Введение к работе
Актуальность темы. Изучение линейных алгебр с точки зрения выполнения тождественных соотношений является устоявшимся направлением исследований современной алгебры. Алгебры Ли с тождествами являлись предметом исследования уже в самом начале развития теории этих алгебр. Значительная часть изучаемых классов алгебр Ли выделяется по признаку выполнения (или невыполнения) некоторых тождеств. Таковы классы разрешимых, нильпотентных, свободных алгебр и некоторые другие.
Класс всех линейных алгебр над некоторым полем, в которых выполнен фиксированный набор тождественных соотношений называют многообразием линейных алгебр над заданным полем1 или, в терминологии А.Г. Куроша, примитивным классом алгебр2.
В случае поля нулевой характеристики хорошо известно, что любое тождественное соотношение эквивалентно системе полилинейных тождественных соотношений3. Поэтому в этом случае вся информация о многообразии содержится в пространстве полилинейных элементов степени п от переменных х\, Х2, хп, так называемых полилинейных компонентах относительно свободной алгебры многообразия. Полилинейная компонента естественным образом превращается в модуль симметрической группы, что позволяет при ее исследовании использовать хорошо разработанный аппарат представлений симметрической группы. Последовательность размерностей полилинейных компонент является важной числовой характеристикой для многообразия. Асимптотическое поведение данной последовательности определяет рост многообразия.
1 Мальцев А.И. Алгебраические системы. М.: Наука. 1970.
2 Курош А.Г. Лекции по общей алгебре. СПб: Лань. 2005.
3 Мальцев А.И. Об алгебрах с тождественными определяющими соотношениями // Матем. сб.,
1949. Т.25. №3. С. 347-366.
В случае ассоциативных алгебр А.Р. Кемером был получен критерий полиномиальности роста для многообразий над полем нулевой характеристики.
Для случая алгебр Ли И.И. Бенедиктович и А.Е. Залесский в работе5 сформулировали и доказали критерий полиномиальности роста в терминах диаграмм Юнга. В работах6, СП. Мищенко получил еще одно эквивалентное условие "на языке" тождеств.
Объектом исследования в работе являются многообразия алгебр Лейбница и их числовые характеристики.
Исследование условий полиномиальности роста многообразий алгебр Лейбница, а также условий нильпотентности в классе разрешимых алгебр Лейбница является предметом исследования.
Цель работы. Целью диссертационной работы является исследование так называемых многообразий слабого роста, в частности, многообразий, рост которых ограничен экспоненциальной функцией, с основанием меньше v 2. Описание всех многообразий почти полиномиального роста для класса алгебр Лейбница с нильпотентным коммутантом. Получение аналогичных случаю алгебр Ли результатов в случае нулевой характеристики основного поля: критерия полиномиальности роста в классе алгебр Лейбница с нильпотентным ступени не выше с коммутантом в терминах диаграмм Юнга и "на языке" тождеств; необходимого условия для многообразия алгебр Лейбница со слабым ростом последовательности коразмерностей; отсутствие многообразий промежуточного между полиномиальным и показательным роста; получение достаточных условий
4 Кемер А.Р.Многообразия конечного ранга//Красноярск:15 Всесоюзная алгебраическая конфе
ренция. 1979. Т.2. С. 73.
5 Бенедиктович И.И., Залесский А.Е. Т-идеалы свободных алгебр Ли с полиномиальным ростом
последовательности коразмерностей// Весні АН БССР: Сер. фіз. матем. наук. 1980. №3. С. 5-10.
е Мищенко СП. О многообразиях полиномиального роста алгебр Ли над полем характеристики
нуль// Математические заметки. 1986. Т.40. №6. С. 713-721.
7 Мищенко СП. Многообразия центрально-метабелевых алгебр Ли над полем характеристики
нуль// Математические заметки.- 1981.- Т.30- №5.- С. 649-657.
нильпотентности в классе разрешимых алгебр Лейбница.
Методы исследования. В работе использованы методы теории линейных алгебр, теории представлений симметрической группы, техника диаграмм Юнга, комбинаторные методы.
Научная новизна. В диссертации получен ряд результатов о росте многообразий алгебр Лейбница и о нильпотентности данных многообразий в классе разрешимых алгебр Лейбница. Все полученные в работе результаты являются новыми.
Научные положения, выносимые на защиту.
Критерии полиномиальности роста многообразий алгебр Лейбница в терминах диаграмм Юнга и "на языке" тождеств в случае поля нулевой характеристики.
Описание многообразий почти полиномиального роста для класса алгебр Лейбница с нильпотентным коммутантом.
Необходимое условие для многообразия алгебр Лейбница со слабым ростом последовательности коразмерностей над полем характеристики, отличной от двух.
Достаточные условия нильпотентности в классе разрешимых алгебр Лейбница.
Достоверность результатов проведенных исследований. Достоверность результатов, полученных в данной работе, определяется обоснованными теоретическими выкладками и строгими доказательствами, опирающимися на методы теории линейных алгебр, теории представлений симметрической группы, техника диаграмм Юнга, комбинаторные методы.
Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут найти применение в исследованиях теории многообразий линейных алгебр.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на международной молодежной научной школе-конференции "Лобачевские чтения - 2005"(Казань, 2005), ежегодных итоговых научно-методических конференциях УлГПУ (Ульяновск), международной конференции по алгебре и теории чисел, посвященной 80-летию В.Е. Воскресенского (Самара, 2007), семинарах кафедры алгебро-геометрических вычислений УлГУ, международной алгебраической конференции посвященной 100-летию со дня рождения А.Г.Куроша. (Москва 2008).
Личный вклад автора. В диссертации изложены результаты, полученные как лично автором, так и совместно с научным руководителем проф. С.П.Мищенко. Постановка задачи выполнена совместно с научным руководителем.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 4 работы, в том числе одна статья в журнале из списка ВАК.
Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Содержит 69 страниц машинописного текста, список литературы из 66 наименований.
![Многообразия альтернативных алгебр с тождеством [x1,x2,...,x5]=0](/i/i/4467/317899.png "Многообразия альтернативных алгебр с тождеством [x1,x2,...,x5]=0 Ваулин Андрей Николаевич")
