенно бесконечно базируема.
Доказательство. В соответствии с теоремой IV нам необходимо показать, что S не удовлетворяет никакому нетривиальному инволюторному тождеству вида Zn = z. Если слово z не содержит инволюции, то по предложению 7 из [6] существенно бесконечно базируемая полугруппа (S, ) не может удовлетворять никакому нетривиальному полугрупповому тождеству вида Zn = z. Предположим теперь, что S удовлетворяет инволюторному тождеству Zn = z, то есть z содержит операцию инволюции. Поскольку TS Є varS, тождество Zn = z выполнено в TS. Подставим элемент е из TS во все переменные в словах Zn and z. Поскольку є = є, значение слова Zn после этой подстановки будет равно е. С другой стороны, поскольку z содержит инволюцию, значение слова z будет произведением, содержащим е = /, и, следовательно, будет равно / или 0 — противоречие. Теорема доказана.
В качестве применения теоремы 3.1 приведем упрощенные доказательства двух важных результатов из [13]. Рассмотрим скрученный моноид Брандгпа
7Ъ2 = (-Е 2,-, ), который возникает, если снабдить моноид Брандта (В\ ) унарной операцией А ь-» AD, которая фиксирует матрицы (] ]) , ([J о) , (і о ) 5 (о 1) и переставляет матрицы (о {]) и ([} ) Заметим, что эта операция представляет собой отражение относительно побочной диагонали. Это отражение (называемое косым транспонированием) применимо к любой квадратной матрице и является инволюцией на полугруппе (МП(!Х), ). Чтобы показать это, заметим, что для всякой матрицы А Є МП(!Х) выполнено равенство АР = JAT J, где J — это п х п-матрица, на побочной диагонали которой стоят единицы, а остальные члены равны нулю. Более того, предположим, что поле % таково, что существует матрица R Є МП(!Х), удовлетворяющая равенствам R = R и R2 = J (это имеет место, например, когда характеристика % не равна 2, и в % существуют квадратные корни \/—1 и л/2). Тогда сопряжение А ь- Аф := R lAR удовлетворяет равенству {AD)il) = (Аф)Т и тем самым является изоморфизмом инволюторных полугрупп (МП(!К), , ) и (МП(!К), , ). Очевидно, множество В\ можно рассматривать как подмножество М2(!Х), и в этом случае оно замкнуто относительно обычного и косого транспонирования. Поэтому несколько удивительным является тот факт, что инволюторные подполугруппы 7Ъ2 = (-Е 2,-, ) и (В2}-} ) изоморфных инволюторных полугрупп (М2(!Х),-, ) и (М2(!Х),-, ) настолько различаются. В самом деле, как отмечалось во введении, (В\ , ) не является существенно бесконечно базируемой, тогда как УЪ2 является таковой в соответствии с приведенным ниже результатом.
Доказательство. Как уже упоминалось, редукт (В2}-) инволюторной полугруппы УЪ2 существенно бесконечно базируем по [6, следствие 6.1]. Мат рицы (оо), (о?) и ([JJ]) образуют инволюторную подполугруппу в 7Ъ2 и, очевидно, эта подполугруппа изоморфна трехэлементной скрученной полу решетке TS. Применяя теорему 3.1, получаем требуемое. Следствие доказа но.
Следствие 3.2 ( [13], теоремы 3.9 и 3.10). Инволюторная полугруппа (Мп(Х),-,Т), где % — конечное поле, существенно бесконечно базируема, если п 3 или если п = 2 и число элементов в % не имеет вид Ак + 3.
Доказательство. Редукт (МП(ЗС),-) существенно бесконечно базируем для каждого п 2 и каждого конечного поля % в сответствии со следствием 6.2 из [6]. Чтобы использовать теорему 3.1, остается показать, что трехэлементная скрученная полурешетка TS принадлежит многообразию var(Mn(X),-,T).
Положим сначала п 3. По теореме Шевалле-Варнинга [41, следствие 2 в 1.2], поле % содержит некоторые элементы х и у, удовлетворяющие равенству 1 + х1 + у1 = 0. Тогда п х п-матрицы
Таким образом, множество {е,/, #,0} образует инволюторную подполугруппу в (МП(ЗС), ,т), а множество {#,0} образует идеал этой подполугруппы, замкнутый относительно транспонирования. Остается заметить, что инволюторная фактор-полугруппа Риса инволюторной полугруппы ({е, /, д, 0}, , ) по идеалу {#,0} изоморфна трехэлементной скрученной полурешетке TS. Пусть теперь п = 2, и пусть количество элементов % не имеет вид Ак + 3.
Можно было бы продолжить в том же духе и показать, что, фактически, все примеры существенно бесконечно базируемых инволюторных полугрупп, полученные в [13,17], можно аналогичным образом вывести из теоремы 3.1. Однако следствия 3.1 и 3.2 в достаточной мере демонстрируют этот подход, и теперь мы перейдем к новым применениям.
Пусть % — конечное поле, и пусть Тп(%) обозначает множество всех верхнетреугольных п х n-матриц над %. Множество ТП(ЗС) образует инволю-торную полугруппу относительно обычного матричного умножения и косого транспонирования. Следующий результат классифицирует все существенно бесконечно базируемые инволюторные полугруппы из серии (ТП(ЗС), , ).
Доказательство. В работе [3] было показано, что редукт (ТП(ЗС), ) существенно бесконечно базируем тогда и только тогда, когда п 4 и % содержит не менее трех элементов. Поэтому необходимость условия следует из леммы 3.1, а достаточность будет следовать из теоремы 3.1, как только мы покажем, что TSL Є var(Tn(X), -,D). В самом деле, для каждого п 2 матричные единицы еп и епп принадлежат Тп{%) и удовлетворяют равенствам
Заметим, что в [3] показано, что моноид Брандта (В , ) не принадлежит многообразию полугрупп, порожденному полугруппой (ТП(!Х),-), для любых пиХ. Следовательно, скрученный моноид Брандта УЪ2 не принадлежит многообразию инволюторных полугрупп var(Tn(!K), , ). Таким образом, теорема 3.2 предоставляет серию таких существенно бесконечно базируемых инволюторных полугрупп, что порожденные ими многообразия не содержат УЪ2. Подобные примеры ранее не были известны.
![Многообразия альтернативных алгебр с тождеством [x1,x2,...,x5]=0](/i/i/4467/317899.png "Многообразия альтернативных алгебр с тождеством [x1,x2,...,x5]=0 Ваулин Андрей Николаевич")
